Grundlagen der Datenverarbeitung - Zahlensysteme

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundlagen der Datenverarbeitung - Zahlensysteme"

Transkript

1 1. Zahlensysteme 1.1.Dezimalsystem Das Dezimalsystem ist das System, in dem wir gewohnt sind zu zählen und zu rechnen. Zahlen werden durch die Ziffern 0,1,2,...,9 dargestellt. Die Zahl 7243 wird als Siebentausendzweihundertdreiundvierzig ausgesprochen, das heißt beim Lesen wird, ohne Nachdenken zu müssen, automatisch die 7 mit Tausend, die 2 mit Hundert usw. multipliziert. In mathematischer Schreibweise (und in der Aussprache, abgesehen von der 10er und 1er -Stelle) steht also 7243 = 7 * * * * 1 Dabei kann man zur Potenzschreibweise übergehen, wobei gilt 1000 = 10 3, 100 = 10 2, 10 = 10 1, 1 = 10 0, Die Zahl 10 wird dabei als Basis bezeichnet, die Hochzahl als Exponent. Jede Zahl im Dezimalsystem lässt sich als Summe von Potenzen ihrer Basis 10 darstellen. Um eine beliebige Zahl darzustellen, muss dabei angegeben werden mit welchem Multiplikationsfaktor jede einzelne Potenz multipliziert werden muss, damit die Gesamtsumme die gewünschte Zahl ergibt (im Fall des obigen Beispiels also 7, 2, 4 und 3). Die Reihenfolge der Potenzen in der Summe bleibt dabei immer gleich. Rechts steht die kleinste Potenz, nach links nehmen die Potenzen jeweils um 1 zu. Da diese Reihenfolge immer gleich bleibt, erspart man sich das Schreiben der Potenzen, und verwendet für die Darstellung nur die Multiplikationsfaktoren. DI Helmut Tockner 1 / 31

2 Wenn man in Zahlensystemen mit verschiedenen Basen arbeitet, fügt man der dargestellten Zahl üblicherweise die Basis oder einen Kennbuchstaben (z.b. D für Dezimal) als Information hinzu: oder 7243 D Der höchste mögliche Multiplikationsfaktor im Dezimalsystem ist 9, da bei einer Multiplikation mit einer Zahl größer als 9 bereits die nächsten Potenz für die Darstellung benötigt wird d.h. eine Stelle mehr benötigt wird. Allgemein: Der größte mögliche Multiplikationsfaktor für die Darstellung in einem beliebigen Zahlensystem ist immer um 1 kleiner als die zugrunde liegende Basis. 1.2.Dualsystem, Binärsystem Das Binärsystem ist das wichtigste Zahlensystem im Bereich der Informatik, da damit direkt die zwei Zustände der Digitaltechnik (Schalter ein/aus, Strom ein/aus, Spannung hoch/niedrig) dargestellt werden. Basis des Binärsystems ist die Zahl 2 mit ihren Potenzen 2 0 = = = = = = = = = = = = = = = = Im Binärsystem lässt sich jede Zahl als Summe der Potenzen von 2 darstellen. Als Multiplikationsfaktoren benötigt man lediglich die Zahlen 0 und 1. Beispiel.: DI Helmut Tockner 2 / 31

3 23 10 = 1 * * * * * 2 0 = 1 * * * * 2 + 1* 1 = Wie im Dezimalsystem schreibt man die Potenzen nicht auf und fügt an die Folge von 1 und 0 eine tiefgestellte 2 oder ein B zur Kennzeichnung einer binär dargestellten Zahl an. Eine einzelne 0 oder 1 nennt man ein Bit. Ein Bit ist also die kleinste mögliche Darstellung von Information (z.b. Schalter ein/aus). Während im Dezimalsystem die 1er Stelle (niedrigste Potenz) immer rechts steht, wird in der Binärdarstellung (insbesondere Rechner-intern) aber manchmal auch die umgekehrte Reihenfolge (kleinste Potenz links) verwendet. In den folgenden Ausführungen wird aber die sogenannte Intel-Konvention verwendet, bei der, wie im Dezimalsystem, die kleinste Potenz (das niederwertigste Bit) rechts steht und die Potenzen nach links jeweils um einen Grad (bis zum höchstwertigen Bit) zunehmen. Ein Nachteil des Binärsystems ist die hohe Anzahl von 0 und 1 die man benötigt, um große Zahlen darzustellen. (So benötigt z.b. die Zahl = , in der binären Darstellung eine Kombination von 15 Bits während im Dezimalsystem nur 5 Ziffern dafür benötigt werden. DI Helmut Tockner 3 / 31

4 1.3.Hexadezimalsystem, Sedezimalsystem Die Basis dieses Systems ist = = = = = Die Darstellung einer Zahl im Hexadezimalsystem erfolgt wie im Dezimal- und im Dualsystem durch Aufschreiben der Multiplikationsfaktoren geordnet nach Potenzen von = 2 * * * * 16 0 = oder 2153 H Die Potenzen werden bei der Darstellung nicht aufgeschrieben. Da der höchste Multiplikationsfaktor entsprechend der Basis 16 aber die Zahl 15 ist, wird eine eindeutige Identifizierung der Multiplikationsfaktoren 10 bis 15 benötigt, da diese ja aus Ziffern zusammengesetzt sind, die auch für niedrigere Multiplikationsfaktoren verwendet werden. Deshalb wurde folgende Übereinkunft festgelegt: 10 = A 11 = B 12 = C 13 = D 14 = E 15 = F Somit schreibt man z.b = 10 * * * * 16 0 = = A * * B * * 16 0 = A2B3 16 Vorteil des Hexadezimalsystems ist die kompakte Schreibweise von großen Zahlen sowie die einfache Umrechnung zwischen Binär- und Hexadezimalsystem. DI Helmut Tockner 4 / 31

5 1.4.Andere Zahlensysteme Im Prinzip kann jede Zahl Basis eines Zahlensystems sein. Von Bedeutung ist aber lediglich noch das Oktalsystem mit der Basis 8. Die Umrechnung in Dualzahlen ist einfach, weil je 3 Dualstellen (Triaden) eine Stelle im Oktalsystem bilden. DI Helmut Tockner 5 / 31

6 1.5.Umrechnungen zwischen Zahlensystemen Von Dezimal nach Binär Man dividiert die umzurechnende Dezimalzahl durch 2 und notiert den Rest (0 oder 1). Das ganzzahlige Ergebnis der Division wird wiederum durch 2 dividiert und der Rest wiederum notiert. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die Division 0 ergibt. Die notierten Reste sind die Multiplikationsfaktoren der zugehörigen Binärzahl in der Reihenfolge steigender Potenzen. Umrechnung der Zahl in ihre entsprechende Binärzahl: Rest 537 : 2 = : 2 = : 2 = :2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = :2 = 1 0 1: 2 = = Von Binär nach Dezimal Setze die Dezimalzahl auf 0. Beginne bei der höchstwertigen Stelle n der Dualzahl (also ganz links). Multipliziere den Bit-Wert an dieser Stelle mit 2 und addiere den nächsten Bit-Wert der Dualzahl dazu. Die Summe wird wieder mit 2 multipliziert und der übernächste Bit-Wert dazugezählt. Das Verfahren wird wiederholt bis alle Stellen der Dualzahl verarbeitet worden sind. DI Helmut Tockner 6 / 31

7 dual =? dezimal B 2 * 1 +1 = 3 2 * 3 +0 = 6 2 * 6 +1 = 13 2 * = 27 2 * = 55 2 * = * = B = 221 D Von Dezimal nach Hexadezimal Die Vorgangsweise entspricht der bei der Umrechnung von dezimal nach binär, wobei die Divisionen allerdings schwieriger sind. Einfacher ist die Umrechnung in eine Binärzahl und anschließendes Konvertieren der Binärzahl in eine Hexadezimalzahl (siehe weiter unten). Umrechnung der Zahl in ihre entsprechende Hexadezimalzahl: Rest : 16 = = F 994 : 16 = :16 = 3 14 = E 3:16 = = 3E2F Von Binär nach Hexadezimal Diese Umrechnung ist einfach, weil 16 = 2 4 ist. Somit bilden jeweils 4 Bit (eine sogenannte Tetrade) eine Hexadezimalstelle. Die Binärzahl wird links mit so vielen 0 aufgefüllt, dass die Anzahl der Bits ein Vielfaches von 4 ergibt. DI Helmut Tockner 7 / 31

8 Umrechnung der Zahl in ihre entsprechende Hexadezimalzahl: Jeweils 4 Bit zusammenfassen und links mit 0 auffüllen Berechnen des Zahlenwertes der einzelnen Tetraden 1 11=B 7 13=D = 1B7D Von Hexadezimal nach Binär Jeder einzelne Hexadezimalwert wird in je eine Tetrade (4 Bits) umgerechnet. Umrechnung der Zahl 2CE3 16 in ihre entsprechende Binärzahl: 2 C E CE3 16 = Von Hexadezimal nach Dezimal Man verwendet das gleiche Verfahren wie bei der Umrechnung von Dual nach Dezimal, wobei natürlich die Multiplikationen schwieriger sind. 7C2H =? dezimal 7 C 2 16 * = * = Umrechnen von Rationalen Zahlen DI Helmut Tockner 8 / 31

9 Bisher wurden nur ganze Zahlen betrachtet, man kann aber auch rationale Zahlen (also Zahlen mit einem Dezimalpunkt, die sich als Bruch darstellen lassen) im binären System darstellen. Dabei stellt man den Teil hinter der Kommastelle durch eine Summe von Potenzen von 2 mit negativen Exponenten dar. 2-1 = 1/2 = 0,5 2-2 = 1/4 = 0, = 1/8 = 0, = 1/16 = 0, = 1/32 = 0, , = 0 * * * 2-3 = 0,011 2 Für die Berechnung gibt es dabei eine schematisierte Vorgangsweise Rationale Zahlen - Umrechnung von Dezimal in Dual Der ganzzahlige Teil vor dem Komma wird wie üblich berechnet, die Nachkommastellen aber extra. Vorgangsweise: Der Teil nach dem Komma wird mit 2 multipliziert. Dabei entsteht wiederum eine Zahl mit Kommastelle, wobei vor der Kommastelle eine 0 oder eine 1 stehen kann. Diese 0 oder 1 wird notiert und ergibt die erste Nachkommastelle der binären Darstellung. Der Teil hinter der Kommastelle wird wieder mit 2 multipliziert. Es ergibt sich wiederum eine Zahl mit Kommastelle mit einer 0 oder 1 vor dem Komma. Diese 0 oder 1wird ebenfalls notiert und ergibt die nächste Nachkommastelle der binären Darstellung. Das Verfahren wird wiederholt bis sich genau 1 oder eine Periodizität ergibt. 0, soll als binäre Kommazahl dargestellt werden. Binäre Nachkommastelle 0,625 * 2 = 1,25 1 0,25 * 2 = 0,5 0 0,5 * 2 = 1,0 1 DI Helmut Tockner 9 / 31

10 0, = 0, ,4 10 soll als binäre Kommazahl dargestellt werden. 0,4 * 2 = 0,8 0 0,8 * 2 = 1,6 1 0,6 * 2 = 1,2 1 0,2 * 2 = 0,4 0 usw. wegen Periodizität. 0,4 10 = 0, Periodische rationale Zahlen stellen ein Problem dar, da im Rechner nur eine beschränkte Zahl von Stellen gespeichert werden kann, sich die Periodizität also nicht erfassen lässt - Dadurch kommt es zu Rundungsfehlern. Beim Vergleich zweier gebrochener Zahlen sollte deshalb nicht auf Gleichheit geprüft werden, sondern auf eine gewisse minimale Differenz. Die folgende Bedingung ist eventuell nie erfüllt (je nach Rechenwerk), da die Rechnung 2/5 nicht exakt 0.4 ergibt, sondern als periodische Zahl intern nur mit endlicher Genauigkeit dargestellt werden kann. z.b. als oder float a=2; float b=5; if(a/b == 0.4) { Rationale Zahlen - Umrechnung von Dual in Dezimal Der ganzzahlige Teil vor dem Komma wird wie üblich berechnet. Der Teil nach dem Komma wird anders behandelt. DI Helmut Tockner 10 / 31

11 - zuerst werden alle Stellen gespiegelt, d.h. das höchstwertige (am weitesten links stehende) Bit kommt an das Ende der Ziffernfolge (ganz nach rechts).!!! Spiegeln nicht mit Invertieren verwechseln!!! - die erste binäre Stelle (links) wird durch 2 dividiert und das Ergebnis der Division zur nächsten Stelle addiert. Der so errechnete Wert wird wieder durch 2 dividiert und das Ergebnis zur übernächsten Stelle addiert. Dieser Vorgang wird bis zur letzten binären Stelle wiederholt. - Das Ergebnis der letzten Division ist das Endergebnis 0,011 2 soll als Kommazahl im Dezimalsystem dargestellt werden. Spiegeln /2 = 0,5 (1 + 0,5) /2 = 0,75 (0 + 0,75) / 2 = 0,375 0,011 2 = 0, Das Ergebnis hätte man, wie oben gezeigt, auch aus der Summe der entsprechende negativen Potenzen von 2 erhalten: 0, = 0 * * * 2-3 = 0, Rechnen mit Dualzahlen Für das Verständnis des Ablaufes von Rechenoperationen innerhalb eines Computers ist die Kenntnis der Regeln für Rechenoperationen im Binärsystem wesentlich Addition Man beginnt beim niederwertigsten Bit (ganz rechts) und rechnet folgendermaßen: = = = 1 DI Helmut Tockner 11 / 31

12 1 + 1 = 0 mit Übertrag von 1 an die nächste Stelle Übertrag Subtraktion Bei der Subtraktion sind die Regeln der Addition zu berücksichtigen, um festzustellen wieviel bei jeder Stelle zum Subtrahenden dazugezählt werden muss, um den Wert an der jeweiligen Stelle des Minuenden zu erhalten. Überträge ( bei 1+1 =0) werden an die nächste, höherwertige Stelle übertragen Übertrag Multiplikation Man multipliziert wie im Dezimalsystem durch bilden von Summanden, die jeweils mit einer Verschiebung von einer Stelle nach rechts addiert werden * 110 = Übertrag DI Helmut Tockner 12 / 31

13 1.7.4.Division Die Division im Dualsystem erfolgt wie im Dezimalsystem. Beim Berechnen wie oft der Divisor jeweils in den aus den Differenzen und den heruntergezogenen Stellen des Dividenden gebildeten Zahlen enthalten ist, reicht es festzustellen ob der Divisor kleiner (Ergebnis 1) oder größer (Ergebnis 0) ist, als die betrachtete Differenz. Im Binärsystem lässt sich leicht feststellen, welche von zwei Zahlen kleiner ist: - falls eine Zahl weniger signifikante Bits besitzt, ist sie ohnedies die kleinere - ansonsten beginnt man von links jeweils die gleichwertigen Bits zu vergleichen, bis sich die Bits an einer Stelle unterscheiden. Jene Zahl, die an dieser Stelle eine 0 stehen hat, ist die kleinere. Division zweier Binärzahlen: : 110 = Negative Zahlen Für die Darstellung von negativen Zahlen wird das höchstwertige Bit (most significant bit =MSB) für die Darstellung des Vorzeichens verwendet. Für eine negative Zahl gilt dabei MSB = 1, bei einer positiven ist das MSB=0. DI Helmut Tockner 13 / 31

14 Durch die Verwendung des MSB für das Vorzeichen ändert sich auch der darstellbare Zahlenbereich, da ja ein Bit weniger für die Darstellung großer Zahlen zur Verfügung steht. z.b. für 8 Bit Zahlen: ohne Vorzeichen 0, 1, , mit Vorzeichen -127, -126, -0, +0,...,+127 Ein Vorzeichen für die Zahl 0 hat zwar eigentlich keinen Sinn, ergibt sich aber als mögliche Bitkombination. Es muss unbedingt festgelegt sein, ob man mit vorzeichenbehafteten Werten rechnet oder nicht, da davon die Interpretation abhängt. Programmiersprachen bieten deshalb die Möglichkeit der Deklaration von Variablen mit oder ohne Vorzeichen z.b. signed oder unsigned in C. Die Binärzahl entspricht z.b. ohne Interpretation des MSB als Vorzeichenflag (also als unsigned definiert) der Zahl während sie für ein signed der Zahl entspricht. In diesem Fall ist zu beachten, dass nicht einfach nur das MSB als Vorzeichen verwendet wird und die restlichen Bits die zugehörige Zahl ergeben. (ein vorzeichenbehaftetes ist nicht einfach ). Der Grund dafür wird ersichtlich, wenn man mit negativen Zahlen rechnet. Der Zahlenwert einer binär dargestellten negativen Zahl lässt sich folgendermaßen berechnen: N ist die Zahl der Bits ohne MSB (Vorzeichenbit) die für die Darstellung der Zahl zur Verfügung stehen. Den dargestellten binären Wert rechnet man in den entsprechenden Dezimalwert um und subtrahiert diesen Wert von 2 N. Welche vorzeichenbehaftete Zahl stellt dar? MSB = 1 es ist eine negative Zahl Es stehen N=7 Bits für die Zahlendarstellung zur Verfügung 2 N =2 7 = = Der Binärcode stellt also die Zahl -(2 7-26) = -(128-26) = -102 dar Kontrolle des Ergebnisses = ( ) = = ( ) = (1) Die Rechnung ergibt also in den Bits 1 bis 7 lauter 0, das Bit 8 ist ebenfalls 0 und gibt das Vorzeichen an, in diesem Fall positiv. Zusätzlich ist aber ein Übertrag ins Bit 9 entstanden. Diesen Übertrag bezeichnet man als Carry-Flag. Das Carry Flag ist 1 wenn das Ergebnis der DI Helmut Tockner 14 / 31

15 Addition eine positive Zahl war und ist 0 (oder nicht vorhanden), wenn das Ergebnis negativ war. Das Carry-Flag darf nicht mit dem Vorzeichenflag verwechselt werden. Das Vorzeichenflag bleibt im obigen Beispiel weiterhin an 8. Stelle. Das Carry Flag wird in diesem Beispiel nicht weiter verwendet. Es spielt aber eine entscheidende Rolle beim Rechnen mit nicht vorzeichenbehafteten Zahlen, da sich daraus Ableiten lässt wie das Ergebnis einer arithmetischen Operation interpretiert werden muss. Wenn keine Carry Flag entsteht, das Ergebnis der Operation also negativ war, muss das Ergebnis auch als negative Zahl interpretiert werden Umrechnen einer Dualzahl in eine entsprechende mit umgekehrten Vorzeichen Eine Dualzahl wird in die entsprechende Dualzahl mit umgekehrten Vorzeichen umgerechnet, indem jedes Bit invertiert und anschließend 1 addiert wird. Der Sinn dieser Vorgangsweise wird aus den Rechnungen mit Komplementen ersichtlich. Die so erzeugten Dualzahlen ergeben konsistente Rechenoperationen. DI Helmut Tockner 15 / 31

16 in binärer Darstellung = Vorzeichen wechseln invertieren addieren = und wieder zurückwandeln invertieren addieren = Das Ergebnis stimmt mit dem ursprünglichen Wert überein. 1.9.Subtraktion mittels Komplementen Eine Subtraktion lässt sich auch durch Addition mit dem entsprechenden Komplement des Subtrahenden durchführen. Das Komplement ist die Ergänzung jeder Ziffer einer Zahl auf den Wert Basis-1, also auf 9 im Dezimalsystem und auf 1 im Binärsystem. Anschließend an die Addition des 1er oder 9er Komplements muss noch 1 addiert werden im Dezimalsystem Wichtig ist die Komplementierung des Subtrahenden auf die Anzahl von Stellen des Minuenden - in diesem Fall schreibt man also 032 Das 9er Komplement von 032 = 967 K (1) addieren (da nur mit dem 9er Komplement gerechnet wurde) (1)711 Wenn sich ein Übertrag ergibt, ist das Ergebnis eine positive Zahl, wenn nicht stellt es eine negative Zahl dar DI Helmut Tockner 16 / 31

17 er Komplement von Kein Übertrag also negative Zahl 915 stellt also eine negative Zahl dar. Den dazugehörigen Zahlenwert erhält man durch Bilden des Komplements und Setzen des Vorzeichens 915 -(084 9k ) = -84 Die Subtraktion mittels Komplementen erfolgt im Binärsystem genau in entsprechender Weise. Bilden des 1er Komplements des Subtrahenden Addition des 1er Komplements zum Minuenden. Falls Übertrag (Carry Flag) entstanden ist, Addition von 1. Das Ergebnis ist eine positive Zahl. Falls kein Übertrag entstanden ist, ist das Ergebnis eine negative Zahl und muss in den entsprechenden Zahlenwert durch bilden des Komplements umgerechnet werden. Beispiel er Komplement von (1) Ein Übertrag tritt auf Das Ergebnis ist dann = er-Komplement von Kein Übertrag also negative Zahl Das Ergebnis ist dann das negative 1er-Komplement der Summe: Schlußfolgerung: DI Helmut Tockner 17 / 31

18 Die Subtraktion zweier Zahlen A und B kann auf die Addition des Komplements und eine zusätzliche Addition von 1 zurückgeführt werden. Das bedeutet aber, dass das 1-er Komplement einer Zahl vermehrt um 1 genau ihre negative Zahl ergibt. Beweis: x - y = x + y k + 1 -x -y = y k + 1 x, y... beliebige Zahlen zur Basis B... Komplement von y zur Basis-1 y k er Komplement im Binärsystem Das Bilden des 1er Komplements mit anschließender Addition von 1 nennt man die Bildung des 2er Komplements. Diese Vorgangsweise wird, wie oben beschrieben, dazu verwendet eine Zahl in die entsprechende mit umgekehrten Vorzeichen umzurechnen. Da die Rechenoperationen mit so dargestellten negativen Zahlen bereits in sich konsistent sind, darf man beim Rechnen mit dem 2er Komplement nicht noch einmal 1 dazuzählen, wie es beim 1er Komplement nötig ist. DI Helmut Tockner 18 / 31

19 in binärer Darstellung mit und ohne Vorzeichenbit = = Ergänzen auf 7 Stellen und 1er Komplement er Komplement durch Addieren von 1 zum 1er Komplement = -43 Addition des 2-er Komplements ( -43) (1) Carry Flag = 1 d.h. Ergebnis war positiv Die gleiche Rechnung mit vorzeichenbehafteten Werten, d.h. mit MSB (fett dargestellt) als Vorzeichenindikator = Stellen und MSB als Vorzeichen invertieren (auch das MSB) er Komplement MSB = 0 positive Zahl (127) MSB = 1 negative Zahl (-43) (1) Carry Flag = 1 d.h. Ergebnis war positiv MSB = 0 bedeutet ebenfalls pos. Ergebnis in binärer Darstellung mit und ohne Vorzeichenbit = = er-Komplement er-Komplement Addition des 2er Komplements (0) Kein Carry Flag Ergebnis ist negativ DI Helmut Tockner 19 / 31

20 Es entsteht kein Übertrag, deshalb ist dies eine negative Zahl. Ihren Zahlenwert erhält man durch Bildung des 2er-Komplements und Schreiben eines - als Vorzeichen invertieren addieren = Die gleiche Rechnung mit vorzeichenbehafteten Werten, d.h. mit MSB als Vorzeichenindikator = er-Komplement er-Komplement = MSB = 0 d.h. positive Zahl MSB = 1 d.h. negative Zahl (0) Kein Carry Flag Ergebnis ist negativ MSB = 1 bedeutet ebenfalls negative Zahl Zusammenfassung der Ergebnisse beim Rechnen mit negativen Zahlen In der folgenden Tabelle sind noch einmal die möglichen Ergebnisse beim Rechnen mit negativen Zahlen zusammengefasst. Bei der Rechnung normale Subtraktion ohne Vorzeichen-Bit normale Subtraktion ohne Vorzeichen-Bit normale Subtraktion mit Vorzeichen-Bit wenn das Ergebnis steht im Vorzeichen-Bit Entsteht ein Carry-Flag Zum Darstellen der Zahl pos nichts 0 ist bereits richtig neg nichts 1 Umrechnen mit 2-er Komplement pos 0 0 ist bereits richtig normale Subtraktion mit neg 1 1 Umrechnen mit 2-er DI Helmut Tockner 20 / 31

21 Vorzeichen-Bit Subtraktion mit 2-er Komplement ohne Vorzeichen-Bit Subtraktion mit 2-er Komplement ohne Vorzeichen-Bit Subtraktion mit 2-er Komplement mit Vorzeichen-Bit Subtraktion mit 2-er Komplement mit Vorzeichen-Bit Komplement pos nichts 1 ist bereits richtig neg nichts 0 Umrechnen mit 2-er Komplement pos 0 1 ist bereits richtig neg 1 0 Umrechnen mit 2-er Komplement Das Vorzeichen-Bit verhält sich also immer gleich (0 bei positiver Zahl, 1 bei negativer Zahl) und unabhängig vom Übertrag. Der Übertrag verhält sich aber unterschiedlich, je nach Art und Weise der Subtraktion. Ein Rechenwerk verwendet entweder die eine oder andere Art und reagiert dementsprechend richtig durch Auswertung der zusätzlichen Stellen des Ergebnisses. Beim bilden des 2-er Komplements von Zahlen mit Vorzeichenflag muss auch das Vorzeichen-Bit mit invertiert werden. DI Helmut Tockner 21 / 31

22 2. Darstellung von Zahlen und Zeichen im Computer Eine Vorschrift zur eindeutigen Zuordnung der Zeichen eines Zeichenvorrats zu den Zeichen eines anderen Zeichenvorrats nennt man einen Code, die Tätigkeit Codierung. Die Darstellung einer Codierungsvorschrift erfolgt häufig in Form einer Codetabelle. 2.1.Gleitkommazahlen Gleitkommazahlen (floating point numbers) sind endliche reele Zahlen, die unterschiedlich viele Stellen vor oder nach dem Komma besitzen können. Für Zahlen mit vielen Stellen hat sich die Exponentialschreibweise durchgesetzt. Die Elementarladung e=0, As schreibt man als e=1,602 *10-19 As 1,602 bezeichnet man als Mantisse -19 als Exponenten, der die Lage des Kommas festlegt (in diesem Fall 19 vor der eins - also 18 Nullen und eine 1) Für die interne Abspeicherung im Rechner muss eine binäre Form gesucht werden. Jede reele Zahl z lässt sich aber auch in der folgenden Form darstellen. z = (-1) s * (1,f) * 2 ex Dabei bedeuten s... sign, Vorzeichen (positiv: s=0; negativ s=1) f... fraction, die Nachkommastellen, (vor dem Komma steht immer eine 1 - man nennt dies normalisierte Form) ex... Exponent Da der Exponent positiv oder negativ sein kann und eine Rechner-interne Darstellung mit positiven Zahlen möglich sein soll, wurde zusätzlich folgendes definiert (c steht für characteristics) c = ex + bias wobei bias 127 für single precision und bias = 1024 für double precision ist. DI Helmut Tockner 22 / 31

23 d.h. für single precision Zahlen ist c bei negativen Exponenten kleiner als 127 und größer gleich 127 bei positiven Exponenten. Da sich die Zahl 0 nicht in der oben beschriebenen Form darstellen lässt (vor der fraction steht immer 1) wurde folgende Vereinbarung getroffen: 0 ist gemeint, wenn alle Stellen in f= sind und c=0 ist. Gemäß IEEE-Norm wird eine mit s, f und c dargestellte Zahl folgendermaßen im Rechner gespeichert: IEEE single precision: Bit 31. Bit Bit S 8 Bit c 23 Bit f IEEE double precision: Bit 63. Bit Bit S 11 Bit c 52 Bit f die Zahl 6 10 würde als single precision folgendermaßen gespeichert: 6 10 =110 2 = 1,10 * 2 2 s=0 (positiv) ex=2 c=127+2= = s C F die Zahl 7/ würde als single precision folgendermaßen gespeichert: 7/256=7*2-8 = 111 * 2-8 = 1,11 * 2-6 DI Helmut Tockner 23 / 31

24 s=0 (positiv) ex = -6 c = = = s C F Die größte single precision Zahl wäre (1, *2 127 ) 2 = (3,4 * ) 10 Die kleinste single precision Zahl wäre (1, *2-126 ) 2 = (1,17 * ) 10 Hier verwundert vielleicht, dass nicht verwendet wurde, da die größte mit 8 Bit darstellbare Zahl ja 255 wäre also bias + ex= Ebenso wäre der kleinste Wert für c eigentlich 0 also bias + ex = und nicht nur -126 als größter negativer Exponent. Der Grund liegt in der Verwendung von c=255 und c=0 gemeinsam mit f für die Darstellung besonderer Gegebenheiten: DI Helmut Tockner 24 / 31

25 c für single (double) f bedeutet Beispiel 255 (2047) 0 bei Division durch (2047) 0 NAN (not a number) Wurzel aus negativer Zahl 0 0 die Zahl denormalisierte Zahl sehr kleine Zahlen Der Begriff denormalisierte Zahl soll kurz erklärt werden: Normalerweise wird nach IEEE Standard jede Zahl in ihrer normalisierten Form dargestellt d.h. vor dem Komma steht immer eine 1, die in der internen Darstellung nicht mehr aufgeschrieben werden braucht (hidden bit). Zahlen kleiner als 1 erhalten einen solchen negativen Exponenten, dass wieder genau eine 1 vor dem Komma steht. Man schreibt also z.b. 0,01 2 als 1,0 2 * 2-2 und hat die Zahl 0,01 damit normalisiert. Jede Zahl < 1 kann also normalisiert werden, in dem das Komma mit Hilfe des Exponenten bis hinter die Stelle nach rechts geschoben wird, an der die erste 1 steht. Mit der Definition für c = ex + bias kann das aber höchstens bis zum Exponenten 126 bei single bzw bei double durchgeführt werden. Für sehr kleine Zahlen erlaubt man deshalb 0 als hidden bit und gewinnt dadurch bis zu 23 Bits, wobei aber mit jeder Stelle auch Genauigkeit verloren geht, da führende Nullen nicht mehr eliminiert werden können. Man nennt die Darstellung mit 0,f die denormalisierte Form. single: z denormalisiert = (-1) s * (0,f) * double: z denormalisiert = (-1) s * (0,f) * single precision einer sehr kleinen Zahl 0, * wäre normalisiert 1,01 2 * was aber nicht möglich ist da c = bias + ex = = -4 wäre. c muss aber eine positive Zahl sein. Deshalb kann man, wenn die verwendete Rechnerplattform dies erlaubt, die Zahl in denormalisierter Form speichern: 0, * = 0, * S C F denormalisiert DI Helmut Tockner 25 / 31

26 Während in der normalisierten Form aber alle Bitkombinationen bis zu 23 Bits hinter der ersten 1 gespeichert werden würden, verliert man in diesem Beispiel 5 Bits an Genauigkeit, weil ja alle Nullen vor der ersten 1 sowie die erste 1 auch gespeichert werden müssen. Die kleinste darstellbare denormalisierte single precision Zahl ist 2-23 * = 1,4 * DI Helmut Tockner 26 / 31

27 2.1.1.Rechnen mit Gleitkommazahlen Multiplikation: Mantissen multiplizieren, Exponenten addieren, normalisieren 7*10 2 * 4*10 5 = 28 * 10 7 = 2,8 * 10 8 Addition: Exponenten anpassen, Mantissen addieren, normalisieren 7* *10 5 = 0,007* *10 5 = 40,007 * 10 5 = 4,0007 * 10 6 Die meisten Mikroprozessoren können keine Gleitkomma-Arithmetik ausführen, so dass man entsprechende Berechnungen entweder per Software nachbildet oder einen speziellen Gleitkomma-Prozessor (mathematischer Co-Processor) einsetzt. 2.2.BCD-Code BCD steht für binary coded decimal. Dabei werden alle Ziffern einer Dezimalzahl einzeln durch ihr binäres Gegenstück dargestellt. Für die binäre Darstellung der Zahlen 0 bis 9 benötigt man jeweils 4 Bits (eine Tetrade). Da mit 4 Bits aber 16 verschiedene Kombinationen möglich wären, verschwendet man also 6 mögliche Bitkombinationen, die sogenannten Pseudotetraden, die keine entsprechenden Dezimalzahlen haben. Neben den codierten Zahlen kann der BCD Code auch Informationen zum Vorzeichen, zur Lage eines Kommas und zur Anzahl der Nachkommastellen enthalten. Der Vorteil des BCD Codes ist die einfache und rasche Kodierung. Bei der BCD Kodierung von Gleitkommazahlen kann es auch nicht zu verdeckten Rundungsfehlern kommen, da genau die dargestellte Zahl kodiert wird. Für Rechnungen im kaufmännischen Bereich ist der BCD Code deshalb weit verbreitet. Beim Rechnen mit BCD können Pseudotetraden auftreten. Falls dies geschieht muss nachträglich der Wert 6 addiert oder subtrahiert werden. Umrechnung einer Zahl in das BCD Format = = BCD DI Helmut Tockner 27 / 31

28 = 45 in BCD = BCD = BCD BCD enthält Pseudotetrade, also 6 Addieren BCD = Ein Nachteil des BCD Codes ist die unterschiedliche Gewichtung der einzelnen Stellen der Tetrade ( ), was bei Übertragungsfehlern eine Rolle spielen kann. Ein Übertragungsfehler im höchstwertigen Bit verursacht eine wesentlich stärkere Verfälschung als ein Übetragungsfehler im niedrigstwertigen Bit - z.b. würde aus der Zahl 9 10 =1001 BCD die Zahl 1 10 = 0001 BCD wenn auf Grund eines Übertragungsfehlers an Stelle einer 1 eine 0 im höchstwertigen Bit übertragen würde Fehlertolerante Codes Um die Auswirkung von Übertragungsfehlern möglichst klein zu halten, werden verschiedene Codes für die binäre Codierung verwendet, bei denen die Gewichtung der einzelnen Bits weniger stark variiert als beim Standard BCD Code, so dass eine Änderungen in irgendeinem Bit die Gesamtzahl weniger stark verfälscht. Beispiele sind der Aiken Code ( ), der 3-Excess Code (auch 3XS genannt, bei dem die Kombinationen 0000 und 1111 ausgelassen wurden) und der Gray-Code, bei dem sich von Ziffer zu Ziffer jeweils nur 1 Bit ändert. Für noch sicherere Codes werden auch 5 Bits für die Darstellung der Ziffern 0 bis 9 verwendet, wobei zum Beispiel beim 2-aus-5 Code in den Bitfolgen jeweils genau zwei 1 verwendet werden. Somit können Übertragungsfehler dadurch registriert werden, dass nicht mehr genau 2 Bits gesetzt sind. Die Standardrechenregeln für Binärzahlen gelten allerdings für solcherart codierte Zahlen nicht mehr. Beispiele: DI Helmut Tockner 28 / 31

29 Aiken ( ) Gray Dezimalzahl Für die Kodierung wird also nur eine spezielle Auswahl von Bitkombinationen verwendet. Auch mit dieser Codierung von Zahlen kann eine Bearbeitung der Grundrechnungsarten durchgeführt werden. Dabei müssen aber wie beim BCD Code spezielle Korrekturterme berücksichtigt werden, wenn Pseudotetraden auftreten, also Tetraden, die bei der Kodierung nicht verwendet werden. DI Helmut Tockner 29 / 31

30 2.3.Spezielle Codes zur Darstellung alpha-numerischer Zeichen ASCII ASCII steht für American Standard Code for Information Interchange. Der ASCII Code ist ein Codierschemastandard für Zeichen von einem Byte Länge, das für textbasierte Computerdaten verwendet wird. Bei ASCII stehen vorbestimmte Zahlenkombinationen von 7 oder 8 Bit Länge für entweder 128 oder 256 mögliche Zeichen. Bei Standard-ASCII werden mit 7 Bit alle im US-amerikanischen Englisch verwendeten Groß- und Kleinbuchstaben, die Ziffern 0 bis 9, Interpunktionszeichen und spezielle Steuerzeichen (z.b. Zeilenumbrüche, Tab-Befehl etc.) codiert. Diese Steuerzeichen sind meist nicht am Bildschirm darstellbar (denn Sie würden ja etwas beim Rechner auslösen) und werden deshalb meist mit einem kleinen Quadrat symbolisiert. Die meisten aktuellen auf Intel basierenden Systeme unterstützen die erweiterte (oder "höhere") ASCII-Codierung. Mit dem erweiterten ASCII-Code können über das achte Bit jedes Zeichens weitere 128 spezielle Symbolzeichen, in anderen Sprachen verwendete Buchstaben sowie Grafiksymbole bestimmt werden, z.b. haben die deutschen Umlaute den Entsprechungscode in diesem Bereich ANSI ANSI steht für American National Standard Institute, eine amerikanische Behörde zur Spezifizierung von Normen, die unter anderem für die Weiterentwicklung des ASCII- Zeichensatz verantwortlich ist. Der ANSI Zeichensatz ist demnach eine Weiterentwicklung des ASCII-Zeichensatzes, der allerdings für die Nummern 32 bis 127 mit dem ASCII-Zeichensatz übereinstimmt. Einige abweichende Beispiele: ä ü ö ß ASCII ANSI DI Helmut Tockner 30 / 31

31 2.3.3.EBCDIC EBCDIC ist die Abkürzung für Extended Binary Coded Decimal Interchange Code. Dies ist ein von der Firma IBM festgelegter Code, der 8 bit für die Darstellung von 256 möglichen Zeichen (im Gegensatz zu den 7 Bit und 128 Zeichen im Standard-ASCII-Zeichensatz) verwendet. Im Umfeld der Großrechner findet man vorwiegend den EBCDIC-Standard, während sich im Kleinrechnerbereich der ANSI-Standard durchgesetzt hat. Beide Systeme beruhen auf einem sehr ähnlichen Prinzip, allerdings ist die Zeichenbelegung völlig verschieden. Dies hat zur Folge, dass es eines Konverters bedarf, wenn ein Schriftstück welches in ANSI kodiert ist unter EBCDIC betrachtet werden soll oder umgekehrt Unicode Unicode ist ein Zeichencodierungsstandard mit 16 Bit, der zwischen 1988 und 1991 vom Unicode Consortium entwickelt wurde. Da zur Darstellung jedes einzelnen Zeichens zwei Bytes verwendet werden, kann Unicode mit nur einem Zeichensatz fast alle geschriebenen Sprachen der Welt wiedergeben. Im Gegensatz dazu können mit dem 8-Bit-ASCII-Code nicht einmal alle Buchstabenkombinationen und Verbindungen von diakritischen Zeichen dargestellt werden, die im lateinischen Alphabet vorkommen (diakritische Zeichen sind solche, die die besondere Aussprache eines Buchstaben anzeigen z.b. é und è im Französischen). Bis heute wurden etwa der in Unicode möglichen Zeichencodes zugewiesen, allein werden für chinesische Ideogramme verwendet (Ideogramme = Zeichen die einen ganzen Begriff darstellen wie die Hieroglyphen). Die übrigen Kombinationen verbleiben für Erweiterungen. DI Helmut Tockner 31 / 31

Zahlensysteme und Kodes. Prof. Metzler

Zahlensysteme und Kodes. Prof. Metzler Zahlensysteme und Kodes 1 Zahlensysteme und Kodes Alle üblichen Zahlensysteme sind sogenannte Stellenwert-Systeme, bei denen jede Stelle innerhalb einer Zahl ein besonderer Vervielfachungsfaktor in Form

Mehr

Informationsmenge. Maßeinheit: 1 Bit. 1 Byte. Umrechnungen: Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit

Informationsmenge. Maßeinheit: 1 Bit. 1 Byte. Umrechnungen: Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit Informationsmenge Maßeinheit: 1 Bit Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit 1 Byte Zusammenfassung von 8 Bit, kleinste Speichereinheit im Computer, liefert

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik

Mehr

2 Repräsentation von elementaren Daten

2 Repräsentation von elementaren Daten 2 Repräsentation von elementaren Daten Alle (elemtaren) Daten wie Zeichen und Zahlen werden im Dualsystem repräsentiert. Das Dualsystem ist ein spezielles B-adisches Zahlensystem, nämlich mit der Basis

Mehr

Vorlesung Programmieren

Vorlesung Programmieren Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen

Mehr

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f

Mehr

Inhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen Darstellung ganzer Zahlen

Inhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen Darstellung ganzer Zahlen 3 Zahlendarstellung - Zahlensysteme - b-adische Darstellung natürlicher Zahlen - Komplementbildung - Darstellung ganzer und reeller Zahlen Inhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen......

Mehr

Zahlen in Binärdarstellung

Zahlen in Binärdarstellung Zahlen in Binärdarstellung 1 Zahlensysteme Das Dezimalsystem Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem (Posititionssystem) zur Basis 10. Das bedeutet, dass eine Ziffer neben ihrem eigenen Wert noch einen

Mehr

Zahlen im Computer (Klasse 7 Aufbaukurs Informatik)

Zahlen im Computer (Klasse 7 Aufbaukurs Informatik) Zahlen im Computer (Klasse 7 Aufbaukurs Informatik) Die Bildauswahl erfolgte in Anlehnung an das Alter der Kinder Prof. J. Walter Bitte römische Zahlen im Geschichtsunterricht! Messsystem mit Mikrocontroller

Mehr

There are only 10 types of people in the world: those who understand binary, and those who don't

There are only 10 types of people in the world: those who understand binary, and those who don't Modul Zahlensysteme In der Digitaltechnik haben wir es mit Signalen zu tun, die zwei Zustände annehmen können: Spannung / keine Spannung oder 1/ oder 5V / V oder beliebige andere Zustände. In diesem Modul

Mehr

Rechnergrundlagen SS Vorlesung

Rechnergrundlagen SS Vorlesung Rechnergrundlagen SS 27 4. Vorlesung Inhalt Binäre Darstellung von Integer-Zahlen Vorzeichen-Betrag 2er-Komplement BCD Addition und Subtraktion binär dargestellter Zahlen Carry und Overflow Little Endian

Mehr

Kapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner

Kapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner Kapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner Kapitel 5 Darstellung von Daten im Rechner und Rechnerarithmetik Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 5 Kapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner Seite Kapitel

Mehr

Kapitel 2. Zahlensysteme, Darstellung von Informationen

Kapitel 2. Zahlensysteme, Darstellung von Informationen Kapitel 2 Zahlensysteme, Darstellung von Informationen 1 , Darstellung von Informationen Ein Computer speichert und verarbeitet mehr oder weniger große Informationsmengen, je nach Anwendung und Leistungsfähigkeit.

Mehr

Rückblick. Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b. Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (214) 5 = (278) 10 =(?) 8

Rückblick. Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b. Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (214) 5 = (278) 10 =(?) 8 Rückblick Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b (214) 5 = Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (278) 10 =(?) 8 25 Rückblick Schnellere Umwandlung zwischen Binärdarstellung und Hexadezimaldarstellung

Mehr

Zum Nachdenken. Wenn die Zahl (123) hat, was könnte dann (123,45) 10

Zum Nachdenken. Wenn die Zahl (123) hat, was könnte dann (123,45) 10 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Wenn die Zahl (123) 10 den Wert 1. 10 2 +2. 10 1 +3. 10 0 hat, was könnte dann (123,45) 10 bedeuten? Wenn Sie beliebige reelle Zahlenwerte

Mehr

Grundlagen der Informatik I. Übung

Grundlagen der Informatik I. Übung Grundlagen der Informatik I Übung Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Wintersemester 1/13 Autor: Prof. Dr.-Ing. habil. Hans-Joachim Böhme HTW Dresden, Fachbereich Informatik/Mathematik Friedrich-List-Platz

Mehr

Informationsdarstellung 2.2

Informationsdarstellung 2.2 Beispiele für die Gleitkommadarstellung (mit Basis b = 2): 0,5 = 0,5 2 0-17,0 = - 0,53125 2 5 1,024 = 0,512 2 1-0,001 = - 0,512 2-9 3,141592... = 0,785398... 2 2 n = +/- m 2 e Codierung in m Codierung

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung

Grundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Zahlendarstellungen

Mehr

1. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren

1. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren 1. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 25 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

Mehr

1.5 Einführung und Zahlensysteme/Darstellung gebrochener Zahlen

1.5 Einführung und Zahlensysteme/Darstellung gebrochener Zahlen 1.5 Einführung und Zahlensysteme/Darstellung gebrochener Zahlen 1.5.1 Situation Manchmal möchte man in Programmen mit Kommazahlen rechnen. In der Mathematik Im der Wirtschaft, im kaufmännischen Bereich

Mehr

3 Kodierung von Informationen

3 Kodierung von Informationen 43 3 Kodierung von Informationen Bevor ich Ihnen im nächsten Kapitel die einzelnen Bausteine einer Computeranlage vorstelle, möchte ich Ihnen noch kurz zeigen, wie Daten kodiert sein müssen, damit der

Mehr

Zahlen- und Buchstabencodierung. Zahlendarstellung

Zahlen- und Buchstabencodierung. Zahlendarstellung Dezimalsystem: Zahlen- und Buchstabencodierung Zahlendarstellung 123 = 1 10 2 + 2 10 1 + 3 10 0 1,23 = 1 10 0 + 2 10-1 + 3 10-2 10 Zeichen im Dezimalsystem: 0,1,...9 10 ist die Basis des Dezimalsystems

Mehr

Übung Praktische Informatik II

Übung Praktische Informatik II Übung Praktische Informatik II FSS 2009 Benjamin Guthier Lehrstuhl für Praktische Informatik IV Universität Mannheim guthier@pi4.informatik.uni-mannheim.de 06.03.09 2-1 Heutige große Übung Allgemeines

Mehr

Rechnergrundlagen SS Vorlesung

Rechnergrundlagen SS Vorlesung Rechnergrundlagen SS 2007 3. Vorlesung Inhalt Zahlensysteme Binäre Darstellung von Integer-Zahlen Vorzeichen-Betrag Binary Offset 1er-Komplement 2er-Komplement Addition und Subtraktion binär dargestellter

Mehr

DuE-Tutorien 16 und 17

DuE-Tutorien 16 und 17 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorienwoche 2 am 12.11.2010 1 Christian A. Mandery: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Grossforschungszentrum in der

Mehr

Basisinformationstechnologie I

Basisinformationstechnologie I Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2012/13 24. Oktober 2012 Grundlagen III Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de

Mehr

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung Kapitel 2 Grundlegende Konzepte 1 2.1 Zahlensysteme Römisches System Grundziffern I 1 erhobener Zeigefinger V 5 Hand mit 5 Fingern X 10 steht für zwei Hände L 50 C 100 Centum heißt Hundert D 500 M 1000

Mehr

6.2 Kodierung von Zahlen

6.2 Kodierung von Zahlen 6.2 Kodierung von Zahlen Neue Begriffe é Festkommadarstellungen é Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen é Einer-/Zweierkomplement-Darstellung é Gleitkommadarstellung é IEEE-754 Format BB TI I 6.2/1

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik

Mehr

B: Basis des Zahlensystems 0 a i < B a i є N 0 B є (N > 1) Z = a 0 B 0 + a 1 B 1 + a 2 B a n-1 B n-1

B: Basis des Zahlensystems 0 a i < B a i є N 0 B є (N > 1) Z = a 0 B 0 + a 1 B 1 + a 2 B a n-1 B n-1 Polyadisches Zahlensystem B: Basis des Zahlensystems 0 a i < B a i є N 0 B є (N > 1) Ganze Zahlen: n-1 Z= a i B i i=0 Z = a 0 B 0 + a 1 B 1 + a 2 B 2 +... + a n-1 B n-1 Rationale Zahlen: n-1 Z= a i B i

Mehr

Kapitel 2. Zahlensysteme

Kapitel 2. Zahlensysteme Kapitel 2 Zahlensysteme 13.08.12 K.Kraft D:\MCT_Vorlesung\Folien2013\Zahlensysteme_2\Zahlensysteme.odt 2-1 Zahlensysteme Definitionen Ziffern : Zeichen zur Darstellung von Zahlen Zahl : Eine Folge von

Mehr

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer? Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen

Mehr

Computergrundlagen Zahlensysteme

Computergrundlagen Zahlensysteme Computergrundlagen Zahlensysteme Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren, Widerständen und Kondensatoren

Mehr

Computer rechnen nur mit Nullen und Einsen

Computer rechnen nur mit Nullen und Einsen Computer rechnen nur mit Nullen und Einsen Name: Unser bekanntes Dezimalsystem mit 10 Ziffern Ein wesentliches Merkmal eines Zahlensystems ist die verwendete Anzahl der Ziffern. Im Dezimalsystem gibt es

Mehr

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär Zahlensysteme Menschen nutzen zur Angabe von Werten und zum Rechnen vorzugsweise das Dezimalsystem Beispiel 435 Fische aus dem Teich gefischt, d.h. 4 10 2 + 3 10 1 +5 10 0 Digitale Rechner speichern Daten

Mehr

RO-Tutorien 3 / 6 / 12

RO-Tutorien 3 / 6 / 12 RO-Tutorien 3 / 6 / 12 Tutorien zur Vorlesung Rechnerorganisation Christian A. Mandery WOCHE 3 AM 13./14.05.2013 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

Mehr

Technische Informatik I

Technische Informatik I Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt jschmidt@techfak.uni-bielefeld.de Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem,

Mehr

Wertebereiche, Overflow und Underflow

Wertebereiche, Overflow und Underflow Wertebereiche, Overflow und Underflow s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Kleinste darstellbare nicht negative Zahl annähernd 2,0 * 10 38 Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 10 38 Was, wenn die

Mehr

Technische Informatik (RO)

Technische Informatik (RO) Technische Informatik (RO) Zahlensysteme, Digitale Systeme (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten, Sequentielle Schaltungen (6) Informationskodierung (7,8) Fortsetzung

Mehr

TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen

TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen Computer verarbeiten Daten unter der Steuerung eines Programmes, das aus einzelnen Befehlen besteht. Diese Daten stellen Informationen dar und können sein:

Mehr

Zwischenklausur Informatik, WS 2016/17. Lösungen zu den Aufgaben

Zwischenklausur Informatik, WS 2016/17. Lösungen zu den Aufgaben Zwischenklausur Informatik, WS 206/7 4.2.206 Lösungen zu den Aufgaben. Gegeben sind folgende Dualzahlen in Zweierkomplementdarstellung. Geben Sie den jeweils zugehörigen Dezimalwert an! a) entspricht der

Mehr

Das Rechnermodell - Funktion

Das Rechnermodell - Funktion Darstellung von Zahlen und Zeichen im Rechner Darstellung von Zeichen ASCII-Kodierung Zahlensysteme Dezimalsystem, Dualsystem, Hexadezimalsystem Darstellung von Zahlen im Rechner Natürliche Zahlen Ganze

Mehr

Wandeln Sie die folgenden Zahlen in Binärzahlen und Hexadezimalzahlen. Teilen durch die Basis des Zahlensystems. Der jeweilige Rest ergibt die Ziffer.

Wandeln Sie die folgenden Zahlen in Binärzahlen und Hexadezimalzahlen. Teilen durch die Basis des Zahlensystems. Der jeweilige Rest ergibt die Ziffer. Digitaltechnik Aufgaben + Lösungen 2: Zahlen und Arithmetik Aufgabe 1 Wandeln Sie die folgenden Zahlen in Binärzahlen und Hexadezimalzahlen a) 4 D b) 13 D c) 118 D d) 67 D Teilen durch die Basis des Zahlensystems.

Mehr

Die Zahl ist: (z 2, z 1, z 0 ) (z ) : 7 = 0 Rest z 2

Die Zahl ist: (z 2, z 1, z 0 ) (z ) : 7 = 0 Rest z 2 Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS Hauck / Guenkova-Luy / Prager / Chen Übungsblatt 4 Rechnerarithmetik Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Darstellung der Zahl 3 zur Basis 7. 3 = 7 (Sehen Sie

Mehr

Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme

Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik 1. Zahlensysteme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Teich Dr.-Ing. Christian Haubelt Lehrstuhl für Hardware-Software Software-Co-Design Grundlagen der Digitaltechnik

Mehr

Informationsdarstellung im Rechner

Informationsdarstellung im Rechner Informationsdarstellung im Rechner Dr. Christian Herta 15. Oktober 2005 Einführung in die Informatik - Darstellung von Information im Computer Dr. Christian Herta Darstellung von Information im Computer

Mehr

Rückblick. Addition in der b-adischen Darstellung wie gewohnt. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Addition in der b-adischen Darstellung wie gewohnt. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Addition in der b-adischen Darstellung wie gewohnt 5 0 C E + D 4 2 D = 44 Rückblick Multiplikation in der b-adischen Darstellung wie gewohnt 1 0 1 0 1 0 1 = 45 Rückblick Darstellung negativer

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung

Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: IEEE Format Zahlenumwandlung

Mehr

Multiplikation. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79

Multiplikation. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79 Multiplikation Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79 Multiplikation nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel: Multiplikand A: 1 1 0 1 0 Multiplikator

Mehr

Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer. Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung

Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer. Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung Zahlensysteme Problem: Wie stellt man (große) Zahlen einfach, platzsparend und rechnergeeignet

Mehr

Grundlagen der Informatik I. Übung

Grundlagen der Informatik I. Übung Grundlagen der Informatik I Übung Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Wintersemester 2013/2014 Autor: Prof. Dr.-Ing. habil. Hans-Joachim Böhme HTW Dresden, Fachbereich Informatik/Mathematik Friedrich-List-Platz

Mehr

1 Dualsystem Dualzahlen mit Vorzeichen 4. 2 Hexadezimalsystem Hexadezimalzahlen mit Vorzeichen Oktalsystem 13 4 Zahlenring 14

1 Dualsystem Dualzahlen mit Vorzeichen 4. 2 Hexadezimalsystem Hexadezimalzahlen mit Vorzeichen Oktalsystem 13 4 Zahlenring 14 Zahlensysteme Inhalt: 1 Dualsystem 1 1.1 Dualzahlen mit Vorzeichen 4 2 Hexadezimalsystem 8 2.1 Hexadezimalzahlen mit Vorzeichen 10 3 Oktalsystem 13 4 Zahlenring 14 Definition: Ein polyadisches Zahlensystem

Mehr

Leseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2

Leseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2 Leseprobe Taschenbuch Mikroprozessortechnik Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-4331- Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-4331-

Mehr

Kapitel 5: Daten und Operationen

Kapitel 5: Daten und Operationen Kapitel 5: Daten und Operationen Felix Freiling Lehrstuhl für Praktische Informatik 1 Universität Mannheim Vorlesung Praktische Informatik I im Herbstsemester 2007 Folien nach einer Vorlage von H.-Peter

Mehr

Einführung in die Informatik Inf, SAT

Einführung in die Informatik Inf, SAT Einführung in die Informatik Inf, SAT Dipl.-Inf., Dipl.-Ing. (FH) Michael Wilhelm Hochschule Harz FB Automatisierung und Informatik mwilhelm@hs-harz.de http://www.miwilhelm.de Raum 2.202 Tel. 03943 / 659

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Grundlagen der Informatik Teil II Speicherung und Interpretation von Information Seite 1 Speicherung und Interpretation von Information Beginn der Datenverarbeitung => Erfindung von Zahlensystemen Quantifizierung

Mehr

Dualzahlen

Dualzahlen Dualzahlen Ein Schüler soll sich eine Zahl zwischen und 6 denken. Nun soll der Schüler seinen Zahl in folgenden Tabellen suchen und die Nummer der Tabelle nennen in welcher sich seine Zahl befindet. 7

Mehr

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f

Mehr

Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen

Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Kapitel 4: Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Codierung von rationalen Zahlen Konvertierung

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

Grundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Zahlendarstellungen

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung

Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: IEEE Format Zahlenumwandlung

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Grundlagen der Informatik Dipl.-Inf., Dipl.-Ing. (FH) Michael Wilhelm Hochschule Harz FB Automatisierung und Informatik mwilhelm@hs-harz.de http://www.miwilhelm.de Raum 2.202 Tel. 03943 / 659 338 FB Automatisierung

Mehr

Rechnergrundlagen SS Vorlesung

Rechnergrundlagen SS Vorlesung Rechnergrundlagen SS 27 5. Vorlesung Inhalt Interpretation hexadezimal dargestellter Integer-Zahlen Little Endian / Big Endian Umrechnung in eine binäre Darstellung Ausführung von Additionen Optimierte

Mehr

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit =

Mehr

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 -

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 - Binärsystem 7.Klasse - 1 - Inhalt: Binärarithmetik... 2 Negative Zahlen... 2 Exzess-Darstellung 2 2er-Komplement-Darstellung ( two s complement number ) 2 Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen:

Mehr

Lösung 1. Übungsblatt

Lösung 1. Übungsblatt Fakultät Informatik, Technische Informatik, Lehrstuhl für Eingebettete Systeme Lösung 1. Übungsblatt Konvertierung von Zahlendarstellungen verschiedener Alphabete und Darstellung negativer Zahlen Stoffverteilung

Mehr

5 Zahlenformate und deren Grenzen

5 Zahlenformate und deren Grenzen 1 5 Zahlenformate und deren Grenzen 5.1 Erinnerung B-adische Zahlendarstellung Stellenwertsystem: Jede Ziffer hat ihren Wert, und die Stelle der Ziffer in der Zahl modifiziert den Wert. 745 = 7 100 + 4

Mehr

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen: Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der

Mehr

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10 Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist

Mehr

7. Übung zur Vorlesung Grundlagen der Informatik

7. Übung zur Vorlesung Grundlagen der Informatik 7. Übung zur Vorlesung Grundlagen der Informatik 13.Interne Darstellung von Daten In der Vorlesung wurde bereits darauf hingewiesen, dass ein Rechner intern lediglich die Zustände 0 (kein Signal liegt

Mehr

Informatik I Modul 2: Rechnerarithmetik (1)

Informatik I Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Fall Term 2010, Department of Informatics, IFI, UZH, Switzerland Informatik I Modul 2: Rechnerarithmetik (1) 2010 Burkhard Stiller M2 1 Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Zahlensysteme Zahlendarstellung 2010

Mehr

Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Informatik I. Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Rechnerarithmetik. Formale Grundlagen. Zahlensysteme (1) Zahlensysteme (2)

Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Informatik I. Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Rechnerarithmetik. Formale Grundlagen. Zahlensysteme (1) Zahlensysteme (2) Fall Term 1, Department of Informatics, IFI, UZH, Switzerland Modul : Rechnerarithmetik (1) Informatik I Modul : Rechnerarithmetik (1) Zahlensysteme Zahlendarstellung 1 Burkhard Stiller M 1 1 Burkhard

Mehr

Datendarstellung Teil 2

Datendarstellung Teil 2 Informatik 1 für Nebenfachstudierende Grundmodul Datendarstellung Teil 2 Kai-Steffen Hielscher Folienversion: 24. Oktober 2017 Informatik 7 Rechnernetze und Kommunikationssysteme Inhaltsübersicht Kapitel

Mehr

Lösungsvorschlag 4. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester 2009

Lösungsvorschlag 4. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester 2009 Fachgebiet Rechnerarchitektur Fachbereich Informatik Lösungsvorschlag 4. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester 2009 Aufgabe 4.1: Zahlensysteme a) Bitte füllen Sie die leeren Zellen

Mehr

Binäre Gleitkommazahlen

Binäre Gleitkommazahlen Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72

Mehr

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme Zahlensysteme Seite -- Zahlensysteme Inhaltsverzeichnis Dezimalsystem... Binärsystem... Umrechnen Bin Dez...2 Umrechnung Dez Bin...2 Rechnen im Binärsystem Addition...3 Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem...4

Mehr

Information und ihre Darstellung

Information und ihre Darstellung . Information und ihre Darstellung Wintersemester 207/208. Informationsdarstellung Äquivalente Information in verschiedenen Darstellungen: Schrift: Die Katze sitzt am Fenster Bild Sprache Zeichensprache.

Mehr

Technische Fachhochschule Berlin Fachbereich VIII

Technische Fachhochschule Berlin Fachbereich VIII Technische Fachhochschule Berlin Fachbereich VIII Ergänzungen Seite von LOGIKPEGEL Logik-Familien sind elektronische Schaltkreise, die binäre Zustände verarbeiten und als logische Verknüpfungen aufgebaut

Mehr

Datendarstellung Teil 2

Datendarstellung Teil 2 Informatik 1 für Nebenfachstudierende Grundmodul Datendarstellung Teil 2 Kai-Steffen Hielscher Folienversion: 08. November 2016 Informatik 7 Rechnernetze und Kommunikationssysteme Inhaltsübersicht Kapitel

Mehr

1. Informationsdarstellung. Darstellung und Bedeutung. Darstellung und Bedeutung. Interpretation ??? 1. Kapitel

1. Informationsdarstellung. Darstellung und Bedeutung. Darstellung und Bedeutung. Interpretation ??? 1. Kapitel Wintersemester 207/208. Informationsdarstellung Äquivalente Information in verschiedenen Darstellungen: Schrift: Die Katze sitzt am Fenster Bild Sprache Zeichensprache. Kapitel Prof. Matthias Werner Professur

Mehr

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik*

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* 1. Darstellung positiver ganzer Zahlen 2. Darstellung negativer ganzer Zahlen 3. Brüche und Festkommazahlen 4. binäre Addition 5. binäre Subtraktion *Die Folien

Mehr

Kapitel 1. Zahlendarstellung. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik

Kapitel 1. Zahlendarstellung. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik Kapitel 1 Zahlendarstellung Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik Zahlensystemkonvertierung Motivation Jede nichtnegative Zahl z lässt

Mehr

Musterlösung 1. Mikroprozessortechnik und Eingebettete Systeme 1 WS2015/2016

Musterlösung 1. Mikroprozessortechnik und Eingebettete Systeme 1 WS2015/2016 Musterlösung 1 Mikroprozessortechnik und Eingebettete Systeme 1 WS2015/2016 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den

Mehr

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,

Mehr

BB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1. Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, δ) mit den folgenden Eigenschaften:

BB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1. Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, δ) mit den folgenden Eigenschaften: Neue Begriffe Festkommadarstellungen Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen Einer-/Zweierkomplement-Darstellung Gleitkommadarstellung IEEE-754 Format BB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1! Definition

Mehr

Einführung in die Programmiertechnik

Einführung in die Programmiertechnik Einführung in die Programmiertechnik Darstellung von Zahlen Natürliche Zahlen: Darstellungsvarianten Darstellung als Text Üblich, wenn keine Berechnung stattfinden soll z.b. Die Regionalbahn 28023 fährt

Mehr

Einführung in die Computerorientierte Mathematik

Einführung in die Computerorientierte Mathematik Einführung in die Computerorientierte Mathematik Wintersemester 2014/15 Thomas Gerstner Institut für Mathematik Goethe-Universität Frankfurt 17. Oktober 2014 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ii 1

Mehr

Rechnerorganisation. IHS 2015/2016 H.-D. Wuttke, K. Henke

Rechnerorganisation. IHS 2015/2016 H.-D. Wuttke, K. Henke Rechnerorganisation Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau

Mehr

1. Stellenwerte im Dualsystem

1. Stellenwerte im Dualsystem 1. a) Definitionen Stellenwertsystem Ein Zahlensystem bei dem der Wert einer Ziffer innerhalb einer Ziffernfolge von ihrer Stelle abhängt, wird Stellenwertsystem genannt. Die Stellenwerte sind also ganzzahlige

Mehr

1 Zahlen im Dezimalsystem

1 Zahlen im Dezimalsystem 1 Zahlen im Dezimalsystem Es gibt verschiedene Arten Zahlen aufzuschreiben. Zunächst gibt es verschiedene Zahlzeichen wie chinesische, römische oder arabische. Im deutschsprachigen Raum ist die Verwendung

Mehr

Repräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen

Repräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen Großübung 1: Zahlensysteme Repräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen Lehrender: Dr. Klaus Richter, Institut für Informatik; E-Mail: richter@informatik.tu-freiberg.de

Mehr

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement Kx Binäre Zahlen Kx Binäre Zahlen Inhalt. Dezimalzahlen. Hexadezimalzahlen. Binärzahlen. -Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen. -Bit Binärzahlen mit Vorzeichen. -Bit Binärzahlen im er Komplement. Rechnen im

Mehr

Arithmetik: Vorzeichenregeln und Überlauf, Exponenten & Normalisierung, Umrechnungen. Architektur: - Rechnerarchitektur, Instruktionssatz, Assembler

Arithmetik: Vorzeichenregeln und Überlauf, Exponenten & Normalisierung, Umrechnungen. Architektur: - Rechnerarchitektur, Instruktionssatz, Assembler F. Zahlendarstellung und Rechnerarithmetik F.1. Einordnung & Inhalte Zahlendarstellungen: binär, BCD oder als ASCII-Text, Einer- und Zweierkomplement, Gleit- & Festkommazahlen. Arithmetik: Vorzeichenregeln

Mehr

BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de

BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de BSZ für Elektrotechnik Dresden Zahlenformate Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de Gliederung 1 Überblick 2 Grundaufbau der Zahlensysteme 2.1 Dezimalzahlen 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen

Mehr

Architektur und Organisation von Rechnersystemen (im Rahmen von Informatik III)

Architektur und Organisation von Rechnersystemen (im Rahmen von Informatik III) Architektur und Organisation von Rechnersystemen (im Rahmen von Informatik III) Thema heute: Zahlendarstellungen Micro_ArcOrg17-V4 am 21.05.2016 Ulrich Schaarschmidt HS Düsseldorf, WS 2017/18 Quellenhinweise

Mehr

Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen

Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen Zahlendarstellung Zahlen und ihre Darstellung in Digitalrechnern Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen Linear organisierter Speicher zu einer Adresse gehört ein Speicher mit 3 Bit-Zellen

Mehr

Rechnergrundlagen SS Vorlesung

Rechnergrundlagen SS Vorlesung Rechnergrundlagen SS 2007 8. Vorlesung Inhalt Gleitkomma-Darstellung Normalisierte Darstellung Denormalisierte Darstellung Rechnerarchitekturen Von Neumann-Architektur Harvard-Architektur Rechenwerk (ALU)

Mehr

1. Mathematische Grundlagen der Zahlencodierung

1. Mathematische Grundlagen der Zahlencodierung Thomas Cassebaum, Mathematische Grundlagen der Zahlencodierung Seite 1 1. Mathematische Grundlagen der Zahlencodierung 1.1. Zahlenbasen Zahlen wurden historisch verschiedenartig dargestellt. Die heute

Mehr