2.12 Dreieckskonstruktionen

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1 .1 Deieckskonstuktionen 53.1 Deieckskonstuktionen.1.1 B aus a, b und c. Keis um mit Radius b 3. Keis um B mit Radius a 4. Schnittpunkt de Keise ist Bemekung: Es entstehen zwei konguente B..1. B aus α, c und β. Winkel α an B in 3. Winkel β an B in B 4. Schnittpunkt de Keise ist (es entstehen zwei konguente B) Bemekung: Es entstehen zwei konguente B..1.3 B aus a, β und c 1. Winkel β mit Scheitel B. Stecke B de Länge c abtagen 3. Stecke B de Länge a abtagen.1.4 B aus a, b und α 1. Stecke de Länge b. Winkel α an in 3. Keis um mit Radius b 4. Schnittpunkt des Keises mit zweitem Schenkel von α ist B Bemekung: Es entsteht ein B wenn a > b, sonst zwei nichtkonguente B..1.5 B aus b, c und h. Paallele zu B im bstand h 3. Keis um mit Radius b 4. Schnittpunkt des Keises mit de Paallelen ist Bemekung: Es entstehen zwei nichtkonguente B, wenn b > h, sonst ist eine Konstuktion unmöglich..1.6 B aus c, γ und h. Paallele zu B im bstand h 3. Keis übe B mit Peipheiewinkel γ 4. Schnittpunkt des Keises mit de Paallelen ist Bemekung: Es entstehen zwei konguente B.

2 54 DS DREEK.1.7 B aus b, s c und c. Keis um M c mit Radius s c 3. Keis um mit Radius b 4. Schnittpunkt de Keise ist Bemekung: Es entstehen zwei konguente B..1.8 B aus s a, s c und c. Keis um M c mit Radius 1 3 s c 3. Keis um mit Radius 3 s a 4. Schnittpunkt de Keise ist G 5. Velängeung von M c G übe G hinaus 6. Keis um G mit Radius M c G 7. Schnittpunkt des Keises mit Stahl M c G ist Bemekung: Es entsteht ein B, wenn c/, s c /3 und s a /3 Deiecksungleichung efüllen, sonst ist eine Konstuktion unmöglich..1.9 B aus s a, s b und s c Siehe das Bild auf Seite BG G aus 3 s a, 3 s b und 3 s c konstuieen. Paallele zu BG duch G 3. Paallele zu BG duch G 4. Schnittpunkt de Paallelen ist 5. Keis um G mit Radius 1 3 s c 6. Schnittpunkt des Keises mit Stahl G ist M c 7. Vedopplung von M c B übe M c, Schnittpunkt ist Bemekung: Es entsteht ein B, wenn s a, s b und s c Deiecksungleichung efüllen, sonst ist eine Konstuktion unmöglich B aus α, β und p 1. Lösungsweg: Man konstuiet ein B nach wsw aus α, B = a+b+c und β. Vom Punkt aus tägt man an den Winkel α und an B den Winkel β an. Es entstehen zwei Schnittpunkte mit de Stecke B. Das seien und B. Das B ist das gesuchte. Begündung: Die Deiecke und BB sind nach Konstuktion gleichschenklig (gleiche Basiswinkel). Dahe ist = und B = B und damit de Umfang von B gleich + B + B = B = a + b + c. ußedem ist B = + = α und B = BB + B B = β.. Lösungsweg: Das gesuchte B ist zu jedem B mit den gleichen Winkeln α und β ähnlich. Dann haben alle entspechenden Stecken das gleiche Vehältnis zueinande. Man kann das Deieck also folgendemaßen konstuieen: Man wählt eine beliebige Stecke B = c und konstuiet ein B aus α, β und c. De Umfang von B vehält sich zu dem von B wie c zu c. Hieaus kann man c konstuieen.

3 .1 Deieckskonstuktionen B aus a, h und h B 1. Stecke B de Länge a. Thaleskeis übe B 3. Keis um B mit Radius h B 4. Schnittpunkt de Keise egibt Höhenfußpunkt H B 5. Paallele zu B im bstand h 6. Schnittpunkt de Paallele mit Velängeung von H B ist Bemekung: Es entsteht ein B wenn h B < a, sonst ist eine Konstuktion unmöglich..1.1 B aus m c, R und h B 1. uf Geade g wid M c festgelegt, woduch sich mit M c O = m c de Punkt O egibt. Keis k duch O mit Radius R schneidet g in zwei Punkte, B 3. Keis um M c mit Radius c und Keis um B mit Radius h B 4. Schnittpunkt ist Punkt H B 5. Schnittpunkt de Velängeung de Geaden H B mit Keis k ist Bemekung: Es entstehen zwei ähnliche Deiecke B wenn R < m c, sonst ist Konstuktion nicht mglich B aus S, c und γ Hie sei de Flächeninhalt duch ein Quadat mit Flächeninhalt S gegeben! S ist als S = xx gegeben. Fü das gesuchte Deieck ist S = ch, woduch sich h mithilfe des Stahlensatzes aus x c = h beechnen lässt. lso soll nun ein Deieck B aus h, c und γ x konstuiet weden. 1. Stecke c und Paallele g im bstand h. an und B zwei Stahle mit dem Winkel 90 γ = γ abtagen 3. um diesen Schnittpunkt Keis duch und B 4. Schnittpunkt vom Keis mit g ist de Punkt Bemekung: Es entstehen zwei ähnliche Deiecke B B aus h, s a und α 1. Stecke B de Länge a. Thaleskeis übe B 3. Keis um B mit Radius h B 4. Schnittpunkt de Keise egibt Höhenfußpunkt H B 5. Paallele zu B im bstand h B 6. Schnittpunkt de Paallele mit Velängeung von H B ist Bemekung: Es entsteht ein B wenn h < a, sonst ist eine Konstuktion unmöglich.

4 56 DS DREEK.1.15 B aus h, s c und γ Diese Konstuktion ähnelt de Konstuktion aus zwei Winkeln und eine ditten Göße (siehe z.b. Konstuktion aus (α, β, c)). Nu daß es sich beim zweiten Winkel nicht um β ode γ handelt. Wi konstuieen uns als estes einen Hilfswinkel ϕ und daaus zusammen mit γ ein ähnliches Deieck. h s c ϕ 1. Rechtwinkliges aus h und s c. Das egibt den Winkel ϕ.. Vogabe eine beliebigen Stecke c 3. Konstuktion des B aus (γ, ϕ, c ): (a) Gleichschenkliges Deieck B O aus γ und c. O ist de Umkeismitelpunkt. (b) Umkeis von B O (c) m Punkt M c (Halbieunspunkt von c) den Winkel ϕ abtagen. (d) De Schnittpunkt mit dem Umkeis ist. 4. Diese Konstuktion egibt die Stecke s c = M c. 5. Emittlung von c aus de Popotion c s c = c s c 6. Konstuktion des B aus (γ, h, c) ode (γ, s c, c) wiede übe den Umkeis B aus α β, h und R.1.17 B aus a, b und c Fü die Konstuktion eines Deiecks aus h, h B und h wude die Popotionalität a h = b h B = c h zu Emittlung eines ähnlichen Deiecks benutzt. Suche in diesem Fall eine ähnliche Popotionalität. Es gilt S = a p = b p B = c p. Es sei x beliebig vogegeben. us de Gleichung a x = b y = c z lassen sich dann y und z konstuieen. Es sei a = y+z, b = x+z, c = x+y und p = 1 (a +b +c ). Dann ist p a = x, p b = y und p c = z. Das Deieck mit den Seitenlängen a, b und c ist dem gesuchten Deieck ähnlich. Konstuiet man a, kann man nach de Gleichung a = a a a die Stecke a (und analog b und c) konstuieen.

5 .1 Deieckskonstuktionen B aus h, h B und h Die Höhen sind umgekeht popotional zu den Seitenlängen. Wenn wi S kennen wüden, könnten wi die Seitenlängen aus S = ah = bh B = ch konstuieen. Wi geben uns ein beliebiges S (z.b. indem wi uns a vogeben) vo und konstuieen die entspechenden a, b, c. Das gesuchte Deieck ist dann zu dem mit diesen Seitenlängen ähnlich. bf lte Heleitung: Es gilt die Deiecksungleichung a + b > c. usgehend von ah a = bh b = ch c = F folgt hieaus 1 h a + 1 h b > 1 h c Diese Ungleichung hat die Dimension 1 und ist somit keine Deiecksungleichung. us ih folgt L abe h a + h b > h a h b h c was die Dimension L hat und als Deiecksungleichung intepetiet weden kann. Das Deieck B mit den Seiten a = h b, b = h a und c = ha h b h c ist dem gesuchten Deieck B ähnlich, denn es gilt a c = h b h a h b h c = h c h a = a c (und analoge Beziehungen). Die Konstuktion geht also so: 1. Konstuktion de Länge d = ha h b h c aus h a, h b, h c (z.b. mit Stahlensatz).. Konstuktion Deiecks B nach sss aus den Seiten h b, h a, d. Damit liegt de Punkt = fest. 3. Konstuktion de Seite B als Paallele zu Seite B im bstand h c von. Bemekung: Wählt man h c als kleinste Höhe, ist die Veschiebung de Seite B am kleinsten, z.b. ist beeits d = c falls B echtwinklig ist B aus, α und h 1. Punkt und Stahl B. Paallele zu B im bstand h 3. Winkel α in abtagen, egibt 4. Paallele zu B im bstand h 5. Winkel α/ in abtagen, egibt α 6. Keis um mi Radius α 7. Tangente duch an nkeis egibt B. B Bemekung: Es entsteht ein B wenn < h.

6 58 DS DREEK.1.0 B aus R, α und h 1. Gleichschenkliges Deieck aus α und R. Das egibt die Punkte O, B und.. Umkeis um O mit Radius R. 3. Keis um mit Radius h. 4. Tangente an diesen Keis aus B schneidet den Umkeis in. O h R α α Bemekung: Es entstehen zwei nichtkonguente Deiecke B und B falls h < B = R sin α. B.1.1 B aus h B, a und R 1. Gleichschenkliges OB aus R und a. Umkeis 3. Keis um B mit Radius h B 4. Thaleskeis übe a 5. Schnittpunkt beide Keise ist de Fußpunkt H B de Höhe h B 6. Geade duch und H B schneidet Umkeis in H B O R h B a B.1. B aus, R und c 1. Gleichschenkliges BO aus R und c.. (Zwei) Paallele g zu B im bstand. 3. d = R(R ) konstuieen (z.b. mit Kathetensatz) 4. Keis k um O mit Radius d. 5. Schnittpunkt von g mit k ist. 6. nkeis um 7. Tangente an nkeis aus egibt (Schnittpunkt mit Umkeis) d O d B Bemekung: Es entstehen zwei nichtkonguente B und B Bemekung: Fü diese Konstuktion wid die Eulefomel d = R(R ) benötigt, die den bstand d = O angibt, de fü gegebene und R festgelegt ist.

7 .1 Deieckskonstuktionen B aus p, a und b 1. Rechtwinkliges Deieck mit Katheten p und a egibt Winkel α/.. Von aus Winkel α abtagen. 3. Von aus Stecke b abtagen, egibt. 4. Von aus Tangentte an nkeis. Bemekung: Es entsteht ein B,.1.4 B aus α, p und 1. Rechtwinkliges Deieck mit Kathete und Winkel α/.. Rechtwinkliges Deieck mit Kathete p und Winkel α/ in Ähnlichkeitslage. 3. Von aus Winkel α abtagen. 4. nkeis und nkeis zeichnen. 5. Gemeins. Tangente an beide Keise schneidet Schenkel von α in den Punkten B und. Bemekung: Es entstehen zwei B aus zwei gemeinsamen Tangenten an die Keise..1.5 B aus α, p und a 1. Rechtwinkliges Deieck mit Kathete p und Winkel α/.. Vom Eckpunkt a abtagen. m bstand p von Senkechte egibt Länge. 3. nkeis und nkeis zeichnen. 4. Gemeins. Tangente an beide Keise schneidet Schenkel von α in zwei Punkten B und. Bemekung: Es entsteht ein B,.1.6 B aus R, p und a us R und a konstuieen wi den Winkel α. Dann ist das Poblem auf die Konstuktion aus (α, p, a) zuückgefüht..1.7 B aus R, p und c 1. Gleichschenkliges BO aus c und R.. Umkeis um O mit Radius R. 3. Mittelsenkechte auf B. X sei Schnittpunkt mit Umkeis. 4. Senkechte g auf B im bstand c = p vom Punkt. 5. Keis k um X mit Radius XB. 6. Schnittpunkt von k und g ist nkeismittelpunkt. 7. nkeis um mit Radius c. 8. Tangenten aus und B an nkeis. 9. Schnittpunkt de Tangenten mit Umkeis ist. p O c X c R B

8 60 DS DREEK.1.8 B aus R, p und c Diese Konstuktion geht ähnlich de Konstuktion aus (R, p, c), nu daß anstelle des nkeises de nkeis betachtet weden muß. 1. Gleichschenkliges BO aus c und R.. Umkeis um O mit Radius R. 3. Mittelsenkechte auf B. X sei Schnittpunkt mit Umkeis. x 4. Senkechte g auf Geade B im bstand B = p X a vom Punkt. 5. Keis k um X mit Radius XB. 6. Schnittpunkte von k und g sind Mittelpunkte de nkeise und. O x 7. nkeise mit Radien B und B. R 8. Tangenten von und B an nkeise egeben m a c und c. Es entstehen zwei konguente Deiecke. B p c B