Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

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1 Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit f(x)(a ) eie reelle Folge. (Wir betrachte im Folgede ausschließlich reelle Folge) Dabei bezeiche wir die Elemete der Folge als Folgeglieder ud bezeiche diese mit a. Eie reelle Folge heißt koverget, we es ei a ud zu jedem ε > eie Idex gibt, vo dem ab a a < ε ist. Ei solches a heißt Grezwert der Folge (a ) ud wird mit a bzw. a a für. Satz: ( ε - -Kriterium ud äquivalete Aussage) Sei f(a ) ud a a : ε > gibt es mid. ei, so dass für alle gilt: a a < ε. Für alle ε > gilt a a < ε für fast alle Für alle ε > gilt a a > ε für höchstes edlich viele Ausahme. Das ε - -Kriterium fordert, dass der Grezwert scho bekat ist oder errate wird, bevor ma de Nachweis der Kovergez erbrige ka. Es gibt Methode auch Folge auf Kovergez hi zu utersuche ohe vorher de Grezwert zu kee. Beweise Sie + / durch Rückgag auf die ε - -Defiitio. Es muss für alle ε > gelte a a < ε - + < ε ( + ) + 4 < 4 ( + ) 4 < ε + < ε Wobei zu Schluss sehr grob abgeschätzt wurde. (Geauere Abschätzuge sid ur gefragt, we ma a möglichst kleie iteressiert ist). Sei u ε > beliebig vorgegebe. Wähle derart, dass > 4 ε bzw. 4 < ε (so ei existiert ach Archimedes). Nach obige Abschätzuge gilt da + - < 4 < 4 < ε für alle >. Bemerkug: Ei Folge a hat höchstes eie Grezwert a. Sei a koverget gege a, ud sei b mit b a. Wir zeige, dass f icht gege b kovergiere ka. Wege der Hausdorfeigeschaft gibt es eie Umgebug U vo a ud V vo b mit U V. Nach Voraussetzug liege fast alle Glieder vo f i U; i V köe also höchstes edlich viele Glieder vo a liege, so dass a icht gege b koverget sei ka.

2 Copyright, Page of 7 Defiitio: (beschräkte Folge) Eie Folge (a ) heißt beschräkt, we die Mege der Folgeglieder beschräkt ist, d.h. we es ei S> gibt mit oder äquivalet, we a S, für alle ist. (a ) : sup{ a : } < Sei (a ):(-) eie reelle Folge. Die Mege der Folgeglieder ist {-,}; es hadelt sich also um eie beschräkte Mege i ud daher existiert ei reelles Supremum, d.h. es gilt (a ) sup({, }) <. Es existiert also eie obere Schrake S, bspw. sei S, ud es gilt a S. Es ist die Supremums- Norm (a ). Satz: (Mootoiekriterium) Eie mootoe Folge f(a ) ist koverget, we sie beschräkt ist. Geauer: ) Ist f mooto wachsed ud ach obe beschräkt, so ist f koverget, ud es gilt f sup{a } ) Ist f mooto falled ud ach ute beschräkt, so ist f koverget, ud es gilt f if{a } Zeige Sie, dass die Folge f(a ) mit a kovergiert. a a + Da die Fuktio wahrscheilich mooto fällt, muss das ()-te Glied der Folge größer oder gleich als das (+)-te Glied sei. + ( + ) + + (+ ) (+ )() (+ )( ) (+ )( ) (+ ) (+ )( ) (+ )() >. (+ )( ) Mit dieser Rechug erschlägt ma zwei Probleme auf eimal. Zum eie ist damit die Mootoie achgewiese, zum adere aber auch die Beschräktheit. Es gilt ja > für alle atürliche (+ )( ) ud somit bildet eie utere Schrake. Mit dem Mootoiekriterium folgt, dass a kovergiert ud es gilt if{, 5, 8, } a. Bei mooto steigede Fuktioe, geht ma aalog vor.

3 Copyright, Page of 7 Defiitio: Eie Folge f(a ) heißt Cauchyfolge, we gilt: ε > : (> a a < ε) I Worte: Zu jedem ε > gibt es eie atürliche Zahl (i. Allg. vo ε abhägig), so dass gilt a a < ε für jedes >. Die typische Eigeschaft eier Cauchyfolge ist also, dass ma ei beliebiges ε > vorgebe ka, so dass die Folgeglieder a, mit >, etspreched ahe (d.h. es gilt a a <ε) bei a liege. Satz: (Cauchykriterium) Eie reelle Folge ist geau da koverget, we sie eie Cauchy-Folge ist. Zeige Sie, dass die Folge f(a ) mit a kovergiert. Sei f Abb(, ). Dieses mal zeige wir die Kovergez mit Hilfe des Cauchykriteriums. Es muss also zu jedem ε > eie atürliche Zahl gebe, so dass gilt a a < ε für jedes >. + ()( ) ( )() ( ) ( ) ( + ) ()() ()() ( )() ()() + ( )() ( )() ()( ) () ( ), da egativ im Zähler.. Nach dem Satz des Archimedes gibt es für ε > ei mit > ε. Für jedes mit gilt da: a a < ε. Also ist (a ) eie Cauchy-Folge ud somit kovergiert diese als reelle Folge. Bemerkug: Dass jede kovergete Folge eie Cauchy-Folge ist, ka ma leicht zeige. Die adere Richtug ist iteressater: Die Kovergez eier Cauchy-Folge ist i archimedisch ageordete Körper äquivalet zum Vollstädigkeitsaxiom.

4 Copyright, Page 4 of 7 Satz: (Recheregel für kovergete Folge) Seie (a ), (b ) kovergete Folge, wobei (a ) a, (b ) (i) [(a )+(b )] ist da ebefalls eie kovergete Folge mit [(a )+(b )] (ii) [c(a )] ist da ebefalls eie kovergete Folge mit [c(a )] (iii) [(a )(b )] ist da ebefalls eie kovergete Folge mit [(a )(b )] (a (iv) ) (b ) ist da ebefalls eie kovergete Folge mit (a ) (b ) alle. b. Sei c. Da gilt [ca] [a+b] [ab] a b, falls b ud (b ) für Es köe also u.u. alle arithmetische Operatioe auf dem Raum der kovergete Folge ausgeübt werde. Bemerkug : Dass Pukt (iv) i obigem Satz icht für Nullfolge gelte ka, folgert ma umittelbar aus de icht erfüllte Voraussetzuge b ud (b ) für alle. Bemerkug : Die kovergete Folge bilde also eie Vektorraum ud die Zuordug (a ) (a ) ist eie lieare Abbildug i de Grudkörper. Die Multiplikatio mit eier kovergete Folge mit eiem Körperelemete stellt dabei die Skalarmultiplikatio dar. Propositio: (Produkt aus Nullfolge ud beschräkte Folge) Sei (a ) eie kovergete Nullfolge, wobei (a ) a. Sei weiter (h ) eie beschräkte Folge. Da gilt: (a )(h ) ist eie Nullfolge. I Worte: Das Produkt eier Nullfolge ud eier beschräkte Folge ist wieder eie Nullfolge, also koverget. ( ) Utersuche Sie, ob die Folge (a ): + (-) + kovergiert ud bestimme Sie evtl. de Grezwert. Es ist ( ) eie Nullfolge. Das Produkt aus eier beschräkte Folge *(-) ud eier Nullfolge / ergebe ach obiger Propositio wieder eie Nullfolge. Damit (a ) koverget wäre, müsste also auch (-) + koverget sei. Das ist aber icht der Fall. Nach dem Divergezkriterium ist (-) + mit de beide Teilfolge k (-) ud (-) k+ übereistimme. Isgesamt folgt, dass die Folge (a ) diverget ist. icht koverget, da die Grezwerte icht

5 Copyright, Page 5 of 7 Satz: (Sadwich-Theorem, Quetschlemma) Seie (a ), (b ) kovergete Folge, wobei (a ) a ud (b ) b mit ba. Ist (c ) eie Folge mit a c b für fast alle, so ist (c ) eie kovergete Folge mit Grezwert cab. Wir stelle zuächst fest, dass (b )-(a ) (a )-(b ) mit de Recheregel über kovergete Folge eie Nullfolge ist, da (a )(b ). Weiter gilt ach Voraussetzug ud erster Folgerug a c b -a (*) c - a b - a für fast alle. Da (b )-(a ) eie Nullfolge ist, liege i jeder Umgebug vo fast alle Glieder b -a. Um achzuweise, dass auch (c )-(a ) eie Nullfolge ist, betrachte wir eie Umgebug U vo. Es gibt also ei ε > mit U ε () U, ud i U ε () liege fast alle b -a. Wege (*) liege daher auch fast alle c -a i U ε (). Damit ist gezeigt, dass (c )-(a ) eie Nullfolge ist. + Wir überprüfe, ob die Folge (a ): kovergiert. Es gilt < für. Die Folge liegt also zwische der kostate Nullfolge ud der Folge ud da gilt ist der Grezwert vo (a ) ebefalls. Bemerkug: Bei Folge mit Wurzel im Term, muss der Zähler ratioal gemacht werde. I.d.R. ka ma so überprüfe, ob die Folge kovergiert ud evtl. de Grezwert bereche. Überprüfe Sie, ob die Folge (a ): + x x kovergiert ud bestimme Sie evtl. de Grezwert. Jeder Term, ka als Bruch aufgefasst werde. Es ist (a ) + x x ( + x x) ( + x x ) + x x ( + x x)( + x + x) ( + x + x ). ( + x x) x ( + x + x) ( + ).

6 Copyright, Page 6 of 7 Satz: (Edlich viele Abäderuge) Seie (a ) etstehe aus (a ) durch Abäderug oder durch Weglasse oder durch Hizufüge edlich vieler Glieder. Ist (a ) koverget, so auch (a ), ud i diesem Fall ist a a :a. ' I jeder Umgebug vo a liege fast alle Glieder a ; das sid aber auch fast alle Glieder a. Dieser Satz ist umittelbar klar, da eie Folge geau da koverget ist, we fast alle Glieder i eier beliebige Umgebug um de Grezwert liege. Die edlich viele Ausahme, also die Abäderuge, spiele i Folge desse keie Rolle. Wir habe sträflicher Weise de Begriff Teilfolge bereits beutz ohe ih zu defiiere, dies hole wir u ach ud gebe sogleich auch ei Kriterium a. Defiitio: (Teilfolge) Die Folge (a ) heißt eie Teilfolge vo (a ), we es eie Folge ( k ) i gibt mit k < k+ ud a k a für jedes k. (a k ) etsteht also aus (a ) durch Weglasse vo edlich oder uedlich viele k Glieder. Satz: (Teilfolge) Jede Teilfolge (a k ) eier kovergete Folge (a ) ist koverget, ud es gilt a a :a. ' k Ist U Umgebug vo a, so liege fast alle Glieder a dari ud erst recht fast alle Glieder der Teilfolge (diese wurde ja sozusage gestutzt). Der Satz besagt, dass jede Teilfolge eier bekate kovergete Folge selbst koverget ist. Ket ma also viele kovergete Folge ud dere Grezwerte, so ka dieses Kriterium sehr mächtig sei. Sei (a k ): ( ) +, diese Folge ist aber Teilfolge vo (a k ) ( ) + ud zwar werde hier sämtliche Werte bis auf die Quadrate vo ausgelasse. Mit obigem Satz folgt sofort, dass die agegebee Folge gege e kovergiert. Nu betrachte wir de etgegegesetzte Fall, also die Divergez eier Folge. Es gibt auch Folge die weder bestimmt divergiere och kovergiere, dazu später mehr. Defiitio: (Divergez) Eie Folge (a ) heißt diverget, we die Folge (a ) keie Grezwert besitzt. Um die Divergez achzuweise beutzt ma oft folgede

7 Copyright, Page 7 of 7 Satz: (Divergezkriterium) Besitzt eie Folge f(a ) - eie divergete Teilfolge oder - zwei kovergete Teilfolge f ud f mit f f, so ist f diverget. k+ k+ + ( ) + ( ) Sei a. Sei f die Mege aller Folgeglieder aus a k+ für ugerade ud sei k k + ( ) weiter f die Mege aller Folgeglieder aus a k mit geradem. Da gilt k+ k + k+ k + + ( ) f. k+ k+ k k k + ) f *. k k Es existiere also zwei Teilfolge, die je für sich geomme kovergiere. Jedoch ist f ud f. Mit dem Divergezkriterium folgt, dass a diverget ist..fall: (eie divergete Teilfolge) Besitzt (a ) eie divergete Teilfolge, so ka f icht koverget sei, de sost wäre jede Teilfolge vo (a ) ebefalls koverget (siehe Satz obe).. Fall: (zwei kovergete Teilfolge mit uterschiedlichem GW) Besitzt (a ) zwei kovergete Teilfolge (b ) ud (c ) mit icht idetischem GW ud wäre (a ) koverget, da müsste ach dem Satz vo Teilfolge gelte (b )(c )(a ). Dies widerspricht aber de Voraussetzuge. Reelle Folge: Raum ω Bestimmt divergete Folge: (a ) : (a ) : Divergete Folge ( ) Beschräkte Folge: Raum Kovergete Folge: Raum c Cauchyfolge Nullfolge: Raum c (a ) : (a ) : +