Gravitationswellen: Modelle und Experimente zu Signalformen, Wirkungen und Detektion

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1 zu Signalformen, Wirkungen und Detektion Ute Kraus und Corvin Zahn, Universität Hildesheim Wir stellen in diesem Beitrag Modelle und Experimente vor, mit denen Schülerinnen und Schüler eine Vorstellung vom Wesen der Gravitationswellen entwickeln sowie einige wichtige Größenordnungen kennenlernen können. Die Materialien wurden für das Schülerlabor Raumzeitwerkstatt der Universität Hildesheim entwickelt und werden dort mit Schulklassen der Stufen 9 bis 3 eingesetzt. Einleitung Nachdem Albert Einstein im Jahr 95 die vollständige Allgemeine Relativitätstheorie vorgestellt hatte, beschrieb er bereits 96 eine Wellenlösung. Nach ersten Nachweisversuchen mit Resonanzdetektoren ab 958 wird seit 2002 mit Laserinterferometern nach Gravitationswellen gesucht. Ein indirekter Nachweis gelang durch die Beobachtung des 974 entdeckten Hulse-Taylor Pulsars. Der Pulsar bildet mit einem weiteren Neutronenstern ein Binärsystem, das im Lauf der Zeit enger wird. Aus den enger werdenden Umlaufbahnen lässt sich auf den Energieverlust des Systems schließen; dieser entspricht genau dem von der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Energieverlust durch die Abstrahlung von Gravitationswellen. Der erste direkte Nachweis gelang im September 205, als die beiden LIGO-Detektoren (USA) ein Signal vom Verschmelzen zweier Schwarzer Löcher detektierten (Abbott et al. 206). Gravitationswellen breiten sich wie elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aus. Ihre Quellen sind beschleunigt bewegte Massen, wobei die beschleunigte Bewegung eine gewisse Asymmetrie aufweisen muss, damit Gravitationswellen entstehen. Ein typisches Beispiel sind kreisende Sternbewegungen in Doppelsternsystemen, dagegen würde weder eine hin und her oszillierende Masse noch eine kugelsymmetrisch kollabierende Masse Gravitationswellen erzeugen. Die Wechselwirkung von Gravitationswellen mit Materie ist sehr schwach und sie sind deshalb außerordentlich schwierig nachzuweisen. In diesem Beitrag stellen wir Modelle und Experimente vor, die für das Schülerlabor Raumzeitwerkstatt der Universität Hildesheim entwickelt wurden. Das Schülerlabor bietet Schulklassen der Stufen 9 bis 3 einen Einblick in verschiedene Aspekte der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie; Gravitationswellen sind eines der dort behandelten Themen. Wie bei allen Themen aus dem Bereich der Allgemeinen Relativitätstheorie besteht die Herausforderung eine fachlich befriedigende Beschreibung zu geben ohne den mathematischen Apparat der Relativitätstheorie zu verwenden. Beim Thema Gravitationswellen erweist sich das als vergleichsweise schwierig. Einfache Zugänge, die sich in anderen Fällen bewährt haben, sind hier nicht anwendbar: Möglich ist weder eine Folgerung aus dem Äquivalenzprinzip anhand von Gedankenexperimenten wie sie für Lichtablenkung

2 Signal 0 Signal Zeit [s] (a) Zeit [s] (b) Signal 0 Signal Zeit [s] (c) Zeit [s] (d) Abbildung : Typische erwartete Signalformen von verschmelzenden Neutronensternen (a, Detailausschnitt: b), Supernovae (c) und Pulsaren (d). Die Daten in Teilbild (c) sind aus Dimmelmeier et al entnommen. und Gravitationsrotverschiebung eingesetzt wird noch eine Beschreibung mit klassischen Begriffen wie verschiedentlich bei Schwarzen Löchern verwendet. Dass Gravitationswellen kein klassisches Gegenstück haben können, wird klar, wenn man bedenkt, dass die Newtonsche Beschreibung der Gravitation statisch ist: Die Kraft zwischen zwei Massen hängt von ihrem Abstand ab; ändert sich der Abstand, so ändert sich im selben Augenblick die Kraft. Mit den im Folgenden vorgestellten Modellen und Experimenten sollen Schülerinnen und Schüler eine Vorstellung von Wesen der Gravitationswellen entwickeln sowie einige wichtige Größenordnungen kennenlernen. Das Phänomen wird dazu von drei Seiten beleuchtet: Was für Signale erwartet man und von welchen Quellen? Wie wirkt sich eine Gravitationswelle aus? Mit welcher Methode werden Gravitationswellen gemessen? 2

3 Signalformen und Quellen Drei Typen von Quellen sollen hier mit den von ihnen erwarteten Signalformen vorgestellt werden: Verschmelzende Neutronensterne, Supernovae und Pulsare. Ein Doppelsternsystem aus zwei Neutronensternen ist aufgrund der Bewegung der Neutronensterne umeinander eine Quelle von Gravitationswellen. Als Folge der Energieabstrahlung nähern sich die Sterne einander an und die Umlauffrequenz steigt. Um die Umlauffrequenz kurz vor dem Verschmelzen abzuschätzen, kann man die mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnete Umlauffrequenz zweier gleicher Punktmassen M mit Abstand D heranziehen: f = 2GM 2π D. 3 Für den Fall, dass D zwei Neutronensternradien beträgt, erhält man mit M =,4 Sonnenmassen und D = 20 km eine Umlauffrequenz von f = 00 Hz. Die abgestrahlten Gravitationswellen haben die doppelte Frequenz, wie das folgende Argument zeigt: Nach einem halben Umlauf haben die beiden Neutronensterne ihre Positionen gerade getauscht. Die zweite Hälfte des Umlaufs wiederholt also das Bewegungsmuster der ersten Hälfte, entsprechend wiederholt sich das Gravitationswellensignal der ersten Hälfte. Zu einer Umlaufperiode gehören deshalb zwei Perioden des Gravitationswellensignals. Kurz vor der Verschmelzung sind damit Wellenfrequenzen bis ca Hz zu erwarten. Die Amplitude der abgestrahlten Gravitationswelle steigt während der Annäherung der Sterne allmählich an und hat bei der Verschmelzung ein scharfes Maximum. Nach der Verschmelzung zu einem Schwarzen Loch folgen einige wenige Schwingungen geringerer Amplitude, der sogenannte ringdown (Abb. a, b). Die in Abb. a, b gezeigte Wellenform ist zusammengesetzt aus zwei Näherungslösungen für Zeiten vor und nach der Verschmelzung der Neutronensterne zu einem Schwarzen Loch. Das Signal in der Verschmelzungsphase kann nur durch numerische Simulationen erhalten werden. Dieser vergleichsweise kurze Abschnitt des Signals ist in Abb. nicht realistisch wiedergegeben. In einer Supernova entstehen Gravitationswellen beim Kollaps des Kerns zu einem Neutronenstern oder einem Schwarzen Loch. Voraussetzung ist, dass der Kollaps nicht kugelsymmetrisch verläuft. Es entsteht ein Signal mit einem abrupten Beginn und einem kurzen, hohen Maximum. Das in Abb. c dargestellte Signal ist das Resultat numerischer Simulationen (Dimmelmeier et al. 2002). Pulsare sind rotierende Neutronensterne und haben beobachtete Frequenzen im Bereich Hertz bis Kilohertz. Damit ein rotierender Neutronenstern Gravitationswellen erzeugt, muss bezüglich der Rotationsachse eine Asymmetrie vorhanden sein. Ein möglicher Grund ist eine Deformation der Kruste. Durch die Gravitationswellenabstrahlung wird der rotierende Neutronenstern ganz allmählich gebremst. Es entsteht ein Gravitationswellensignal, das über lange Zeiten stabil ist (Abb. d, dargestellt ist ein Signal mit einer Frequenz von 200 Hz). Die Frequenz einer Gravitationswelle ist generell von der Größenordnung der Frequenz der periodischen Bewegungen in der Quelle. Für die Bewegung astronomischer Objekte kann diese nicht beliebig hoch werden; erwartet werden Frequenzen bis etwa 0 khz. Damit liegen die Frequenzen der erwarteten Gravitationswellen in vielen Fällen in dem 3

4 Abbildung 2: Schüler ordnen Informationen zu den Quellen und ihren Signalen einander zu. Bereich zwischen 20 Hz und Hz, in dem das menschliche Ohr Schallwellen wahrnehmen kann. Indem man eine Schallwelle mit der gegebenen Signalform generiert, kann man sich das Gravitationswellensignal anhören. Die Audiodateien zu den Signalformen in Abb. stehen als Begleitmaterial zu diesem Beitrag auf zur Verfügung. Zur Erstellung der Audiodateien wurde das frei verfügbare Programm scilab eingesetzt. Im Schülerlabor Raumzeitwerkstatt setzen sich Schülerinnen und Schüler mit Quellen und Signalformen auseinander, indem sie verschiedenartige Informationen zu den Quellen und ihren Signalen jeweils einzeln erhalten mit der Aufgabe diese einander zuzuordnen. Vorgestellt wird jede Quelle durch eine Kurzbeschreibung, eine Abbildung aus einer Beobachtung oder einer Simulation, ein Diagramm einer typischen Signalform sowie eine Audiodatei, welche das Signal als Ton wiedergibt (Abb. 2). Auswirkung einer Gravitationswelle Gravitationswellen werden von beschleunigt bewegten Massen erzeugt, breiten sich aus und wirken sich weit entfernt von ihrer Quelle gravitativ aus. Es stellt sich die Frage, welche Auswirkung eine Gravitationswelle hat, woran also ihre Anwesenheit erkannt werden kann. Eine elektromagnetische Welle macht sich dadurch bemerkbar, dass ein geladenes Teilchen eine Beschleunigung erfährt. Die Beschleunigung hängt vom Verhältnis von Ladung und Masse ab, ist also für unterschiedliche Teilchen verschieden. Kann analog eine Gravitationswelle daran erkannt werden, dass ein massebehaftetes Teilchen eine Beschleunigung erfährt? Dies ist nicht der Fall und an dieser Stelle versagt die 4

5 Analogie zu elektromagnetischen Wellen. Die gravitative Kraft F auf ein Teilchen mit Masse m bewirkt eine Beschleunigung a = F/m. Da die gravitative Kraft F proportional zu m ist, ist die Beschleunigung unabhängig von der Masse des Teilchens. Anders als im elektromagnetischen Fall erfahren in einem Gravitationsfeld alle am selben Ort befindlichen Teilchen dieselbe Beschleunigung. Unterschiede in der Gravitationsbeschleunigung treten erst auf, wenn Teilchen an verschiedenen Orten mit unterschiedlichem Gravitationsfeld verglichen werden. Diese Teilchen sind relativ zueinander beschleunigt. Man spricht auch von Gezeitenkräften, da die Gezeiten auf der Erde auf diese Weise durch das inhomogene Gravitationsfeld des Mondes zustandekommen. Eine sich zeitlich verändernde Gezeitenkraft ist das Merkmal einer Gravitationswelle. Eine Gravitationswelle nachzuweisen heißt also Gezeitenkräfte nachzuweisen. Die obige Überlegung zu Beschleunigungen im Gravitationsfeld bewegt sich im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie. Die Aussage, dass die Beschleunigung im Schwerefeld unabhängig von der Masse eines Teilchens ist sowie die Folgerung, dass Relativbeschleunigungen erst durch Gezeitenkräfte zustandekommen, gelten ebenso in der Allgemeinen Relativitätstheorie, so dass die Überlegung auch in diesem Rahmen gültig ist. Im Folgenden stellen wir zwei Modelle vor, welche die mit einer Gravitationswelle verbundene Gezeitenwirkung illustrieren. Wir stellen uns ein System aus 6 Teilchen vor, die sich im freien Fall befinden (d. h. keine nichtgravitativen Kräfte erfahren), etwa frei schwebend im All. Die Teilchen sind in einem quadratischen Gitter angeordnet (Abb. 3a). Nun soll sich eine Gravitationswelle über die Teilchen hinweg ausbreiten. Die Ausbreitungsrichtung steht in diesem Beispiel senkrecht auf der Ebene des Teilchengitters. Weit entfernt von der Quelle ist ein Ausschnitt einer Wellenfront praktisch eben, wir betrachten deshalb eine ebene Welle. Die Welle soll außerdem monochromatisch sein. Wenn sich die Gravitationswelle über das Gitter aus Teilchen hinweg ausbreitet, ändern sich die Abstände der Teilchen relativ zueinander (Abb. 3b-d). Dabei verbleiben die Teilchen aber stets in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Gravitationswellen sind Transversalwellen. Das Acrylmodell (Abb. 3e) illustriert die Wirkung der Gravitationswelle. Es besteht aus 3 transparenten Acrylglasplatten, die in einem Holzständer aufgereiht sind. Auf jeder Acrylglasplatte ist die Anordnung der Teilchen zu einem Zeitpunkt markiert, Mit einem Abstand von /2 Periode von Platte zu Platte überdeckt das Modell eine komplette Periode der Gravitationswelle. Man erkennt, wie sich in der Gravitationswelle die Abstände der Teilchen relativ zueinander periodisch ändern: Die Änderungen sind in horizontaler und vertikaler Richtung gegenläufig. Wenn die Abstände zwischen den Teilchen in einer Raumrichtung größer werden, dann nehmen sie in der dazu senkrechten Raumrichtung ab. Im Modell haben die Punkte in der symmetrischen Anordnung vertikal und horizontal jeweils d 0 = 2 cm Abstand. Im Laufe einer Periode variiert der Abstand zwischen,6 cm und 2,4 cm gemäß d x = d 0 ( + a sin(2πft)), d y = d 0 ( a sin(2πft)) mit a = 0,2. Das resultierende Muster ist beim Blick durch die aufgereihten Platten gut zu erkennen. Farbliche Markierungen verdeutlichen es zusätzlich. Dazu sind zwei nebeneinander liegende Punkte auf allen Platten grün markiert, zwei übereinander liegende 5

6 (a) (b) (c) Abbildung 3: Modelle zur Illustration der Auswirkung einer ebenen monochromatischen Gravitationswelle auf freie Teilchen. Freie Teilchen sind in einem quadratischen Gitter angeordnet (a oben links); eine Gravitationswelle breitet sich senkrecht zur Gitterebene über die Teilchen hinweg aus und die Teilchenabstände ändern sich (a, von links nach rechts). Im Anschauungsmodell ist die Teilchenanordnung über eine Periode der Gravitationswelle hinweg in Abständen von /2 Periode auf transparenten Acrylglasplatten dargestellt (b). Der zeitliche Verlauf der Teilchenanordnung kann mit Hilfe eines elastischen Tuchs nachgestellt werden (c). 6

7 rot. Beim Blick durch die Platten erkennt man deutlich, dass die Abstandsänderungen dieser Paare gegenläufig sind. Die Amplitude der Gravitationswelle ist über die Abstandsänderungen definiert, welche die Welle bewirkt: Wenn ein Abstand die Länge l hat und die Welle ihn um maximal δl verändert, ist die Amplitude h = 2(δl/l) Für das Acrylmodell ist die Amplitude 2δl/l = 2d 0 a/d 0 = 0,4. Dies dient der Veranschaulichung, doch tatsächlich erwartete Amplituden sind um viele Größenordnungen kleiner. Die Maximalamplitude des im September 205 nachgewiesenen starken Signals beträgt 0 2 (Abbott et al. 206). Eine weitere Veranschaulichung nutzt ein elastisches Tuch, auf dem ebenfalls 6 Punkte in einem quadratischen Gitter markiert sind. Schülerinnen und Schüler werden nach dem Betrachten des Acrylmodells aufgefordert, den erkannten zeitlichen Ablauf mit dem Tuch nachzubilden (Abb. 3f). Um die Abstände so zu variieren, wie es im Acrylmodell gezeigt wurde, müssen vier Personen das Tuch an je einer Seite packen und es abwechselnd in die eine und die andere Richtung dehnen. Beide Modelle lassen sich auf einfache Weise nachbauen. Für das Acrylmodell wurden,5 mm starke Acrylglasplatten mit 2 cm Kantenlänge zugeschnitten. Das elastische Tuch besteht aus einem Stoff, der üblicherweise für Badebekleidung verwendet wird und im Fachhandel erhältlich ist. Nachweis von Gravitationswellen In mehreren Ländern werden Gravitationswellendetektoren betrieben oder gebaut; zusammen bilden sie ein weltweites Netzwerk. Es handelt sich um Laserinterferometer nach Art eines Michelson-Interferometers, die die von Gravitationswellen verursachten sehr geringen Abstandsänderungen nachweisen sollen. In Deutschland befindet sich nahe Hannover der deutsch-britische Detektor GEO 600, ein Interferometer mit 600 Metern Armlänge. Zwei Interferometer mit jeweils 4 Kilometern Armlänge (LIGO) stehen in den USA in Livingston (Louisiana) und Hanford (Washington). In diesen beiden Detektoren wurde im September 205 erstmals ein Gravitationswellensignal detektiert. Es entstand bei der Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher und wurde in beiden LIGO-Detektoren nachgewiesen. Um das Nachweisprinzip zu erklären, setzen wir ein Michelson-Interferometer mit Ultraschall ein. Es arbeitet mit einer Frequenz von 25 khz, was einer Wellenlänge von,4 cm entspricht. Einen Spiegel um eine halbe Wellenlänge zu verschieben, ist in diesem Fall manuell leicht möglich. Das Interferometer wird wie in Abb. 4 gezeigt aufgebaut: Ein Ultraschallsender wird an einen Frequenzgenerator angeschlossen. Ein halbdurchlässiger Spiegel, hier durch eine Plastikfolie realisiert, spaltet den Strahl in zwei Teilstrahlen auf, die je einen Arm des Interferometers durchlaufen und am Ende an einem Spiegel, hier einer Holzfläche, reflektiert werden. Die beiden Strahlen werden beim Empfänger zur Interferenz gebracht; das detektierte Signal wird auf dem Oszilloskop angezeigt. Schülerinnen und Schüler stellen das Messprinzip nach, indem sie zunächst die Armlängen so wählen, dass beim Empfänger möglichst weitgehende Auslöschung eintritt. Eine Änderung einer Armlänge bewirkt dann ein Signal. 7

8 Abbildung 4: Ein Michelson-Interferometer mit Ultraschall. Die einzelnen Komponenten des Ultraschallexperiments wurden aus leicht verfügbaren Materialien gebaut. Die Ultraschallsender und -empfänger (Ultraschall-Transducer RD25K2, 25 khz, erhältlich z.b. bei Pollin Electronic) sind auf Holzständern befestigt, die jeweils einen Magneten im Fuß haben und damit auf einer Magnettafel positioniert werden. Als Spiegel an den Enden der beiden Interferometerarme werden Holzbrettchen verwendet, die senkrecht an einer Stütze befestigt sind. Für den halbdurchlässigen Spiegel wurden verschiedene Materialien ausprobiert und letztlich ein Stück Plastikfolie aus einem gelben Sack verwendet, der die Ultraschallwellen recht gut jeweils zu 50% reflektiert und durchlässt. Damit die Plastikfolie bei kleinen Luftbewegungen nicht wackelt, ist sie in einem Stickrahmen straff eingespannt; dieser ist in einem Holzständer befestigt. Literaturhinweise B. Schutz, 2003, Gravity from the Ground up, Cambridge University Press M. Pössel, 2005, Das Einstein-Fenster, Hoffmann und Campe H. Dimmelmeier et al., 2002, Gravitational wave signal data (signal AB3G3 N.dat) von hydro/axi core collapse/index.shtml B. Abbott et al., 206, Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Physical Review Letters 6,

9 Danksagung Andrea Bicker und Wendy Gerlach haben im Rahmen ihrer Bachelor- und Masterarbeiten an der Universität Hildesheim (Bicker 2009, 200, Gerlach 203, 204) die vorgestellten Modelle sowie das Ultraschallexperiment erstellt und im Schülerlabor Raumzeitwerkstatt erprobt. 9