10,24 ; 10,18 ; 10,28 ; 10,25 ; 10,31.

Transkript

1 Bei einer Flaschenabfüllanlage ist die tatsächliche Füllmenge einer Flasche eine normalverteilte Zufallsvariable mit einer Standardabweichung = 3 [ml]. Eine Stichprobe vom Umfang N = 50 ergab den Stichprobenmittelwert x = 999 [ml]. Man konstruiere ein Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert µ der Anlage (Durchschnittliche Abfüllmenge) mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95%. Lösg: 998,17 µ 999,83 [ml] Der Sollwert der Flaschenabfüllanlage soll 1000 [ml] betragen. Kann man aus dem Ergebnis schließen, dass die Maschine im Mittel zu gering abfüllt oder waren die 999 [ml] nur Zufall? Lösg: Der Sollwert 1000 [ml] ist nicht im Konfidenzintervall enthalten. Daher können wir mit einer Sicherheit von 95% annehmen, dass die Maschine systematisch zu gering abfüllt. Sei die Länge in Millimetern von serienmäßig hergestellten Bolzen eine normalverteilte Zufallsvariable. Die Produktionsanlage soll Bolzen mit einer Länge von 9 [mm] herstellen. Aus der laufenden Produktion wurden die Längen von 16 Bolzen gemessen. Es führte zu dem folgenden Ergebnis: x i Geben Sie durch Punktschätzung den Schätzwert für den Mittelwert der Gesamtproduktion an. Lösg: 10 [mm] Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den wahre Mittelwert der Gesamtproduktion zum Vertrauensniveau 90%, wenn für die Länge der Bolzen eine Standardabweichung von 1,4 [mm] vorausgesetzt wird. Lösg: 9,44 µ 10,576 [mm] Geben Sie den maximalen Fehler der Intervallschätzung von µ zum Vertrauensniveau 90% für alle möglichen Stichproben mit der obigen Größe aus der Gesamtproduktion an, wenn für die Länge der Bolzen eine Standardabweichung von 1,4 [mm] vorausgesetzt wird. Lösg: ± 0,576 [mm] Welchen Umfang müssten die Stichproben aus der Gesamtproduktion haben, damit bei der Intervallschätzung von µ zum Vertrauensniveau 90% der maximale Fehler 0,1 beträgt, wenn für die Länge der Bolzen eine Standardabweichung von 1,4 [mm] vorausgesetzt wird. Lösg: N = 530,38 N = 530 Sei die Länge von hergestellten Bolzen einer Anlage eine normalverteilte Zufallsvariable. Aus der Produktion wurde eine Stichprobe vom Umfang 5 entnommen. Die Messung der Längen in Zentimetern lieferte folgende Messwerte 10,4 ; 10,18 ; 10,8 ; 10,5 ; 10,31. Bestimmen Sie das Vertrauensintervall für den Mittelwert (Erwartungswert) der Produktion zu einer Sicherheit von 90%. Lösg: 10,05 µ 10,98 [cm] Bestimmen Sie das Vertrauensintervall für die Standardabweichung der Produktion zu einer Sicherheit von 90%. Lösg: 0,031 σ 0,115 [cm] 1

2 Die folgende Tabelle enthält die Spritverbrauchswerte in Liter pro 100 Km, die bei 5 verschiedenen Messungen eines Geländewagens bei Verwendung von Reifen der Marke B&S auf Teststrecken erzielt wurden Der Spritverbrauch des Wagens bei den Tests sei eine normalverteilte Zufallsvariable. Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall für den mittleren Spritverbrauch (des Wagen bei Verwendung von Reifen der Marke B&S) zu einem Vertrauensniveau von 95%. Lösg: 16,15 µ 17,45 [lit/100km] Die folgende Tabelle enthält die Spritverbrauchswerte in Liter pro 100 Km, die bei 16 verschiedenen Messungen des Geländewagens bei Verwendung von Reifen der Firma F&S auf Teststrecken erzielt wurden Der Spritverbrauch des Wagens bei den Tests sei eine normalverteilte Zufallsvariable. Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall für den mittleren Spritverbrauch (des Wagen bei Verwendung von Reifen der Marke F&S) zu einem Vertrauensniveau von 95%. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus I) mit dem aus II-a) Die folgende Tabelle enthält die Spritverbrauchswerte in Liter pro 100 Km, die bei 0 verschiedenen Messungen des Geländewagens bei Verwendung von Reifen der Marke G&R auf Teststrecken erzielt wurden Der Spritverbrauch des Wagens bei den Tests sei eine normalverteilte Zufallsvariable. Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall für den mittleren Spritverbrauch (des Wagen bei Verwendung von Reifen der Marke G&R) zu einem Vertrauensniveau von 95%. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus I) mit dem aus III-a) Die Untersuchung von 1000 Autos, die eine bestimmte Messstelle auf der Autobahn durchfuhren, ergab, dass 135 Autos, die dort vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit überschritten hatten. Geben Sie ein Konfidenzintervall zu einem Vertrauensniveau von 95% für den wahren Anteil von Autos an, die die Höchstgeschwindigkeit überschreiten. Geben Sie den maximalen Fehler für die Intervallschätzung von p zum Vertrauensniveau 95% an, den man aus der obigen Stichprobe erhält. Bei vielen Autos muss an der Messstelle, die Geschwindigkeit ausgewertet werden, damit bei der Intervallschätzung von p zum Vertrauensniveau 95% der Fehler unter 0,01 bleibt. Lösg: a) 0,1138 p 0,156 b) 0,01 c) N = 9604,5 N = 9604

3 !"#$% & & Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert µ mit bekannter Standardabweichung = 3 bestimmen. Dabei sind γ = 1 = 0,95 z 0 = 1,96 ; N = 50 ; x = 999 µ x bestimmen. Um die Kenngröße der Stichprobe leichter bestimmen zu können, verwenden Sie die Formeln für Häufigkeitsverteilungen von Stichproben. Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert µ bei bekannter Standardabweichung bestimmen. Dabei ist γ = 1 = 0,90. z 0 1,645. σ E = x = z 0 N N = z 0 σ E & Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert µ mit unbekannter Varianz ² bestimmen. ( γ = 1 = 0,9 ; v = 4 t 0 =,13 ) Konfidenzintervall für die unbekannte Varianz ² bestimmen. (γ = 1 = 0,9 ; v = 4 χ = 0,71 ; χ = 9,49 ) 1 & Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert µ bei unbekannter Standardabweichung bestimmen. Dabei sind N = 5 und γ = 1 = 0,95. t 0 =,0639 Um die Kenngrößen x und s der Stichprobe leichter bestimmen zu können, verwenden Sie die Formeln für Häufigkeitsverteilungen von Stichproben. x = 16,8 [lit/100km], s = 1,58 [lit/100km] Analog zu I) Das für den des Spritverbrauchs mit Reifen der Marke F&S überlappt das für den des Spritverbrauchs mit Reifen der Marke B&S 3

4 Analog zu I) Das für den des Spritverbrauchs mit Reifen der Marke G&R überlappt das für den des Spritverbrauchs mit Reifen der Marke B&S. Somit kann man mit einer Sicherheit von annehmen, dass der des Spritverbrauchs mit Reifen der Marke G&R den mit Reifen der Marke B&S liegt. & Das Überschreiten (bzw. das Nicht-Überschreiten) der Höchstgeschwindigkeit von jeweils N Autos, die unabhängig von einander fahren, kann als ein Bernouli- Experiment betrachtet werden, welches durch die Binomial-Verteilung beschrieben wird. Da ferner N pˆ qˆ > 9 ist, können wir ein Konfidenzintervall für den unbekannten Anteilswert p einer binomialverteilten Zufallsvariable mit Hilfe der Formel aus der Vorlesung bestimmen. (γ = 1 = 0,95 z 0 = 1,96 ) E = pˆ = z 0 pˆ qˆ N N = 1 4 z 0 E 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10