16. Die Chomsky-Hierarchie

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1 16. Die Chomsky-Hierarchie

2 Die Chomsky-Sprachen sind gerade die rekursiv aufzählbaren Sprachen: CH = RA Da es nicht rekursive (d.h. unentscheidbare) r.a. Sprachen gibt, ist das Wortproblem für Chomsky-Grammatiken, d.h. die Frage, ob für eine gegebene Grammatik G = (N, T, P, S) und ein Wort w über dem terminalen Alphabet T, w in der von G erzeugten Sprache liegt, i.a. unentscheidbar. Durch Einschränkung der Form der zulässigen Regeln kann man dies vermeiden. So wurde eine Hierarchie von Chomsky-Grammatiken und Sprachklassen definiert, bei der die Gestalt der Regeln mehr und mehr eingeschränkt wird und dadurch der Grammatik mehr und mehr Information über die dargestellte Sprache effektiv und effizienter entnommen werden kann. 1

3 Trade-off: Mächtigkeit der Darstellungsweise Güte der Darstellungsweise Typische Kriterien für die Güte einer Darstellungsweise von Sprachen mit Hilfe einer Familie G von Grammatiken: Welche der folgenden Probleme sind effektiv lösbar? Und wie komplex sind gegebenenfalls die Lösungen? (G, G G) W G = {(G, x) : x L(G)} (Wortproblem) Leer G = {G : L(G) = } (Leerheitsproblem) Inf G = {G : L(G) unendlich} (Unendlichkeitsproblem) Äqu G = {(G, G ) : L(G) = L(G )} (Äquivalenzproblem) 2

4 TYPEN VON REGELN allgemein (Typ 0) nichtverkürzend w x w x wobei w x kontextsensitiv (Typ 1) xxy xzy wobei z 1 kontextfrei (Typ 2) linear rechtslinear (oder Typ 3) linkslinear X x X ty t oder X t X ty oder X t X Y t oder X t Hierbei w (N T ) + \ T + x, y, z (N T ) t, t T X, Y N 3

5 λ-regeln Eine Regel w λ, deren Konklusion das leere Wort ist, heisst λ-regel. Eine Grammatik heisst λ-frei, falls sie keine λ-regeln besitzt. Man beachte, dass eine λ-regel verkürzend also weder nichtverkürzend noch kontext-sensitiv ist. Weiter beachte man, dass in einer Grammatik, die keine λ-regel enthält, das leere Wort nicht erzeugt werden kann. Eine Grammatik G = (N, T, P, S) heisst λ-treu, falls entweder G λ-frei ist oder S λ die einzige λ-regel in P ist und S in keiner Regelkonklusion vorkommt. (D.h. die Regel S λ kann nur in der Herleitung S λ verwendet werden.) 4

6 TYPEN VON GRAMMATIKEN Eine Grammatik G ist von einem der zuvor eingeführten Typen, falls sie nur Regeln des entsprechenden Typs enthält. Im Falle der nichtverkürzenden und kontext-sensitiven Grammatiken erlaubt man jedoch zusätzlich die λ-regel S λ, verlangt in diesem Fall jedoch, dass die Grammatik λ-treu ist. Nichtverkürzende Grammatiken nennt man auch Grammatiken vom Erweiterungstyp. BEISPIELE. Die früher betrachteten Beispiele für Chomsky- Grammatiken sind von folgendem Typ: Bsp. 1: kontextfrei aber nicht linear; Bsp. 2: rechtslinear; Bsp. 3: linear aber weder rechtsnoch linkslinear; Bsp. 4: kontextfrei aber nicht linear; Bsp. 5: Erweiterungstyp aber nicht kontextsensitiv. 5

7 Zwischen den verschiedenen Typen von Grammatiken bestehen die folgenden Beziehungen: TYPENLEMMA FÜR GRAMMATIKEN. Für Grammatiken G gilt: und G rechtslinear G linear G kontextfrei G kontextsensitiv G nichtverkürzend G vomtyp 0 Für λ-treue Grammatiken G gilt zusätzlich G kontextfrei G kontextsensitiv 6

8 TYPEN VON SPRACHEN Eine Sprache ist von einem der zuvor eingeführten Typen, falls es eine Grammatik diesen Typs gibt, die die Sprache erzeugt. Mit CH-i, ERW, KS, KF, LIN, RLIN und LLIN bezeichnen wir entsprechend die Klassen der Typ-i, Erweiterungstyp, kontextsensitiven, kontextfreien, linearen, rechtslinearen und linkslinearen Sprachen. Über die Beziehungen zwischen diesen Sprachklassen gibt der Chomsky-Hierarchiesatz Auskunft: 7

9 CHOMSKY-HIERARCHIESATZ CH (= CH-0) = RA REK ERW = KS (= CH-1) KF (= CH-2) LIN LLIN = RLIN (= CH-3) 8

10 Die Echtheit der Inklusionen bzw. die Äquivalenzen werden wir zeigen, wenn wir uns die Sprachklassen im Einzelnen ansehen. Zum Abschluss dieses Kapitels weisen wir noch die leicht zu zeigenden Inklusionen nach. 9

11 INKLUSIONSLEMMA. RLIN LLIN LIN KF KS ERW CH BEWEIS. Bis auf die Inklusion KF KS sind alle Inklusionen trivial, da die jeweils links stehende Grammatik ein Spezialfall der rechts stehenden Grammatik ist. Zum Nachweis von KF KS genügt es zu zeigen, dass jede kontextfreie Grammatik zu einer λ-treuen kontextfreien Grammatik äquivalent ist. Um dies zu zeigen, betrachten wir zunächst sog. separierte Grammatiken. 10

12 SEPARIERTE GRAMMATIKEN (I) DEFINITION. Eine Grammatik G = (N, T, P, S) is separiert, wenn P nur Regeln der beiden folgenden Formen enthält: Umformungsregeln: X 1... X n Y 1... Y m (n 1, m 0) Substitutionsregeln: X a (X 1,..., X n, Y 1,... Y m, X N; a T ) 11

13 SEPARIERTE GRAMMATIKEN (II) SATZ. Zu jeder Grammatik G = (N, T, P, S) kann man effektiv eine äquivalente separierte Grammatik G = (N, T, P, S) angeben. Ist G vom Erweiterungstyp, kontextsensitiv, oder kontextfrei, so ist G vom selben Typ. BEWEIS. Man führt für jedes Terminalzeichen a eine neue Variable a ein: N = N {a : a T } Jede Regel v w aus P wird dann durch die Umformungsregel v w ersetzt (wobei x aus x durch Unterstreichen der vorkommenden Terminalzeichen entstehe). Hinzugenommen werden dann noch die Substitutionsregeln a a: P = {v w : v w P } {a a : a T } 12

14 λ-treue KONTEXTFREIE GRAMMATIKEN SATZ. Zu jeder kontextfreien Grammatik G = (N, T, P, S) kann man effektiv eine äquivalente separierte λ-treue kontextfreie Grammatik G 1 = (N 1, T, P 1, S 1 ) angeben. 13

15 BEWEIS: O.B.d.A. können wir davon ausgehen, dass G separiert ist. Zur Sicherung der λ-treue bestimmt man zunächst die Menge der eliminierbaren Variablen von G: E = {X N : X λ} Hierzu definiert man induktiv die Mengen E 1 = {X N : X λ P } E n+1 = E n {X N : w En (X w P )} Für das kleinste n mit E n = E n+1 gilt dann E = E n. Die zu G äquivalente λ-treue Grammatik G 1 erhält man dann wie folgt: Füge ein neues Axiom S 1 hinzu sowie die Regel S 1 S. Lasse alle λ-regeln weg. Nehme hierfür zu jeder Regel X Y 1...Y n alle Regeln X y hinzu, wobei y λ aus Y 1...Y n durch Weglassen beliebig vieler Vorkommen von Variablen aus E entsteht. Falls λ L(G) (d.h. S E), nehme noch die Regel S 1 λ hinzu. 14