15. Vorlesung Sommersemester

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1 15. Vorlesung Soerseester 1 Kontinuusgrenzfall der Bewegungsgleichungen Was wird aus den Bewegungsgleichungen i Kontinuusgrenzwert? I diskreten Fall sind diese η j = kη j+1 η j + η j 1 1 und an führt wieder Faktoren ein, bis vernünftige Grenzwerte herauskoen: Daraus wird für 0 η j = k η j+1 η j + η j 1. µ η = Y η. 3 Die Bewegungsgleichung ist also jetzt eine partielle Differentialgleichung. Der Ausdruck auf der rechten Seite von ist bekannt als Differenzennäherung für die zweite Ableitung, wie an leicht selbst konstruieren kann: f f x + f x x = li 0 = li 0 = li 0 fx+ fx fx fx fx + fx + fx Das Hailtonsche Prinzip für Felder Es ist jetzt relativ einfach, das Hailtonsche Variationsprinzip auf Felder zu übertragen. In die ursprüngliche Version t δ L dt = 0 5 setzt an die Lagrangedichte über L = ein und erhält dx L η,,, t t δ dt 4 6 dx L = 0 7 Dabei ist wieder das feld an der Anfangs- und Endzeit festzuhalten, aber an den räulichen Grenzen ist nichts vorgeschrieben. 1

2 I dreidiensionalen Rau geht es analog it de Feld ηx, y, z, t: die Lagrangedichte hängt von allen Ableitungen ab, L = L η,,, y, z, t, 8 die Lagrangefunktion wird zu eine dreidiensionalen Integral und dait erhält das Variationsprinzip eine vierdiensionale Integration t δ dt d 3 r L = 0. 9 Diese Forulierung der Mechanik eignet sich also hervorragend als Grundlage für eine relativistische Theorie und ist auch aus diese Grunde sehr wichtig in der relativistischen Quantenfeldtheorie zur Beschreibung der Eleetarteilchen. I weiteren wird der Einfachheit halber it de eindiensionalen Fall gearbeitet; der dreidiensionale lässt sich aber daraus leicht ableiten. 3 Ableitung der Bewegungsgleichungen Die Ausführung der Variation und dait die Ableitung der Bewegungsgleichung geht in Anlehnung an den Fall der Euler-Lagrange-Gleichungen verblüffend einfach. Man variiert das Feld ηx, t ηx, t + δηx, t, 10 woit auch die räuliche und zeitliche Ableitung bestit sind: + δ = + δη + δη 11 In erster Ordnung wird die Variation des Integrals also gegeben durch δ dt dx L [ = dt dx L η + δη, + δη, + δη, t L η,, ], t [ ] = dt dx δη + δη + δη Die Näherung erster Ordnung ist dabei genau wie bei einer gewöhnlichen Funktion fx, y zu verstehen, wo an 1 fx + dx, y + dy f + f f dx + dy 13 y und soit df = fx + dx, y + dy fx, y = f f dx + dy 14 y schreibt.

3 Die weiter Entwicklung geht wie gehabt: an führt sowohl i Ort wie auch in der Zeit partielle Intergrationen aus in den Teren, die Ableitungen danach enthalten. Zunächst für die Zeit: dt dx t wobei benutzt wird δη = dx δη t dt dx d δη 15 dt δηx, = 0, δηx, t = Mit der räulichen Ableitung geht es analog; an uss aber bei Weglassen der Randtere i. a. dait arguentieren, dass die Felder in großer Entfernung gegen Null gehen. I Fall der schwingenden Saite ist das Arguent dagegen, dass a Anfang und Ende der Saite die Auslenkung verschwindet, η0, t = ηl, t = 0. Dait resultiert δ dt dxl = dt dx d d δη 17 dt dx Jetzt tritt δη als Faktor i gesaten Integral auf, und da es beliebig ist, uss die Bewegungsgleichung d d = 0 18 dt dx gelten. Sie sieht also ier noch ähnlich aus wie die Lagrangegleichung. Art, aber enthält zusätzliche Tere it den Ortsableitungen des Feldes. Man sieht auch hier, dass sie einer relativistischen Beschreibung sehr entgegenkot. 4 Dreidiensionaler Fall In diese Fall ist einfach nach ehreren Ortsableitungen zu differenzieren, und an erhält eine Sue der Beiträge der drei Richtungen: 5 Beispiel d dt k=1 3 d = 0 19 dx k k Als einfachstes beispiel betrachten wir die Lagrangedichte des schwingenden Stabes oder der schwingenden Saite: L = 1 µ 1 Y 0 Die Ableitungen werden zu = 0 = µ = Y 1 3

4 Soit wird die Bewegungsgleichung zu µ η + Y η = 0 Diese Lagrangedichte ist sozusagen das Gegenstück zu haronischen Oszillator in der Feldtheorie: die kinetische und potentielle Energie sind von zweiter Ordnung in der Geschwindigkeit bzw. Aplitude. Deswegen läuft atheatisch alles sehr ähnlich zu siplen Oszillator. 6 Die schwingende Saite F F l Ft η j -η j-1 η j-1 j-1 j j+1 Zerlegung einer schwingenden Saite in diskrete gekoppelte Punktassen. Die Größen η j geben die Auslenkung aus der jeweiligen Ruhelage x j = j wieder, jetzt aber transversal, also senkrecht zur Ruhelage der Saite. Entlang der Saite wirken überall Spannungskräfte. Bei der schwingenden Saite sind die Geoetrie und der physikalische Mechanisus etwas anders. Die Seite steht unter einer Spannung, die einer konstanten Kraft entlang der Saite entspricht, die auf jeden der Massenpunkte nach beiden Richtungen zieht. Durch eine seitliche Auslenkung erzeugt diese Spannung in der transversalen Richtung eine rücktreibende Kraft. Man betrachte i Bild die Kraft, die das Segent zwischen den Punkten j 1, j auf die Masse bei j ausübt. Die Fadenspannung F erzeugt eine transversale F t und eine longitudinale F l Kraftkoponente, für deren Größe an aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke abliest: ηj-1 η j η j 1 F t = + η j η j 1 F F η j η j 1 F l = F F. 3 + η j η j 1 Dabei ist die Näherung kleiner Auslenkungen benutzt worden. Für den Beitrag des rechts davon gelegenen Saitenstücks rechnet an ganz analog F t η j η j 1 = + η j η j 1 F F η j η j+1 F l = F F. 4 + η j η j+1 und dait wird die resultierende Kraft longitudinal verschwinden, während die transversale zu η j = F t + F t = F η j 1 + η j η j+1 5 wird. Da das exakt dieselbe Forel wie für den schwingenden Stab ist, lässt sich alles oben entwickelte übertragen. 4

5 7 Lösung der Bewegungsgleichung 7.1 Fortschreitende Wellenlösung Die Gleichung ist eine eindiensionale For der Wellengleichung und beschreibt u. a. Lösungen, die sich it konstanter Geschwindigkeit bewegen. U das zu sehen, betrachten wir Lösungen der For ηx, t = fx vt 6 it einer konstanten Geschwindigkeit v. Was diese Gleichung eigentlich besagt, ist dass an eine beliebige Funktion fu einer Variablen hat, wobei dann ux, t = x vt eine spezielle Funktion von x und t ist. Es ist nun u = 1, und für die Ableitungen von η rechnet an z. B. und weiter Einsetzen in ergibt u = dη u dη = v du du η = v d η du, = v 7 8 η = d η du. 9 µv d η du = Y d η du. 30 Dies ist für beliebige f erfüllt, wenn v gleich der Schallgeschwindigkeit v = Y/µ ist. Die Schallgeschwindigkeit ist also ähnlich wie bei Oszillator durch das Verhältnis von rücktreibender Kraft und Masse gegeben. Was beschreibt die Lösung 6 physikalisch? Zur Zeit t = 0 hat die Auslenkung das Profil fx und zu späteren Zeiten bleibt dieses in der For erhalten, ist nur u die Strecke vt weitergelaufen. Die Lösung beschreibt also wirklich eine fortschreitende Welle. 7. Separation der Variablen Zur Lösung der partiellen Differentialgleichung ist oft ein Separationsansatz erfolgreich. Das funktioniert so: Einsetzen ergibt Man trennt jetzt die Abhängigkeit von x und t: µ η = Y η 31 ηx, t = axbt 3 µaxb t = Y a xbt. 33 µb b = Y a a = const. = C 34 Da die eine Seite der Gleichung nur von x und die andere nur von t abhängt, kann die Gleichung für alle x und t nur gültig sein, wenn beide gleich derselben Konstanten sind. Das ist das Wesen der Separation der Variablen in diese Fall. Man erhält also zwei gewöhnliche Differentialgleichungen µb = Cb, Y a = Ca 35 5

6 Das ist i wesentlichen die Oszillatorgleichung; ob sie periodische oder exponentielle Lösungen hat, folgt aus de Vorzeichen von C. I Ort ist die Randbedingung für eine schwingende Saite der Länge L: a0 = 0 und al = 0. Dait kot als Lösung nur nπ ax = sin L x, n = 1,, in Frage, denn it diese Ansatz ist auch nπ sin L x = 0 für x = L. 37 C darf dann nur negative Werte haben, denn es gilt Ca = Y a = Y nπ L und die Gleichung für die Zeitabhängigkeit wird zu b = Y µ nπ a C = Y. 38 L nπ L b. 39 Wenn wir jetzt zur Abwechslung al die koplexe Schreibweise für die Schwingungen verwenden, so sind die Lösungen für bt bt = e ±iωt it ω = Y µ nπ L. 40 Der Wert von n unterscheidet verschieden Lösungen, die alle die Randbedingung i Ort erfüllen. Wenn wie jetzt noch Angangsbedingungen in der Zeit vorgeben, also ηx, t = 0 = axb0 = η 0 x, sowie ηx, t = 0 = axḃ0 = v 0x, dann ist es natürlich i allgeeinen nicht öglich, diese it eine einzigen Wert von n zu erfüllen, da ja dann nur die einfachen Sinusprofile nach 36 öglich wären. Man uss also eine Sue zulassen und setzt als allgeeine Lösung ηx, t = n=1 nπ sin L x c 1n e iωnt + c n e iωnt 41 an. Die Koeffizienten c 1n und c n erhält an aus den Anfangsbedingungen: η 0 x = v 0 x = n=1 n=1 nπ sin L x c 1n + c n, nπ iω sin L x c 1n c n. 4 Es handelt sich also u das Proble, vorgegebene beliebige Funktionen η 0 x bzw. v 0 x nach Basisfunktionen sin nπ L x zu zerlegen, das ist eine For der Fourier-Analyse, die in der gesaten Physik eine große Rolle spielt. In der Elektrodynaik und Quantenechanik wird dieses Thea extensiv behandelt werden, soll aber hier nicht weiter verfolgt werden. 6