(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0

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Susanne Abel
vor 7 Jahren
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1 Taylor-Reihen Einführung Mathematik GLF / 6 Christian Neukirchen Oft können wir bestimmte mathematische Funktionen nicht genau ausrechnen, besonders die trigonometrischen Funktionen wie, cos x, oder die e-funktion e x bereiten Probleme beim Auf- und Ableiten. Es ist daher hilfreich, eine Näherung zu bestimmen, um so wenigstens einen ungefähren Wert zu erhalten, der nicht all zu fern vom exakten Wert ist. Eine Möglichkeit, solche Nährungsfunktionen zu bilden, sind Taylor-Reihen. Taylor-Reihen helfen uns, ein Taylor-Polynom T (x) zu berechnen, das eine Funktion f(x) in der Umgebung eines Punktes a annähert. Die allgemeine Form der Taylor-Reihe lautet: T (x) = n= f (n) (a) (x a) n n! = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! (x a) + f (a) 3! (x a) 3 + f (a)! (x a) (Hier sei f (n) die n-te Ableitung von f(x) und n! die n-te Fakultät ( 3 n n.)) Oft setzt man a = (diesen Fall nennt man auch Maclaurin-Reihe), was die Formel etwas übersichtlicher macht: T (x) = f() + f () x + f () x + f () x 3 + f () x!! 3!! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch mit a. Berechnen von Wir wollen nun ein Taylor-Polynom vierten Grades von berechnen. Dazu leiten wir erst mal ab, und berechnen alle f n (). f(x) = f() = f (x) = cos x f () = f (x) = f () = f (x) = cos x f () = f (x) = f () = f (x) = cos x f () = Hier unsere Taylor-Reihe, ausgeschrieben bis 5. Die Fakultäten wurden bereits ausgerechnet: f() + f () x + f () x + f () x 3 + f () x + f () x 5 6 Jetzt können wir die oben berechneten Werte einsetzen, vereinfachen, und erhalten: x x3 6 + x5

2 Verschiedene Taylor-Polynome im Vergleich (Wenn wir den Definitionsbereich von beachten, liefert schon T (5) eine sehr gute Annäherung):.5 Taylor-Entwicklung von T() T(3) T(5) T(7) T(9) T() T(3) Berechnen von e x Nun wollen wir e x bestimmen. Glücklicherweise ist hier das Ableiten ganz einfach: f(x) = e x f() = f (x) = e x f () = f (x) = e x f () = f (x) = e x f () = f (x) = e x f () = Wir nehmen wieder das allgemeine Taylor-Polynom vierten Grades: f() + f () x + f () Setzen ein und vereinfachen: x + f () 6 + x + 6 x3 + x x 3 + f () x

3 5 Taylor-Entwicklung von e^x e^x T() T(5) T() Wenn wir die Annäherung in verschiedener Genauigkeit vergleichen, sieht man, wie sie recht schnell gegen e konvergiert. (Beachte: liegt nahe bei ) e T ().5 T (5) T ().7888 Nützliche Taylor-Reihen Viele Funktionen können geschickt durch Taylor-Reihen angenähert werden, hier einige Beispiele: x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x! + x3 3! cos x x! + x! x6 6! + x8 8! x! + x! x! e x + x + x! + x3 3! + x! + x5 5! + x6 6! + x7 7! + x8 8! + x9 9! + x! ln() x x + x3 3 x + x5 5 x6 6 + x7 7 x8 8 + x9 9 x π

4 5 Beispiel: Integrieren von ()/() Zum Abschluss wollen wir ()/() ableiten. Dies ist mit algebraischen Mitteln nicht möglich; will man einen Zahlenwert erhalten, kann man nur annähern. Man leitet also ein paar mal ab: f(x) = f() = () f x cos x cos x (x) = () f () = () f (x) = x + x + x cos x + cos x () 3 f () = (3) Wie man sieht, wird das schnell unhandlich. Glücklicherweise kann man, hat man einige Glieder berechnet, oft auf die Folge schließen. (f () = 5). Wir nehmen also wieder unser Taylorpolynom; der Einfachheit halber nur dritten Grades: Und setzen wieder ein: f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! (x a) + f (a) (x a) 3 3! + x + x x3 = x x x3 Für einen Computer sind diese Berechnung kein Problem, daher noch einige Glieder mehr: x x + 5 x3 6 5 x x5 x6 x7 x x x Nun können wir verschiedene Integrale vergleichen: dx.679 T ()dx.67 T (5)dx.677 T ()dx.679 dx.87 T ()dx T (5)dx.386 T ()dx.77 dx.679 T ()dx T ()dx.6793 T (5)dx 6.3 T ()dx.53

5 Merke: Will man mit einer Taylor-Reihe gut annähern ist zu beachten (vgl. auch Newton-Verfahren): (a) ausreichend Glieder zu berechnen (b) den Startpunkt geschickt zu wählen (vgl. T () mit T (), letzteres wurde mit a = berechnet.). Taylor-Entwicklung von ()/(x+) sin(x)/(x+) T() T() Zusammenfassung Taylor-Reihen erlauben uns, ein Polynom zu finden, das eine beliebige Funktion, die genügend oft differenzierbar ist, in der Nähe einer Umgebung anzunähern. In Handarbeit Taylor-Reihen zu berechnen erinnert eher an eine Strafarbeit; für Computer ist es jedoch kein Problem, Taylor-Polynome für beliebige Grade herzustellen. Gerade in diesem Bereich finden sie auch die meiste Anwendung. Die Sinus-Funktion im Taschenrechner kennt zum Beispiel einfach ein bestimmtes Taylor-Polynom und kann so beliebige Werte von mit den Grundrechenarten bestimmen. 5

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