WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades

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1 WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades Wenn zwischen den Elementen zweier Mengen D und W eine eindeutige Zuordnungsvorschrift vorliegt, dann ist damit eine Funktion definiert (s. Abb1.), Abb1. wobei D als die Definitionsmenge und W als die Wertemenge bezeichnet werden. Wenn die Zuordnungsvorschrift analytisch vorgegeben ist, dann wird diese als Funktionsterm oder Funktionsgleichung f(x) bezeichnet, wobei x immer die Elemente aus D sind. Mit der direkten Proportionalität aus WM.2.2 ist bereits eine Zuordnungsvorschrift bekannt. Wenn D = Q und W = Q und der Proportionalitätsfaktor m ist, dann kann diese analytisch als (3.1) f(x) = m x geschrieben werden. In der Mathematik wird die direkte Proportionalität auch als lineare Abhängigkeit bezeichnet, deshalb wird die Funktion aus (3.1) als die lineare Funktion bezeichnet. Ihr Graph G f in einem kartesischen Koordinatensystem (KKS) ist eine Gerade. Beispiel: f(x) = 2x Abb

2 In der Abb. 2 ist leicht Einzusehen, dass f f (x2 x 1) (3.2) m = = = tan( α) x x x 2 1 die lineare Änderungsrate der Funktion oder Steigung der Geraden G f ist und hier m = 2 ist. Auch der allgemeine Funktionsterm einer Polynomfunktion 1. Grades (3.3) f(x) = mx +t liefert als Graph eine Gerade (s. Abb. 3). Beispiel: f(x) = 0,5x +2. Abb.3 Die Schnittstelle x 1 des Graphen mit der x-achse ist die Nullstelle der Funktion, denn es gilt: (3.4) f(x 1 ) = 0 Die Abb. 3 zeigt den Graph der Funktion f(x) = 0,5 x + 2. In diesem Beispiel sind: m = 0,5 ; α = 26,5 ; t = 2 ; x 1 = 4. Leider wird oft auch eine allgemeine Polynomfunktion 1. Grades (wie im obigen Beispiel) als lineare Funktion bezeichnet obwohl sie im mathematischen Sinne keine Linearität besitzt. Die einfachste graphische Darstellung einer Polynomfunktion 1. Grades, wenn deren Funktionsterm vorgegeben ist, wird mit Hilfe einer Wertetabelle realisiert. In dieser werden die Koordinaten zweier beliebigen Punkte berechnet. WM.3.2 Ermittlung des Funktionsterms einer Polynomfunktion 1. Grades Für die Ermittlung des Funktionsterms einer Polynomfunktion 1. Grades werden zwei Angaben benötigt womit m und b bestimmt werden. Der Funktionsterm f(x) einer Polynomfunktion 1. Grades kann mit einem der folgenden Ansätze ermittelt werden

3 I) Wenn die Nullstelle x 1 und ein Punkt P( x 0 y 0 ) bekannt sind, dann mit dem Nullstellenansatz: f(x) = a ( x x 1 ) Beispiel Die Funktion 1. Grades f hat die Nullstelle x 1 = 2 und ihr Graph geht durch P (1 4). Gesucht ist der Funktionsterm f(x). Ansatz: f(x) = a (x 2) ; f(1) = 4 ; a (1 2) = 4 ; a = 4 und f(x) = 4 (x 2) II) Wenn die Steigung m und ein Punkt P( x 0 y 0 ) bekannt sind, dann mit dem Ansatz: f(x) m x + b Beispiel Die Funktion 1. Grades f hat die Steigung = 1,5 und ihr Graph geht durch P (2 5). Gesucht ist der Funktionsterm f(x). Ansatz: f(x) = 1,5 x + b ; f(2) = 5 ; 1,5 2 + b = 5 ; b = 2 und f(x) = 1,5 x +2 III) Wenn die zwei Punkte P( x 0 y 0 ) und Q (( x 1 y 1 ) bekannt sind, dann wird zunächst die Steigung m berechnet mit y y m = x x Übungen zu WM.3 (3.Ü) 3.Ü.1 Berechnen Sie für folgende Funktionen jeweils die Nullstelle und den Steigungswinkel und zeichnen Sie den Graph in ein KKS. a) f(x) = x+3 ; b) g(x) = 2x +5 ; c) h(x) = 1,5x 4 3.Ü.2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1,5x +3. Zeichnen Sie den Graph G f in ein KKS und Lösen Sie graphisch folgende Fragestellungen: Geben Sie die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. Für welche Werte x gilt f(x) > 3 3.Ü.3 Zeichnen Sie die beiden Graphen G f und G g der Funktionen f(x) = 2x 5 und g(x) = 0,5x +2,5 im gleichen KKS. Welche mathematische Beziehung gilt zwischen den beiden Steigungen? - 3 -

4 3.Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü.7.3 Ermitteln Sie den Funktionsterm der Polynomfunktion 1. Grades f mit der Steigung m = 1,5 deren Graph G f durch A(2 4) geht. Ermitteln Sie den Funktionsterm der Polynomfunktion 1. Grades g deren Graph G g durch A(1 2) geht und parallel zu G f verläuft. Ermitteln Sie den Funktionsterm der Polynomfunktion 1. Grades f deren Graph G f durch A(2 4) und B( 1 0) geht. Geben Sie auch die Steigung m an. In einem volkswirtschaftlichen Modell sind die Konsumausgaben linear vom verfügbaren Einkommen abhängig. Bei einem Einkommen von 1000 betragen die Konsumausgaben 900. Bei einem Einkommen von 1800 betragen sie Ermitteln Sie einen Funktionsterm für die Konsumfunktion K und zeichnen Sie ihren Graph in einem geeigneten KKS. Ergebnis: K(x) = 0,7x +200 Berechnen Sie die Höhe der Konsumausgaben wenn das Einkommen 800 bzw beträgt. Die Konsumquote KQ ist der Anteil des Einkommens das für den Konsum K aufgewendet wird, d.h. KQ =. E Berechnen Sie KQ für Konsumausgaben aus 3.Ü.6.2. Welche mathematische Deutung hat die KQ? Ermitteln Sie den Funktionsterm der Sparfunktion S in Abhängigkeit vom Einkommen und zeichnen Sie ihren Graph in KKS von 3.Ü.6.1. Eine Brauerei rechnet für die Auslieferung seiner Getränkekisten mit dem eigenen Verkaufsfahrzeug 0,80 pro Kiste bei monatlichen Fixkosten von 840. Erstellen Sie einen Term für die Kosten K 1 der Auslieferung von x Kisten im Monat. Zeichnen Sie den Graph von K 1 in einem geeigneten KKS (Es soll auch für mehr als 4000 Kisten im Monat brauchbar sein). Welche Kosten entstehen für die Auslieferung von 2500 Kisten? Teilergebnis: K 1 (x) = 0,8x Ein Logistikunternehmen bietet die Auslieferung von Getränkekisten für 1,15 pro Kiste an. Erstellen Sie einen Term für die Kosten K 2 der Auslieferung von x Kisten und zeichnen Sie den Graph von K 2 im KKS von 3.Ü.7.2. Liefern Sie für folgende Fragestellung eine graphische und rechnerische Lösung: Für welche Auslieferungszahlen x 1 ist das Logistikunternehmen kostengünstiger? - 4 -

5 3.Ü Ü Ü Ü Ü Ü.8.4 Ergebnis: x 1 < 2400 Unterbreiten Sie der Brauerei ein Angebot, so dass die Kosteneinsparung bei einem Absatz von 3000 Kisten 630 beträgt. Ein Telefonanbieters stellt folgende Surftarife zur Verfügung: Tarif A: Grundgebühr 5 / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,3 Ct./ min. Tarif B: Grundgebühr 10 / Monat die ersten 20 Stunden frei, dann 0,25 Ct./ min. Tarif C: Flatrate 20 /Monat. Stellen Sie für jeden Tarif den Funktionsterm (Funktionsgleichung) auf. Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes KKS (bis 100 h Surfstunden im Monat)und liefern Sie einige Schlussfolgerungen aus dem gemeinsamen Bild. Eine Person surft 70 h im Monat. Welchen Tarif sollte die Person wählen? Ab welcher Surfzeit sollte die Flatrate gewählt werden? 3.Ü.9.0 Zur Versorgung der Tiere in einem Zoo werden täglich 7,5 Kg Tierfutter benötigt.. Zwölf Tage, nachdem das Futterlager zum letzten mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 250 kg. 3.Ü.9.1 Stellen Sie einen Funktionsterm auf, der diesen Sachverhalt beschreibt und zeichnen Sie den dazugehörigen Graphen in ein geeignetes KKS. 3.Ü.9.2 Auf welche Menge wurde das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt? 3.Ü.9.3 Bei einem Lagerbestand von 30 kg wird der Bestand wieder auf die Anfangsmenge aufgestockt. Wann ist das erforderlich? 3.Ü.10.0 In einem großen Hotel erfolgt die Warmwasserbereitung für Badezimmer elektrisch mittels Durchlauferhitzer. Pro Jahr entstehen Kosten für elektrische Energie. Die Umrüstung auf Fernwärme kostet einmalig Die danach anfallenden Energiekosten betragen nur noch 5000 pro Jahr. 3.Ü.10.1 In welcher Zeit hat sich die Investition rentiert? Wie hoch sind die Kosten zu diesem Zeitpunkt? 3.Ü.11.0 Ein Hase und ein Igel veranstalten ein Wettrennen über 100m. Der Hase, der sich für sehr überlegen hält, gibt dem Igel 80m Vorsprung. Der Hase erreicht aus dem Stand eine konstante Geschwindigkeit von 28km/h, der Igel immerhin von 6,5km/h. 3.Ü.11.1 Ermitteln Sie die Funktionsterme für den noch zurückzulegenden Wege s H und s I abhängig von der Zeit t

6 3.Ü.11.2 Nach welcher Zeit und in welchem Abstand zum Ziel begegnen sie sich? 3.Ü.11.3 Wie lange brauchen sie zum Ziel? 3.Ü.11.4 Wer gewinnt? - 6 -