Die Regiomontanus-Sonnenuhr

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1 Die Regiomontanus-Sonnenuhr Von Günther Zivny Die Regiomontanus-Sonnenuhr gehört zur Gruppe der Höhensonnenuhren. Die Sonnenhöhe, also der Winkel zwischen Horizont und Sonne, ändert sich im aufe des Tages. Bei Sonnenaufgang steht die Sonne direkt am Horizont und die Sonnenhöhe ist Null. Zur Mittagszeit (12 Uhr) erreicht die Sonne ihre größte Höhe, bei Sonnenuntergang ist die Höhe wieder Null. Durch Messung der Sonnenhöhe lässt sich also auf die Uhrzeit schließen, wobei wegen der Symmetrie des Tagbogens nicht zwischen vormittags und nachmittags unterschieden wird. Beispielsweise hat die Sonne um 10 Uhr dieselbe Höhe wie um 14 Uhr. Die Sonnenhöhe hängt aber nicht nur von der Tageszeit ab, sondern auch von der geografischen Breite des Standorts und vom Datum. Je weiter nördlich man sich aufhält, desto tiefer steht die Sonne und im Sommer steht die Sonne höher als im Winter. Die Regiomontanus-Sonnenuhr ist ein Pendelquadrant oder Astrolabium, mit dem durch Anpeilen der Sonne der aktuelle Höhenwinkel gemessen wird. Sie ist aber auch ein grafischer Rechner, mit dem ausgehend von den Parametern Höhenwinkel h, geographische Breite φ und Datum die Uhrzeit berechnet werden kann. Diese Rechnung ist ziemlich kompliziert und wir modernen Menschen benötigen hierfür einen Taschenrechner. Dass diese Aufgabe auch auf so einfache Weise grafisch gelöst werden kann, erscheint zunächst unmöglich! Im folgenden soll in einem ersten Schritt dargestellt werden, wie man aus den genannten Parametern die Uhrzeit berechnet. Dies allerdings nur als Tatsachenbehauptung und ohne Herleitung. In einem zweiten Schritt wird dann gezeigt, wie man die Sonnenuhr konstruiert und es wird nachgewiesen, dass sie tatsächlich die richtige Zeit anzeigt. Alle Zeitangaben sind selbstverständlich in wahrer Ortszeit (WOZ). Es wird vorausgesetzt, dass der eser die Uhr vorliegen hat und ihre Bedienung kennt.

2 1. Berechnung der Uhrzeit Die Deklination der Sonne: Die Erdachse ist um den Winkel 23,5 zur Bahnebene der Erde geneigt (die sogenannte Schiefe der Ekliptik ). Würde sich die Erde nicht um ihre Achse drehen, sondern stillstehen, so würde die Sonne aufgrund des Erdumlaufs, von der Erde aus betrachtet, einmal im Jahr um die Erde herumwandern. Im Sommerhalbjahr steht sie dabei oberhalb, im Winterhalbjahr unterhalb des Himmelsäquators. Diese scheinbare Sonnenbahn heißt Ekliptik. Im Frühlings- und im Herbstpunkt (Tag- und Nachtgleiche) kreuzt die Sonnenbahn den Himmelsäquator, d.h. die Sonne steht senkrecht über dem Erdäquator. Der Himmelsäquator ist der auf die Himmelskugel projizierte Erdäquator. Der vom Himmelsäquator zur Sonne gemessene Winkel, die Deklination, ist also vom Datum abhängig und wird wie folgt berechnet: sin = sin Λ * sin 23,5 Gl. 1 Der Winkel Λ, wir nennen ihn die ekliptikale änge oder den Bahnwinkel, wird in der Bahnebene (Ekliptik) vom Frühlingspunkt aus gemessen. Ein ganzes Jahr entspricht 360 bzw. 365 Tagen, somit ist: Λ = 360 / 365 * T. Darin ist T die Anzahl der Tage seit Frühlingsanfang, der meist auf den 21. März fällt. Beispiel: Am 31. März ist T = 10 Tage. Folglich ist Λ = 9,9. Damit: = 3,9 Zur Sommersonnenwende ist Λ = 90 und = 23,5 Polarstern Sommersonnenwende 21. Juni Λ Frühlings- Tag- und Nachtgleiche 21. März Ekliptik Herbst- Tag- und Nachtgleiche 23. September Himmelsäquator Wintersonnenwende 21. Dez. Bild 1: Darstellung des Jahreslaufs der Sonne.

3 Berechnung der Uhrzeit aus der Sonnenhöhe : Der Höhenwinkel h wird von der waagerechten Erdoberfläche zur Sonne gemessen. Daraus ergibt sich der Stundenwinkel τ wie folgt: cos τ = sin h / (cos φ * cos ) (tan * tan φ) Gl. 2 Darin ist φ die geografische Breite des Standorts und die bereits errechnete Deklination. Der Stundenwinkel wird in der Äquatorebene von Süden (12 Uhr) aus gemessen. Ein Vollkreis entspricht 360 bzw. 24 Stunden. In Stunden ausgedrückt erhält man somit: St = 24 / 360 * τ und die Uhrzeit: 12 Uhr ± St Beispiel: Die geografische Breite sei φ = 50 und die Deklination = 3,9. Der gemessene Höhenwinkel sei h = 40. Somit ist: cos τ = sin 40 / (cos 50 * cos 3,9 ) (tan 3,9 * tan 50 ) = 0,92 und τ = arccos 0,92 = 23 Somit: St = 1,5 und die Uhrzeit 10,5 Uhr = 10:30 oder 13,5 Uhr = 13:30 Meridian Zenit Polarstern T=N WSW SSW Tagbogen Süden τ h ϕ Mittagslinie Norden Horizontkreis Himmelsäquator Nadir Bild 2: Darstellung der Tagbögen der Sonne

4 2. Die Konstruktion der Sonnenuhr (Bild 3) Wir beginnen bei der Konstruktion mit dem schwarzen rechtwinkligen Dreieck. Als geografischer Breitengrad wurde φ = 60 gewählt. Dies ist auch die nördlichste Breite, die man einstellen kann. Die Strecke 0 ist die Basislänge, auf die alle anderen Strecken bezogen sind; sie beträgt bei der AstroMedia-Uhr 0 = 100 mm. Die untere Kathete hat die änge r 0 und kann aus bekannten Daten berechnet werden (alle Formeln siehe Bild 3). Als nächstes zeichnen wir das rote rechtwinklige Dreieck. Dieses ist um den Deklinationswinkel gedreht. Dieser Winkel kann je nach Jahreszeit zwischen 0 und ±23,5 betragen (siehe Gl. 1). Das schwarze Dreieck und das rote Dreieck sind ähnlich, d.h. die Winkel sind identisch und die Seitenlängen stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Die änge der unteren Kathete ist mit r bezeichnet und kann berechnet werden. Wegen der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke erhält man nun auch die änge. Dies ist die Pendellänge für die gewählte Deklination. Es ist: / 0 = r/r 0. Auf ähnliche Weise erhält man die Strecke D 0 und über die Kathete b auch die Strecke D. Die Strecke D ist ein Maß für das Datum. Das Datum, das man anschreiben muss, ist das Datum, für welches die Deklination berechnet wurde. Der Winkel h ist die Sonnenhöhe, die im Betrieb gemessen wird. Aus der zugehörigen Strecke s erhält man mit Hilfe des Kreises den Stundenwinkel τ und schließlich die Uhrzeit. Ein Vollkreis hat 360 oder 24 Stunden. Somit ist 360 /24 h = τ / St. Beispiel: τ = 36. St = 2,4 h. Der Stundenwinkel wird von 12 Uhr aus gemessen, somit ist die Uhrzeit 12 2,4 = 7,6 Uhr = 7: 36 Uhr oder ,4 = 14,4 Uhr = 14:24 Uhr.

5 Datum D Tag- und Nachtgleiche SA = Sonnenaufgang Z = aktuelle Uhrzeit τ = aktueller Stundenwinkel 0 = 100 mm = 0 * cos ϕ b r = / cos = 0 / cos h D0 = * tan b = * tan ϕ D = D0 * b/ = * tan * * tan ϕ / = * tan * tan ϕ s = * sin h r Datum s ϕ D0 τsa τ SA 6 Uhr * cos τ Z 12 Uhr Bild 3: Konstruktion der Sonnenuhr

6 In der Zeichnung wurde als Beispiel φ = 60 genommen. Es funktioniert aber mit jedem Winkel, wie Bild 4 zeigt. In der Herleitung spielt der Zahlenwert von φ an keiner Stelle eine Rolle. b Datum D r 0 Datum D0 ϕ τsa τ SA 6 Uhr * cos τ Z 12 Uhr Bild 4: Andere geografische Breite

7 Nachweis, dass die grafischen Ergebnisse mit den Rechenergebnissen übereinstimmen. Aus der gemessenen Sonnenhöhe h erhält man mit der Pendellänge die Strecke s. Es ist: s = * sin h. Wie man aus Bild 3 entnimmt, ist s = D + r 0 * cos τ. Ersetzt man die Variablen durch die gefundenen Ausdrücke, erhält man: * sin h = r 0 * tan * tan φ + r 0 * cos τ und weiter: 0 / cos τ * sin h = r 0 * tan * tan φ + r 0 * cos τ und weiter: r 0 / (cosφ*cos τ) * sin h = r 0 * tan * tan φ + r 0 * cos τ und nach Kürzen und Umstellen: cos τ = sin h / (cosφ*cos τ) - tan * tan φ Dies ist also tatsächlich die weiter oben angegebene Formel (Gl. 2). Damit ist gezeigt, dass die Uhr wirklich richtig anzeigt. Auf welchem Wege und durch welche Überlegungen der Gelehrte zu dieser erstaunlichen ösung kam, muss freilich im Dunkeln bleiben.