Schwerpunktfach AM/PH, 2011 KEGELSCHNITTE

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1 Schwerpunktfach AM/PH, 011 KEGELSCHNITTE

2 5. Kreis und Ellipse 5.1. Grundkonstruktionen am Kreis Konstruktion 1: Konstruiere einen Kreis, welcher durch die gegebenen 3 Punkte A,B und C verläuft: C B A Konstruktionsbericht: Konstruktion : Konstruiere alle möglichen Kreistangenten, welche durch den Punkt A verlaufen: A Konstruktionsbericht:

3 Konstruktion 3: Konstruiere die gemeinsamen äusseren Tangenten an die beiden Kreise: M 1 M Konstruktionsbericht: Konstruktion 4: Konstruiere die gemeinsamen inneren Tangenten an die beiden Kreise: M 1 M Konstruktionsbericht:

4 5.. Zwei verschiedene Definitionen des Kreises Kreise faszinieren Menschen schon sehr lange und es gibt eine erstaunlich einfache Formel, welche alle Punkte eines Kreises im Koordinatensystem beschreibt: 5..1 Algebraische Beschreibung: 5.. Geometrische Beschreibung:

5 5.3. Die Ellipse Definition und Bezeichnungen: F 1, F. a = b = AM = BM. CM = DM. AB. CD. e Die Zweikreiskonstruktion

6 5.3.3 Die Gärtnerkonstruktion Wir können nun die Gärtnerkonstruktion mit Zirkel und Bleistift rekonstruieren:

7 5.3.4 Ellipse zeichnen mit Hilfe von Krümmungskreisen Krümmungskreise helfen uns, die Rundung in der Umgebung der Achsenpunkte A,B,C und D genauer (näherungsweise) zeichnen zu können. Wir benötigen dazu lediglich die beiden Ellipsenachsen:

8 5.3.5 Ellipse als axiale Streckung des Kreises Eine Ellipse kann man sich als Kreis vorstellen, der in Richtung einer Achse gestaucht (bzw. gestreckt) wurde. Diese Art von Streckung nennt man axiale Streckung. Wir haben dies bei der Zweikreiskonstruktion eigentlich schon unbewusst kennengelernt: Q Q P P Besitzt eigentlich eine Ellipse auch Tangenten? Was ist das charakteristische Merkmal einer Tangente? Q P Stehen zwei Kreisdurchmesser senkrecht aufeinander, so nennt man die entsprechenden Ellipsendurchmesser konjugierte Durchmesser: Q P

9 5.3.6 Die Rytz sche Achsenkonstruktion Mit Hilfe von zwei konjugierten Ellipsendruchmessern können wir nun eine Ellipse konstruieren. Diese Art von Konstruktion nennt man die Rytz sche Achsenkonstruktion. Konstruieren Sie aus den geg. zwei konjugierten Durchmessern eine Ellipse und deren Tangenten in den punkten P,Q,R und S. Die Hauptachse der Ellipse soll horizontal bzgl. Zeichenblatt liegen. Q P Q P R S

10 5.3.7 Der Flächeninhalt der Ellipse Lässt sich der Flächeninhalt einer Ellipse exakt bestimmen? Wir haben in Abschnitt gesehen, dass eine Ellipse als axiale Streckung eines Kreises aufgefasst werden kann. Das heisst, die Strecken parallel zur y-achse werden in einem bestimmten Verhältnis gestaucht. Nehmen wir einen Kreis mit dem Radius a. Dieser Kreis wird mit dem Faktor a b gestaucht, so dass eine Ellipse mit dem Hauptscheitel a und dem Nebenscheitel b, entsteht. In den Kreis werden parallel zur y-achse Streifen eingezeichnet (siehe Bild). Der Radius des Kreises a hat zur kleinen Halbachse b das Verhältnis a : b. Aber auch alle anderen Parallelen zur y- Achse, die die Ellipse und den Kreis schneiden haben jeweils dieses Verhältnis, da alle Strecken von der Hauptdiagonalen der Ellipse zu einem Punkt auf dem Kreis auch um diesen Faktor a b verkürzt werden und die horizontalen Strecken gleich bleiben. Deshalb hat auch der Streifen der Ellipse zum jeweiligen Streifen des Kreises dieses Verhältnis. Wenn also der Flächeninhalt des Kreises mit diesem Verhältnis multipliziert wird, so bekommt man den Flächeninhalt der Ellipse. A Kreis = A Ellipse = Aus der Formel für den Flächeninhalt der Ellipse kann man erkennen, dass es einen Kreis gibt, der dieselbe Fläche hat wie die Ellipse. Dieser Kreis hat den Radius: Herleitung der Flächenformel (Mittelpunktsform) für die Ellipse Zu einer Ellipse, deren Hauptachse auf der x-achse liegt und der Mittelpunkt genau im Ursprung (0/0) liegt, lässt sich eine Gleichung herleiten: Laut Definition der Ellipse gilt: + r a r1 = r 1 P(x/y) y r daraus folgt: r = a r1 F 1 L x F e e Mit Hilfe des guten alten Pythagoras können wir nun r 1, r folgendermassen formulieren: Betrachte das rechtwinklige Dreieck Betrachte das rechtwinklige Dreieck F 1 LP LF P r 1 = y + (e + x) r = y + (e x)

11 Wir ersetzen nun r 1, r in der Gleichung r = a r1 : y + (e x) = a y + (e + x) beide Seiten quadrieren. Ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt: - ex = 4a 4a y + (e + x) + ex + ex und + 4a y + (e + x) 4a y + (e + x) = 4a + 4ex dividieren durch 4 a y + (e + x) = a + ex erneut beide Seiten quadr.. a y + a e + a ex + a x = a + a ex + e x a ex 4 a y + a e + a x = a + e 4 x Wegen e = a b lässt sich diese Gleichung vereinfachen: a y + a (a b ) + a x = a 4 + (a b )x a y a a b + a x = a + a x b x a x a 4 a y a b = b x + b x + a b b x + a y = a b : a b. Ein Punkt P(x/y) einer Ellipse mit den Achsen a und b erfüllt die Gleichung : x a y + b = 1

12 5.4 Ortslinien Definition und Beispiele: Beispiel: Bewegt man einen Punkt P um einen anderen Punkt M mit dem konstanten Abstand r, so entsteht eine Kreislinie. Man sagt auch: Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt M einen festen Abstand r haben, ist der Kreis um M mit dem Radius r. M P Begriff: Stellt man sich eine Menge von Punkten vor, die bestimmte geometrische Eigenschaften erfüllen, so entsteht als Bild eine Kurve, welche wir auch Ortslinie nennen. Man kann sich auch das Bild vorstellen, welches ein Punkt mit bestimmten geometrischen Eigenschaften in der Ebene hinterlässt, falls er bewegt wird. Beispiele: a) Die Ortslinie aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden g einen festen Abstand d haben, sind die zu g im Abstand d. b) Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand haben,ist die. c) Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden den selben Abstand haben, sind die Spezielle Ortslinien: 1) Kegelschnitte Was hat ein Kegel mit Raumfahrt zu tun? Wenn man sich etwas intensiver mit Raumfahrt beschäftigt, wird man immer wieder auf einen besonderen geometrischen Körper treffen: den Kegel. In folgenden Bereichen spielt die Kegelform eine besondere Rolle: - Flugbahnen - Raketentriebwerke - Raumkapseln

13 Flugbahnen Bei allen Flugbahnen, die natürliche (z.b. Planeten, Meteoride) oder künstliche (z.b. Satelliten) Objekte antriebslos in unserem Sonnensystem beschreiben, handelt es sich um sogenannte Kegelschnitte. Der Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die nicht durch den Scheitel des Kegels geht, stellt eine Kurve dar. Bei dieser Kurve handelt es sich, je nach Schnittwinkel der Ebene, um :. Schneidet die Ebene nur eine Seite des Kegels in einer geschlossenen Kurve, dann ist diese Kurve eine. Durchschneidet die Ebene den Kegel parallel zu dessen Seitenkante, dann erhält man als Kurve eine. Verläuft die Schnittfläche senkrecht zur kreisförmigen Grundfläche des Kegels, so handelt es sich bei dieser Kurve um eine. Damit ein Raumfahrzeug die Erde auf einer kreisförmigen Umlaufbahn umrunden kann, muss es die erste kosmische Geschwindigkeit (7,9 km/s) erreichen. Von seiner Anfangsgeschwindigkeit hängt die Flugbahn des Körpers ab. Ist die Geschwindigkeit größer als die Kreisbahngeschwindigkeit, so wird der Körper die Erde auf einer elliptischen Flugbahn umrunden. Je höher die Geschwindigkeit, desto langgezogener wird die Ellipse. Erreicht die Geschwindigkeit eines Satelliten die zweite kosmische Geschwindigkeit (11, km/s), wird aus der Ellipse eine offene Parabel. Bei einer noch höheren Geschwindigkeit nimmt die Flugbahn die Form einer Hyperbel an. In beiden Fällen (Parabel und Hyperbel) kehrt das Raumfahrzeug nicht mehr zum Gravitationszentrum zurück. Der Körper verlässt für immer das Schwerefeld der Erde. Adios!

14 Übersicht: Ist ω > φ, ist die Schnittkurve eine Ellipse. (Steht die Ebene normal auf die Achse, d.h. ω = 90, ergibt sich ein Kreis.) Ist ω = φ (die Ebene ist also parallel zu einer Mantellinie des Kegels), erhalten wir eine Parabel. Im Fall ω < φ müssen wir den Kegel zu einem Doppelkegel ergänzen. Die Schnittkurve, eine Hyperbel, besteht aus zwei Teilen. Die Ellipse besteht aus allen Punkten P der Ebene, für die die Summe der Abstände PF 1 und PF konstant ist: Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, für welche gilt: Die Parabel schließlich besteht aus allen Punkten die

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