11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ Aufgabe G (Grenzwertberechnung) Berechnen Sie die ersten vier Terme der untenstehenden Folgen. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. ) ( = 7n2 3n+ n N ( b n = ( 2 n+) ) n n a 0 = 0, a = 7, a 2 = 28 7 =, a 3 = 63 7n 2 ( ) ist divergent: lim 3n+ = lim 7n 3+ n b =, b 2 = 2(2) 2, b 3 = 2(2) 3, b = 2(2) (b n ) ist konvergent: lim 2(2) n = 2(2) 0 = 2 c 0 = 0, c 0.2, c , c (c n ) ist konvergent: lim c n = lim ( +n n) = lim 0 = lim / n = lim +n+ n = lim n+ + n n n 7n 3 ( cn = +n n ) n N ( +n n)( +n+ n) +n+ n = lim/ n = 0 lim n+ ( n +) + = 0. Aufgabe G2 (Rekursive Folgen) ( ) Es seien c,a 0 > 0 und die rekursiv definierte Folge a 0 = c, + = 2 + c, n N gegeben. Zeigen Sie, dass die Folge ( ) n N konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. Tipp: Weisen Sie zunächst nach, dass die Folge durch c beschränkt ist (gilt das für alle Folgeglieder?), und zeigen Sie hiermit die Konvergenz der Folge. Anmerkung: Dieses Näherungsverfahren zur Bestimmung von c heißt babylonisches Wurzelziehen oder auch Verfahren von Heron. Die Folge konvergiert rasch (genauer gesagt: quadratisch) gegen c und wird beispielsweise von Taschenrechnern verwendet, um Wurzeln zu ziehen.

2 . Übung Mathematik I für Maschinenbau Beweis von c für alle n bzw. + c für alle n 0: a 2 n+ c ( ) 2 + c c a2 n + c2 2c+ c a 2 n a2 n c2 2c+ 0 a ( ) 2 n 2 c 0. Für c < ist a 0 < c, aber auch in diesem Fall sind a und alle anderen Folgeglieder größer oder gleich c. Beweis der Monotonie: 2 ( + ) + c + c 2 a 2 n +c 2a 2 n c a 2 n Da wir die Gültigkeit der letzten Ungleichung für n bereits bewiesen haben, sind wir fertig. Insgesamt ist die Folge also monoton fallend und beschränkt und folglich konvergent. Somit existiert ein Grenzwert a = lim dieser Folge, für den gilt: a = 2 2a = a+ c a a 2 = c a = ± c ( ) a+ c a Da aber alle Folgenglieder positiv sind und damit auch der Grenzwert, kann nur a = c gelten. Aufgabe G3 (Folgen) Ordnen Sie den Astenden in der folgenden Grafik Folgen mit den an den Ästen angegebenen Eigenschaften zu. beschränkt Folge beschränkt monoton monoton monoton monoton beschränkt, monoton, konvergent: ( n 2 + ),(( 5 )n ),( n+ ) 2

3 . Übung Mathematik I für Maschinenbau beschränkt, monoton, konvergent: existiert beschränkt, monoton, konvergent: ( ( )n n 2 + ),(( 5 )n ),( ( )n+ n+ ) beschränkt, monoton, konvergent: (( ) n ),(sin( π n)),(( )n n+ n ) beschränkt, monoton, konvergent: existiert beschränkt, monoton, konvergent: ( n+),(n 2 ),( 2 n ) beschränkt, monoton, konvergent: existiert beschränkt, monoton, konvergent: (( ) n n+),(( ) n n 2 ),(( 2) n ) Fazit: Eine beschränkte Folge kann konvergent sein oder anders ausgedrückt: Jede konvergente Folge ist auch beschränkt. Aufgabe G (Konvergenzkriterien für Reihen) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: n 3 +sin(n) n 5, n, ( ) n n+ n(n ) (i) ( Man kann vorab prüfen, ob die notwendige Bedingung für Konvergenz erfüllt ist, d.h. ob n 3 +sin(n) 0. Dies ist erfüllt denn n3 +sin(n) n Das Überprüfen der notwendigen n 5 + n 5 + n 5 + Bedingung ist deshalb sinnvoll, weil man - falls die Reihe divergent ist - viel Zeit beim Ausprobieren aller Konvergenzkriterien verschwendet. ) Also ist n3 +sin(n) n3 + n 5 + n 5 + n3 + n 5 = n 2 + n 5. Da die Reihen und n 2 n 5 konvergieren, konvergiert auch die Reihe ( + ) n 2 n und nach dem Majorantenkriterium auch die Reihe 5 n 3 +sin(n) n 5 +. Da alle Folgeglieder -negativ sind, ist die Reihe absolut konvergent. (ii) ( Wir prüfen wieder erst, ob die notwendige Bedingung für Konvergenz erfüllt ist, d.h. ob 000 n 0. Dazu betrachten wir die exp-funktion: e x = x n. Da diese Reie für alle x konvergiert (sie n=0 ist ja schließlich gleich der e-fkt), muss für alle x gelten: xn 0. Also wächst stärker als jede Potenz von x und somit gilt auch 000n 0. ) Wir verwenden das Quotientenkriterium: = also ist 000 n+ (n+)! 000 n 000 n+ (n+)! 000 n = 000n+ (n+)!000 n = 000 n+ 0 <, 000 n nach dem Quotientenkriterium konvergent. Da alle Folgeglieder -negativ sind, ist die Reihe absolut konvergent. (iii) ( Wir prüfen wieder erst, ob die notwendige Bedingung für Konvergenz erfüllt ist, d.h. ob ( ) n n+ n(n ) 0. Es ist ( ) n n+ n(n ) = n+ n(n ) = n+ 0. ) n 3/2 n /2 3

4 . Übung Mathematik I für Maschinenbau Wir wollen das Leibniz-Kriterium verwenden. Dazu müssen wir zeigen, dass die Folge = n+ n(n ) eine monoton fallende Nullfolge ist. Dass es eine Nullfolge ist, haben wir schon gezeigt. Wir überprüfen die Monotonie: Dazu überprüfen wir, ob + positiv oder negativ ist. + = n+ n(n ) n+2 n+ n = n(n+) n+ (n+2) n(n ) n n(n )n Da der Nenner für n 2 positiv ist, müssen wir nur den Zähler überprüfen: (n 2 +n) n+ (n 2 +n 2) n = (n 2 +n)( n+ n)+2 n > 0 Also ist monoton fallend. Nach dem Leibniz-Kriterium ist also ( ) n n+ n(n ) konver- gent. Die Reihe ist ( ) n n+ n+ n(n ) ist aufgrund der divergenten Minorante n(n ) absolut konvergent. Hausübung Abgabe am in der Übung n divergent. Demnach Aufgabe H (Grenzwertberechnung) (6 Punkte) Berechnen Sie die ersten vier Terme der untenstehenden Folgen. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. ( ) = 7n3 2n+ ( ( nπ )) ( ) 8n 3 b n = sin, c n = cos2 (nπ) 2 n N 3 n, n N n a 0 =,a = 9 7,a 2 = 56 63,a 3 = n ( ) ist konvergent: lim 3 2n+ 7 = lim 2 n + 8n 3 8+ n n 2 = 7 8 b 0 = 0, b =, b 2 = 0, b 3 = (b n ) ist divergent: Falls a ein Grenzwert wäre, gäbe es ein N N, so dass a c n < ε für n N. Nach Anwendung der Dreiecksungleichung ist a +a+ = 2a a + a+ < 2ε. Weil ε beliebig ist, ist a = 0. Für ε = 2 und jede Wahl von N gibt es ein n N mit d n =. Nun ist aber 0 ε ein Wiederspruch, so dass (b n ) keinen Grenzwert hat. c =, c 2 = 3 2, c 3 = 3 3, c = 3, cos (c n ) ist konvergent: lim 2 (nπ) 3 n lim 3 n = 0

5 . Übung Mathematik I für Maschinenbau Aufgabe H2 (Funktionenfolgen) ( Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen auf punktweise Konvergenz und geben Sie ggf. deren Grenzfunktion an: (i) f n = n n 2 x 3, x [0,5]; (ii) g n = nx +n x, x R. (i) Für x (0,5] gilt: lim n n 2 x 3 = lim ( n n) 2 n x 3 = ( lim Für x=0 ist lim n n)2 ( lim n n2 x 3 = lim n x) 3 = = n 0 = 0 Also ist (f n ) punktweise konvergent auf [0,5] mit der Grenzfunktion 0 x = 0 f(x) = für. x (0,5] (ii) Die Funktion (g n ) konvergiert punktweise gegen 0 x = 0 g(x) = für x < 0 x > 0. Aufgabe H3 (Grenzwertsätze) ( Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Beweisen Sie die wahren Aussagen. Geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an. (i) Ist ( ) eine divergente Folge mit A < für alle n und lim b n = 0, dann gilt lim b n = 0. (ii) Wenn die Folgen ( ) und (b n ) divergent sind, dann ist auch die Folge ( +b n ) divergent. (iii) Ist ( ) eine konvergente Folge und ist die Folge (b n ) definiert durch b n = +27, dann konvergiert auch (b n ) und es gilt lim b n = lim. (iv) Gilt lim = + und lim b n =, dann folgt lim ( +b n ) = 0. (i) Das ist wahr. Da die Folge ( ) divergent ist, folgt A > 0. Sei ε > 0 beliebig. Da die Folge (b n ) gegen 0 konvergiert, existiert zu δ := ε A ein N N, sodass b n < δ für alle n N. Daher gilt für alle n N: b n 0 = b n A b n < Aδ = ε. (ii) Falsch! Betrachte die beiden Folgen ( ) und (b n ), definiert durch = ( ) n und b n = ( ) n+. Beide Folgen sind divergent, aber ihre Summe ist die konstante Nullfolge. 5

6 . Übung Mathematik I für Maschinenbau (iii) Richtig. Seien a der Grenzwert der Folge ( ) und ε > 0 beliebig. Aufgrund der Konvergenz von ( ), existiert ein N N, sodass a < ε für alle n N. Daher gilt erst recht: für alle n N. b n a = +27 a < ε (iv) Falsch. Betrachte die beiden Folgen (n) n N und ( 2n) n N. Es gilt lim = + und lim b n =, aber lim ( +b n ) = lim ( n) =. Aufgabe H (Konvergenzkriterien für Reihen) (6 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: ( ) n (i) n+( ) n 2n+7 (ii) 70n+8 2n+sin(n) (iii) ne n (Tipp: Die Exponentialfunktion e x wächst stärker as jede Potenz von x.) ( ) (i) Es gilt n n+( ) 0, also ist n = n+( ) eine Nullfolge (und außerdem ist die notwendige n Bedingung für die Konvergenz erfüllt). Um das Leibniz-Kriterum anwenden zu können, müssen wir noch zeigen, dass monoton fallend ist. + = (n+( ) n ) ( (n+)+( ) n+) = +2( ) n < 0, also ist + und somit > +. Deshalb ist eine monoton fallende Nullfolge und nach dem Leibniz-Kriterium konvergent. Die Reihe ( ) n n+( ) ist aufgrund der divergenten Minorante n 5n divergent. Demnach ( ) n ist absolut konvergent. n+( ) n 2n+7 2n+7 (ii) 70n+8 ist divergent (also erst recht absolut konvergent), denn 70n+8 konvergiert gegen 2 70 < und gegen 0. (iii) Die notwendige Bedingung für die Konvergenz ist erfüllt, denn 2n+sin(n) ne n 2n+ ne n = 2+ n e n 0. Da e x stärker wächst als jede Potenz von x, existiert ein n 0 N, so dass e n 0 (n 0 ) 2 ist. (Das gilt sogar für alle n 0 N, ist aber aufwendiger zu zeigen.) Also gilt für n n 0 : Die Reihe Reihe 2n+sin(n) ne n 2n+ ne n = 2 e n + ne n 2 n 2 + n n 2 3 n 2. 3 = 3 ist konvergent, also ist nach dem Majorantenkriterium auch die n 2 n 2 2n+sin(n) ne n konvergent. Da alle Folgeglieder -negativ sind, ist die Reihe somit auch absolut konvergent. 6