Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

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1 Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da die höchste bei vorkommende Potenz ist, und Vorzeichen hat, gilt: lim f und lim f. positives. Symmetrie: Da sowohl gerade als auch ungerade Eponenten bei vorkommen, gibt es keine Symmetrie zur y-achse oder zum Koordinatenursprung. 4. Achsenschnittpunkte: a. y-achse: f, also liegt auf dem Graphen. b. -Achse: f 8 8 Für die Skizze nachher: (Vergleiche a.!), 8 Die Lösungsformel (mit a ;b ;c 8 ; 4. und ) liefert p ; q 8 4 liegen auf dem Graphen. bzw.. Etremwerte: f liefert mit der Lösungsformel ( p ;q bzw. a ;b 4;c 8) 4 7,4 und 7,. Maimum; f 7 f 7, Minimum; f 7 ; also Ma,, 9; also Min,4 6,9 f 7 6, Ans WBG 7

2 Seite von 6. Wendepunkt: f : 6 ; f,9; also WP,9 f 7. Graph skizzieren: f y Ans WBG 7

3 Seite von Mit Substitution f. Beispiel. Diskutiere die Funktion Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion fünften Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da die höchste bei vorkommende Potenz ist, und Vorzeichen hat, gilt: lim f und lim f.. Symmetrie: Es kommen nur ungerade Potenzen bei vor, und es gibt keinen Summanden ohne. Daher liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor. 4. Achsenschnittpunkte: a. y-achse: f, also liegt auf dem Graphen. b. -Achse: 4 f positives 4 (Vergleiche a.) Substitution z : z z ergibt in der Lösungsformel p 6 ; q bzw. ( a ; b ; c ) eine negative Zahl unter der Wurzel, also gibt es keine weiteren Nullstellen. Zusammen: ist der einzige Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse.. Etremwerte: f 4 4 Substitution z z 4z Die Lösungsformel (mit p 4;q bzw. a ;b 4;c ) liefert z 9, also, und z, also. / 4/ Maimum;, also Ma f f Ans WBG 7

4 Seite 4 von Minimum; f 47, also Min 47 f Aus Symmetriegründen () müssen die folgenden Zeilen nun so lauten (Selbstkontrolle!): Maimum; f 47, also Ma 47 f f Minimum; f, also Min 6. Wendepunkte: 4 f : 4 7 4, 7/8, f 7, also WP 4, 7,6 f 7 7,6 f, f, also WP und aus Symmetriegründen () (Selbstkontrolle!):, f 7 7. Graph skizzieren:, also WP 4, 7,6 f 7 7,6 f y Ans WBG 7

5 Seite von Mit Polynomdivision Beispiel. Diskutiere die Funktion f 6 9. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da die höchste bei vorkommende Potenz ist, und Vorzeichen hat, gilt: und. lim f lim f positives. Symmetrie: Da sowohl gerade als auch ungerade Eponenten bei vorkommen, gibt es keine Symmetrie zur y-achse oder zum Koordinatenursprung. 4. Achsenschnittpunkte: a. y-achse: f, also liegt auf dem Graphen. b. -Achse: Es hilft alles nichts, wir müssen raten, und finden so. Polynomdivision []: 6 9 : liefert mit der Lösungsformel ( p 4;q bzw. a ;b 4;c ):,7 und,7. Für die Skizze nachher:. Etremwerte: f,7, und 9 Lösungsformel und Maimum bei f f Minimum bei 6. Wendepunkt:,7 liegen auf dem Graphen. ; y-koordinate: f ; also Ma ; y-koordinate: f ; also Min f 6 verwende [] falls erforderlich Ans WBG 7

6 Seite 6 von f, also Wendepunkt bei 7. Graph skizzieren: y ; y-koordinate: f ; also WP f Ans WBG 7

7 Seite 7 von Gebrochen-Rationale Funktionen Die -Achse als Asymptote f Beispiel 4. Diskutiere die Funktion. Es handelt sich um eine (echt) gebrochen-rationale Funktion. Ableitungen nach der Quotientenregel, danach vereinfacht: 8 4 f, f Definitionsmenge: Der Nenner eines Bruches darf nie Null werden, daher müssen die Nullstellen des Nenners von werden: D \ f gesucht und aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.. Verhalten gegen : Klammere die höchste vorkommende Potenz von aus und kürze: f für.. Verhalten an den Polstellen: Wir legen vier Wertetabellen an:,,4 f 6 87 folglich lim,,4,4 f 8 folglich lim,,4,4 f 8 folglich lim,,,4 f 6 87 folglich lim, 4. Symmetrie: f f, folglich ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Ans WBG 7

8 Seite 8 von. Achsenschnittpunkte: y-achse: f, also liegt auf dem Graphen. -Achse: Nullstellen sind Nullstellen des Zählers:. 6. Etremwerte: f Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! (keine Lösung) Der Graph hat keine Etremwerte. 7. Wendepunkte: f Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! 8 4 Substitution z 4 z 8z 4 Lösungsformel z D! z 6 6! Zusammenfassend kann nur in ein Wendepunkt vorliegen. 8. Graph: f y Ans WBG 7

9 Seite 9 von Eine Gerade als Asymptote Beispiel. Diskutiere die Funktion f 4. Es handelt sich um eine (unecht) gebrochen-rationale Funktion. Ableitungen (auf Vorrat) nach der Quotientenregel, dann vereinfachen: 7 f, f Definitionsmenge: Der Nenner eines Bruches darf nie Null werden, daher müssen die Nullstellen des Nenners von werden: D \ f gesucht und aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.. Verhalten gegen : Polynomdivision [] mit Rest: : Für wird sehr klein und der Graph der Funktion nähert sich dem Graphen von f an.. Verhalten am Pol ( ): Wir legen zwei Wertetabellen an:,, f 6 6,9 6,99 folglich lim,,9,99 f 4 8,9 98,99 folglich lim, 4. Symmetrie: 4 4 f f und f Achsensymmetrie zur y-achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.. Achsenschnittpunkte: f 4, also liegt 4 auf dem Graph., daher keine Ans WBG 7

10 Seite von Nullstellen sind Nullstellen des Zählers!: f 4 4 und 6. Etremwerte: f Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! 7 (keine Lösungen, da in der Lösungsformel negative Zahl unter der Wurzel) Keine Etrema. 7. Wendepunkte: 8. Graph: f Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! Keine Wendepunkte, da nicht zur Definitionsmenge gehört! f f Ans WBG 7

11 Seite von Eine Parabel als Asymptote Beispiel 6. Diskutiere die Funktion f 6, 4. Es handelt sich um eine (unecht) gebrochen-rationale Funktion. Ableitungen (auf Vorrat) nach der Quotientenregel, dann vereinfacht: , 8 9,, f, f Definitionsmenge: Der Nenner eines Bruches darf nie Null werden, daher müssen die Nullstellen des Nenners von werden: D \. Verhalten gegen : Polynomdivision [] mit Rest: 4 6, :, 4,,,, f gesucht und aus der Definitionsmenge ausgeschlossen Für wird, sehr klein und der Graph der Funktion nähert sich dem Graphen von f, an.,. Verhalten in der Nähe der Pole ( ): Wir legen vier Wertetabellen an:,, f 9,4 6 folglich lim,,9,99 f, 6 folglich lim,,9,99 f, 6 folglich lim,,, f 9,4 6 folglich lim, Ans WBG 7

12 Seite von 4. Symmetrie: 4 4 6, 6, f f achsensymmetrisch zur y-achse.. Achsenschnittpunkte:, folglich ist der Graph y-achse: f, also liegt auf dem Graphen. -Achse: Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! f 4 6, 6, 6,, 6. Etrema: 4, 4 4, f Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! (keine weiteren Lösungen nach Substitution f,, f, also Min 7. Wendepunkte: ,, Raten ergibt z ) f Nullstellen sind Nullstellen des Zählers! als mögliche Wendestellen, diese -Werte befinden sich jedoch nicht in der Definitionsmenge. Ein Näherungsverfahren findet lediglich noch weitere Nullstellen der zweiten Ableitung. 8. Graph: f, 48 74,9.,48 74 als f 6, 4 f, Ans WBG 7

13 Seite von Eponentialfunktionen Produkt aus einfacher ganzrationaler und einfacher e-funktion Beispiel 7. Diskutiere die Funktion f e. Es handelt sich um eine Eponentialfunktion. Ableitungen (auf Vorrat) nach der Produktregel, dann vereinfachen:, f e, f e. f e. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : a. lim f (wegen der e-funktion) b. Die e-funktion strebt für (betragsmäßig) größer werdende, negative schneller gegen Null als jeder ganzrationale Faktor sich von Null entfernt, daher gilt: lim f.. Symmetrie: f e f und f, daher gibt es keine Achsensymmetrie zur y-achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung. 4. Achsenschnittpunkte: y-achse:, also liegt auf dem Graphen. f -Achse: e. Da der Faktor betrachten: e keine Nullstellen besitzt, genügt es, den anderen Faktor zu f e. Etrema: f, also liegt ein Minimum vor. f e, 7 zusammen: Min,7 6. Wendepunkte: f e f, also liegt ein Wendepunkt bei vor. Ans WBG 7

14 Seite 4 von 7. Graph: Ans WBG 7

15 Seite von Polynom verknüpft mit Eponentialfunktion Beispiel 8. Diskutiere die Funktion f 4 e. Es handelt sich um eine Eponentialfunktion der Form g e mit g 4. Ableitungen (auf Vorrat) nach der Ketten- und Produktregel, dann vereinfacht: 4 4, f 4 e. Definitionsmenge D. f 6 6 e. Verhalten gegen : lim g lim f 4 lim g lim f und 4. Symmetrie: f e f und f, daher keine Achsensymmetrie zur y-achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung. 4. Achsenschnittpunkte: y-achse: f -Achse: Die Eponentialfunktion hat (unabhängig vom Eponenten) keine Nullstellen.. Etremwerte: f 4 4 e 4 / keine Nullstellen f, f 8, Ma 8, 9 f 4, f 4 7,8 Min 4 6. Wendepunkte: e f,4 und, (Näherungsverfahren) / keine Nullstellen mögliche Wendepunkte:,4, und,,. Ans WBG 7

16 Seite 6 von 7. Graph: f e g 4 Da die Eponentialfunktion streng monoton wächst, übertragen sich bestimmte Eigenschaften von g auf g e. Ans WBG 7

17 Seite 7 von e-funktion mit Substitution f e e e Beispiel 9. Diskutiere die Funktion Es handelt sich um eine Eponentialfunktion. Ableitungen (auf Vorrat): fe e, f e e, f e e. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : lim f f (wegen des Summanden lim (wegen des Summanden e ).. Symmetrie: f e e e f und f e ) und, daher keine Achsensymmetrie zur y-achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung. 4. Achsenschnittpunkte: y-achse: -Achse: f 4 4e 6,9 e e e kommt nur im Eponenten von e vor, daher könnte eine Substitution helfen. Vorher wird e vereinfacht. e ee e lnz für z z e z e z. Etremwerte: z e z e Lösungsformel [] z f e e e e 96ee e e ee z e lne z (keine Lösung, da z ) z e z e e e vereinfachen, Sub.: lnz für z z z e (keine Lösung der Gleichung, daher keine Etremwerte) Ans WBG 7

18 Seite 8 von 6. Wendepunkt: 7. Graph: f e e (wie bei den Etremwerten) z e z e (da z ) ln e, f ln e, f ln e,8 WP,, f e e e - Ans WBG 7

19 Seite 9 von Aufgaben Führe eine Kurvendiskussion durch. Aufgabe. f 4 Aufgabe. f 4 Aufgabe. f 9 4 Aufgabe 4. f Aufgabe. f Aufgabe 6. f f e Aufgabe 7. Aufgabe 8. f e e Ans WBG 7

20 Seite von Lösungen Angegeben sind nur die Graphen. Aufgabe. Aufgabe. y Aufgabe. Aufgabe y Aufgabe. Aufgabe 7. y Aufgabe 4. Aufgabe 8. y Ans WBG 7

21 Seite von Literatur Diese Beispiele benutzen die Blätter [] Übungsblatt und Zusammenfassung zur Nullstellenbestimmung bei Polynomen [] Übungsblatt zur Polynomdivision [] Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ( Mitternachtsformel ) Ans WBG 7

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n . Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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