Die Fourier-Transformation

Transkript

1 1/20 Die Fourier-Transformation

2 2/20 Die FT ermittelt aus dem Signal von überlagerten Schwingungen welche Frequenzen enthalten sind FT

3 3/20 Von der folgenden Schwingung soll die Frequenz ermittelt werden

4 4/20 Dazu raten wir eine Frequenz und erzeugen das dazugehörige Zeitsignal

5 5/20 Dann werden die beiden miteinander multipliziert und über alle Zeitpunkte aufsummiert Hier passt die Frequenz nicht, es gibt ähnlich viele positive wie negative Punkte, das Resultat ist nahe 0!

6 6/20 Hier passt die Frequenz sehr gut, fast alle Punkte sind größer als null, das Resultat der Summe ist daher auch sehr groß

7 7/20 Das machen wir nun ganz systematisch für alle möglichen Frequenzen und erhalten eine Kurve aufgetragen gegen die Frequenz, ein Spektrum

8 8/20 ist in Gleichungen am einfachsten mit einem komplexen Signal zu erläutern Ein komplexes NMR-Signal hat - wie gesehen - die Form s(t) = exp (i ) exp (i 0 t) exp (-t/t 2 ) Signalphase (zeitunabhängig!) Signaloszillation (die Frequenz) Signalabfall (Relaxation)

9 9/20 Wir ignorieren den Phasenfaktor zunächst und führen eine Fouriertransformation durch. S( ) = m s(t) exp (-i t) dt 0 S( ) = m exp (i 0 t) exp (-t/t 2 ) exp (-i t) dt 0 1 S( ) = Lorentzlinie (1/T 2 ) + i( 0 ) Eine komplexe Funktion besteht aus Realteil und Imaginärteil: S ( ) = R( ) + i I( )

10 10/20 Im einfachsten (besten) Fall ist der Realteil absorbtiv und der Imaginärteil dispersiv : das wollen S ( ) = A( ) + i D( ) wir sehen A( )= (1/T 2 ) (1/T 2 ) 2 + ( 0 ) 2 D( )= - ( 0 ) (1/T 2 ) 2 + ( 0 ) 2

11 11/20 Nun wissen wir aber, daß die Signale eine Phase haben S( ) = [A( ) + i D( ) ] exp(i ) S( ) = R( ) + i I( ) Dadurch werden Real- und Imaginärteil Mischungen von (gewünschtem) absorbtiven und (unerwünschtem) dispersiven Signal R( ) = A( ) cos -D( ) sin I( ) = D( ) cos + A( ) sin

12 12/20 Man korrigiert das über eine Phasenkorrektur A( ) = R( ) cos + I( ) sin D( ) = I( ) cos -R( ) sin R I

13 13/20 Phasenkorrektur Das klappt solange alle Signale die gleiche Phase haben

14 14/20 Man erzeugt sonst ein Magnitude Spektrum S = (R) 2 + (I) 2 oder Power Spektrum S = (R) 2 + (I) 2

15 15/20 s(t) = exp (i ) exp (i 0 t) exp (-t/t 2 ) Signalphase (zeitunabhängig!) Signaloszillation (die Frequenz) Signalabfall (Relaxation)

16 16/20 Was ist mit konstanten Faktoren? s(t) = A exp (i ) exp (i 0 t) exp (-t/t 2 ) S( ) = m s(t) exp (-i t) dt 0 S( ) = m A exp (i 0 t) exp (-t/t 2 ) exp (-i t) dt 0 A S( ) = (1/T 2 ) + i( 0 ) ist eine lineare Operation, deshalb kann man Spektren integrieren

17 17/20 Außer für die Möglichkeit der Phasenkorrektur ist die Aufnahme eines komplexen Signals noch für das Problem der Quadraturdetektion von Bedeutung Was wäre wenn wir nur Cosinus- oder nur Sinus- Signal aufnehmen würden? cos = exp(i ) + exp(-i ) sin = exp(i ) - exp(-i )

18 18/20 Man erhält zwei Signale Cosinus-Signal Sinus-Signal FT

19 19/20 Weswegen man die beiden eben kombinieren muss Real-Teil Imaginär-Teil FT

20 20/20 um in der Mitte des Spektrums senden zu können 3 Signale: 800 Hz 100 Hz -300 Hz FT nur cos FT cos und sin