Bachelorarbeit. Mathematik des Black Jack

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1 Bachelorarbeit Mathematik des Black Jack Eva-Maria Ernst Bochum, April 2008

2 Glück ist das Wissen darum, dass Du nicht notwendiger Weise Glück brauchst. William Saroyan 1

3 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 3 2. Spielregeln Sonderregeln 5 3. Analyse der Spielstrategie der Bank Gewinnerwartung des Spielers Gewinnerwartung des Spielers bedingt zur ersten Bankkarte 9 4. Optimierung der Spielstrategie des Spielers Optimierung der Strategie bei Softhands Optimierung des Doppelns Optimierung des Teilens Optimierung des Versicherns Gewinnversprechende Spielsysteme Herleitung High-Low-Count Erfolgsaussichten 27 Literaturverzeichnis 29 Erklärung 30 2

4 1. Einleitung Black Jack ist neben Poker das populärste Kartenspiel, das zum Standardangebot der Spielkasinos gehört. Seit den zwanziger Jahren bieten amerikanische Kasinos dieses Spiel an 1 und auch in Deutschland ist dieses Kartenspiel schon lange bekannt und seit über dreißig Jahren ein fester Teil des Spielangebots 2. Die Gemeinsamkeit aller Kasinospiele ist, dass es sich um Glücksspiele handelt. Genauer gesagt, handelt es sich um Spiele, die ganz oder zum großen Teil vom Zufall abhängen und dem Kasino einen leichten Vorteil gegenüber den Besuchern sichern. Nur so ist es möglich einen konstanten Gewinn zu erzielen und ein Kasino zu betreiben. Doch hängen die angebotenen Spiele nicht alle ausschließlich vom Zufall ab, denn es gibt auch Spiele, deren Verlauf der Spieler beeinflussen kann. Hierzu gehört auch Black Jack. Es stellt sich also die Frage, ob es nicht eine Strategie gibt, die den Vorteil des Kasinos vermindert oder ganz aufhebt. Die Amerikaner R. Baldwin, W. Cantey, H. Maisel und J. Mc Dermott waren Mitte der fünfziger Jahre die Ersten, die dieser Frage nachgingen und das Kartenspiel mathematisch analysierten. 3 Ausgehend von deren Ergebnissen gelang es dem Mathematiker Edward Thorp Systeme zu entwickeln, die dem Spieler bei fehlerfreier Anwendung den erhofften Vorteil gegenüber der Bank verschaffen. Black Jack ist also das erste und bisher auch einzige Kasinospiel, das geknackt worden ist 4, d.h. dass man nicht notwendiger Weise verlieren muss. Diese Arbeit ist aus dem Seminar Mathematik und Spiel im Wintersemester 2007/08 hervorgegangen und stellt eine optimale Spielstrategie für das Kartenspiel Black Jack dar. Dabei sollen die Herleitung, sowie der mathematische Hintergrund gut nachvollziehbar sein. Zunächst werden die Spielregeln und Sonderregeln erklärt. Die Analyse beginnt dann mit der festgelegten Spielstrategie der Bank und ermittelt die Gewinnerwartung des Spielers, wenn er jene Strategie kopiert. Darauf aufbauend wird die Spielstrategie des Spielers optimiert, sodass seine negative Gewinnerwartung minimiert wird. Abschließend wird die Gewinnstrategie des High-Low-Counts von Edward Thorp dargestellt und erklärt. 1 vgl. [1]; Seite 82 2 vgl. [2] 3 vgl. [1]; Seite 88 4 vgl. [1]; Seite 89 3

5 2. Spielregeln Im Kasino spielen beim Black Jack bis zu sieben Spieler gleichzeitig, aber dennoch unabhängig voneinander gegen einen Angestellten des Kasinos, der im Folgenden als Bank oder Dealer bezeichnet wird. Das Ziel des Spiels ist, möglichst nah an 21 Punkte heranzukommen ohne diese zu überschreiten. Dazu spielt man mit einem 52er Kartenblatt und ordnet jeder Karte einen Wert zu. Die Karten 2 bis 10 zählen mit ihrem Zahlenwert und alle Bilder werden mit zehn 5 Punkten bewertet. Ein Ass zählt wahlweise einen Punkt oder elf Punkte, wobei der Spieler die Wertigkeit zu jeden Zeitpunkt von eins auf elf und von elf auf eins ändern kann. Das Kartendeck im Kasino besteht meistens aus sechs Kartenspielen à 52 Karten, die gut vermischt werden. Etwa ein Fünftel der insgesamt 312 Karten werden durch eine neutrale Karte abgetrennt und diese 60 bis 70 Karten bilden die eigentlichen Spielkarten. Der Dealer verteilt solange Karten vom Deck ohne zu mischen bis die neutrale Karte überschritten wird. Danach wird noch die laufende Runde beendet und anschließend der gesamte Kartensatz neu gemischt. Der Spielverlauf folgt festen Regeln und beginnt damit, dass der Spieler seinen Einsatz, um den er mit der Bank spielen will, abgibt. Jeder Spieler bestimmt selbst, ob er nur um den vom Kasino festgelegten Mindesteinsatz spielen will oder ob er einen höheren Einsatz wählt. Der Einsatz kann von Runde zu Runde variieren, doch wird vom Kasino auch nach oben eine Grenze gesetzt. Sind alle Einsätze gemacht, werden von der Bank die Karten verteilt. Zunächst bekommt jeder Spieler eine Karte, dann legt der Dealer eine Karte für sich selbst offen hin und gibt jedem Spieler eine zweite Karte. In manchen Kasinos wird Black Jack ganz offen gespielt, d.h. jedes Kartenblatt ist für den Spieler zu sehen. Dies ist aber für den ersten Teil der Analyse unerheblich. Hat der Spieler seine zweite Karte erhalten, darf er nun selbst entscheiden, wie viele Karten er noch ziehen möchte. Die Karten werden einzeln ausgegeben und nach jeder erhaltenen Karte kann er eine weitere verlangen. Sobald alle Spieler ihren Zug beendet haben, ist die Bank an der Reihe ihr Blatt zu ziehen. Sie hat dabei weniger Entscheidungsfreiheit als die Spieler, da sie bis einschließlich sechzehn Punkte ziehen muss und ab siebzehn Punkten nicht mehr 5 Zahlen bis zwanzig schreibe ich in der Regel als Wörter aus, danach verwende ich die Ziffernschreibweise. Sind aber die Spielkarten gemeint, verwende ich die Ziffern zur Symbolisierung. 4

6 ziehen darf. Ein Ass zählt hierbei solange elf Punkte bis dadurch die 21 Punkte übertroffen würden, ab dann zählt es nur einen Punkt. Wenn auch der Ziehvorgang der Bank abgeschlossen ist, werden die Blätter ausgewertet. Tabelle 1 zeigt den Gewinnplan des Spielers abzüglich seines Einsatzes. Bank: BJ vk Sp.: BJ 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 0 1,5 vk Tabelle 1 Gewinnplan des Spielers Hat der Spieler sich verkauft [vk], also mehr als 21 Punkte erreicht, verliert er sofort seinen Einsatz auch wenn sich die Bank später ebenfalls verkauft. In allen anderen Fällen, in denen Spieler und Bank gleichwertige Blätter haben, erhält der Spieler seinen Einsatz zurück. Der Spieler bekommt seinen Einsatz zurück und den gleichen Teil noch einmal von der Bank, wenn er unter 22 Punkten geblieben ist und mehr Punkte als die Bank hat oder diese sich verkauft. Schlägt der Spieler die Bank mit einem Black Jack [BJ], gewinnt er sogar seinen 1,5fachen Einsatz. Als Black Jack werden alle Blätter bezeichnet, die mit zwei Karten 21 Punkte erreichen, also aus einem Ass und einer Karte, die zehn Punkte zählt, bestehen. Ein Black Jack schlägt jedes andere Blatt mit 21 Punkten. Ist die Bank besser als der Spieler, verliert dieser seinen Einsatz an die Bank Sonderregeln Die eben beschriebenen Grundregeln sind in nahezu jedem Kasino gleich und die möglicherweise abweichenden Details bleiben unberücksichtigt. Hinzu kommen allerdings noch verschiedene Sonderregeln, die weitaus häufiger variieren können. Die drei geläufigen Sonderregeln des Doppelns, Teilens und Versicherns sollen auch hier besprochen werden. 6 vgl. [1]; Seite 81f 5

7 Beim Doppeln ist es dem Spieler erlaubt, seinen Einsatz und somit auch seinen möglichen Gewinn zu verdoppeln, wenn die ersten beiden Karten zusammen neun, zehn oder elf Punkte ergeben. Ein Ass darf als ein Punkt gewertet werden. Entschließt sich der Spieler zum Doppeln, darf er nur noch eine weitere Karte fordern. 7 Das Teilen bezieht sich auf die Blätter, deren ersten beiden Karten den gleichen Wert haben. Der Spieler kann dann das Blatt in zwei Blätter teilen, muss aber auch einen zweiten Einsatz entrichten. Anschließend verläuft das Spiel wie gewohnt, nur dass der Spieler mit zwei Blättern spielt. Ein Black Jack, der nach dem Teilen entsteht, zählt nur wie gewöhnliche 21 Punkte und zu einem geteilten Ass darf nur noch eine weitere Karte gezogen werden. Beim Teilen gibt es einige Spielvarianten. Die einen Kasinos erlauben mehrfaches Teilen nacheinander oder ermöglichen das Doppeln nach dem Teilen und andere haben strengere Regeln und gestatten nur einmaliges Teilen. 8 Als dritte Sonderregel gibt es noch das Versichern. Hierbei hat der Spieler die Möglichkeit, sich gegen einen denkbaren Black Jack der Bank zu versichern. Ist die erste Karte der Bank ein Ass, kann der Spieler eine Nebenwette eingehen. Er wettet in Höhe der Hälfte seines ursprünglichen Einsatzes, dass die Bank einen Black Jack erhält. Ist dem so, bewahrt er sowohl den eigentlich verlorenen Spieleinsatz, als auch den Einsatz der Nebenwette. Andererseits verliert er den Versicherungseinsatz, während der Rest normal abgerechnet wird Analyse der Spielstrategie der Bank Schon in der Einleitung wurde festgestellt, dass Black Jack kein reines Glücksspiel ist. Der Spieler hat einen wesentlichen Einfluss auf den Verlauf des Spiels, da er nach eigenem Ermessen weitere Karten zu seinen ersten beiden verlangen kann. Die Spielstrategie des Spielers ist also sehr variabel und ohne Berücksichtigung weiterer 7 vgl. [1]; Seite 82 8 vgl. [1]; Seite 82f 9 vgl. [1]; Seite 82 6

8 Informationen eher intuitiv. Anders verhält es sich bei der Bank. Da diese nicht die Freiheit hat über die nächste Karte zu entscheiden, sondern den festgelegten Regeln folgen muss, ist hier der Ansatz für die Analyse des Spiels zu finden. Erst wenn man die Spielresultate der Bank ermessen kann, gibt es die Möglichkeit die Strategie des Spielers darauf abzustimmen und zu optimieren. Das Ergebnis der Bank kann nur zwischen 17 und 26 Punkten liegen, da die Bank mit sechzehn oder weniger Punkten noch eine weitere Karte nehmen muss und dann mit einer 10 oder einem Bild maximal 26 Punkte erreichen kann. Die Fälle, in denen die Bank 22 bis 26 Punkte hat, können zu verkauft zusammengefasst werden. Bei 21 Punkten muss dagegen die Unterscheindung zwischen einem Black Jack und jedem anderen Blatt mit 21 Punkten getroffen werden. Es ergeben sich also sieben mögliche Spielergebnisse für die Bank. Für jedes dieser Ereignisse kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse addiert. Diese mühselige Arbeit wird von Computern übernommen und durch die Voraussetzung von konstanten Wahrscheinlichkeiten etwas erleichtert. Es wird angenommen, dass man mit der Wahrscheinlichkeit von eine Karte der Wertigkeit zehn zieht, da es bei sechs Kartenspielen 96 Bilder und Zehnen gibt, die sich auf 312 Karten verteilen. Jede andere Karte tritt mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 p = auf, denn die restlichen Karten kommen immer im Verhältnis 4:52 vor. Diese Annahme führt zwar zu keinen exakten Ergebnissen, da man für gleich bleibende Wahrscheinlichkeiten ein unendlich großes Kartenspiel bräuchte, aber bei insgesamt über 300 Karten sind die Abweichungen so gering, dass sie vernachlässigt werden können. Zur Verdeutlichung wird der Rechenweg zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Black Jack kurz aufgezeigt: Ein Black Jack ist nur über zwei Wege zu erlangen. Entweder man zieht erst eine 10-Punkte-Karte und anschließend ein Ass, oder genau umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit erst eine Karte mit zehn Punkten und dann ein Ass zu ziehen, liegt bei P ( 10, As) =! =

9 Analog gilt P ( As,10) =! =, 169 sodass insgesamt folgt 8 P ( BJ ) = P(10, As) + P( As,10) = = 0, Tabelle 2 führt alle Spielergebnisse der Bank mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf. 10 Bankergebnis Wahrscheinlichkeit verkauft 0,2816 Black Jack (BJ) 0, , , , , ,1451 Tabelle 2 Wahrscheinlichkeiten der Bankergebnisse 11 Ausgehend von diesen Werten wird im nächsten Abschnitt die Gewinnerwartung des Spielers ermittelt, wenn er nach den gleichen Regeln wie die Bank seine Karten zieht. 3.1 Gewinnerwartung des Spielers Ein Spieler, der die Spielstrategie der Bank kopiert, erreicht mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten die sieben in Tabelle 2 aufgeführten Ergebnisse wie die Bank. Dies könnte zu der Vermutung führen, dass es sich bei Black Jack um ein faires Spiel handelt, d.h. dass die Gewinnerwartung von Bank und Spieler gleich hoch wäre. Da der Gewinnplan des Spielers (Tabelle 1) aber Asymmetrien aufweist, ist dem nicht so. Die erste Ungleichheit fällt zu Gunsten des Spielers aus. Hat der Spieler einen Black Jack und die Bank nicht, gewinnt er den 1,5fachen Wert seines Einsatzes und er verliert lediglich seinen einfachen Einsatz, wenn nur die Bank einen Black Jack erlangt. Die zweite viel unscheinbarere, dafür aber umso gewichtigere Ungleichheit ist der Verlust des Einsatzes, wenn sich beide Seiten 10 vgl. [1]; Seite verändert nach [1]; Seite 83 8

10 verkaufen. Dass dies der entscheidende Vorteil der Bank ist, lässt sich aus Tabelle 2 herleiten. Mit der gleichen Strategie wie die Bank verkauft sich ein Spieler häufiger als jedes vierte Mal, während er wesentlich seltener das Glück hat, mit einem Black Jack das Spiel zu beenden. Tabelle 3 rechnet den Vor- und Nachteil des Spielers gegeneinander auf und zeigt die Gesamtgewinnerwartung des Spielers. 12 Situation Vor-/Nachteil Wahrscheinlichkeit Erwartung Spieler hat Black Jack, Bank nicht 0,5 0,0451 0,0225 Spieler und Bank verkaufen sich -1 0,0793-0,0793-0,0568 Tabelle 3 Gewinnerwartung des Spielers bei gleicher Strategie wie die Bank Der durchschnittliche Verlust von 5,68% des Einsatzes pro Runde liegt im Vergleich zu anderen Glücksspielen wie zum Beispiel Roulette recht hoch. Das französische Roulette hat eine negative Gewinnerwartung von 1,35%. 14 Es kann daher nicht im Interesse des Spielers sein, die Bank zu kopieren. Um nun die beste Spielstrategie für den Spieler zu ermitteln, ist es notwendig, die bisher vernachlässigte Information über die erste Karte der Bank mit einzubeziehen und sich über die neue Situation klar zu werden. Im nächsten Abschnitt wird die Kenntnis der ersten Bankkarte ausgewertet und die Gewinnerwartung des Spielers differenzierter betrachtet. 3.2 Gewinnerwartung des Spielers bedingt zur ersten Bankkarte Das Wissen, das aus der bekannten Karte der Bank resultiert, ist nicht zu unterschätzen. Man kann zum Beispiel sicher sagen, dass die Bank keinen Black Jack erreichen wird, wenn die offene Karte kein Ass, kein Bild und auch keine 10 ist. Andererseits liegt die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Black Jack bei 4 p =, wenn die erste Karte ein Ass ist, was eine viel höhere Wahrscheinlichkeit ist, als der Wert aus Tabelle 2. Zu jeder ersten Bankkarte lassen sich die 12 vgl. [1]; Seite 84 verändert nach [1]; Seite vgl. [1]; Seite 88 und [3] 9

11 Wahrscheinlichkeiten von allen erreichbaren Endzuständen der Bank berechnen. Dies ist ähnlich aufwändig, wie die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Tabelle 2 und wird daher ebenfalls von Computern übernommen. Hier wird nur kurz eine Berechnung skizziert. Angenommen die Karte der Bank zeigt eine 10 und die Wahrscheinlichkeit von siebzehn Punkten als Endergebnis soll bestimmt werden. Der erste Schritt besteht darin, alle möglichen Wege von der 10 zu den siebzehn Punkten zu ermitteln, wobei die Reihenfolge der Karten zu beachten ist. Ein möglicher Weg zur siebzehn wäre als zweite Karte eine 6 zu ziehen und anschließend ein Ass, aber die Umkehrung ist keine Variante, denn mit einem Ass nach der 10 würde das Blatt direkt als Black Jack gewertet werden. Werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wege zusammengerechnet, ergibt sich daraus die Gesamtwahrscheinlichkeit, von der 10 zur siebzehn zu kommen. Tabelle 4 stellt alle möglichen Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten ausgehend von jeder ersten Bankkarte dar. 1. Karte: As verkauft 0,3536 0,3739 0,3945 0,4164 0,4232 0,2623 0,2447 0,2284 0,2121 0,1153 BJ ,0769 0, ,1180 0,1147 0,1112 0,1082 0,0972 0,0741 0,0694 0,0608 0,0345 0, ,1240 0,1203 0,1165 0,11 0,1017 0,0786 0,0694 0,1200 0,3422 0, ,1297 0,1256 0,1214 0,1177 0,1063 0,0786 0,1286 0,3508 0,1114 0, ,49 0,05 0,1259 0,1223 0,1063 0,78 0,3593 0,1200 0,1114 0, ,98 0,50 0,05 0,1223 0,1654 0,3686 0,1286 0,1200 0,1114 0,08 Tabelle 4 Wahrscheinlichkeiten der Bankergebnisse bedingt zur ersten Karte 15 Mit den Werten der obigen Tabelle als Grundlage, kann man den zu erwartenden Gewinn des Spielers berechnen, sofern dieser seinen Zug beendet hat. Dazu werden die Zufallsgröße X als das feststehende Ergebnis des Spielers mit X < 22 und die Zufallsgröße Y, Y > 16, als das mögliche Bankergebnis zu gegebener ersten Karte a eingeführt. Dann kann die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler gewinnt, berechnet werden durch p P( X > Y ) + P( Y! 22). G = a a Für die Wahrscheinlichkeit eines Gleichstand von Spieler und Bank gilt 15 verändert nach [1]; Seite 84 10

12 p = P = U ( X Ya ) und der Spieler verliert die Runde mit einer Wahrscheinlichkeit von p = P( Y X ). V a > Die Gewinnerwartung des Spielers bei beliebigem, aber festem X wird daraufhin mit folgender Formel berechnet E ( X )! p, = x1! pu + x2! pv + x3 G wobei x 1 = 0, da der Spieler beim Gleichstand seinen Einsatz zurückbekommt, aber effektiv nichts gewinnt. Ist die Bank besser als der Spieler, verliert dieser seinen Einsatz, sodass x 2 = -1 gilt. Für x 3 muss eine Fallunterscheidung gemacht werden. Gewinnt der Spieler mit einem Black Jack (X = BJ), so gilt x 3 = 1,5, da der Spieler hier seinen 1,5fachen Einsatz gewinnt. In den Fällen, in denen der Spieler nur einfach gewinnt, wird x 3 = 1 gesetzt. 16 Als Beispiel schließt sich die Berechnung des Erwartungswerts für die Situation an, dass der Spieler neunzehn Punkte hat (X = 19) und bei der Bank eine offene 7 (a = 7) liegt. Zunächst werden die drei Wahrscheinlichkeiten p U, p V und p G berechnet. p G = P( 19 > Y7 ) + P( Y7 = verkauft) = P ( Y7 = 17) + P( Y7 = 18) + P( Y7 = verkauft) = 0, ,78 + 0,2623 = 0,7687 p U = P( 19 = Y7 ) p V = 0,0786 = P( Y 7 > 19) = P ( Y = 20) + P( Y7 7 = = 0, ,0741 = 0,1527 Für die Gewinnerwartung folgt dann mit x 3 = 1, da 19 BJ, 21) E ( X ) = 0! 0, (" 1)! 0, ! 0,7687 = 0, vgl. [4], Seite 219f 11

13 Analog kann man jeden Eintrag von Tabelle 5, welche die Gesamterwartung des Spielers bedingt zur ersten Karte der Bank zusammenfasst, in mehreren Schritten berechnen. Bank: As Sp.: BJ 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,3846 1, ,8820 0,8835 0,8888 0,8918 0,9028 0,9259 0,9306 0,9392 0,8117 0, ,6400 0,6503 0,6610 0,6704 0,7040 0,7732 0,7918 0,7584 0,4350 0, ,3863 0,4044 0,4232 0,4395 0,4960 0,6160 0,5939 0,2876-0,0187-0, ,1217 0,1483 0,1759 0,1996 0,2834 0,3996 0, ,2415-0, ,1530-0,1172-0,0806-0,0449 0,0117-0,1068-0,3820-0,4232-0,4644-0,6386 bis 16-0,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,4754-0,5105-0,5431-0,5758-0,7694 Tabelle 5 Gewinnerwartung des Spielers bedingt zur ersten Bankkarte 17 Der durchschnittliche Gewinn bei Blättern mit weniger als sechzehn Punkten ist genauso groß wie die Erwartung bei genau sechzehn Punkten, da die Bank immer mindestens siebzehn Punkte hat und so jedes tiefere Blatt mit gleicher Wahrscheinlichkeit schlägt. 18 Anhand dieser Tabelle kann der Spieler nun seine Gewinnerwartung am Ende des Zuges ermitteln. Wesentlich interessanter für den Spieler ist allerdings eine Aussage darüber, wie er sich während des Ziehens verhalten sollte, um seine Gewinnchance zu erhöhen. Genau dies ist das Ziel des Abschnitts 4. 4 Optimierung der Spielstrategie des Spielers Die optimale Spielstrategie ist diejenige, die zur maximalen Gewinnerwartung führt. Deshalb müssen zur Ermittlung der besten Ziehstrategie zwei Werte miteinander verglichen werden. Der erste Vergleichswert wird Tabelle 5 entnommen und gibt den zu erwartenden Gewinn an, wenn keine weitere Karte gezogen wird. Der andere Wert muss noch berechnet werden, indem man die Gewinnerwartung mit einer zusätzlichen Karte bestimmt. Dies ist nur für die Zwischenstände von zwölf bis zwanzig Punkten nötig, denn es ist klar, dass der Spieler bei bisherigen elf Punkten seine Chancen mit einer weiteren Karte erhöht. Er kann sich schließlich nicht verkaufen und nähert sich den 21 Punkten. Genauso wird er bei erreichten [1]; Seite vgl. [1]; Seite 84f 12

14 Punkten keine Karte mehr ziehen, da er sich nicht mehr verbessern kann. Alle übrigen Situationen sollten geprüft werden. Hierbei ist es wichtig, von den hohen zu den niedrigen Werten zu gehen, weil man im Spielverlauf bei einer weiteren Karte von den tiefen zu den höheren Blättern gelangen kann und für eine Optimierung der kleineren Punktzahlen auf die schon verbesserten Zahlen der großen Ergebnisse zurückgreifen muss. Die Überprüfung verläuft folgender Maßen. Die Zufallgröße X beschreibe die aktuelle Punktzahl des Spielers mit 12 X 20. Dann gibt es mit der nächsten Karte 21! X mögliche Ausgänge mit den Erwartungswerten E(X+1),, E(21). Diese Verbesserungen treten alle mit einer Wahrscheinlichkeit von ein. In den anderen! (21! X ) = X! 8 Fällen kommt es zu einer Verschlechterung der Situation, hier hat der Spieler sich verkauft. Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit! 8 p = X s für den Verlust des Einsatzes, denn X! 8 mal wird eine Karte mit der Wahrscheinlichkeit verkauft. Der Erwartungswert lässt sich dann mit der Formel E + ( X ) = p " ( E( X + 1) E(21)) + " (! 1) b p s p b = 1 1 p = gezogen mit der sich der Spieler berechnen. Für die Situation aus Abschnitt 3.2, dass der Spieler neunzehn Punkte hat und die Bank eine 7, ergibt sich der Erwartungswert E + durch E ( 19) = " ( E(20) + E(21)) + " (! 1) = 1 11 " (0, ,9259)! =!0,7155. Tabellarisch kann ein übersichtlicher Vergleich der Gewinnerwartung mit und ohne eine weitere Karte stattfinden. Tabelle 6 zeigt einen solchen Vergleich für die 7 als erste Bankkarte.

15 E E + Sp.: 20 0,7732-0, ,6160-0, ,3996-0, ,1068-0, ,4754-0, ,4754-0, ,4754-0,32-0,4754-0, ,4754-0,2128 Tabelle 6 Vergleich der Erwartungswerte, wenn die erste Bankkarte eine 7 ist Führt man diesen Vergleich für jede erste Karte der Bank durch und überträgt jeweils den höheren Wert in eine neue Tabelle, erhält man die optimale Spielstrategie des Spielers. Tabelle 7 vereint die höchstmöglichen Gewinnerwartungen. Bank: As Sp.: 17-0,1530-0,1172-0,0806-0,0449 0,0117-0,1068-0,3820-0,4232-0,4644-0, ,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,4148-0,4584-0,5093-0,5752-0, ,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,3698-0,4168-0,4716-0,5425-0, ,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,32-0,3719-0,4309-0,5074-0,6123-0,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,2691-0,3236-0,3872-0,4695-0, ,2534-0,2337-0,2111-0,1672-0,1537-0,2128-0,2716-0,3400-0,4287-0, ,2384 0,2603 0,2830 0,3073 0,3337 0,2921 0,2300 0,1583 0,0334 0,2087 Tabelle 7 Optimierte Gewinnerwartungen des Spielers 19 Die fehlenden oberen Zeilen stimmen mit denen von Tabelle 5 überein, da sich die Gewinnchance von Blättern mit siebzehn Punkten durch nochmaliges Ziehen nicht erhöhen. Die gewellte Linie gibt an, bis wann der Spieler weitere Karten fordern sollte, um die größte Gewinnerwartung zu erzielen. Bei den Karten mit sieben bis elf Punkten auf Seiten der Bank verhält er sich optimal, wenn er ebenso lange zieht wie die Bank es tun würde. Bei einer offenen 4, 5 oder 6 zieht der Spieler nur solange kein Risiko besteht, da sich die Bank in diesen Fällen häufig verkauft. Gegen eine 2 oder 3 der Bank nimmt er bis einschließlich zwölf Punkten eine Karte. Eine defensivere Strategie verspricht also höhere Gewinne, als das Kopieren der Bankstrategie verändert nach [1]; Seite vgl. [1]; Seite 85f 14

16 Bevor nun eine Aussage über die durchschnittliche Gesamtgewinnerwartung bei optimalen Spielverhalten getroffen werden kann, müssen die Erwartungswerte der ganz niedrigen Blätter bestimmt werden. Dazu braucht man zunächst die Analyse der so genannten Softhands. 4.1 Optimierung der Strategie bei Softhands Als Softhand wird ein Kartenblatt bezeichnet, das ein mit elf Punkten gewertetes Ass beinhaltet. Die Anzahl der übrigen Karten ist beliebig. Solche Blätter sind deshalb so besonders, weil sie ein risikofreies Ziehen versprechen. Trotz einer weiteren, beliebigen Karte können die 21 Punkte nicht überschritten werden, denn im Zweifelsfall wird der Wert des Asses auf einen Punkt reduziert. Doch auch wenn nicht die Gefahr des Verkaufens besteht, sollte abgewogen werden, ob die nächste Karte auch die Gewinnmöglichkeit erhöht. Dies geschieht auf vergleichbare Weise wie die Optimierung zuvor, allerdings entfällt der Teil mit der Wahrscheinlichkeit p s. Es gilt also + 1 E ( Xs) = ( E(21s) E(( X + 1) s) + 4 " E( X ) + E( X! 1) E(12)). Die Formel erklärt sich so, dass man von jedem Softhand aus zu den Gesamtpunktzahlen 12 bis 21 kommen kann und mit der Wahrscheinlichkeit seinen Standpunkt nicht verändert, da dies der Wahrscheinlichkeit entspricht eine 10-Punkte-Karte zu ziehen. Demnach ergibt sich für einen 19er Softhand und einer gegebenen 7 der Bank beim Ziehen ein Erwartungswert von + 1 E ( 19s) = ( E(21s) + E(20s) + 4! E(19) + E(18) E(12)) = 1 (0,9259 = 0, , " 0, ,3996! 0,1068! 0,4584! 0,4168! 0,3719! 0,3236! 0,2716) Dieser Wert ist niedriger als der Erwartungswert aus Tabelle 5 ( E ( 19) = 0, 616 ). Es empfiehlt sich also nicht mit einem 19er Softhand weiter zu ziehen. Auch hier p = 4 15

17 werden zunächst die hohen und später die niedrigen Blätter optimiert, sodass sich insgesamt die in Tabelle 8 dargestellten Werte für Softhands ermitteln lassen. Bank: As Sp.: 19s 0,3863 0,4044 0,4232 0,4395 0,4960 0,6160 0,5939 0,2876-0,0187-0, s 0,1217 0,1483 0,1759 0,1996 0,2834 0,3996 0, ,2097 0, s -0,0005 0,0290 0,0593 0,0912 0,1281 0,0538-0,0729-0,1498 0,2586-0, s -0,0210 0,0091 0,0400 0,0734 0,0988-0,0049-0,0668-0,1486-0,2684-0, s -0,0001 0,0292 0,0593 0,0920 0,1182 0,0370-0,0271-0,1122-0,2373-0, s 0,0224 0,0508 0,0801 0,1119 0,92 0,0795 0,03-0,0752-0,2057-0,3727 s 0,0466 0,0741 0,1025 0,34 0,1617 0,1224 0,0541-0,0377-0,1737-0, s 0,0818 0,1035 0,1266 0,1565 0,1860 0,1655 0,0951 0,0001-0,1415-0,3219 Tabelle 8 Optimierte Gewinnerwartung bei Softhands 21 Bei den Bankkarten 2 bis 8 ist es besser, bis einschließlich soft siebzehn zu ziehen und sonst sollte der Spieler sogar bei einem 18er Softhand noch eine weiter Karte nehmen. Mit den Werten aus Tabelle 8 lassen sich die Gewinnerwartungen der Zwischenergebnisse bis zu elf Punkten berechnen. Dazu verwendet man den gleichen Rechenweg von oben und muss lediglich darauf achten, die richtigen Erwartungswerte aus den Tabellen 7 und 8 zu verwenden. Die Werte sind in Tabelle 9 zusammengefasst. Bank: As Sp.: 10 0,1825 0,2061 0,2305 0,2563 0,2878 0,2569 0,1980 0,1165-0,0536-0,25 9 0,0744 0,10 0,1290 0,1580 0,1960 0,1719 0,0984-0,0522-0,2181-0, ,0218 0,0080 0,0388 0,0708 0,1150 0,0822-0,0599-0,2102-0,3071-0, ,1092-0,0766-0,0430-0,0073 0,0292-0,0688-0,2106-0,2854-0,3714-0, ,1408-0,1073-0,0729-0,0349-0,00-0,1519-0,2172-0,2926-0,3887-0, ,1282-0,0953-0,0615-0,0240-0,0012-0,1194-0,1881-0,2666-0,3662-0, ,1149-0,0826-0,0494-0,0124 0,0111-0,0883-0,1593-0,2407-0,3439-0,4829 Tabelle 9 Gewinnerwartungen der niedrigen Blätter 22 Die Einträge der Tabellen 7 bis 9 bilden die Grundlage zur Berechnung der durchschnittlichen Gewinnerwartung bei optimaler Spielweise für jede erste Bankkarte. Dazu sind in einem hier nicht dargestellten Zwischenschritt die Erwartungen der aus einer Karte bestehenden Blätter zu bestimmen. 23 Da es sich 21 [1]; Seite [1]; Seite [1]; Seite 86, Zeile 14 16

18 hierbei um eine aufwändige Rechnung handelt, greift man wieder auf Computer zurück und erhält am Ende Tabelle 10. Bank: As Erw. 0,0664 0,0938 0,1221 0,1530 0,1827 0,1215 0,0440-0,0477-0,1779-0,3389 Tabelle 10 Gesamtgewinnerwartungen bedingt zur ersten Bankkarte 24 Mit obigen Werten lässt sich sogar die Gesamtgewinnerwartung für das ganze Spiel Black Jack berechnen, wenn man die Sonderregeln Doppeln und Teilen außen vor lässt. 1 E ( gesamt) =! (0, , , , , , ,044! 0,0477! 4 " 0,1779! 0,3389) =!0,0242 Den Spieler erwarten im Mittel Verluste von 2,42% seines Einsatzes, wenn er ohne Sonderregeln optimal spielt. Zwar ist dieser Wert schon niedriger als die 5,68% am Anfang der Analyse, doch verspricht eine Optimierung der Zusatzregeln eine weitere Verminderung des Verlustes Optimierung des Doppelns Die Sonderregel des Doppelns erlaubt dem Spieler seinen Einsatz und damit auch seinen möglichen Gewinn zu verdoppeln, wenn die ersten beiden Karten in der Summe neun, zehn oder elf Punkte ergeben. Dieses Angebot sollte ebenso wie eine weitere Karte bei den Softhands nicht unüberlegt genutzt werden. Ist die Gewinnerwartung der Ausgangssituation negativ, kann es nicht im Interesse des Spielers sein diesen Verlust noch zu verdoppeln. Bei der Entscheidung ist wiederum ein Vergleich der Erwartungswerte hilfreich. Dabei ist darauf zu achten, dass man bei der Berechnung von E D (X ) die Werte aus Tabelle 5 verwendet, da der Spieler seinen Zug nach der nächsten Karte beenden muss. Unter dieser Voraussetzung gilt dann die Formel E D + ( X ) = 2! E ( X ). 24 verändert nach [1]; Seite vgl. [1]; Seite 86 17

19 Der neue Erwartungswert E D (X ) wird zunächst mit den entsprechenden Werten aus Tabelle 7 beziehungsweise 9 verglichen. In den Fällen X = 9 und X = 10 muss außerdem noch ausgeschlossen werden, dass es sich dabei um soft 19 oder 20 handelt. Softhands in der Höhe beinhalten schon ohne Sonderregeln große Gewinnchancen, deshalb werden sie nicht gedoppelt und die Gewinnchance damit verringert. Durch den Vergleich aller möglichen Kombinationen ergibt sich Tabelle 11. Bank: As Sp.: 11 0,4706 0,5178 0,5660 0,6147 0,6674 0,4629 0,3507 0,2278 0,0120-0, ,3589 0,4093 0,4609 0,5125 0,5725 0,3924 0,2866 0,1443-0,1618-0, ,0611 0,1208 0,1819 0,2431 0,2431 0,1043-0,0264-0,3010-0,5847-0,9151 Tabelle 11 Gewinnerwartung beim Doppeln 26 Die gewellte Linie kennzeichnet die Grenze bei welchen Blättern der Spieler doppeln sollte. Im oberen Bereich lohnt sich ein weiterer Einsatz, aber nur wenn es sich nicht um Softhands handelt. Die fraglichen Felder sind grau unterlegt. Gegen eine 10-Punkte-Karte oder ein Ass der Bank wird nie gedoppelt Optimierung des Teilens Ein Blatt darf geteilt werden, wenn die ersten beiden Karten dieselbe Wertigkeit haben. Der Spieler entrichtet einen zweiten Einsatz in gleicher Höhe und spielt anschließend mit zwei Blättern, aber in gewohnter Weise weiter. Nach dem ersten Teilen gibt es drei Regelvarianten, die getrennt betrachtet werden müssen. Einige Spielkasinos erlauben nur einmaliges Teilen, andere gestatten zwar mehrmaliges Teilen, aber nicht das Doppeln danach. Die dritte Kategorie der Kasinos macht keine Beschränkungen. Die ersten beiden Spielmöglichkeiten unterscheiden sich nicht in der Strategie, da es immer vorteilhaft ist ein zweites Mal zu teilen, wenn es zuvor schon gewinnbringend war. Um die beste Entscheidung für das Teilen treffen zu können, muss der Erwartungswert E ( 2! X ), wobei X der einzelne Kartenwert ist, 26 verändert nach [1]; Seite vgl. [1]; Seite 87 18

20 aus den Tabellen 7 bis 9 ermittelt und dann mit dem Wert 2! E( X ) verglichen werden. Gilt 2! E ( X ) > E(2! X ), dann ist es empfehlenswert das Blatt zu teilen. Bei der Ermittlung der Teilungsstrategie für Asse muss E(X ) noch neu ermittelt werden, denn es darf nur eine weitere Karte gezogen werden. Für die Paare 2 bis 7 sollte außerdem ein dritter Wert, der die Eventualität des Doppelns berücksichtigt, berechnet werden. Dies beschränkt sich auf die niedrigen Paare, da man mit den Karten 8 bis Ass nicht in eine vorteilhafte Doppelsituation gelangen kann. Jenen dritten Erwartungswert bestimmt man nicht anders als sonst, man setzt nur für den Fall, dass X zusammen mit einer zweiten Karte neun, zehn oder elf Punkte ergibt, den optimierten Wert des Doppelns aus Tabelle 11 ein. Insgesamt ergibt sich die in Tabelle 12 dargestellte Strategie fürs Teilen. Bank: As As-As T T T T T T T T T T T T T T T T 8-8 T T T T T T T T 7-7 T T T T T T 6-6 (T) T T T T (T) (T) 3-3 (T) (T) T T T T 2-2 (T) (T) T T T T Tabelle 12 Optimierte Spielstrategie fürs Teilen 28 Das Teilen ist in den mit T gekennzeichneten Situationen immer empfehlenswert. Die Felder mit einem (T) besagen, dass sich das Teilen nur lohnt, wenn später noch gedoppelt werden darf. 29 Mit den optimalen Strategien für die Sonderregeln kann erneut eine Aussage über die Gewinnerwartung, die sich auf das gesamte Spiel bezieht, getroffen werden. Unter zu Hilfenahme von Computern ist Tabelle ermittelbar. 28 [1]; Seite vgl. [1]; Seite 87f 19

21 Bank: As gesamt nur 1x 0,0891 0,1201 0,1529 0,1884 0,2232 0,1419 0,0574-0,0409-0,1770-0,3389-0,00883 öfter 0,0903 0,1214 0,1543 0,1900 0,2252 0,1438 0,0588-0,0399-0,1763-0,3389-0, Doppeln 0,0918 0,1240 0,1576 0,1938 0,2295 0,1451 0,0592-0,0397-0,1763-0,3389-0,00639 Tabelle Gesamtgewinnerwartung mit Sonderregeln 30 Im Mittel verliert ein Spieler, der sich an die optimale Spielstrategie hält, etwa 0,64% bis 0,88% seines Einsatzes, je nach gültiger Variante des Teilens. 31 Zum Schluss bleibt noch die Möglichkeit des Versicherns zu diskutieren. 4.4 Optimierung des Versicherns Beim Versichern gibt das Kasino dem Spieler die Chance seinen Einsatz gegen einen drohenden Black Jack der Bank durch eine Nebenwette zu retten. Ist die erste Karte der Bank ein Ass, kann der Spieler auf einen Black Jack der Bank setzen. Der Einsatz beträgt hier die Hälfte seines ursprünglichen Einsatzes. Wenn die Bank tatsächlich einen Black Jack hat, bekommt der Spieler den Einsatz der Nebenwette wieder und rettet außerdem seinen Einsatz des Hauptspiels. Für die Versicherung muss der Spieler sich entscheiden, wenn er seine ersten beiden Karten hat und das offene Ass der Bank sieht. Ein Spieler, der selbst schon einen Black Jack hat, wird seinen Einsatz nie versichern, da er ihn gar nicht verlieren kann. Hat der Spieler keinen Black Jack und versichert sich trotzdem nicht, hat er keinen zusätzlichen Gewinn oder Verlust zu erwarten, sodass das Spiel normal abgerechnet wird. Bleibt also nur zu betrachten, was passiert, wenn der Spieler die Nebenwette eingeht. Die 4 Bank erhält mit der Wahrscheinlichkeit p BJ = einen Black Jack und mit der 9 Wahrscheinlichkeit von p = keinen. Daraus ergibt sich der Erwartungswert fürs Versichern von E( Versichern) = 1" pbj + (! ) " p =! =! Der Spieler macht also im Mittel durch die Nebenwette einen Verlust, da die Bank viel zu selten einen Black Jack erreicht, um die Versicherung gewinnbringend 30 [1]; Seite vgl. [1]; Seite 88 20

22 nutzen zu können. Nicht zu vergessen ist außerdem, dass der Spieler seinen ursprünglichen Einsatz der Hauptwette auch verlieren kann, wenn die Bank keinen Black Jack hat, da das Spiel in diesem Fall wie gewöhnlich abgerechnet wird. Das Versichern ist für den Spieler selten von Vorteil, sodass er davon keinen Gebrauch machen sollte, da es nur dem Spielkasino mehr Gewinn einbringt. Bleibt die Sonderregel des Versicherns ungenutzt, ergibt sich für die Gesamtgewinnerwartung des Spielers nichts Neues. Ein geübter Spieler kann seinen Verlust also im Durchschnitt auf fast 0,64% minimieren. Phasenweise kann das Glück auf seiner Seite sein, aber langfristig gesehen hat er keine Chance gegen die Bank zu gewinnen. Es sei an diesem Punkt daran erinnert, dass diese Analyse von konstanten Wahrscheinlichkeiten ausgegangen ist. Die ermittelte Strategie ist also nur die im Durchschnitt beste Strategie und liefert gute Näherungswerte für die Gewinnerwartungen. Da es sich beim Black Jack nicht um unabhängige Prozesse handelt, ist es durchaus denkbar, dass es Situationen gibt, die eine andere Handlungsweise erfordern. Diese Situationen sollen im folgenden Abschnitt genauer untersucht werden. 5 Gewinnversprechende Spielsysteme Die Abhängigkeit der Spielprozesse beim Black Jack besagt, dass jede ausgespielte Karte den weiteren Spielverlauf beeinflusst, da eine gefallene Karte die Wahrscheinlichkeit einer anderen Karte erhöht. Es stellt sich folglich die Frage, ob eine Berücksichtigung der gesehenen Karte zu noch besseren Spielergebnissen führen kann, als zu den schon ermittelten. Genau diese Frage beschäftigte auch Edward Thorp Anfang der 60er Jahre. Ausgehend von den Ergebnissen der ersten mathematischen Analyse des Spiels Black Jack von den vier Amerikanern Baldwin, Cantey, Maisel und Mc Dermott gelang es ihm tatsächlich vorteilhafte Spielstrategien zu finden. Die Ergebnisse von Baldwin und seinen Kollegen entsprechen in weiten Teilen den hier dargestellten. 32 Doch Thorp legt seinen Gewinnstrategien eine so genannte Basisstrategie zu Grunde, die eine positive 32 vgl. [1]; Seite 88 21

23 Gewinnerwartung hat. Zwei wichtige Unterschiede sind für den durchschnittlichen Gewinn von 0,% 33 des Einsatzes bei Thorp verantwortlich. Zur Zeit seiner Analyse wurde Black Jack mit nur einem einzigen Kartenspiel gespielt und nicht mit sechs. Der zweite Vorteil ist die Möglichkeit jedes Blatt zu doppeln und nicht nur solche, die in der Summe neun, zehn oder elf Punkte ergeben. 34 Da diese Basisstrategie aber nur in kleinen Einzelheiten und in der Gewinnerwartung von der hier dargestellten Spielstrategie abweicht, werden im Folgenden die Gewinnsysteme von Thorp auf diese Analyse übertragen. 5.1 Herleitung Die erste Frage, die sich bei der Entwicklung von Spielsystemen stellt, ist, wie sich eine ausgespielte Karte auf das verbleibende Deck auswirkt. Des Weiteren muss geklärt werden, ob man sich jede gesehene Karte merken muss oder ob ein grober Überblick über den Reststapel ausreicht. Betrachtet man zum Beispiel die Asse in dem Spiel, vermutet man rein intuitiv, dass wenige Asse im Stapel für den Spieler nachteilig sind. Das liegt daran, dass sie beim Black Jack eine besondere Rolle spielen. Asse sind für Softhands verantwortlich und nur mit ihnen ist ein Black Jack erreichbar. 35 Um diese Annahme zu bestätigen, lässt man Computer eine neue Gesamtgewinnerwartung berechnen unter der Voraussetzung, dass man nur mit nur einem 52er Blatt spielt und außerdem die Änderung der Wahrscheinlichkeit nach 3 15 der ersten Karte auf p = beziehungsweise auf p = berücksichtigt. 36 Die Ergebnisse dieser Berechnung sind in Tabelle 14 zusammengefasst. 1. Karte As +/- Erw. 0,0036 0,0044 0,0057 0,0073 0,0043 0,0027-0,0002-0,0018-0,0044-0,0057 Tabelle 14 Änderung der Gewinnerwartung 37 Dass sich die Wahrscheinlichkeiten während des gesamten Spiels ändern, bleibt in der Tabelle unberücksichtigt und kann vernachlässigt werden, da die Aussage 33 [5]; Seite [5]; Seite 35 vgl. [5]; Seite 45f 36 vgl. [1]; Seite verändert nach [1]; Seite 90 22

24 deutlich genug ist. Werden die kleinen Kartenwerte zwei bis sieben ausgespielt, wirken sie sich positiv auf die Erwartung des Spielers aus. Alle anderen haben eine mehr oder weniger negative Wirkung. Auffallend ist jedoch der große Vorteil, wenn wenig Fünfer im Spiel sind. Für den Fall dass alle Fünfen aus dem Deck entfernt worden sind, ergibt sich nach Thorp ein Vorteil von 3,6% für den Spieler. 38 Diese Auswirkung ist sogar schwerwiegender, als wenn die vier Asse fehlen. Als erste Gewinnstrategie ergibt sich also die Möglichkeit, die ausgespielten Fünfen zu zählen. Wenn diese alle aus dem Deck sind und trotzdem noch genug Karten für die nächste Runde vorhanden sind, ist es empfehlenswert mit erhöhtem Grundeinsatz zu spielen. Durch kleine Änderungen in der Basisstrategie sichert sich der Spieler den Vorteil. Da sich dieser Vorteil nur auf 3,4% reduziert, wenn man auf die Basisstrategie ohne Korrekturen zurückgreift 39, wird die neue Strategie hier nicht explizit erörtert. Es sei aber bemerkt, dass diese verbesserte Ausgangssituation gar nicht so selten auftritt. Spielt man alleine gegen die Bank, kann es bei jedem zehnten Spiel dazu kommen, aber mit wachsender Anzahl an Mitspielern sinkt die Rate. 40 Neben den Assen haben auch die 10-Punkte-Karten 41 eine wichtige Rolle beim Black Jack. Allerdings kann man bei ihnen nicht einheitlich sagen, dass sich viele dieser Karten im Reststapel positiv und wenige negativ auswirken. Die Zehner müssen immer in Relation zum gesamten Deck betrachtet werden, da gar keine von ihnen im Stapel fast genauso viel Erfolg versprechen, wie das Verhältnis von zwanzig Zehnern in 56 Karten. Ist ein 52er Blatt vollständig oder fehlen nur einige Karten der Wertigkeit zehn, verringert sich die Gewinnerwartung des Spielers. 42 Trotzdem ist es Thorp gelungen ein System zu entwickeln, dass auf dem Zählen der Zehner beruht. Dazu teilt er das komplette Deck in zwei Kartengruppen auf. Es gibt sechzehn Zehner und 36 andere. 43 Das Verhältnis andere 10er 36 oder genauer wird 16 mit jeder gesehenen Karte revidiert und bildet die Grundlage einer zweiten 38 vgl. [5]; Seite vgl. [5]; Seite vgl. [5]; Seite Im Folgenden fasse ich die 10 und die Bilder unter Zehner zusammen. 42 vgl. [5]; Seite vgl. [5]; Seite

25 Gewinnstrategie. Bei diesem System ist es sogar möglich die Sonderregel des Versicherns sinnvoll zu nutzen. Ist der Quotient andere 10er kleiner als zwei, lohnt sich das Versichern, aber wenn er gleich oder größer als zwei ist, wird auch bei diesem System davon abgeraten. 44 Das Spielsystem des Zehner-Zählens ist Erfolg versprechender als die Basisstrategie bei fehlenden Fünfern, auch wenn sich vier fehlende Fünfer stärker als vier fehlende Zehner auswirken. Dies liegt einfach daran, dass es viermal mehr Zehner als Fünfer im Deck gibt. 45 Ein weiteres Gewinnsystem nach Thorp berücksichtigt fast alle ausgespielten Karten und verspricht deshalb die höchsten Gewinnchancen. Dieses System wird in Abschnitt 5.2 detaillierter dargestellt. 5.2 High-Low-Count Das Spielsystem des High-Low-Counts ordnet jedem Kartenwert ein Gewicht zu. Die Karten 2 bis 6 werden mit 1 bewertet und die Zehner, sowie das Ass werden mit -1 gewichtet, da ihr Verbrauch für den Spieler nachteilig ist. Die Karten 7, 8 und 9 bleiben wertlos. Ein vollständiges, gut gemischtes Deck bei Spielbeginn hat ein Gesamtgewicht, welches als Count bezeichnet wird, von null. Jede oben bewertete Karte verändert den Count ihrem Gewicht entsprechend, sobald sie vom Spieler gesehen wird. Die einfachste Spielversion des High-Low-Counts ist die Veränderung des Spieleinsatzes in Abhängigkeit des Counts C. Hierbei setzt man nur den Minimaleinsatz e, wenn C! 1 ist. Der Einsatz wird erhöht, wenn C > 1 und beträgt dann den Wert C! e. Dies gilt nur bei einem einzigen 52er Blatt. Bilden X Kartenspiele das Deck, wird der Count C noch durch deren Anzahl geteilt. Für den Spieleinsatz E gilt dann C E =! e. X Ausschlaggebend ist der Count zu dem Zeitpunkt, zu dem der Einsatz entrichtet werden muss vgl. [5]; Seite vgl. [5]; Seite vgl. [5]; Seite 76ff 24

26 Das komplette High-Low-Count-System beruht nicht nur auf der Variation des Einsatzes, sondern bietet auch eine Ziehstrategie, die auf den Count abgestimmt ist. Ein geübter Spieler verfolgt nicht nur den aktuellen Count C zur Ermittlung seines Einsatzes, er weiß auch, wie viele ungesehene Karten n noch im Reststapel sind. Mit diesen Angaben bestimmt der Spieler zunächst seinen Einsatz. Dabei gilt, dass C C C er bei! 2 eine Einheit setzt, bei = 4 zwei Einheiten, bei = 6 drei Einheiten n n n und so weiter. Der Einsatz sollte jedoch nie das Fünffache der Grundeinheit betragen, sonst wird das Kasino bei großen Gewinnen zu schnell aufmerksam. 47 Liegt der Quotient zwischen zwei Werten, bleibt es dem Spieler überlassen, den tieferen beziehungsweise höheren Einsatz zu wählen. Des Weiteren kann der C Spieler zu jedem Zeitpunkt den Index I =! 100 berechnen. Dieser Index I gibt n dem Spieler zusammen mit den Tabellen 15 und 16 Auskunft über sein optimales Ziehverhalten. Bank: As Sp.: ,2-40,2-43, ,3 20,4-22,5-24,9-27,3 14,7 12 8,6 0,1 16, , ,1-18,3-19,8 18,3 17,9 15,3 8,2 18,8 14-7,9-10,3-12,6-15,1-16, ,8 Z Z 16,9-2 -4,8-7,4-10,1-10,5 Z Z Z Z 38,7 12 5,8 2,5-0,4-3,3-2,5 Z Z Z Z Z 11 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Tabelle 15 Ziehstrategie beim High-Low-Count 48 Bank: As Sp.: 19s 18s -29,4-29,5-30,1-30,5-35,9-29,7 Z Z 2,7 17s Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Tabelle 16 Ziehstrategie für Softhands 49 Ist I kleiner oder gleich dem angegebenen Wert in den Tabellen sollte der Spieler eine weitere Karte ziehen, ebenfalls bei Z. 47 vgl. [5]; Seite 95f 48 [1]; Seite [1]; Seite 92 25

27 Auch für das Doppeln und Teilen gibt es Tabellen, welche die optimale Spielstrategie vorgeben. Hier sollte aber gedoppelt beziehungsweise geteilt werden, wenn I größer oder gleich dem gegebenen Wert ist. Bank: As Sp.: 11-23,3-25,1-26,7-28,2-31,5-19,1-14,8-9,9 5, ,5-19,5-21,3-22,8-26,1-12,6-9 -3,4 9 1,8-2,2-5,6-8,5-12,5 6,6 14,5 Tabelle 17 Optimiertes Doppeln 50 Bank: As As-As -22,2-23,4-24,5-25,6-27,7-18, ,6-11, ,9 12,4 9,4 8, , ,9-5,6-7,8-10,1-10,7 12,1-15,6-18,7 8-8 T T T T T T T T ,8-20,2-23,3-24,9-35,5 T 6-6 3,6-2 -6,4-10,3-14, ,6 24,6 15,7 34, ,8 6,3 0-5,3-18,9 T ,6 5-1,9-8,7-20,4 T 38,9 Tabelle 18 Optimiertes Teilen 51 Die Tabellen 15 bis 18 werden von Computern berechnet, indem man für die Karten 7, 8 und 9 wieder konstante Wahrscheinlichkeiten von 1 p = während des gesamten Spiels voraussetzt. Nur die Wahrscheinlichkeiten der fünf niedrigen Karten 2 bis 6 und die der vier Zehner und des Asses werden in Abhängigkeit des Counts bestimmt. Der Count eines vollständigen Blattes ist, wie oben schon erwähnt, immer gleich null, sodass für die Wahrscheinlichkeit Karte und für die Wahrscheinlichkeit (I) p C! ph =. n L! Da außerdem für die Karten 7 bis 9 P ( 7) = P(8) = P(9) = 1 gilt, ergibt sich die Gleichung p H einer hohen Karte gilt p L einer niedrigen 50 [1]; Seite [1]; Seite 92 26

28 (II) 10 p L + p H =. Durch Auflösen von (I) nach man und p L = "! C 10 n 1 p H = +! C 10 n. p L beziehungsweise p H und Einsetzen in (II) erhält Als Wahrscheinlichkeit einer kleinen Karte gilt bei gegebenem C also Analog folgt 1 C P( 2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =!. 10n 1 C P( 10) = P( B) = P( D) = P( K) = P( As) = +. 10n Diese Wahrscheinlichkeiten werden ebenfalls als konstant angesehen und die Spielstrategie in Abhängigkeit vom Quotienten n C optimiert. 52 Die Regelvariante, dass geteilte Blätter noch gedoppelt werden dürfen, wurde bei der Berechnung nicht berücksichtigt. Für das Versichern gilt, ab einem Index I = 8 ist eine Versicherung sinnvoll, sonst nicht. 5.3 Erfolgsaussichten Mit dem Spielsystem des High-Low-Counts erreicht ein Spieler die besten Gewinnchancen, die bisher ermittelt werden konnten. Der durchschnittliche Gewinn ist zwar positiv, aber ein genauer Gesamterwartungswert für den High-Low-Count kann nicht gegeben werden, da er von zu vielen Faktoren abhängt. Doch Thorp gibt einen Rahmen an, in dem sich der Vor- beziehungsweise Nachteil des Spielers befinden kann. Bei 25 gesehenen Karten befindet sich die Untergrenze des Rahmens bei -5,9% und die Obergrenze bei einem Vorteil von 7,2%. 53 Da sich diese Werte nur auf ein einziges Spiel mit 52 Karten beziehen, relativieren sie sich je mehr Kartenspiele genutzt werden. Der Erfolg des Systems hängt auch von der 52 vgl. [1]; Seite vgl. [5]; Seite

29 Anzahl der Spieler ab. Ist die Anzahl der Mitspieler hoch, ist der Index meist aussagekräftiger, vorausgesetzt das Kasino spielt Black Jack mit offenen Karten. Viele Kasinos spielen zwar mit offenen Karten, nutzen dabei aber Mischmaschinen, welche die Karten nach jeder Runde neu mischen. Dies vereitelt fast jeden Versuch des Kartenzählens, da selten genug Karten fallen, um in eine stark vorteilhafte Situation zu gelangen. Des Weiteren bestimmen Mindest- und Höchsteinsatz die Gewinnquote. Die Spiele mit schlechter Ausgangsposition verliert man häufiger mit einem kleinen Einsatz und bei vorteilhaften Situationen erzielt man meistens mit hohen Grundeinsätzen viel Gewinn. Doch auch bei einem hohen Limit des Kasinos muss der Spieler selbst über genügend Geld verfügen. Da es sich bei allen Angaben um den Durchschnitt handelt, kann es zu längeren Verlustserien kommen, die den Spieler nicht zum Aufhören zwingen dürfen. Nur durch viel Durchhaltevermögen kann ein Verlust langfristig zurückgewonnen werden. Es darf nicht vergessen werden, dass Black Jack zu den Glücksspielen gehört und zum großen Teil vom Zufall bestimmt wird. Der beste und sicherste Spieler kann mit Pech phasenweise mehr Verlust machen als ein Anfänger. Folglich kann dieses Spielsystem einem geübten Spieler unter guten Grundvoraussetzungen zu großen Gewinnen im Spielkasino verhelfen. Jedem anderen Spieler ist davon abzuraten, da jede Fehlentscheidung beim High-Low-Count im Mittel dem Spieler zu Lasten fällt. 28

30 Literaturverzeichnis [1] Bewersdorff, Jörg Glück, Logik und Bluff Vieweg, 2001 [2] Zugriff: 20. März 2008 [3] Zugriff: 20. März 2008 [4] Epstein, Richard A. The theory of gambling and statistical logic Academic Press, 1977 [5] Thorp, Edward O. Beat the dealer Vintage Books Edition,

31 Erklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die Bachelorarbeit selbständig geschrieben habe und, dass ich keine anderen Bücher oder Hilfsmittel, als die im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen, verwendet habe. Ort, Datum Unterschrift 30