Wie viele Geraden werden von n Punkten aufgespannt?

Transkript

1 Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet Diskrete Mathematik und Optimierung Prof. Dr. Winfried Hochstättler Sommersemester 009 Seminar zur Diskreten Mathematik Ausarbeitung der Fragestellung: Wie viele Geraden werden von n Punkten aufgespannt? Grundlage dieser Ausarbeitung ist [Fel04, Abschnitt 5.] Stephan Lukits Matrikelnummer: Marktstrasse 1, 9444 Bad Kötzting Tel. ( ) Stephan.Lukits@FernUni-Hagen.de

2 Wie viele Geraden werden durch n Punkte aufgespannt? Diese Fragestellung warf Paul Erdős Anfang der 190er auf. Der triviale Fall, in dem alle Punkte auf einer Geraden liegen, wird im Weiteren ausgeschlossen. Definition 1 (Konfiguration, n-konfiguration). Eine endliche Menge K von Punkten in der Ebene heißt genau dann (Punkte)Konfiguration, wenn nicht alle Punkte aus K auf genau einer Geraden liegen. Eine Konfiguration, die n Punkte enthält, wird auch als n-konfiguration bezeichnet. Die Menge der Geraden, die eine n-konfiguration K aufspannt, wird mit G(K) bezeichnet. _ Eine neben dem trivialen Fall auch relativ einfache Konfiguration ist die Konfiguration, deren Punkte alle bis auf einen kollinear sind. Definition (near-pencil). Eine Konfiguration von n Punkten heißt genau dann near-pencil, wenn alle Punkte bis auf einen auf genau einer Geraden liegen. Korollar 1. Eine near-pencil-konfiguration K von n Punkten bestimmt n Geraden. Beweis. Sei P K der Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, welche die Übrigen n 1 Punkte verbindet. Dann bestimmt P mit jedem der übrigen n 1 Punkte je eine Gerade, also n 1 Geraden. Nimmt man noch die Gerade hinzu, welche die n 1 Punkte verbindet, erhält man n Geraden. _ Da near-pencil-konfigurationen von n Punkten n Geraden bestimmen, kann die unter Grenze für die Anzahl der Geraden, die von einer n-konfiguration bestimmt werden, nicht größer als n sein. Das mindestens n Geraden durch eine solche Konfiguration aufgespannt werden, zeigt ein induktives Argument. Allerdings benötigen wir hierfür die Existenz einer einfachen Geraden in einer jeden Geradenmenge, die durch n Punkte aufgespannt wird.

3 Definition (einfache Gerade). Sei g eine Gerade, die durch eine n-konfiguration K aufgespannt wird. g heißt genau dann einfache Gerade, wenn Sie von genau zwei Punkten aus K aufgespannt wird. _ Satz 1 (Sylvester-Gallai). Durch jede Konfiguration K von n Punkten, die nicht alle auf einer Geraden liegen, wird eine einfache Gerade bestimmt. Ein schöner Beweis, der es bis ins BOOK [AZ04, S. 61] geschafft hat, findet sich in [Kel86]. Nun haben wir alles beisammen um zu zeigen, dass eine n-konfiguration wenigstens n Geraden aufspannt. Satz. Jede n-konfiguration mit n bestimmt wenigstens n Geraden, von denen eine jede durch wenigstens zwei Punkte der Konfiguration geht. Beweis. Für den Induktionsanfang n = bezeichnen P 1, P und P die Punkte der Konfiguration. Dann bestimmen P 1 und P die Gerade P 1 P. Da die Punkte voraussetzungsgenäß nicht alle auf genau einer Geraden liegen, gilt P P 1 P, also spannen P 1 und P sowie P und P noch die Geraden P 1 P und P P auf. Für den Induktionsschluß sei vorrausgesetzt, dass der Satz für n 1- Konfigurationen gültig ist. Sei K eine n-konfiguration und g eine einfache Gerade, die durch K aufgespannt wird. Die Existenz von g ist durch Satz 1 gesichert. Sei weiter P einer der beiden Punkte, die g bestimmen. Entfernen wir P aus K, dann gibt es zwei Fälle: K \ {P} ist kollinear und K somit ein near-pencil oder nicht. Im ersteren spannt K mit Korollar 1 n Geraden auf, womit der Induktionsschritt von n 1 nach n vollzogen ist. Im letzteren bestimmt per Induktionsvoraussetzung K \ {P} n 1 Geraden. Da P Punkt der einfachen Geraden g ist, kann g von K\{P} nicht aufgespannt werden, so dass K mit der Geraden g und den n 1 durch K \{P} bestimmten Geraden n Geraden aufspannt. Schließt man nun die near-pencil Konfigurationen und einige kleinere Konfigurationen aus, dann lässt sich diese untere Grenze

4 noch deutlich erhöhen. Es war wieder Erdős, der Vermutete, dass unter diesen Voraussetzungen wenigstens n 4 Geraden durch eine n-konfiguration bestimmt werden. Ein Motiv für eine solche Vermutung könnte die Betrachtung der nächsteinfacheren Konfiguration bezüglich einer near-pencil Konfiguration sein. Wobei mit nächsteinfacheren Konfiguration eine Konfiguration gemeint ist, bei der alle Punkte der Konfiguration bis auf zwei P 1, P auf einer Geraden g liegen. Wenn wir nun noch annehmen, dass es einen dritten Punkt P auf g derart gibt, dass P 1, P und P durch genau eine Gerade g verbunden werden, dann bestimmen P 1 und P mit den übrigen n Punkten aus g je eine Gerade, also (n ) = n 6 Geraden. Zählen wir nun noch g sowie g hinzu, dann haben wir eine unendliche Familie von n-konfigurationen, die n 4 Geraden bestimmt. Es wäre also nicht möglich eine noch bessere untere Grenze als n 4 zu finden. Für den Beweis dieser unteren Grenze wird noch etwas Werkzeug aus der projektiven Geometrie benötigt. Dazu möchte ich zunächst den Begriff des (Geraden)Arrangements einführen. Definition 4 (Arrangement, Knoten, Kanten). Eine Menge von n Geraden der Ebene heißt Arrangement. Ein Arrangement von Geraden der projektiven Ebene heißt projektives Arrangement. Die Schnittpunkte der Geraden eines Arrangements heißen Knoten. Die knotenfreien Gerandenstücke eines Arrangements heißen Kanten. Zieht man die Geraden eines Arrangements (in einem mengentheoretischem Sinne) von der Ebene, in der sie liegen, ab, dann heißen die so entstehenden konvexen Flächen Zellen des Arrangements. _ Satz (Melchiors Ungleichung). Sei A ein projektives Arrangement. Bezeichne #v i die Anzahl der Knoten des Arrangements, in denen sich i Geraden aus A schneiden. Melchior zeigte dann die folgende Beziehung: ( i)#v i Aufgrund der Dualität in der projektiven Eben ist auch das folgende gesichert: 4

5 Satz 4 (Melchiors Ungleichung, dual). Sei K eine projektive n- Konfiguration und bezeichne #g i die Anzahl der durch K bestimmten Geraden auf denen i Punkte der Konfiguration liegen. Dann ( i)#g i, #g i = G(K) denn g G(K) P 1,..., P m K : P 1,... P m g, m. Ein Beweis für diese Behauptung findet sich in [Fel04, S. 7] und die Dualität der projektiven Ebene wird z.b. in [BR04, S. 8] gezeigt. Damit wäre alles benötigte beisammen. Als eine erste Annäherung an die unter Grenze, der durch eine Punktkonfiguration aufgespannten Geraden, kann in Abhängigkeit einer Anzahl kollinearer Punkte einer Konfiguration K eine untere Grenze der Anzahl der durch K aufgespannten Geraden ermittelt werden. Lemma 1. Eine n-konfiguration K, in der genau n s Punkte auf genau einer Geraden liegen, spannt wenigsten s s(n s) + 1 Geraden auf. Beweis. Sei g die Gerade, welche die n s kollinearen Punkte verbindet. Bezeichne A die Menge der Konfigurationspunkte, die durch g verbunden werden und B das Komplement von A bezüglich K. Also A = n s, B = s, A B = s(n s), b B : b g. Offenbar gibt es für jedes Paar (a, b) A B eine verbindende Gerade. Allerdings können wir nicht behaupten, dass so auch s(n s) Geraden aufgespannt werden, da wir nicht ausschließen können, dass es b 1,..., b m B mit m s gibt, die mit einem a A kollinear sind. In einem solchen Fall würden wir m 1 Geraden zu viel zählen. Wir müssen also mögliche Mehrfachzählungen wieder abziehen: 5

6 Wir können festhalten, dass es zu möglichen kollinearen Punkten a, b 1,..., b m kein zweites a a aus A gibt so dass a und b, b {b 1,..., b m } kollinear sind: a, a A, b 1,..., b m B : a, b 1,..., b m kollinear a, b, b {b 1..., b m } nicht kollinear ( ) Dabei ist 1 < m s, a a, b b und die b i sind paarweise verschieden. Angenommen es gäbe ein zweites a a aus A mit dieser Eigenschaft. Dann wäre b, b g, was der Voraussetzung b B : b g widerspricht. Also spannt jedes a a aus A mit b 1,..., b m genau m Geraden auf. Damit könnte es höchstens für jedes Paar {b, b } B (b b ) genau ein a A geben, so dass a, b und b auf einer Geraden liegen, also kann für jedes solche Paar höchstens eine Gerade doppelt gezählt werden. Wir müssen also B =s eventuell doppelt gezählte Geraden wieder abziehen. Damit sind auch mögliche kollineare Fälle a, b 1,..., b m mit m > abgedeckt. Denn einerseit können die b 1,..., b m neben dieser m-fach-zählung mit ( ) keine weiter Mehrfachzählungen verursachen und andererseits ziehen wir für diese m-fache Zählung m > m 1 mit m > mögliche Doppelzählungen ab. Wir erhalten also mindestens s(n s) s Geraden. Addieren wir die Gerade g noch hinzu folgt die Behauptung. Wie bei der Motivation schon angedeutet, soll im Weiteren eine Konfiguration kein near-pencil sein, und wenigstens 7 Punkte enthalten. Dann kann mit Hilfe des letzten Lemmas für solche Konfigurationen ein hinreichendes Kriterium dafür entwickelt werden, dass diese wenigstens n 4 Geraden aufspannen. Dazu wird s s(n s) + 1 als Zuordnungsvorschrift eines Polynoms in Abhängigkeit von s bei konstantem n aufgefasst: p:, (s) s + (n + 1 )s + 1. Identifizieren wir nun das Polynom an der Stelle s mit n 4, dann können wir ausrechnen wieviele Punkte einer Konfiguration nicht 6

7 auf der Geraden liegen dürfen, welche die n s kollinearen Punkte der Konfiguration verbindet. Wir berechnen also s + (n + 1 )s + 1 = n 4 s 1, = n + 1/ ± (n + 1/) 4( (/)(5 n)) (/) = n + 1/ = n + 1/ = n + 1/ = n + 1/ n + n + 1/ n ± n (11/)n + (11/) ± (n (11/)) ± (n 11/) ± = s 1 =, s = (n 5)/ ( ) Für s = + h ergibt sich: p( + h) = ( + h) + (n + 1 )( + h) + 1 = (4 + h + h ) + n + nh h + 1 = n 4 + nh h 5 h Mit 0 < h < 1 folgt: h > h h + 5 h > h + 5 h nh 7h > 4h > h + 5 h nh h 5 h > 0 n 4 + nh h 5 h > n 4 ( ) 7

8 Für 1 < h < 0 drehen sich die Ungleichheitszeichen um, also n 4 + nh h 5 h < n 4 Analog untersuchen 1 wir noch die Stelle s = (n 5)/ + h p((n 5)/ + h) = ((n 5)/ + h) + (n + 1 )((n 5)/ + h) + 1 = (n 5) (n 5)h + + h 9 Mit 0 < h < 1 folgt: + n 5n + n 5/ + nh + h + 1 (n 5) = (n 5)h 6 h + n 4n nh + h + 1 = 4n 6 + 0n (n 5)h h + n 4n nh + h + 1 = n 4 nh + 5h (/)h + nh + (1/)h = n 4 nh + (11/)h (/)h (/)h > (/)h (11/)h + (/)h = 7h > (11/)h (/)h nh 7h > 7h > (11/)h (/)h nh (11/)h + (/)h > 0 nh + (11/)h (/)h < 0 n 4 nh + (11/)h (/)h < n 4 Für 1 < h < 0 drehen sich die Ungleichheitszeichen um, also n 4 nh + (11/)h (/)h > n 4 ( ) 1 Oder überlegen uns, dass das Maximum/Minimum eines Polynoms zweiten Grades mit zwei verschiedenen Nullstellen zwischen diesen Nullstellen liegt, und deshalb bei einer der Nullstelle das umgekehrte lokale Steigungsverhalten wie bei der anderen vorliegt. 8

9 Aus ( ), ( ) und ( ) ergibt sich: s (n 5)/ = p(s) n 4 also s (n 5)/ s (n 5)/ n n s n (n 5)/ = (n + 5)/ p(s) n 4 Da wir den near-pencil (1 = s ) ausschließen wollen, kann der Fall n < n s s < nicht eintreten, so dass wir uns auf die Ungleichung n s (n + 5)/ beschränken können: Lemma. Eine n-konfiguration mit n 7, die kein near-pencil ist, bestimmt wenigstens n 4 Geraden, falls wenigstens (n + 5)/ Punkte der Konfiguration auf einer Geraden liegen. Satz 5. Jede n-konfiguration K mit n 7, die kein near-pencil ist, spannt wenigstens n 4 Geraden auf. Beweis. Der Beweis wird in zwei Fälle zerlegt. Fall 1: Es gibt in K zwei Punkte, die mit höchstens 5 Geraden inzidieren. Es gibt höchstens einen Punkt aus K der mit höchstens 5 Geraden inzidiert (alle anderen inzidieren mit wenigstens 6 Geraden). Da diese beiden Punkte P und P schon eine Gerade bestimmen können sie bestenfalls mit vier weiteren inzidieren. Seien P 11,..., P 1m K \ {P, P } Punkte, die mit P durch genau eine Gerade verbunden werden können. Dann spannt jeder dieser Punkte P 1i mit P eine Gerade auf, also kann m höchstens 4 sein, aufgrund der Inzidenzvoraussetzung bezüglich P. Analog können auf den weiteren drei Geraden, die mit P inzidieren je höchstens vier Punkte P 1,..., P 4,..., P 44 liegen. (Und zwar Äquivalent zu keine zwei 9

10 genau dann, wenn die P 11,..., P 41, P 1,..., P 4, P 1,..., P 4 sowie P 14,..., P 44 jeweils mit P auf genau einer Geraden liegen.) Damit gibt es außerhalb der Geraden P P maximal 16 Punkte, so dass P P wenigstens n 16 Punkte enthält. Da n 16 wenigstens so groß ist wie (n + 5)/, wenn die Konfiguration wenigstens 7 Punkte enthält, spannt K mit Lemma wenigstens n 4 Geraden auf, falls zwei Punkte in K sind, die mit höchstens fünf Kanten inzidieren. Fall : Im zweiten Fall schätzen wir einmal die Anzahl der Punkte-Geraden-Inzidenzen aus K G(K): i #g i = {(P, g) K G(K) P inzidiert mit g} j nach 4 oben ab, während wir die Anzahl der Geraden-Punkt-Inzidenzen aus G(K) P: i #p i = {(g, P) G(K) K g inzidiert mit P} j nach 5 unten abschätzen. Selbstredend sind diese beiden Anzahlen aufgrund der Symmetrie der Inzidenzrelation identisch. Eine Beziehung zwischen der Anzahl der durch K bestimmten Geraden G(K) = i> #g i und der Anzahl der Punkte, die mit den Geraden aus G(K) inzidieren, erhält man durch Melchiors Ungleichung aus Satz 4 ( i)#g i = #g i i #g i G(K) i #g i = G(K) i #g i G(K) i #g i Dies zeigt ein einfaches induktives Argument mit Induktionsanfang 7: 7 16 = / = (7 + 5)/ und dem Induktionsschritt n 16 (n + 5)/ n (n + 5)/ + 1/ (n + 1) 16 ((n + 1) + 5)/. 4 #g i bezeichnet die Anzahl der Geraden die i Punkte der Konfiguration verbinden. 5 #p i bezeichnet die Anzahl der Punkte der Konfiguration in denen sich i durch die Konfiguration bestimmte Geraden schneiden. 10

11 Andererseits wissen wir aus der Voraussetzung dieses Falles, dass wenigstens n 1 Punkte mit mindestens 6 Geraden inzidieren, also i 6 i #p i 6(n 1). Nehmen wir nun noch die Punkte hinzu, die mit weniger als sechs Geraden inzidieren, dann wird sich die Anzahl der inzidierenden Geraden sicher nicht verkleinern, also G(K) i #g i = i #p i i #p i 6(n 1) G(K) 6(n 1) G(K) 1 (n 1) G(K) n 1 Damit werden im ersten Fall wenigstens n 4 Geraden bestimmt, während im zweiten sogar mindestens n 1 Geraden aufgespannt werden. Damit werden in jedem Falle wenigstens n 4 Geraden bestimmt. i 6 11

12 Literatur [AZ04] [BR04] [Fel04] [Kel86] Martin Aigner und Günter M. Ziegler. Das BUCH der Beweise.. Aufl. Springer, 004. S. S.. Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum. Projektive Geometrie.. Aufl. Vieweg, 004. S. S. 5. Stefan Felsner. Geometric Graphs and Arrangements. Vieweg, 004. S. S. 1, 5. L. M. Kelly. A resolution of the sylvester-gallai problem of J.-P. serre. In: Discrete and Computational Geometry 1.1 (1986), S url: com/content/b144j66h971w5u/. S. S..