1. Zahlenfolgen und Reihen

Transkript

1 . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu, so gelagt ma zu eier uedliche Zahlefolge, wobei das Attribut uedlich i der Regel weggelasse wird. Zahlefolge sid also spezielle reelle Fuktioe mit D N {0} als Defiitiosbereich ud B R als Bildmege. Der Umgag mit Folge dürfte aus der Schule bekat sei. Wir wiederhole ur eiige wichtige Details.. Mootoie ud Beschräktheit Folge köe mooto wachsed, mooto falled, alteriered oder ichts vo alledem sei. Die Utersuchug auf Mootoie ka ma allgemei so durchführe, dass ma die Qotiete a + a oder die Differeze a + a utersucht: Gilt a + a < bzw.a + a < 0 für alle, so ist die Folge mooto falled. Gilt a + a > bzw.a + a > 0 für alle, so ist die Folge mooto wachsed. Folge köe ach ute beschräkt oder ach obe beschräkt sei. Trifft beides auf eie Folge zu, so heißt sie beschräkt..2 Grezwerte vo Folge Die Zahl h heißt Häufugspukt der Folge {a },weesijederbeliebig kleie Umgebug vo h uedlich viele Glieder der Folge gibt. Eie Folge ka eie oder mehrere Häufugspukte habe. Hat eie Folge {a } ur eie Häufugspukt a, soetmadiesedegrezwert der Aalysis Skript Kapitel Seite

2 Folge ud schreibt dafür lim a = a bzw. a a (Für diese Grezwert gilt: ε(ε > 0 N ε ( > N ε a a < ε).) Im Klartext heißt das, dass i jeder beliebig kleie Umgebug vo a uedlich viele Glieder der Folge liege, währed sich ur edlich viele ausserhalb befide. I diesem Falle spricht ma vo eier kovergete Folge. Daebe gibt es bestimmt divergete ud ubestimmt divergete Folge. Merke: Ist eie Folge mooto wachsed ud ach obe beschräkt, so muss sie eie Grezwert habe. Ebeso muss sie eie Grezwert habe, we sie mooto falled ud ach ute beschräkt ist. Machmal ka ma vo eier Folge feststelle, dass sie eie Grezwert hat. Die Agabe desselbe ist aber u.u. sehr schwierig oder ur ageähert möglich. Achtug! Oftmals versucht ma, de Grezwert eier Folge durch eie Vermutug zu ermittel, idem ma eiige - vielleicht auch viele - Glieder der Folge berechet. Diese Verfahresweise geht oft daebe. Wichtige Folge sid: lim α = 0, α>0 lim q = 0,we q < lim p =, p > 0 lim x! = 0, x > 0 lim k q = 0, q >, k N lim q =,we q > lim = lim + x = e x Für zwei kovergete (icht aber automatisch auch für bestimmt divergete) Folge gelte für die bekate Operatioe die folgede Regel mit de etsprechede Eischräkuge (jeder lim ist dabei als lim zu verstehe): Aalysis Skript Kapitel Seite 2

3 . lim(a ± b )=lima ± limb 2. lim(α a )=α lima, α R 3. lim(a b )=lima limb 4. lim a b 5. lim((a ) p ) =(lima ) p, falls p > 0 = lima limb, falls alle b 0 ud limb 0 I mache Fälle etstehe sogeate ubestimmte Ausdrücke (d.h. ma ka icht umittelbar die Kovergez oder Divergez erkee), z.b.: ubestimmter lim Bedigug Symbol. lim(a b ) lima = limb = " 2. lim(a b ) lima = limb = 0 0" 3. lim a b lima = limb = " 4. lim a b lima = 0 limb = " 5. (lima ) limb lima = 0 limb = " 6. (lima ) limb lima = 0 limb = 0 " 7. (lima ) limb lima = limb = 0 0 " 8. (lima ) limb lima = limb = 0 0 " 9. (lima ) limb lima = limb = " Wir komme hierauf i der Differetialrechug zurück..3 Reihe Aus eier Zahlefolge {a,a 2,...,a } ka ma durch Summatio der Glieder eie eue Folge bilde: s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3... s = a + a 2 + a a... Das -te Glied s = a + a 2 + a a = a i wird als -te Partialsumme ud diese eue i= Folge isgesamt wird als Folge der Partialsumme bezeichet. Führt ma de Grezprozess durch, so beutzt ma die Schreibweise lim s = a i ud bezeichet das Gaze als i= Aalysis Skript Kapitel Seite 3

4 uedliche Reihe. Geauer werde wir solche Reihe im 2. Semester utersuche. Für eiige weige Folge ka ma die -te Partialsumme als geschlossee Formel agebe, z.b. für die sogeate geometrische Folge, Diese Folge ist a = q, = 0,,2,.... koverget für < q best. diverget für q > ubest. diverget für q Durch Aufsummiere der Folgeglieder kommt ma zur Folge der Partialsumme k s 0 =, s = + q, s 2 = + q + q 2,..., s k = q,... =0 Das allgemeie Glied ka ma i diesem spezielle Falle geschlosse (also ohe Summesymbol) darstelle: s k = + q + q q k q s k = q + q q k + q k+ ( q) s k = q k+ s k = qk+ q. Damit hat ma die geometrische Reihe: q = lim qk+, die offesichtlich =0 k q - koverget für q <, - bestimmt diverget für q > (direkt aus der Reihe erket ma dies auch für q = ), - ubestimmt diverget für q ist. (.4 Die Eulersche Zahl e) Wir utersuche jetzt die Folge mit dem allgemeie Glied a = +. Wir werde zeige, dass sie mooto wachsed ud ach obe beschräkt ist. Dabei verwede wir de Biomische Lehrsatz (a + b) = a b 0 + a b + a 2 b a b + a0 b. Aalysis Skript Kapitel Seite 4

5 Für die Folge mit dem allgemeie Glied a = + gilt demzufolge: a = + = + = 2 + 2! = + ( ) 2 + 3! ( )( 2) ! ( )( 2)...( + ) Geht ma jetzt zu a + über, so kommt eimal ei weiterer positiver Summad hizu ud außerdem werde i jedem Summade die Faktore vom Typ k ersetzt durch eie größere Faktor k +. Damit gilt a + > a. Also ist die Folge mooto wachsed. Des weitere ist a = + = = 2 + 2! + 3! ! 2... < 2 + 2! + 3! +...+!, de alle Faktore k sid ja kleier als. Wir vergrößer weiter: a < + + 2! + 3! +...+! < = < 3. Die Folge ist also auch ach obe beschräkt, ud da sie mooto wachsed ist, muss sie eie Grezwert habe. Dieser Grezwert muss zwische 2 ud 3 liege, de ach ute ist die Folge ja durch 2 beschräkt. Der Grezwert wird als Eulersche Zahl e bezeichet. Ma ka ih mit beliebiger Geauigkeit bereche. Beispielsweise erhält ma für = 0: ( + 0 )0 = = 00: ( + 00 )00 = = 000: ( )000 =. 769 = 0.000: ( )0000 =. 78. Hieraus ist zu erkee, dass die Kovergez der Folge ur sehr lagsam erfolgt. Zur umerische Berechug vo e sid adere Methode geeigeter. Mit 5 Stelle ach dem Komma gilt e = Aalysis Skript Kapitel Seite 5