6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen"

Transkript

1 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun zum letzten Thema dieses Kapitels. Ein Problem unserer Konvergenzdefinition ist, dass man zum Nachweis einer Konvergenzaussage (a n ) n N a immer bereits einen Kandidaten a für den Grenzwert der Folge kennen muss. Nur für monotone reelle Zahlenfolgen konnten wir mit Satz die Konvergenz der Folge einsehen ohne den Grenzwert kennen zu müssen. In diesem Abschnitt werden wir mit dem Begriff einer Cauchyfolge eine weitere Möglichkeit kennenlernen, die Konvergenz einer Folge ohne Kenntnis ihres Grenzwerts zu beweisen. Formal ist die Definition einer Cauchyfolge recht ähnlich zur Konvergenzdefinition, man fordert nicht mehr das die Folgenglieder einem Grenzwert a nahekommen, sondern das sich alle Folgenglieder mit ausreichend großen Index einander nahekommen. Definition 6.6 (Cauchyfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Cauchyfolge wenn es für jedes ɛ > 0 ein n 0 N mit a n a m < ɛ für alle n, m N mit n, m n 0 gibt. In logischen Quantoren geschrieben wird diese Definition zu (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m < ɛ. Ganz genauso wie bei der Definition der Konvergenz, kann man das < hier auch gegen ein ersetzen, die Folge ist also auch genau dann eine Cauchyfolge wenn (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m ɛ gilt. Wir werden gleich sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist und damit kennen wir dann bereits recht viele Beispiele von Cauchyfolgen. Zuvor wollen wir aber ein explizites Beispiel einer Cauchyfolge diskutieren. Wir definieren rekursiv eine reelle Zahlenfolge (a n ) n N indem wir a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N setzen. Beispielsweise sind a = /, a 2 = 8/27 und a = 665/287. Die Folge ist weder monoton steigend noch monoton fallend, auch nicht ab irgendeinem noch so großen Startindex. Es ist auch nicht sofort zu sehen, ob die Folge (a n ) n N konvergent ist. Wir werden im Folgenden einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir beginnen mit -

2 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 einer einfachen Beobachtung. Ist x R mit 0 < x < /, so gelten auch 0 < x 2 < / und 8/ < x 2 <, also insgesamt 8/27 < ( x 2 )/ < /, also haben wir (x R) : 0 < x < = 0 < 8 27 < x2 <. Insbesondere bedeutet dies das für jedes n N aus a n (0, /) auch a n+ = ( a 2 n)/ (0, /) folgt. Da a 2 = 8/27 (0, /) gilt, folgt per vollständiger Induktion auch 0 < a n < / für alle n N mit n 2. Für jedes n N mit n ergibt sich weiter a n+ a n = a 2 n a2 n Ist wieder n N mit n, so sind damit auch und so fortfahrend folgt auch = a2 n a 2 n = a n + a n a n a n a n + a n a n a n < 2 a n a n. a n+2 a n+ < 2 ( ) 2 2 a n+ a n < a n a n, a n+ a n+2 < 2 ( ) 2 a n+2 a n+ < a n a n, a n+k a n+k ( ) k 2 a n a n, für alle k N. Strend genommen ist dies ein Beweis durch vollständige Induktion auf deren exakte Durchführung wir hier verzichten. Um zu sehen, dass hieraus die Cauchy- Bedingung folgt, brauchen wir ein allgemeines Lemma, das mit der konkreten Situation nichts zu tun hat. Lemma 6.2 (Die geometrische Summe) Seien q C und n N. Dann gilt q k = qn+ q für q, und q k = n + für q =. Beweis: Die Aussage für q = ist klar, wir nehmen also q an. Schreibe s := n qk. Dann ist q s = q k+ = q n+ + q k = q n+ + s, -2

3 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 also und dies ergibt die Behauptung. ( q)s = s qs = q n+, Kommen wir mit diesem Lemma ausgerüstet zu unserem Beispiel zurück. Sei wieder n N mit n 2 gegeben. Für jedes k N erhalten wir dann mit Lemma 2 k a n+k a n = (a n++i a n+i ) k k ( ) i 2 a n+i+ a n+i a n+ a n i=0 i=0 i=0 ( = ( ) ) k 2 a n+ a n < 7 7 a n+ a n ( ) n 2 2 a a 2 7 = 7 ( ) n 2 2 =: A n. 70 Damit können wir leicht einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Nach Aufgabe (22) sowie den Rechenregeln für Grenzwerten wissen wir nämlich lim 7 70 ( ) n 2 2 = 0, ist also ɛ > 0 gegeben, so existiert ein n 0 N mit n 0 2 und A n < ɛ für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0, so können wir durch eventuelles Vertauschen von n und m auch m n annehmen, und haben m = n + k für ein k N. Damit ist dann a m a n = a n+k a n < A n < ɛ. Somit ist (a n ) n N tatsächlich eine Cauchyfolge. Die Grundeigenschaften von Cauchyfolgen sind schnell eingesehen. Lemma 6. (Grundeigenschaften von Cauchyfolgen) Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. (a) Ist (a n ) n N konvergent, so ist (a n ) n N auch eine Cauchyfolge. (b) Ist (a n ) n N eine Cauchyfolge, so ist (a n ) n N auch beschränkt. (c) Sind (a n ) n N eine Cauchyfolge und (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge von (a n ) n N mit dem Grenzwert a K, so ist auch (a n ) n N a. Beweis: (a) Bezeichne a K den Grenzwert von (a n ) n N. Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit a n a < ɛ/2 für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0 so folgt auch a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. -

4 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 Damit ist (a n ) n N eine Cauchyfolge. (b) Es gibt ein n 0 N mit a n a m < für alle n, m N mit n, m n 0. Setze c := max{ a 0, a,..., a n0, a n0 + } > 0. Ist dann n N, so gilt im Fall n < n 0 sofort a n c und im Fall n n 0 haben wir ebenfalls a n = a n a n0 + a n0 a n a n0 + a n0 < a n0 + c. Damit ist a n c für alle n N und (a n ) n N ist beschränkt. (c) Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existieren ein n 0 N mit a n a m < ɛ/2 für alle n, m N mit n, m n 0 und ein k 0 N mit a nk a < ɛ/2 für alle k N mit k k 0. Sei n N mit n n 0. Setzen wir k := max{k 0, n 0 }, so ist a nk a < ɛ und wegen n k k n 0 ist auch a n a nk < ɛ/2. Insgesamt ist damit a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, und wir haben (a n ) n N a bewiesen. Damit eine Folge (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, reicht es nicht aus, das sich aufeinanderfolgende Folgenglieder immer näher kommen, die Cauchybedingung ist wesentlich stärker. Beispielsweise ist die durch a n = n gegebene Zahlenfolge nicht nach oben beschränkt, es ist sogar ( n) n N +, also ist ( n) n N insbesondere keine Cauchyfolge. Andererseits gilt für jedes n N stets a n+ a n = n + n = ( n + n) ( n + + n) n + + n = n + + n n +, und nach Lemma 4.(e,f) ist (a n+ a n ) n N eine Nullfolge. Satz 6.4 (Cauchy-Kriterium) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K ist genau dann konvergent wenn (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Beweis: = Dies ist Lemma.(a). = Nach Lemma.(b) ist (a n ) n N beschränkt, hat also nach dem Satz von Heine- Borel Satz einen Häufungspunkt beziehungsweise eine konvergente Teilfolge. Nach Lemma.(c) ist (a n ) n N selbst konvergent. Wir kommen schließlich wieder zum Beispiel der rekursiv definierten Folge a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N -4

5 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 zurück. Wir haben bereits eingesehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge mit 0 < a n < / für alle n N mit n 2 ist. Nach dem eben bewiesenen Satz ist (a n ) n N damit konvergent, und nach Lemma 5.(a) gilt [ a := lim a n 0, ]. Wenden wir die Rechenregeln für Grenzwerte an, so folgt weiter ( ) 2 a 2 lim a n n a = lim a n+ = lim = = a2, also ist a 2 + a = 0. Fassen wir dies als eine quadratische Gleichung für a auf, so ergibt sich da a 0 ist. a = 2 ± 4 + = ± 2 = a = 2 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a 0 + a + a 2 +. Die Summanden a i können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen Interesse. Wir hatten gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf den viele andere Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden und dementsprechend werden wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die Folge (a n ) n N ist gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen s 0 := a 0, s := a 0 + a, s 2 := a 0 + a + a 2, und allgemein s n := a k, also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n + Summanden unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren: Definition 7.: Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. Bezeichne ( ) (s n ) n N := a k -5 n N

6 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 die Folge der zugehörigen Partialsummen. Wir nennen die Reihe a n konvergent wenn die Folge (s n ) n N der Partialsummen konvergent ist und schreiben in diesem Fall Andernfalls heißt die Reihe divergent. a n := lim s n = lim a k. Oftmals bezeichnen wir mit dem Symbol a n auch die Folge der Partialsummen, selbst wenn die Reihe divergent ist. Dass das Symbol a n sowohl die Folge der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar. Außerdem schreiben wir mit einem weiteren Bezeichnungsmißbrauch auch einfach Sei a n eine Reihe, dies soll dann bedeuten, dass (a n ) n N eine Folge ist und wir beabsichtigen die zugehörige Folge der Partialsummen zu untersuchen. Genau wie bei Folgen betrachtet man auch Reihen mit einem beliebigen Startindex n 0 N anstelle des Startindex 0, zum Beispiel die Reihe n= /n2 mit dem Startindex n 0 =. Die Partialsummen sind in diesem Fall s n = n 0 +n k=n 0 a k für n N. Oft ist es in diesem Zusammenhang dann etwas bequemer auch für die Folge der Partialsummen einen anderen Startindex zu verwenden, beispielsweise s n = n k=n 0 a k für n N mit n n 0. Die hiermit verbundene Willkür ist dabei unproblematisch, da die Wahl des Startindex auf Konvergenz und eventuelle Summe der Reihe keinen Einfluß hat. Genau wie im vorigen Abschnitt formulieren wir die meisten Aussagem mit dem Startindex 0 oder, es sind aber implizit auch immer alle Reihen mit einem anderen Startindex mit gemeint. Lassen wir endlich viele Summanden am Beginn der Reihe einfach weg, so ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe aber seht wohl am Grenzwert. In der Tat, ist a n eine Reihe und n 0 N, so hängen die Partialsummen s n = n a k der Originalreihe und t n = n 0 +n k=n 0 a k der verkürzten Reihe über die Beziehung s n = a k = 0 a k + k=n 0 a k = 0 a k + t n n0 für alle n N mit n n 0 zusammen, und somit konvergiert die Folge (s n ) n N genau dann wenn die Folge (t n ) n N konvergiert und in diesem Fall ist a n = 0 a n + n=n 0 a n. Wir wollen jetzt zwei einfache Beispiele von Reihen besprechen, und beginnen mit der Reihe n(n ). n=2-6

7 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 In diesem Beispiel können wir die Partialsummen s n explizit berechnen, dies haben wir bereits am Anfang von 6 getan. Im einleitenden Beispiel (4) von 6 hatten wir s n = k(k ) = n k=2 für alle n N mit n 2 nachgerechnet. Damit ist die Reihe konvergent und ihr Grenzwert ist ( n(n ) = lim ) =. n n=2 Das zweite Beispiel ist die sogenannte geometrische Reihe, dies ist die aus den Potenzen einer festen Zahl q C gebildete Reihe. Dieses Beispiel wird sich als derart wichtig herausstellen, dass wir es in einem Satz festhalten wollen. Satz 7. (Die geometrische Reihe) Sei q C. Dann ist die geometrische Reihe qn genau dann konvergent wenn q < ist, und in diesem Fall gilt q n = q. Beweis: Nach 6.Lemma 2 ist die n-te Partialsumme für jedes n N als { q n+ s n := q k, q, q = n +, q = gegeben. Für q = ist die Folge der Partialsummen (s n ) n N = (n + ) n N divergent. Nun sei q. Dann ist die Folge (s n ) n N nach 6.Satz 6.(a,b) genau dann konvergent wenn die Folge (q n+ ) n N konvergent ist und nach Aufgabe (22) ist dies genau dann der Fall wenn q < gilt. Ist q <, so ist nach Aufgabe (22) und 6.Satz 6.(a,b) auch q n = lim q n+ q = lim q n+ q = q. Wir wollen kurz einige konkrete Beispiele geometrischer Reihen durchgehen.. Die Folge 2 n = ist eine geometrische Reihe mit q = /2, nach dem Satz ist sie also konvergent mit der Summe 2 = n =

8 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Wir berechnen die Zahl 0,. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem benutzen wollen, ist 0, = = ( ( In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = /0, und der Satz über die geometrische Reihe ergibt ( ) ( n ( ) n ( ) 0, = = ) = 0 0 = =. 0 n=. Als drittes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe 2 n = Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also ergibt sich ( ) n 2 n = ( 2 7. Grundeigenschaften von Reihen ) = 2. Über die Partialsummen sind Reihen vollständig auf den Folgenbegriff zurückgeführt, und wir können jetzt den ganzen in 6 entwickelten Apperat auf Reihen loslassen. Dies führt zu einer ganzen Sequenz von grundlegenden Sätzen, Lemmata und Beobachtungen über Reihen und ihre Konvergenz. Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung über den Zusammenhang von reellen und komplexen Reihen. Lemma 7.2 (Real- und Imaginärteil komplexer Reihen) Eine komplexe Reihe z n ist genau dann konvergenz wenn die beiden reellen Reihen Re(z n) und Im(z n) konvergent sind, und in diesem Fall gilt z n = Re(z n ) + i Im(z n ). Weiter ist eine reelle Reihe genau dann in R konvergent wenn sie in C konvergent ist. ). Beweis: Klar nach 6.Lemma.(d,e). Wie bei Folgen ist der komplexe Fall damit auch bei Reihen der allgemeine Fall. Nun wollen wir einsehen, dass die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge -8

9 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 bilden müssen. Leider stellt sich heraus, dass die Umkehrung dieser Tatsache nicht gilt, eine Reihe deren Summanden gegen Null konvergieren ist im allgemeinen nicht selbst konvergent. Ein Beispiel hierfür werden wir bald sehen. Lemma 7.: Sei K {R, C} und sei a n eine konvergente Reihe. Dann ist (a n ) n N eine Nullfolge und die Folge (s n ) n N der Partialsummen der Reihe ist beschränkt. Beweis: Nach 6.Lemma 2.(a) ist die Folge (s n ) n N beschränkt, und nach 6.Satz 6.(a,b) ist die Folge (a n ) n = (s n s n ) n N eine Nullfolge, also ist auch die Folge (a n ) n N selbst eine Nullfolge. Im allgemeinen muss eine Reihe mit beschränkten Partialsummen nicht konvergent sein, es gibt aber einen wichtigen Spezialfall in dem dies doch zutrifft, nämlich wenn alle Summanden der Reihe reell und nicht negativ sind. Wir können für reelle Reihen sogar noch etwas weiter gehen und wie in 6.2 zusätzlich noch den Begriff der Konvergenz in den erweiterten reellen Zahlen R einführen, und dann können auch ± als Summen von Reihen auftauchen. Für Reihen mit konstanten Vorzeichen ergibt sich dann der folgende Satz: Satz 7.4: Es gelten: (a) Sind a n und b n zwei in R konvergente reelle Reihen mit a n b n für alle n N, so gilt auch a n (b) Eine reelle Reihe a n mit a n 0 für alle n N ist in R konvergent, und sie ist genau dann in R konvergent wenn a n < ist, wenn also die Folge der Partialsummen der Reihe beschränkt ist. b n Beweis: (a) Für jedes n N gilt auch für die Partialsummen der beiden Reihen die Ungleichung n a k n b k und mit 6.Lemma 5.(a) folgt die Behauptung. (b) Die Folge der Partialsummen der Reihe ist monoton steigend, also folgt dies mit 6.Satz.(a). Eine (b) entsprechende Aussage gilt natürlich auch für Reihen mit negativen Summanden. Wir können den Satz Satz 4 sofort zur Behandlung einiger weiterer Beispiele verwenden, wir wollen zeigen, dass die Reihe n= /n2 konvergiert. Nach dem Satz ist hierzu zu zeigen, dass ihre Partialsummen beschränkt bleiben, beziehungsweise das n= /n2 < gilt. Nun haben wir für jedes n N mit n 2 die Abschätzung /n 2 /n(n ) und damit folgt n= n = + 2 n=2 n n=2 n(n ) = 2 <.

10 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 Dies beweist die Konvergenz der Reihe. Die Berechnung der Summe ist schwerer, und für uns an dieser Stelle noch nicht direkt möglich. Bereits Euler hat gezeigt, dass die Formel n = = π2 6 n= gilt. Etwas allgemeiner ist jetzt auch für jeden Exponenten k N mit k 2 n= n k n 2 <, 2 n= d.h. auch n= /nk konvergiert. Eine explizite Formel für diese Summe ist nur bei geraden k bekannt, und auch diese wurde bereits von Euler berechnet. -0

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.44 206/2/02 2::8 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v.2 206/2/05 0:28: hk Exp $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.2 Reelle Zahlenfolgen In der letzten Sitzung hatten wir den Limes Superior lim

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +. Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v 1.23 2013/12/02 12:07:25 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.1 Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung haben wir die Rechenregeln für Folgengrenzwerte hergeleitet. Dies sind

Mehr

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade. $Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also

Mehr

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.2 203//29 2:06:38 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Folgenkonvergenz und die Grenzwerte von Folgen eingeführt.

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 0/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

$Id: folgen.tex,v /06/07 13:16:35 hk Exp $ n qn = 0.

$Id: folgen.tex,v /06/07 13:16:35 hk Exp $ n qn = 0. $Id: folgen.tex,v 1.13 01/06/07 13:16:35 hk Exp $ 6 Folgen 6.4 Folgen reeller Zahlen Wir waren gerade mit der Besprechung diverser Beispiele zur Folgenkonvergenz beschäftigt, und wollen jetzt noch zwei

Mehr

Kapitel 5 Reihen 196

Kapitel 5 Reihen 196 Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel

Mehr

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge

Mehr

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5 3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.

Mehr

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0 Serie 4. Aufgabe 336 Punkte) Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen durch a n : 0 n, n N b n : n n, n N Bestimmen Sie die Grenzwerte a bzw. b der Folgen a n ) n N bzw. b n ) n N. Geben Sie jeweils zu gegebenem

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:

Mehr

1 Folgen und Stetigkeit

1 Folgen und Stetigkeit 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N

Mehr

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt

Mehr

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008 Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut

Mehr

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

Kapitel 4 Folgen und Reihen

Kapitel 4 Folgen und Reihen Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt 4.1 4.1 Konvergenzkriterien für für Folgen 4.2 4.2 Reihen 4.3 4.3 Achilles und und die die Schildkröte Seite 2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl.

Mehr

Folgen und Reihen Folgen

Folgen und Reihen Folgen Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

Thema 3 Folgen, Grenzwerte

Thema 3 Folgen, Grenzwerte Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N

Mehr

Das Newton Verfahren.

Das Newton Verfahren. Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren

Mehr

Kapitel 4. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b

Kapitel 4. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b Kapitel 4. Folgen 4.1. Körper der reellen Zahlen Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: Q = { a b : a, b Z, b 0}. Die natürliche Ordnung auf Q ist eine totale Ordnung. Überdies gilt folgendes

Mehr

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2

Mehr

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit 10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)

Mehr

Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man

Mehr

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form

Mehr

3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6

3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6 3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67 und l n+1 wiederum als kleinsten Wert, so dass A 2n+2 = A 2n+1 + l n+1 k=l n < A. Alle diese Indizes existieren und damit ist eine Folge {A k } k N definiert. Diese Folge konvergiert

Mehr

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N

Mehr

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014 Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen

Mehr

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Fragen und Antworten Folgen und Reihen (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Reihen 2 1.1 Fragen............................................... 2 1.1.1 Folgen...........................................

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen

Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 24 Reihen Wir betrachten Reihen von komplexen Zahlen. Definition 24.1. Sei ( ) k N eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht

Mehr

2 - Konvergenz und Limes

2 - Konvergenz und Limes Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen

Mehr

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben. 4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

Kapitel 5 KONVERGENZ

Kapitel 5 KONVERGENZ Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz

Mehr

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis

Mehr

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um

Mehr

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........

Mehr

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,

Mehr

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z

Mehr

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration. Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )

Mehr

Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker

Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker MATHEMATISCHES INSTITUT WS 006/07 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Schottenloher Dr. S. Tappe Version 5.. Lösungen zur. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker vom 6..06 Aufgabe. ( + Punkte) a)

Mehr

Nachklausur Analysis 1

Nachklausur Analysis 1 Nachklausur Analysis 1 Die Nachklausur Analysis 1 für Mathematiker, Wirtschaftsmathematiker und Lehrämtler findet als 90-minütige Klausur statt. Für Mathematiker und Wirtschaftsmathematiker ist es eine

Mehr

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten: Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien

Mehr

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das

Mehr

Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen

Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

Folgen und endliche Summen

Folgen und endliche Summen Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen

Mehr

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff 47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Wintersemester 010/11 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den

Mehr

Übungen Analysis I WS 03/04

Übungen Analysis I WS 03/04 Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe

Mehr

4 Funktionenfolgen und normierte Räume

4 Funktionenfolgen und normierte Räume $Id: norm.tex,v 1.9 2011/06/01 15:13:45 hk Exp $ $Id: jordan.tex,v 1.3 2011/06/01 15:30:12 hk Exp hk $ 4 Funktionenfolgen und normierte Räume 4.5 Normierte Räume In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff

Mehr

Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen,T.

Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen,T. Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen,T. Streubel Lösungsalternativen für die Übungsaufgaben zur Vorlesung

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5

Mehr

1 Häufungswerte von Folgen

1 Häufungswerte von Folgen KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heio Hoffmann WS 0/..0 Höhere Mathemati I für die Fachrichtung Informati. Saalübung (..0) Häufungswerte von Folgen Oft

Mehr

3.1 Folgen. ,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. Mathematik I WiSe 2005/ y = (y n ) n N = ( 1 3, 1 9, 1 27, 1 81, 1

3.1 Folgen. ,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. Mathematik I WiSe 2005/ y = (y n ) n N = ( 1 3, 1 9, 1 27, 1 81, 1 Kapitel 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a = (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index

Mehr

Spickzettel Mathe C1

Spickzettel Mathe C1 Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 17 Potenzreihen Definition 17.1. Es sei (c n ) n N eine Folge von reellen Zahlen und x eine weitere reelle Zahl. Dann heißt

Mehr

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte. Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...

Mehr

ist streng monoton fallend.

ist streng monoton fallend. Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.

Mehr

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte Kapitel 3 Folgen und Reihen Wie bereits in der Einleitung angedeutet, beschäftigt sich die Analysis sehr stark mit Grenzprozessen. Wir werden in diesem Kapitel die wichtigsten Grenzprozesse, nämlich die

Mehr

Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.

Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe. Folgen und Reihen Christoph Laabs, christoph.laabs@tu-dresden.de Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a 4 +... Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich.

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,

Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , , 97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch 04.04.2007 8:38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme.

Mehr