f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}

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1 9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen und kann aber auch implizit durch eine Gleichung f(, 0 gegeben sein Dann ist als Funktion von noch nicht eindeutig festgelegt, da es zu einem festen 0 mehrere Lösungen von f( 0, 0 geben kann Definition Es sei U R 2 und f : U R eine Funktion Man sagt, durch f(, 0 ist auf dem Intervall I R eine implizite Funktion g : I J mit Werten ( in J R erklärt, gdw es zu jedem I genau ein J gibt mit U und f(, 0 Dieses wird mit g( bezeichnet Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J {(, I, J} liegende Teil der Niveaulinie f(, 0 als Graph g( darstellbar ist (vgl Abb 12 J g( I f(, 0 Abbildung 12: Eine implizite Funktion Beispiel 91 (a Durch f(, (U R 2 ist die implizite Funktion g : R R, g( 1 2 (1 3 erklärt In diesem Fall ist f(, 0 für jedes R eindeutig nach auflösbar (b Durch sind implizit zwei Funktionen g 1 : [ 1, 1] [0, 1], g 1 ( 1 2 und g 2 : [ 1, 1] [ 1, 0], g 2 ( 1 2 erklärt

2 9 Der Satz über implizite Funktionen 42 Satz 91 (Satz über implizite Funktionen Es ( sei U R 2 offen und f : U R eine Funktion, die zur Klasse C 1 0 gehört Ist U ein Punkt mit 0 f( 0, 0 0 und ( 0, 0 0, dann gibt es offene Intervalle I und J mit 0 I und 0 J, so dass gilt: {( ( (a R I, J} U und (, 0 für alle R (b Durch f(, 0 ist auf I eindeutig eine differenzierbare implizite Funktion g : I J (mit Werten in J erklärt mit der Ableitung g ( (, g( für alle I (, g( Beweis Wir betrachten den Fall ( ( und (0, 0 > 0, den man durch eine Koordinatentransformation und einen eventuellen Übergang von f zu f stets erreichen kann (a Aufgrund der Stetigkeit der partiellen Ableitung gilt (, > 0 in einer ganzen Umgebung V U des Nullpunkts (b Wir betrachten nun f nur noch auf Rechtecken {( R αβ : α α, β β}, die ganz in V enthalten sind Wegen (0, > 0 für β β und ein geeignetes β > 0 ist die Funktion f(0, auf dem Intervall [ β, β] streng monoton wachsend Wegen f(0, 0 0 gilt insbesondere f(0, β < 0 und f(0, β > 0 Aufgrund der Stetigkeit von f gibt es dann ein α > 0, so dass f(, β < 0 und f(, β > 0 für alle [ α, α] gilt Wir setzen nun I : ( α, α und J : ( β, β Für I ist wieder wegen (, > 0 die Funktion f(, streng monoton wachsend Deshalb gibt zu I genau ein J mit f(, 0 Dieses bezeichnen wir mit g( Wir zeigen nun, dass g differenzierbar mit der angegebenen Ableitung ist Es sei dazu I, g(, + h I und g( + h g( Nach dem Mittelwertsatz aus Analsis A gibt es ein ξ zwischen und + h und ein η zwischen g( und g( + h, so dass gilt (vgl auch den Beweis von Satz 42 f(+h, + f(, f(+h, + f(, + +f(, + f(, [ ] [ ] (ξ, + h + (, η Unter Verwendung von g( und g( + h g( lautet diese Formel [ ] [ ] f(+h, g(+h f(, g( (ξ, + h+ (, η (g(+h g(

3 9 Der Satz über implizite Funktionen 43 Wegen f( + h, g( + h f(, g( 0 und der Stetigkeit der partiellen Ableitungen ergibt sich was zu zeigen war g( + h g( lim lim h 0 h h 0 (ξ, + (, η (, (,, Weiß man, dass g( eistiert und differenzierbar ist, so kann man die Ableitung auch aus der Identität f(, g( 0 mit Hilfe der Kettenregel berechnen Man erhält [ ] (, g( + (, g( g ( 0 Nach g ( aufgelöst, ergibt dies die Formel für die Ableitung in Satz 91 Beispiel 92 Es sei f(, e Die Gleichung f(, 0 kann nicht durch formale Umformungen nach aufgelöst werden Wegen ( (, e > 0 für alle R 2 sind die Voraussetzungen ( von Satz 91 erfüllt Nach diesem Satz gibt es zu jeder Lösung von f(, 0 offene Intervalle I bzw J, die 0 0 bzw 0 0 enthalten, so dass durch f(, 0 auf dem Intervall I eine implizite Funktion g : I J erklärt ist, dh die Gleichung f(, 0 kann lokal nach aufgelöst werden Der Satz über implizite Funktionen liefert aber nur die Eistenz dieser Funktion, nicht die eplizite Darstellung von g Er liefert aber wohl eine Darstellung der Ableitung von g: g (, ( (, e + 3 2, wobei durch f(, 0 aus bestimmt ist Beispiel 93 Bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen ist darauf zu achten, dass die Intervalle I und J genügend klein sein müssen Das wollen wir uns an dem Beispiel der Funktion f(, und der Gleichung f(, 0 klarmachen Hier ist (, 2 ( 0 Wir wenden den Satz also auf einen Punkt an, der die Bedingungen und 0 0 erfüllt In der Nähe solcher Punkte ist eine eindeutig bestimmte Funktion von Wie wir schon in Beispiel 91(a gesehen haben, ist 1 2 für 0 > 0 und 1 2 für < 0 Also ist nur für 1 definiert und nur in der Nähe von 0 eindeutig bestimmt Wir betrachten nun Verallgemeinerungen von Satz 91, die wir nicht beweisen wollen

4 9 Der Satz über implizite Funktionen 44 Satz 92 (Satz über implizite Funktionen von n Variablen Es sei ( U R n+1 offen und f : U R eine Funktion, die zur Klasse C 1 gehört Mit ( bezeichnen wir die Punkte im R n+1, wobei R n 0 und R ist Ist U ein Punkt mit f( 0, 0 0 und ( 0, 0 0, dann gibt es eine Umgebung V von 0 in R n und ein offenes Intervall J mit 0 J, so dass gilt: {( ( (a R V, J} U und (, 0 für alle R (b Durch f(, 0 ist auf V eindeutig eine differenzierbare implizite Funktion g : V J (mit Werten in J erklärt mit der Ableitung g ( i (, g( für 1 i n und für alle V i (, g( Beispiel 94 Wir betrachten die Funktion f(,, z z 2 3z 3 1 Wir zeigen, dass in der Nähe des Punktes 0 0 z durch die Gleichung f(,, z 0 eine implizite Funktion z g(, erklärt ist Nach Satz 92 müssen wir nachprüfen: z ( 0, 0, z 0 0 Es gilt z ( 0, 0, z z 0 9z Damit ist die Eistenz einer Funktion z g(, in der Nähe des angegebenen Punktes gewährleistet Für die partiellen Ableitungen von g gilt: mit z g(, g (,, z z 2 16z 9z 2, g 8 3z3 (,, z 16z 9z 2, Statt zu versuchen, eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, kann man auch versuchen, ein Gleichungssstem von m Gleichungen nach m Variablen 1,, m aufzulösen: f 1 ( 1,, n, 1,, m 0 f 2 ( 1,, n, 1,, m 0 f m ( 1,, n, 1,, m 0

5 9 Der Satz über implizite Funktionen 45 Wir orientieren uns dazu zunächst an dem Fall von linearen Gleichungssstemen Sind die f i linear, so sieht das obige Gleichungssstem wie folgt aus: a a 1n n + b b 1m m 0 a a 2n n + b b 2m m 0 a m a mn n + b m b mm m 0, mit reellen Zahlen a ij und b ij Ist die Determinante der Matri b 11 b 1m B : b m1 b mm ungleich Null, so kann das lineare Gleichungssstem mit Hilfe des Gauß schen Algorithmus nach den Variablen 1,, m aufgelöst werden Nun betrachten wir den nichtlinearen Fall In Satz 92 haben wir ( 0, 0 0 ( 0 für eine Lösung der Gleichung f(, 0 vorausgesetzt Kombinieren wir das mit unseren Erkenntnissen im linearen Fall, so liegt es nahe, die 0 Determinante 1 (f 1,, f m ( 1,, m ( 1 ( 0, 0 1 m ( 0, 0 0, 0 : m 1 ( 0, 0 m m ( 0, 0 zu betrachten und von ihr zu verlangen, dass sie ungleich Null ist Satz 93 (Allgemeiner Satz über implizite Funktionen Ist (f 1,, f m ( 1,, m ( 0, 0 0, dann definiert das Gleichungssstem (mit Funktionen f i, die zur Klasse C 1 gehören f 1 ( 1,, n, 1,, m 0 f 2 ( 1,, n, 1,, m 0 f m ( 1,, n, 1,, m 0 ( 0 in der Nähe einer Lösung eindeutig die differenzierbaren Funktionen 0 i g i ( 1,, n (i 1,, m Ihre Ableitungen lassen sich durch implizite Differentiation berechnen

6 9 Der Satz über implizite Funktionen 46 Beispiel 95 Wir betrachten die Gleichungen u + vu 2 2, u v 4 2 Wir zeigen, dass sich diese Gleichungen in der Nähe des Punktes (,, u, v (1, 1, 1, 1 nach u und v auflösen lassen Dazu betrachten wir die Funktionen f 1 (,, u, v u + vu 2 2, f 2 (,, u, v u v 4 2 und berechnen die Determinante (f 1, f 2 (u, v 1 1 u v 2 2 u v + 2uv u2 3u v 3 Es gilt (f 1, f 2 (1, 1, 1, 1 (u, v Aus Satz 93 folgt die Eistenz von impliziten Funktionen u g 1 (, und v g 2 (, Nun wollen wir auch noch die partielle Ableitung g1 (1, 1 berechnen Dazu differenzieren wir die gegebenen Gleichungen nach Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir: u + u + v u2 + 2vu u 0, 3u 2 u + u v 3 v 0 Nun setzen wir (,, u, v (1, 1, 1, 1 ein: Daraus ergibt sich 3 u 3 u v (1, 1 + (1, 1 1, v (1, (1, 1 1 u (1, 1 1 3, v (1, 1 0 Ein Spezialfall des allgemeinen Satzes über implizite Funktionen ist der Satz über inverse Funktionen In Calculus A haben Sie gelernt, wie man zb die Gleichung sin in einem geeigneten Bereich nach auflöst: Dies entspricht der Bildung der inversen Funktion arcsin Nun versuchen wir, die n Gleichungen f 1 ( 1,, n 1 f n ( 1,, n n

7 9 Der Satz über implizite Funktionen 47 nach 1,, n aufzulösen, dh 1,, n als Funktionen von 1,, n darzustellen Fassen wir die n Funktionen f 1,, f n zu einer Abbildung f zusammen, so können wir für das obige Gleichungssstem abkürzend schreiben: f( Das Auflösen dieses Gleichungssstem bedeutet gerade, die Abbildung f zu invertieren Aus dem allgemeinen Satz über implizite Funktionen, angewandt auf das Gleichungssstem 1 f 1 ( 1,, n 0 n f n ( 1,, n 0, folgt die Bedingung (f 1,, f n ( 1,, n ( ( 0 n ( 0 n 1 ( 0 n n ( 0 0 für die Auflösbarkeit in einer Umgebung des Punktes 0 Satz 94 (Satz über inverse Funktionen Es sei U R n offen und f : U R n eine Abbildung, deren partielle Ableitungen stetig sind Es sei 0 U, 0 f( 0 und es gelte (f 1,, f n ( 1,, n ( 0 0 Dann gibt es eine Umgebung V von 0 und eine Umgebung W von 0, so dass sich das Gleichungssstem f( eindeutig in der Form g( lösen läßt, wobei W und V ist Außerdem gilt: Die Abbildung g : W V hat stetige partielle Ableitungen Man nennt Satz 94 auch den Satz über die lokale Umkehrbarkeit, da die Abbildung g : W V die Umkehrabbildung zu der Abbildung f : V W ist, die Abbildung f : U R n unter den Bedingungen des Satzes also lokal umkehrbar ist Beispiel 96 Wir betrachten die Abbildung ( f(, sin + cos und zeigen, dass das Gleichungssstem u, sin + cos v

8 9 Der Satz über implizite Funktionen 48 in der Nähe des Punktes gilt also (f 1, f 2 (, ( ( 0 π/2 0 π/ nach und auflösbar ist Es cos sin 2 ( cos, (f 1, f 2 (, (π 2, π 2 π2 2 0 sin Nach Satz 94 ist das gegebene Gleichungssstem in der Nähe des angegebenen Punktes nach und auflösbar Man beachte, dass der Satz keine eplizite Auflösung liefert Wir sehen auch, dass es im Allgemeinen nicht ohne weiteres möglich ist, solche Gleichungen eplizit aufzulösen