Lichtgeschwindigkeit Versuchsauswertung

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1 Versuche P1-42,44 Lichtgeschwindigkeit Versuchsauswertung Marco A. Harrendorf, Thomas Keck, Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut für Technologie, Bachelor Physik Versuchstag:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Drehspiegelmethode 3 2 Messdaten 3 3 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit Fehlerrechnung Endergebnis Verbesserungsvorschläge Brechzahlbestimmung Fehleranalyse Literatur 10 2

3 1 Drehspiegelmethode Der Versuch wurde entsprechend der Vorbereitung aufgebaut und wie in der Aufgabenstellung beschrieben justiert. Die Drehfrequenz des Motors wurde mit der Stimmgabel bestimmt und mit der digitalen Anzeige verglichen. Hierbei wurde ebenfalls der Fehler für die Drehfrequenzanzeige abgeschätzt. 2 Messdaten Gemessen wurde der Lichtmarkenort in Abhängigkeit von der Drehfrequenz des Spiegels. Insgesamt wurden hierbei 36 Messwerte genommen, jedoch konnte der Lichtmarkenort nur sehr ungenau abgelesen werden: 3

4 U Ablenkung dx [mm] Frequenz f Dreh min Tabelle 1: Messdaten: Ablenkung in Abhängigkeit von der Frequenz, der Nullwert wurde jeweil bei 2500, 10000, neu justiert 3 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit Mit den oben angegebenen Messdaten wurde mithilfe von ROOT eine Geradenregression durchgeführt. Hieraus ergibt sich der Wert unserer Messung der Lichtgeschwindigkeit, sowie desen 4

5 statistischer Fehler. Wie in Formel 3.1 angegeben. Die Formel zur Berechnung wurde dabei bereits in der Vorbereitung hergeleitet. Abbildung 1: Auswertung der Messwerte mit ROOT 3.1 Fehlerrechnung Für die beiden Messgrößen, Drehfrequenz f Dreh und die Lichtmarkenauslenkung dx wurde ein systematischer Fehler abgeschätzt. Desweiteren waren die Strecken von Laseraustrittsöffnung, über den Drehspiegel d 1, zum Umlenkspiegel d 2 und bis zum Endspiegel d 3, ebenfalls fehlerbehaftet. Über die Gaußsche Fehlerfortpflanzung, ergibt sich so ein systematischer Fehler für die Gesamtmessung, sowie mithilfe der Regression ein statistischer Fehler, für unsere Lichtgeschwindigkeitsmessung: y = f(x 1, x 2,..., x n ) y = n ( ) f φθ x i x i i=1 (1) Die zur Lichtgeschwindigkeitsberechnung verwendete Formel: c = 8π f Dreh d 1 (d 2 + d 3 ) dx (2) dx = x 0 x (3) 5

6 Drehfrequenz f Dreh f Dreh = ±120 U min = ±2Hz Laser-Drehspiegel d 1 = 6.579m d 1 = ±1cm = ±0.01m Dreh-Umlenkspiegel d 2 = 7.23m d 2 = ±1cm = ±0.01m Umlenk-Endspiegel d 3 = 6.57m d 3 = ±1cm = ±0.01m Lichtmarkenauslenkung dx dx = ±0.1mm = ±0.0001m Nullpunkteichung x 0 x 0 = ±0.1mm = ±0.0001m Tabelle 2: Verwendete Größen und deren Fehler Der statistische Fehler der Messung, dieser wird durch die Ableseungenauigkeit der Lichtmarkenauslenkung und den Fehler der Drehfrequenz des Spiegels, bestimmt. Die Messwerte wurden von ROOT anhand dieser Messfehler gewichtet und ein Gesamtfehler berechnet. Dies entspricht dem statistischen Fehler der Messung, da dieser Fehler durch weitere Messungen immer kleiner wird, ja sich Fehler gegenseitig herausmitteln. c einzel = 8π n ( ) f 2 x i x i=1 i ( ) f 2 ( ) f 2 = 8π f Dreh + f Dreh dx dx (d1 ) (d 2 + d 3 ) 2 ( = 8π f Dreh + f ) Dreh d 1 (d 2 + d 3 ) 2 dx dx 2 dx In Schaubild 1 sind diese Fehler als vertikale Balken dargestellt. Der Gesamtfehler nach der Regression, ist wie oben bereits erwähnt, der statistische Fehler, der ebenfalls in Schaubild 1 angegeben ist. Der systematische Fehler besteht aus der Ungenauigkeit der Nullpunkteichung, und den Fehlern der einzelnen Strecken, die das Licht im Experiment zurücklegen muss. Zur Abschätzung 6

7 des Fehlers wird der Fehler der größten gemessenen Ablenkung verwendet. c = 8π n ( ) f 2 x i x i=1 i ( ) f 2 ( ) f 2 = 8π d 1 + d 2 + d 1 d 2 ( ) f 2 ( ) f 2 d 3 + x 0 d 3 x 0 (fdreh ) (d 2 + d 3 ) 2 ( ) fdreh d 2 1 = 8π d 1 + d 2 + dx dx ( ) fdreh d 2 ( 1 d 3 + f Dreh d 1 (d 2 + d 3 ) dx dx 2 x 0 Der systematische Fehler ist in Schaubild 1 ebenfalls mit angegeben. 3.2 Endergebnis ) 2 Messwerte aus Tabelle 1 c = ( ± ± ) m s Tabelle 3: Ergebnis der Lichtgeschwindigkeitsmessung mit der Drehspiegelmethode. Wert ± Statistischer Fehler ± Systematischer Fehler innerhalb der Messungenau- Die Messung bestätigt den Literaturwert von c = m s igkeit 3.3 Verbesserungsvorschläge 1. Anstatt einer Milimeterskala, sollte eine feinere Skala gewählt werden, sodass die Lichtmarkenauslenkung genauer bestimmt werden kann. 2. Die Drehfrequenzanzeige schwankte sehr stark, es ist jedoch unklar, ob dies am Messinstrument, oder am Motor selbst liegt. Je nachdem sollte eine der Komponenten verbessert werden. 3. Je größer die Drefrequenz und je größer die Auslenkung desto kleiner sind die relativen Fehler beim Ablesen der beiden Werte. Für zu große Ablenkungen sollte man hierbei jedoch auf die Kleinwinkelnäherung verzichten. 4. Der gesamte Versuch könnte im Vakuum stattfinden, da die gemessene Geschwindigkeit sich natürlich auf die Luft bezieht, dies wäre jedoch sehr aufwendig und brächte bei dieser Methode aufgrund des hohen Ablesefehlers bei der Milimeterskala erstmal keinen Vorteil, da der Brechungsindex von Luft mit n = sehr nahe an dem des Vakuums ist. 7

8 4 Brechzahlbestimmung Zur Bestimmung der Brechzahl in Wasser un Plexiglas, wurde der Phasenunterschied zwischen der Strecke d mit Luft und der gleichen Strecke d mit dem jeweiligen Medium gemessen: In Luft x = 175cm ϕ = 3.65µs In 1 Meter Wasser x = 175cm ϕ = 4.95µs In Luft x = 135cm ϕ = 1.4µs Mit 30cm Plexiglas x = 135cm ϕ = 2.0µs Mit 8cm Plexiglas x = 135cm ϕ = 1.6µs Tabelle 4: Messdaten: Phasenverschiebung zwischen Luft un Medien In diesen Rohmessdaten fehlt noch der Zeitdehnungsfaktor Ω = sowie der Eichfaktor k = µs cm um aus der Phasenverschiebung am Oszilloskop, die wirkliche Laufzeitdifferenz t zu erhalten. Man erkennt deutlich dass der Lichtweg im Medium scheinbar anwächst, bzw. die Phasengeschwindigkeit des Lichts im Medium langsamer ist. Es gilt: n = c 0 c m = s t s t+ t = 1 + t t = 1 + t c 0 s Für die gleiche Strecke s, die jeweils der Strecke entspricht die durch das Medium ersetzt wird, beötigt das Licht t länger. t = ϕ 2 ϕ 1 Ω k ist jedoch aus der Phasenverschiebung zwischen den beiden Messungen bekannt. Die ursprüngliche Zeit t ist einfach die bekannte Strecke s durch die Lichtgeschwindigkeit ohne Medium c 0, in diesem Fall in Luft! Hieraus ergibt sich der Brechungsindex für die jeweiligen Materialien, mit dem in der vorherigen Messung bestimmten Lichtgeschwindigkeit in Luft: c 0 ± c 0 = 2.917e+08±6.849e+06 m s (4) Wasser s = 1m n = Plexiglas s = 0.3m n = Plexiglas s = 0.08m n = Tabelle 5: Gemessener Brechungsindex für die Medien 4.1 Fehleranalyse 1. Die Hauptfehlerquelle war der Ablesefehler auf dem Oszilloskop, dieser wird mit ϕ = ±0.05 abgeschätzt. Der Fehler von t ergibt sich über Größtfehlerabschätzung damit zu: δt = s 2. Weiterhin ergibt sich bei dem Wasserohr durch die beiden Ein- und Austrittsfenster des Rohres im Lichtweg eine weitere Fehlerquelle, da der Brechungsindex von Glas im Allgemeinen höher als der von Wasser ist, kann man vermuten, dass der gemessene Bre- 8

9 chungsindex zu groß sein wird. Dieser Fehler ist prinzipiell vermeidbar, indem 2 baugleiche Rohre, mit unterschiedlicher Länge vermessen werden und deren Phasendifferenz bestimmt wird. 3. Die in 2.1 bestimmte Lichtgeschwindigkeit in Luft ist fehlerbehaftet mit: c 0 ± c 0 = 2.917e + 08 ± 6.849e + 06 m s 4. Die vermessenen Strecken sind laut Aufgabenstellung nicht fehlerbehaftet, der Fehler wird hier also vernachlässigt, dieser Fehler, im Bereich von s = 0.001m ist jedoch geringer als der Ablesefehler auf dem Oszilloskop und kann vernachlässigt werden. Mit Gauß ergibt sich: n = n ( ) f 2 x i x i i=1 ( f = c 0 c 0 ( t = s c 0 ) 2 ( f + t δt ) 2 ( c0 ) 2 + s δt ) 2 Wasser s = 1m n = ± Plexiglas s = 0.3m n = ± Plexiglas s = 0.08m n = ± Tabelle 6: Gemessener Brechungsindex für die Medien mit Fehlern Alle 3 gemessenen Werte passen innerhalb der Unsicherheit sehr gut mit den Literaturwerten zusammen. 9

10 Literatur [Aufgabenstellung] Aufgabenstellung der Versuche P1-42,44 [Vorbereitungshilfe] Vorbereitungshilfe zu den Versuchen P1-42,44 [Demtroeder] Demtröder, W.: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik, 3. Auflage,