Dr. Neidhardt Thema: Parabeln. [ein Bindeglied zwischen Geometrie und Algebra ] Referent: Christian Schuster

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1 Dr. Neihart Thema: Parabeln [ein Bineglie zwischen Geometrie un Algebra ] Referent: Christian Schuster

2 Glieerung: Anwenungsgebiete un Vorkommen von Parabel Erscheinungen in er Natur Parabeln: Definition, geometrische un physikalische Charakterisierung Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis Möglichkeiten er geometrischen Konstruktion von Parabeln un eren Interpretation Konstruktion mit Hilfe es Strahlensatzes Konstruktion urch en Höhen- Kathetensatz Konstruktion mit em Sehnensatz

3 Anwenungsgebiete un natürliche Vorkommen von Parabel Erscheinungen Wie oft ie Parabel wir in unserem Alltag auftritt, wir uns meist nicht bewusst.

4 Zum Beispiel ist ie Laufbahn beim Werfen eines Balles eine Parabel. Der Ball fällt vom höchsten Punkt in einer Kurve, em Scheitel, in erselben Form wieer zurück, wie er nach oben geworfen wure. Beie Bögen bilen ie Parabel. senkrechter Wurf (Annäherung) schiefer Wurf

5 Auch bei Springbrunnen fliegen ie Wassertropfen auf Parabelbahnen

6 Beim Feuerwerk sieht man ganze Parabelfamilien

7 Die Parabel ist eine ebene Kurve, ie zu en Kegelschnitten gehört Jeoch schneiet ie Ebene hier im Gegensatz zur Hyperbel nur einen er Kegel

8 Die Reflexionseigenschaft er Parabel wir in vielen optischen Geräten wie bei Antennen (Parabolspiegeln) ausgenutzt.

9 Auch bei Solarkraftwerken wie hier im Death Valley kommt ie Parabelform zum Einsatz

10 Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt as Wasser an en Ränern höher als innen, er Querschnitt er Wasserfläche bilet eine Parabel

11 Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt as Wasser an en Ränern höher als innen, er Querschnitt er Wasserfläche bilet eine Parabel

12 Parabeln: Definition, geometrische un physikalische Charakterisierung Geometrische Charakterisierung einer Parabel: Eine Parabel besteht efinitionsgemäß aus genau allen Punkten P, eren Abstan von einem festen Punkt F (Brennpunkt) un einer festen Geraen L (Leitlinie) gleich ist. Thema 1. Stune Physikalische Charakterisierung einer Parabel: Ein Lichtstrahl, er parallel zur x-achse einfällt, wir an er Parabel so reflektiert, ass er urch en Brennpunkt geht.

13 Die Gleichung einer Parabelrelation: y = px Der Punkt F heißt Brennpunkt er Parabel Die Gerae L heißt Leitlinie er Parabel

14 Die Gleichung einer Parabelrelation: y = px Der Punkt F heißt Brennpunkt er Parabel Die Gerae L heißt Leitlinie er Parabel

15 Die Gleichung einer Parabelrelation: y = px Der Punkt F heißt Brennpunkt er Parabel Die Gerae L heißt Leitlinie er Parabel

16 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

17 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

18 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

19 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

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21 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

22 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

23 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

24 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

25 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

26 Parabeln Ein Bineglie zwischen Geometrie un Analysis

27 Möglichkeiten er geometrische Konstruktion von Parabeln un eren Interpretation a) Parabelkonstruktion mit Hilfe es Höhen- un Kathetensatzes

28 Höhensatz: Pythagoras: c = a + b araus hergeleitet er Höhensatz: h = pq un er Kathetensatz: a = cp, b = cq

29 h = pq SC = x AS = y SB = x x = y y y = 1 x eine Parabelgleichung

30 x y p y = 1 x SB ( ) ist ie Konstante, welche ie Parabelöffnung festlegt. x un y weren jeweils urch en Punkt P1 abgetragen, welcher sich natürlich senkrecht über em X-Achsenabschnitt befinen muss. Daher ie Hilfskonstruktion es Rechtecks SAP1C

31 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe es Höhensatzes en Graph er quaratischen Funktion, ie folgene Gleichung hat: y = x 1x + 19 Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F?

32 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe es Höhensatzes en Graph er quaratischen Funktion, ie folgene Gleichung hat: y = x 1x + 19 y = 1 x Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F?

33 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe es Höhensatzes en Graph er quaratischen Funktion, ie folgene Gleichung hat: y = x 1x + 19 y = 1 x S(3,1) Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F?

34 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe es Höhensatzes en Graph er quaratischen Funktion, ie folgene Gleichung hat: y = x 1x + 19 y = 1 x S(3,1) 1 = = 1 Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F?

35 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe es Höhensatzes en Graph er quaratischen Funktion, ie folgene Gleichung hat: y = x 1x + 19 y = 1 x S(3,1) 1 = = 1 Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F? Leitlinie L y = 0,75

36 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe es Höhensatzes en Graph er quaratischen Funktion, ie folgene Gleichung hat: y = x 1x + 19 y = 1 x S(3,1) 1 = = 1 Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F? Leitlinie L y = 0, 75 F(3;1,5)

37 b) Parabelkonstruktion mit Hilfe es Sehnensatzes

38 Sehnensatz Schneien sich zwei Sehnen im Kreis, ann ist as Proukt er beien Abschnitte auf einer Sehne gleich em Proukt er beien Abschnitte auf er aneren Sehne. FZ ZE = DZ ZC

39 FZ ZE = DZ ZC In em Spezialfall nun mit : FZ = ZE = un x y x DZ = ZC = y x x = y 1 x y = eine Parabelgleichung

40 e y = 1 x Mit Hilfe einer kleinen Hilfskonstruktion [K 1 (S,x1); K (R,y)] weren nun ie jeweiligen X- bzw. Y-Achsenabschnitte er Sehensatzkonstruktion urch ie Spur von P1, P oer P3, P4 ins Koorinatensystem übertragen.

41 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränerung von e? Wo liegen in iesem Falle ie Leitlinie L un er Brennpunkt F?

42 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränerung von e? e entspricht em Sehnenabschnitt p, er ie Parabelöffnungskonstante arstellt. Verlängert man ie Strecke e, wir ie Parabelöffnung größer, a in er Parabelformel als Kehrwert eingeht. y = 1 x Wie kann ich beim Sehnensatz ie Lage er Leitlinie L bzw. es Brennpunktes F herausfinen? Gleichung aus Sehnensatz: allgemeine Parabelgleichung:

43 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränerung von e? e entspricht em Sehnenabschnitt, er ie Parabelöffnungskonstante arstellt. Verlängert man ie Strecke e, wir ie Parabelöffnung größer, a in er Parabelformel als Kehrwert eingeht. y = 1 x Wie kann ich beim Sehnensatz ie Lage er Leitlinie L bzw. es Brennpunktes F herausfinen? Gleichung aus Sehnensatz: y = 1 x allgemeine Parabelgleichung: y = px

44 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränerung von e? e entspricht em Sehnenabschnitt p, er ie Parabelöffnungskonstante arstellt. Verlängert man ie Strecke e, wir ie Parabelöffnung größer, a in er Parabelformel als Kehrwert eingeht. y = 1 x Wie kann ich beim Sehnensatz ie Lage er Leitlinie L bzw. es Brennpunktes F herausfinen? Gleichung aus Sehnensatz: y = 1 x = p Brennpunkt _ F(0, ) 4 allgemeine Parabelgleichung: y = px 1 Leitlinie _ y = 1 4

45 b) Parabelkonstruktion mit Hilfe es Strahlensatzes

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47 Der Strahlensatz: ie Strahlensatzfigur gibt uns zwei Parallelen [ EG HD] wobei D,E so gewählt wuren, ass sie auf einem Kreis K um A liegen. ies ermöglicht uns in er Strahlensatzformel AG AE = mit AG = p, AD = x, AH = y AD AH zu sagen, ass AE = AD = x un somit p x gilt = ; nach y aufgelöst ergibt sich: x y A y = 1 x p - eine Parabelgleichung!!

48 Nun haben wir einen x- un einen y- Achsenabschnitt un können ebenfalls wieer mit einer Hilfskonstruktion aus K 1 (0, AD) um en Ursprung ie X-Koorinate unserer Parabel festlegen. Mit Hilfe zweier weiterer Kreise K (+X, AH ) un K 3 (-X, AH ) um jeweils iese X-Koorinaten haben wir ie Y-Spurlinie un amit en Graphen unserer konstruierten Parabel. Durch bewegen es Punktes D im Programm GeoNext, weren ie Parabeläste gezeichnet.

49 Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss ie Strahlensatzkonstruktion aufweisen, amit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wir?. Wie verhält sich ie Parabel, wenn er Neigungswinkel, en ie Parallelen in er Strahlensatzkonstruktion zur Grunlinie einnehmen veränert wir, wie wenn verkleinert bzw. vergrößert wir?

50 Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss ie Strahlensatzkonstruktion aufweisen, amit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wir? E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung. Wie verhält sich ie Parabel, wenn er Neigungswinkel, en ie Parallelen in er Strahlensatzkonstruktion zur Grunlinie einnehmen veränert wir, wie wenn verkleinert bzw. vergrößert wir?

51 Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss ie Strahlensatzkonstruktion aufweisen, amit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wir? E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung. Wie verhält sich ie Parabel, wenn er Neigungswinkel, en ie Parallelen in er Strahlensatzkonstruktion zur Grunlinie einnehmen veränert wir, wie wenn verkleinert bzw. vergrößert wir? wenn urch Bewegen von a geänert wir, veränert sich ie Parabelöffnung

52 Aufgabe: 3. Welche Besonerheit muss in er Strahlensatzkonstruktion vorliegen, amit eine Normalparabel entsteht? 4. Wie fine ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

53 Aufgabe: 3. Welche Besonerheit muss in er Strahlensatzkonstruktion vorliegen, amit eine Normalparabel entsteht? y = 1 x y = x = 1 = 1 4. Wie fine ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt? 1

54 Aufgabe: 3. Welche Besonerheit muss in er Strahlensatzkonstruktion vorliegen, amit eine Normalparabel entsteht? y = 4. Wie fine ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt? y = 1 x 1 x Parabel aus em Strahlensatz y = x = 1 = 1 y = px allgemeine Parabelgleichung 1 y x y = 1 x p

55 Aufgabe: 3. Welche Besonerheit muss in er Strahlensatzkonstruktion vorliegen, amit eine Normalparabel entsteht? y = 4. Wie fine ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt? y = 1 x 1 x Parabel aus em Strahlensatz y = x = 1 = 1 y = px allgemeine Parabelgleichung 1 y x y = 1 x p = p = p = p un F un L liegen jeweils 1 1 bei p bzw. p auf em Lot auf x urch S

56 Diese Konstruktion einer Parabel urch en Strahlensatz ist nur möglich, inem ich mir geeignete Strecken günstig wähle un gewisse Parameter (Einschränkungen) in Kauf nehme... hier: Die Punkte E,D liegen auf einem Kreis um A, wourch sich eine Parabelgleichung aufstellen lässt.