1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren

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1 1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren 1.1 Einführung Beispiel: In einer Fabrik werden n Produkte A 1, A 2,..., A n hergestellt. Dazu werden m Rohstoffe B 1, B 2,..., B m (inklusive Arbeitskräfte und Maschinen) benötigt. Von B i stehe die Menge b i zur Verfügung. Die Produktion einer Einheit von A j benötige g ij Einheiten von B i. Herstellung und Verkauf einer Einheit von A j bringe den Nettogewinn c j. Wieviel Einheiten x j von A j soll man herstellen, um den Gewinn zu maximieren? Es ist klar, dass x j 0 gelten muss. Die Bedingung, dass von B i nur b i zur Verfügung steht, erfordert dass n j=1 g i,jx j b i (i = 1,..., m) gilt. Unter diesen Bedingungen soll z(x) := c t x = m j=1 maximiert werden. Ein entsprechendes Problem ist, dass ein Student bei täglichem Essen in der Pappmensa zu einem möglich günstigen Preis in jeder Woche genug von allen Vitaminen erhält. Die mathematische Formulierung dieser Aufgabe lautet: Definition 1 Ein Problem der lineare Optimierung oder ein Problem der linearen Programmierung in der Normalform 1 wird beschrieben durch: maximiere z(x) = c t x unter den Nebenbedingungen x 0, Gx b. Dabei seien n, m N, b R m, x, c R n, G : R n R m. 1.2 Normalformen, erste Aussagen Definition 2 Ein Problem der lineare Optimierung in der Normalform 2 wird beschrieben durch: maximiere z(x) = c t y unter den Nebenbedingungen y 0, Ay = b. Dabei seien l, m N, l > n, b R m, y, c R l, A : R l R m. Ein Problem der lineare Optimierung in der Normalform 3 wird beschrieben durch: In der Normalform 2 sei l = m+n, n N, A = (B I) mit der Einheitsmatrix I : R m R m und B : R n R m, y = ( x w ) mit x R n, w R m und z(y) = c 0 + p t x Umformungen: Nf1 Nf3: Setze l = m + n, w i = b i g i x (wobei g i die i-te Zeile von G sei), A = (G I), c 0 = 0, p = c. Nf2 Nf3: Führe m Austauschschritte am System Ay = b durch; bei entsprechender Nummerierung ergibt dies A = (B I). Wendet man die Eliminationsschritte auch auf die Zeile c an, so erhält man (p t 0) und c 0. Dabei gilt bei der angenommenen Nummerierung wegen w = b Bx mit c t = (c t 1, c t 2) : p = c 1 B t c 2, c 0 = c t 2b. Andere Ausgangsformen kann man hierauf umformen (oder auch direkt behandeln): 1

2 g i x b i : benutze ( g i )x b i ; x j nicht vorzeichenbeschränkt: setze x j = x 1 j x2 j mit x1 j 0, x2 j 0; c t x min! : ( c) t x max! Definition 3 : Es sei in der Nf2 bzw. Nf3: M = {y R l : Ay = b, y 0} bzw. in der Nf1: M{x R n : Gx b, x 0}. Man sagt, x (bzw. y) ist zulässig x M (bzw. y M), x (bzw. y) ist optimal max wird in x (bzw. y) angenommen. Satz 4 : Es sei ein lineares Optimierungsproblem wie oben gegeben. Dann gilt 1. M (bzw. M) ist konvex; 2. M, M beschränkt = es existiert eine optimale Lösung x, z ist beschränkt; 3. M, M unbeschränkt: es existiert eine optimale Lösung z ist auf M beschränkt. 1: ist klar, da M Durchschnitt endlich vieler konvexer Halbräume ist; 2: da dann M kompakt ist und z stetig, nimmt z sein Maximum an; 3: die Hinrichtung ist offensichtlich; die Rückrichtung ist direkt lästig, folgt im nächsten Abschnitt nebenbei. 1.3 Lösung eines linearen Optimierungsproblems mit dem Simplexverfahren (bei gegebener zulässiger Startnäherung) Offensichtlich ist: da z linear ist, wird jedes Maximum auch auf dem Rand angenommen, und nur auf dem Rand, falls c 0. Im folgenden ergibt sich auch, dass das Maximum immer auch in einer Ecke angenommen wird. Wir werden statt des geometrischen Begriffs Ecke zur Präzisierung den analytischen Begriff Basislösung verwenden. Definition 5 : Wir sprechen von einer Ecke y 0 von M (bei Nf2 oder 3): y 0 M, y 0 ist Basislösung von Ay = b (es sind also höchstens n Komponenten von y 0 0). Bemerkung: Jeder (geometrischen) Ecke entspricht eine Basislösung, aber verschiedene Basislösungen können der gleichen Ecke entsprechen (nur in dem entarteten Fall, dass mehr als n der Hyperebenen durch einen Punkt gehen). Die Grundidee des Simplexverfahrens besteht darin, von einer zulässigen Ecke zu einer benachbarten zulässigen fortzuschreiten, wobei die Zielfunktion wächst. Da es nur endliche viele Ecken gibt und wegen des Wachsens der Zielfunktion keine Ecke zweimal vorkommen kann, ist man nach endlich vielen Schritten am Ziel. Dies wird jetzt konstruktiv durchgeführt. 2

3 Satz 6 : Es gelten folgende Aussagen für die Nf3 mit einer zulässigen Basislösung x 0 = 0, w 0 = b( 0): 1. Optimalitätskriterium für die vorliegende Basislösung: Falls p 0 (d. h. p k 0 für k = 1,..., n), so ist x 0 = 0, w 0 = b (eine) optimale Lösung. 2. Kriterium für die Nicht-Lösbarkeit: Gibt es einen Nicht-Basisindex s (d. ḣ. bei der angenommenen Nummerierung: 1 s n) mit p s > 0, a i,s 0 für i = 1,..., m, so besitzt das gegebene Problem keine Lösung, z ist unbeschränkt. 1: für c 0 gilt z(x) = c 0 + p t x c 0 für alle x 0, z(x 0 ) = c 0 für x 0 = 0, also z(x 0 ) z(x) für alle x M. Damit ist x 0 optimale Lsung. 2: gezeigt wird: es existieren x(n), so dass z(x(n)) : Wähle x s (n) = n, x j (n) = 0 für j = 1...., n, j s. Dann gilt w i (n) = b i na i,s b i 0,, also c 0 + np s ( x(n) w(n) ) M. Andererseits ist z(x(n)) = Jetzt müssen wir verschiedene benachbarte Basislösungen betrachten. Dann ist die obige Voraussetzung über die Nummerierung nicht durchzuhalten, wir müssen mit den Indizes der Basislösungen arbeiten.. Satz 7 : J und J seien benachbarte Basislsungen der Nf3, d. h. J = { j 1,..., j m } {1,..., l}, J = { j 1,..., j m } {1,..., l}. J gehe aus J durch den Austausch des Index s gegen den Index r hervor, d. h. a r,s ist Pivotelement und J = J {s} + {r}. J sei zulässige Basislösung, d. h. b 0. Dann ist auch J zulässige Basislösung, d. h. b 0, und es gilt z(y J) z(y J), falls: { p s > 0 } ā r,s > 0 und b r ā r,s = min bi ā i,s : i = 1,..., m mit ā i,s > 0. Dabei ist sogar z(y J) > z(y J), falls J nicht entartet. 1: J ist zulässig y J M b 0. Man sieht: bi = b i b r ā i,s /ā r,s b i falls ā i,s 0 und andererseits bi = ( bi /ā i,s b r /ā r,s ) /āi,s 0 falls ā i,s > 0 nach der Auswahlregel für r 2: z(ỹ = c 0 = c 0 p s br /ā r,s c 0 und z(ỹ = z(ȳ nur, falls b r = 0, die Basis also jedenfalls entartet ist und r mit b r = 0 gewählt worden ist. 3

4 Damit ergibt sich folgendes Verfahren: Algorithmus 8: Simplexverfahren bei gegebener zulässiger Start-Basislösung J: 1. Prüfe, ob p j 0 für alle j = 1,..., l, j J: falls ja: optimale Lösung gefunden mit y = y J, z(y ) = c J : Ende sonst: 2. wähle s {1,..., l J mit p s > 0 (z. B. p s = max p ) 3. Prüfe: a i,s 0 für alle i = 1,..., m: falls ja: es existiert keine optimale Lösung: Ende falls nein: 4. Wähle r {1,..., m} mit: a r,s > 0 { } b r b a r,s = min i a i,s : i = 1,..., m mit a i,s > Führe einen Eliminationsschritt mit a r,s als Pivotelement am System Ay = b, p t y = c 0 durch. 6. Weiter bei 1. Hiermit erält man: Satz 9: Gegeben sei ein Problem der linearen Optimierung in Normalform 3 mit zulässiger Basislösung. Dann kann man mit dem Simplexverfahren in endlich vielen Schritten eine optimale Lösung des Problems finden beziehungsweise erkennen, dass das Problem keine optimale Lösung besitzt (die Zielfunktion nimmt beliebig gro Es gibt nur ( ) m l viele Mglichkeiten, eine Basis zu wählen. Sofern keine entarteten Basislösungen auftreten, wächst die Zielfunktion bei jedem Austauschschritt, daher kann keine Basis zweimal auftreten. Deshalb muss das Simplexverfahren nach endlich vielen Schritten beendet sein. Im Falle der Entartung kann die Zielfunktion beim Austauschschritt konstant bleiben, es knnen Zyklen bei den Basen auftreten. Durch Zusatzregeln kann man jedoch sichern, dass keine Basis zweimal auftritt. Da dieser Fall praktisch nicht auftritt, wird hierfür auf die Spezialliteratur verwiesen. 4

5 Beispiel: Nf1: G = , b = c t = ( ) In der Nf2 ergibt sich mit w 1 = 7, w 2 = 12, w 3 = 10 und x = 0 eine zulässige Basislösung und A = , In einer Kurzschreibweise kann wie bei den Austauschschritten in kompakter Schreibweise die Einheitsmatrix weglassen und erhält als Ausgangstableau: x 1 x 2 x 3 x 4 w w w Dabei steht rechts unten in der Ecke c 0, das Negative des Wertes der Zielfunktion für die augenblickliche Basislösung. Mit den Austauschregeln ergeben sich die folgenden Tableaus, wobei die ausgewählten p s und die Pivotelemente markiert sind: x 1 x 2 x 3 x 4 b quot w w w c t x 1 w 2 x 3 x 4 b quot w x w c t w 1 w 2 x 3 x 4 b x x w c t Hiermit ist das Optimalitätskriterium erfüllt. Die optimale Lösung ist Lemma 10 x 1 = 4, x 2 = 5, w 3 = 11, x 3 = 0, x 4 = 0, z(y ) = 11. 5