Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

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1 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel Kompeteze: Herleitug ud Beweis eifacher Aussage über Folge, Bestimmug vo Grezwerte Kovergez vo Folge. a) Wir wolle u de im letzte Abschitt im Hiblick auf Itervallschachteluge defiierte Begriff der Nullfolge auch auf icht mootoe Folge erweiter. Dazu muß Bedigug (5.3) ε > 0 N : l < ε. abgeädert werde; sie wird ja z.b. vo der Folge 1, 1 2, 1, 1 3, 1, 1 4, 1, 1 5, 1, 1 6,... erfüllt, die aber offebar keie Nullfolge ist. Im Fall eier mooto fallede Folge positiver Zahle impliziert l 0 < ε für eie Idex 0 N sogar l < ε für alle Idizes 0. Für eie beliebige Folge (a ) positiver Zahle muß diese Eigeschaft eifach zusätzlich gefordert werde: ε > 0 0 N 0 : a < ε. b) Eie Folge (a ) i R, die positive ud egative Werte aehme ka, heißt Nullfolge, falls ( a ) eie Nullfolge ist, falls also gilt: ε > 0 0 N 0 : a < ε. (1) c) Schließlich heißt eie Folge (a ) i R koverget gege eie Grezwert oder Limes a R, falls (a a) eie Nullfolge ist: Defiitio. Eie Folge (a ) i R heißt koverget gege eie Grezwert oder Limes a R, falls folgedes gilt: ε > 0 0 N 0 : a a < ε. (2) Ma schreibt a = lim a oder a a. Nicht kovergete Folge heiße diverget.

2 DieKovergez a a bedeutet also,daßfürjedesgegebeeε > 0 abeiemgewisse Idex 0 N alle Folgeglieder i dem Itervall mit Läge 2ε um a liege müsse. Der Idex 0 = 0 (ε) N hägt atürlich vo ε (ud vo der Folge) ab. 6.1 Beispiele. a) Aufgrud vo Axiom A gilt 1 0. Weiter hat ma auch 1 0. b) Die Folge (( 1) ) ist diverget: Für jedes a R gilt ja a ( 1) 1 für alle gerade oder für alle ugerade. 6.2 Feststellug. (vgl. [A1], 5.3). Eie Folge (a ) i R hat höchstes eie Grezwert. 6.3 Feststellug. a) Es seie (c ) eie Folge i R ud c R. Es gebe eie Nullfolge (a ) ud eie Kostate C 0 mit 0 N 0 : c c C a. (3) Da folgt lim c = c. b) Es seie (a ) eie Nullfolge ud (b ) eie beschräkte Folge. Da ist auch (a b ) eie Nullfolge. Beweis. a) Zu ε > 0 gibt es 1 N mit a < ε C für alle 1. Für 2 := max{ 0, 1 } N gilt da c c C a < ε. b) Es gibt C 0 mit b C für alle N. Daher ist a b C a für alle N, ud die Behauptug folgt sofort aus a). 6.4 Beispiele. a) Für k N gilt 0 1 k 1 für alle N, also 1 k 0. b) Ma hat 3+( 1) 4 für alle N; folglich gilt 3+( 1) 0. c) Zu eier Itervallschachtelug (J = [a,b ]) kompakter Itervalle gibt es ach Axiom I eie reelle Zahle x R mit x J für alle N. Offebar ist da stets x a J = b a ud auch b x J ; gilt also J 0, so hat ma x = lim a = lim b. (4) Isbesodere folgt die Eideutigkeitsaussage vo Satz 5.2 auch aus Feststellug 1. d) Aufgrud vo Satz 5.5 gibt es zu jeder reelle Zahl x R Folge (r ) i Q ud (s ) i R\Q mit r x ud s x. 6.5 Feststellug. (vgl. [A1], 5.6). Kovergete Folge a a sid beschräkt. 6.6 Beispiele. a) Die Umkehrug vo Feststellug 3 gilt atürlich icht, wie etwa das Beispiel (a ) = (( 1) ) zeigt. Ei aderes Beispiel ist die Folge (si), die zwische 1 ud 1 i uübersichtlicher Weise oszilliert. Ma ka zeige, daß die Folgeglieder jeder Zahl x [ 1,1] beliebig ahe komme, d.h. zu jeder Zahl x [ 1,1] ud ε > 0 gibt es N mit x si < ε (vgl. dazu [A1], Satz 7.5*).

3 b) Nach Axiom A ist die Folge () ubeschräkt, also diverget. Dies gilt etwa auch für die Folge (( 1) ), ( 2 ) oder ( 3 5 cos). c) Auch die Folge (a := ) ist ubeschräkt. Trotzdem gilt für die Differeze der Folgeglieder 0 a +1 a = +1 = (+1) Bemerkug: IBeispiel 3c) wurdeeiedifferez A B als Bruch mit Neer1 aufgefaßt ud mit A+ B erweitert. Dieser Trick ist auch i ähliche Situatioe ützlich, z.b. im Beweis vo Satz 2 ute. 6.7 Beispiele. a) Für q R betrachte wir die Folge (q ). Für q = 1 gilt q 1, für q = 1 ist (q ) = (( 1) ) diverget. Für q > 1 schreibt ma q = 1+h mit h > 0. Es folgt q = q 1 + h ach der Beroullische Ugleichug (3.2); (q ) ist also ubeschräkt ud somit diverget. b) Für q < 1 ist, wiederum ach der Beroullische Ugleichug, die Folge ( q ) beschräkt (vgl. Beispiel f) auf S. 13). Nach Feststellug 6.3b) ist daher (q ) = ( q ) ( 1 ) eie Nullfolge. c) Allgemeier wird u iduktiv gezeigt, daß die Folge ( k q ) für alle k N 0 ud q ( 1, 1) beschräkt ist: Für k = 0 ist dies klar, für k = 1 ach b) richtig. Nu gelte die Behauptug für ei k N, ud es sei q ( 1,1) gegebe. Wir wähle r R mit q < r < 1, z.b. r := q +1, ud setze p := q. Da gilt auch p ( 1,1), ud es ist q = p r. 2 r Wege k+1 q = (r ) ( k p ) ist da auch ( k+1 q ) als Produkt zweier beschräkter Folge beschräkt. d) Für k N 0 ud q ( 1,1) ist also die Folge ( k+1 q ) beschräkt; ach Feststellug 6.3b) ist daher ( k q ) = ( k+1 q ) ( 1 ) eie Nullfolge. Wir habe somit bewiese: k N 0 q ( 1,1) : lim k q = 0. (5) e) Für alle a R gilt lim erhält für alle > l: a a! = a 1 a 2 a l! = 0. Zum Beweis wählt ma l N mit l a ud a l+1 a l+2 a a l l! a 0. Aussage (5) bedeutet, daß für jede Zahl a > 1 ud jede Potez k N die Folge (a ) scheller gege strebt als die Folge ( k ) ; i der Tat gilt ja k 0. Nach Beispiel a 4e) strebt die Folge (!) och scheller gege. Diese bequeme Sprechweise für gewisse divergete Folge präzisiere wir so:

4 Defiitio. a) Eie Folge (a ) R strebt gege +, falls a > 0 ab eiem 0 N ist ud 1 a 0 gilt. Ist dies der Fall, so schreibe wir a +. b) Eie Folge (a ) R strebt gege, Notatio a, falls die Folge ( a ) gege + strebt. Die Symbole ± sid keie reelle Zahle. Machmal ist es jedoch bequem, R durch sie zur Mege R := R {+, } (6) zu erweiter. Da solle eiige eileuchtede Regel gelte, etwa x < x < +, x± = ±, = 0 für x R, ± x ± = ± für x > 0, x ± = für x < 0. Beachte Sie, daß eiige Ausdrücke, wie etwa 0,, 1 oder icht defiiert sid. Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge. Es ist für die Aalysis sehr wichtig, die Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge a + zu erfasse. Eie Folge (b ) strebt scheller gege + als (a ), falls a b 0 gilt. I der folgede Liste strebt jede Folge scheller ach + als die vorhergehede: a) ( k ), k N; b) (a ), a > 1; c) (!); d) ( ); e) 2 2. Die beide erste Behauptuge gelte aufgrud obiger Beispiele 6.7. Weiter hat ma offebar! = sowie = ( ) ach (5). 2 Kovergez ist mit de algebraische Operatioe verträglich (vgl. [A1], 5.8): 6.8 Satz. Es seie (a ), (b ) Folge mit lim a = a ud lim b = b. a) Da folgt lim(a +b ) = a+b ud lim(a b ) = a b. a b) Für b 0 ist auch b 0 für große, ud es gilt lim b = a. b 6.9 Beispiele. a) Zur Berechug eies Grezwertes vo Brüche kürzt ma durch de am schellste gege strebede Term: = ) 4 9 ( 2 = = 3 7, si+5! = (7 ) si+5! = 0. = 0,

5 b)imfalla = b = 0 kakeieallgemeieaussageüberdasverhaltederquotiete a /b gemacht werde. Als Beispiel diee etwa b = 1 / 2 0. Für a = 1 / 3 gilt a /b = 1 / 0, für a = c / 2 gilt a / b = c c, ud für a = 1 / ist ( a / b = ) diverget. Uedliche Reihe. a) Wege q 0 für q < 1 ud Satz 6.8 ergibt sich aus der geometrische Summeformel (2.5) die wichtige Aussage q k := lim k=0 k=0 q k 1 q = lim +1 = 1, q < 1. (7) 1 q 1 q Die AufsummieruguedlichvielerpositiverZahle lieferthieralsoeieedliche Wert, die Summe der geometrische Reihe q k. b) Für eie Folge (a k ) i R betrachtet ma die uedliche Reihe, kurz: Reihe k=0 a k = a 1 +a 2 +a 3 +. (8) k 1 Diese heißt koverget, falls die Folgeder Partialsumme(s := a k ) kovergiert. I diesem Fall heißt k=1 a k := s := lim s (9) die Summe der Reihe. Nicht kovergete Reihe heiße diverget. Uedliche Reihe behadel wir später ausführlich Feststellug. (vgl. [A1], 5.4). Für die Folge (a ), (b ), (c ) i R gelte 0 N 0 : a c b. (10) Aus lim a = lim b = c folgt da auch lim c = c. Beachte Sie bitte, daß die Folge i Feststellug 6.10 icht mooto sei müsse. Kovergez ist auch mit Absolutbetrag ud Ordug auf R verträglich: 6.11 Feststellug. (vgl. [A1], 5.10). a) Aus a a folgt stets auch a a. b) Es seie (a ), (b ) Folge mit a b ab eiem 0 N. Aus a a ud b b folgt da a b. Das Beispiel a := 1 < b := + 1 zeigt, daß Aussage b) für < icht richtig ist Satz. (vgl. [A1], 6.18). Es sei (a ) 0 eie kovergete Folge ud lim a = a. Da folgt auch lim a = a. k=1

6 6.13 Beispiele. a) Wie i Beispiel 6.1b) folgt aus 1 0 auch 1 0. b) Ma hat = = 2. c) = = = Für eie Itervallschachtelug (J = [a,b ]) mit b a 0 existiert der Grezwert lim a (vgl. Beispiel 6.4c)). Offebar ist die Folge (a ) mooto wachsed ud ach obe beschräkt (durch jede Zahl b m ). Diese Eigeschaft allei impliziert bereits die Existez des Grezwerts: 6.14 Theorem. Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Beweis. a) Es sei (a ) mooto wachsed ud beschräkt. Mit S := {s R N : a s} wird die Mege aller obere Schrake der Folge (a ) bezeichet. b) Wir wähle b 0 S ud a R mit a < a 1 ; mit d := b 0 a ist da b 0 d = a, also b 0 d S. c) Es seie bereits Zahle b 0... b 1 i S kostruiert, so daß b k 2 k d S für 0 k 1 gilt. Wir setze da b := b 1 2 d, falls diese Zahl i S liegt, aderfalls b := b 1. I jedem Fall gilt da b 1 b S ud b 2 d S. d) Die i c) rekursiv defiierte Folge(b ) ist mooto falled, (J := [a,b ]) also eie Itervallschachtelug. Zu ε > 0 gibt es N mit 2 d < ε. Wege b 2 d S gibt es eie Idex m N mit b 2 d < a m b. Nu ist (a ) mooto wachsed ud (b ) mooto falled; für k max{m,} gilt daher b 2 d < a m a k b k b, also b k a k 2 d < ε. Folglich ist (b a ) eie Nullfolge. e) Nach dem Itervallschachtelugsprizip 5.2 existiert geau eie Zahl a R, die im Durchschitt aller Itervalle J liegt, ud ach obiger Bemerkug 6.4c) gilt da a = lim a. f) Für eie mooto fallede ud beschräkte Folge (a ) ist die Folge ( a ) mooto wachsed ud beschräkt, ach a)-e) also koverget. Zur Axiomatik vo R. a) Theorem 6.14 wurde also mittels der Axiome I ud A bewiese. Umgekehrt impliziert Theorem 6.14 auch diese beide Axiome: b) Ist i der Tat (J = [a,b ]) eie Itervallschachtelug, so ist die Folge (a ) mooto wachsed ud durch b 1 ach obe beschräkt. Nach Theorem 6.14 existiert c := lim a, ud ma hat a m c für alle m N. Wege a b m für alle ist ach Feststellug 6.11b) auch c b m ; es gilt also c J m für alle m N.

7 c) Ist die Mege N der atürliche Zahle beschräkt, so trifft dies auch auf die mooto wachsede Folge () zu. Nach Theorem 6.14 existiert da c := lim. Ma hat aber auch c = lim(+1) = lim +1 = c+1 ach Satz 6.8, ud das ist ei Widerspruch. d) Im Axiomesystem vo R ka ma also die Axiome I ud A durch die Aussage vo Theorem 6.14 ersetze. Ei weiteres äquivaletes Axiom folgt i Satz??. Beispiel. Die Folge (e := (1+ 1 ) ) ist beschräkt ach Satz 3.3 ud auch mooto wachsed (vgl. [A1], 4.7 a)). Nach Theorem 6.14 existiert der Limes e := lim (1+ 1 ). (11) Wir gehe später auf diese Eulersche Zahl e ud die Expoetialfuktio geauer ei. Das babyloische Wurzelziehe. a) Wir behadel u ei schell kovergetes Verfahre zur Berechug vo Quadratwurzel, das Hero-Verfahre oder Babyloische Wurzelziehe. Dieses ka geometrisch motiviert werde: b) Zu a > 0 wird ei Quadrat mit Seiteläge x > 0 ud Flächeihalt x 2 = a gesucht. Ma startet mit eiem Rechteck R 0 mit Flächeihalt a ud Seiteläge x 0 > 0 ud y 0 = a x 0. Die Seiteläge des gesuchte Quadrats ist das geometrische Mittel x 0 y 0 = a = x vo x 0 ud y 0. Da ma dieses icht (ohe weiteres) bereche ka, berechet ma statt desse das arithmetische Mittel x 1 = 1 2 (x 0 +y 0 ) vo x 0 ud y 0 ud damit das Rechteck R 1 mit de Seiteläge x 1 ud y 1 = a x 1. Die Zahl y 1 = 2x 0y 0 x 0 +y 0 = ( 1 2 ( 1 x y 0 ) ) 1 heißt harmoisches Mittel vo x 0 ud y 0. c) Wir hoffe, daß R 1 eie bessere Aäherug a das gesuchte Quadrat ist als R 0. Dies ist i der Tat der Fall, ud die Iteratio der Methode aus b) führt zum Hero- Verfahre. Das geometrische Mittel ist höchstes so groß wie das arithmetische Mittel: 6.15 Feststellug. Für x,y 0 gilt xy 1 2 (x+y). Beweis. Aus 0 (x y) 2 = x 2 2xy+y 2 ergibt sich durch Additio vo 4xy sofort 4xy x 2 +2xy +y 2 = (x+y) 2 ud somit (12) xy ( 1 2 (x+y)) 2. (13) Im folgede Satz wird u das Hero-Verfahre präzise agegebe. Sei Beweis (vgl. [A1], 6.15) liefert auch eie weitere, vo Satz 5.3 uabhägige Beweis für die Existez der Quadratwurzel positiver Zahle, da die Ugleichug i Feststellug 6.15 ur i der Form (13) verwedet wird.

8 6.16 Satz. Es sei a > 0 gegebe. Für eie beliebige Startwert x 0 > 0 wird durch ( ) x +1 := 1 x + a 2 x (14) rekursiv eie Folge (x ) i (0, ) defiiert. Die Folge (x ) N ist mooto falled, ud für de Grezwert x := lim x gilt x 2 = a. Quadratische Kovergez. Die i (14) defiierte Folge (x ) kovergiert sehr schell gege a. Für a = 2 etwa ergebe sich folgede Werte mit dem Startwert x 0 = 2: x 1 1,5 2 1, , , , , Ma erhält mit jedem Iteratiosschritt etwa doppelt soviele gültige Stelle wie zuvor, d.h. der Fehlerd := x a fällt quadratisch.diesläßtsich auch allgemei beweise: ( ) d +1 = 1 x + a 2 x a = 1 2x (x 2 +a 2x a) = 1 2x (x a) a (x a) 2, also d a d2. (15) Ma spricht vo quadratischer Kovergez. Für a 1 (aderfalls berechet ma zuerst 1/ a ) fällt der Fehler sehr schell gege 0, sobald d < 1 erreicht ist (dies ist um so eher der Fall, je äher der Startwert a a lag). Dax 0 > 0 beliebig wählbar ist, spiele evetuelle Rudugsfehler (vgl. de folgede Abschitt 7) bei der Rechug keie Rolle. Ist a Q ud wählt ma x 0 Q, so gilt auch x Q für alle N, d. h. ma ka ratioal reche. Harmoische Mittel. a) Die Awedug vo Feststellug 6.15 auf 1 x ud 1 y liefert ( 1 2 (1 x + 1 y )) 1 xy für x,y > 0; (16) das harmoische Mittel ist also kleier oder gleich dem geometrische. b) Harmoische Mittel trete etwa bei Fods-Sparpläe auf:zuzeitpukte t j iverstiert ma eie feste Summe S i ei Wertpapier. Zum Kurs K j kauft ma A j = S K j Ateile. Durchschittlich kauft ma somit A = 1 r A r j = S r 1 r K j=1 j=1 j

9 Ateile; der Durchschittskurs K = S ist also das harmoische Mittel der Eizelkurse A K j. Bei starke Kursschwakuge ka dieses erheblich iedriger als das arithmetische Mittel der K j sei. Frage: Zeige Sie die Existez dritter Wurzel i R ud versuche Sie, das Hero-Verfahre auf die Berechug dritter Wurzel zu erweiter.