1 Integralsätze - Motivation

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1 Wolfrm Liebermeister Einführung: Integrle HU-Berlin - Institut für Theoretische Biophysik nlehnung n die Vorlesung Höhere Mthemtik 3 von Michel Eisermnn, Tutoren: Wolfgng Giese, Björn Goldenbogen (wolfgng.giese@biologie.hu-berlin.de, bjoern.goldenbogen.1@biologie.hu-berlin.de) 1 Integrlsätze - Motivtion Bild zum Electrosttic Hlftoning us [1]. 1.1 Ziel Der Prototyp für die nchfolgenden Integrlsätze ist der Huptstz der Differentilund Integrlrechnung (HDI): Für jede stetig differenzierbre Funktion f : [, b] R: b f (x)dx (+1) f(b) + ( 1) f() f(b) f().

2 Der HDI knn ls Spezilfll der höherdimensionlen Verllgemeinerung vom Stz von Guß ufgefsst werden. Für f : R n D R n gilt: ( ) div f dx f n D ds. D D Dbei ist D ein Gebiet (engl. Domin ). Im Folgenden ist ds Gebiet meistens eine Fläche oder ein Volumen und wir erhlten die beknnten Sätze von Stokes und Guß. Stz von Guß : div( f)dv f d n. V V Stz von Stokes : rot( f) d f d s. Ziel dieser Einführung ist der Umgng mit Weg- und Flächen- Integrlen die in der Elektrodynmik uftreten. 2 Wegintegrle 2.1 Wege und Kurven Ein Weg ist eine stetige bbildung: γ : [, b] R 2, γ(t) (γ 1 (t), γ 2 (t)) ( 2D ) bzw. γ : [, b] R 3, γ(t) (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)) ( 3D ) Sein Bild, oder uch Spur, ist die Bildmenge: Γ γ([, b]) { γ(t) t b}. Jedem Zeitpunkt t [, b] wird ein Bildpunkt γ(t) Γ zugeordnet. Mn sgt uch: γ ist eine Prmetrisierung der Kurve Γ. Beispiel: Γ {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1, y 0} wird prmetrisiert durch:

3 Eine Möglichkeit γ : [0, π] R 2, γ(t) (cos(t), sin(t)), Eine ndere Möglichkeit ˆ γ : [ 1, 1] R 2, ˆ γ(t) (t, 1 t2 ), Noch eine ndere Möglichkeit γ : [0, 2π] R 2, γ(t) (cos(t), sin(t) ), 2.2 Länge einer Kurve Sei γ : [, b] R n injektiver (der Weg besucht jeden Punkt der Kurve nur genu einml) und stückweise stetiger Weg. Dieser knn durch kleine gerde Streckensegmente wie in der bbildung pproximiert werden. Ist lso P { t 0 < t 1 < < t N b} eine Prtitionierung des Intervlls [, b], so können wir die Länge des Weges durch: l( γ, P ) : N (γ1 (t k ) γ 1 (t k 1 )) 2 + (γ 2 (t k ) γ 2 (t k 1 )) 2 + (γ 3 (t k ) γ 3 (t k 1 )) 2 k1 N γ(t k ) γ(t k 1 ). k1 nährungsweise berechnen.. ist hier die euklidische Norm bzw. bstnd. Beim

4 Übergng zu infinitisiml kleinen Streckenbschnitt gilt: l( γ, P ) N k1 N k1 γ(t k ) γ(t k 1 ) HDI t k t k 1 γ (t) dt b N k1 γ (t) dt. t k t k 1 γ (t)dt Dmit gilt für die Länge einer Kurve: l( γ) Beispiel: Länge eines Funktionsgrphen b γ (t) dt. Jede stetig differenzierbre Funktion f : [, b] R definiert einen Weg durch: γ : [, b] R 2 mit γ(t) (t, f(t)). Es gilt γ (t) (1, f (t)) und γ (t) 1 + f (t) 2, lso l( γ) Beispiel: Länge eines Hlbkreises b 1 + f (t) 2 dt.

5 wird prmetrisiert durch: Γ {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2, y 0} γ : [0, π] R 2, γ(t) (rcos(t), rsin(t)). Es gilt γ (t) ( rsint, rcost), lso γ (t) r und dmit l( γ) π 0 γ (t) dt πr. Dies Formel gilt ntürlich nur für gltte Kurven. Nichtreguläre Kurven können oft in reguläre Kurven zerlegt werden. Diese können dnn einzeln hintereinnder integriert und nschließend verknüpft werden. So knn mn dnn uch über eckige Kurven oder ungewöhnliche Ränder integrieren. Ränder sind per mthemtischer Konvention immer so orientiert, dss ds Gebiet links des Rndes liegt.

6 2.2.1 Tngententen- und Normleneinheitsvektor Sei eine Fläche und γ : [0, 1] eine reguläre Prmetrisierung des Rndes. Wir wählen die Orientierung so, dss links von γ liegt. Im Punkt x γ(t) mit 0 < t < 1 definieren wir den Einheitstngentenvektor: Wegen t ( x) : γ (t) γ (t), t ( x) γ (t) γ (t) 1 ht er die Länge 1. Zu einem Vektor v (v 1, v 2 ) R 2 ist der um 90 (im Uhrzeigersinn) gedrehte Vektor: (v 1, v 2 ) : (v 2, v 1 ). us dem Tngenteneinheitsvektor gewinnen wir so den Normleneinheitsvektor: n (x) : t (x). nmerkung: Dies geht ntürlich nur dort, wo der Rnd keine Ecken ht. n den Stücken, wo der Rnd zusmmengesetzt ist und Ecken uftuchen, knn mn keinen Normlenvektor definieren. ußerdem: D per mthemtischer Konvention ds Gebiet immer links des Rndes liegt, zeigt der Normlenvekor us dem Gebiet herus! 2.3 Wegintegrle erster rt Sei R n offen und γ : [, b] stückweise stetig differenzierbr. Ein Sklrfeld ist eine stetige bbildung f : D R. Ds Wegintegrl von f über γ ist: fds : b f( γ(t)) γ (t) dt. Ds heißt lso ein Wegintegrl erster rt summiert die Werte eines Sklrfeldes entlng eines Weges uf. Für f 1 erhlten wir wieder die Länge des Rndes bzw. der Kurve. ndere Schreibweisen für ds Wegintegrl erster rt: fds γ f d γ γ f d s.

7 2.4 Wegintegrle zweiter rt Sei D R n offen und γ : [, b] Γ D stückweise stetig differenzierbr. Ein Vektorfeld ist eine stetige bbildung f : D R n. Ds Wegintegrl zweiter rt von f über γ ist: f d s : b f( γ(t)) γ (t)dt. Ds heißt lso ein Wegintegrl zweiter rt summiert die nteile des Vektorfeldes uf, die tngentil zum Weg liegen. ndere Schreibweisen für ds Wegintegrl zweiter rt: f d s f d s f d γ. γ nmerkung: Ds Wegintegrl zweiter rt lässt sich uch über ds Sklrprodukt zwischen den nteilen eines Vektorfeldes, die im rechten Winkel zum Weg orientiert sind, definieren. Dies wird ber in unserem Fll nicht benötigt. Ein Wegintegrl zweiter rt ist zum Beispiel ds rbeitsintegrl. Dort wird die Krft entlng eines Weges innerhlb eines Krftfeldes integriert. Ds entspricht der geleisteten rbeit. nmerkung: Zu bechten ist, dss sich ds Vorzeichen umdreht, wenn ds Wegintegrl in umgehrter Richung durchlufen wird. Drus folgt, dss für eine geschlossene Kurve in einem konstnten Krftfeld die rbeit immer null ist. 3 Flächenintegrle nlog können wir uch Integrle über Flächen definieren.

8 3.1 Flächenintegrle erster rt für ein Sklrfeld f : R 3 R. f d bzw. lterntive Schreibweise: fd 3.2 Flächenintegrle zweiter rt Flächenintegrl zweiter rt: f d bzw. lterntive Schreibweise: für ein Vektorfeld f : R 3 R 3. f nd 4 Der Stz von Stokes und die Rottion 4.1 Die Rottion eines Vektorfeldes Zur Erinnerung: i f j f j x i. Die Rottion eines Vektorfeldes f : R 3 R 3 ist wie folgt definiert: rot( f) 2 f 3 3 f 2 3 f 1 1 f 3. 1 f 2 2 f 1 lterntive Berechnungsmöglichkeiten: rot( f) e 1 e 2 e f 1 f 2 f 3. Nützlich für Berechnungen ist ber vor llem Berechnung über den Epsilon-Tensor: 0, flls zwei Indizes gleich sind, ɛ ijk 1, bei einer gerden Permuttion von 1, 2, 3,..., 1, bei einer ungerden Permuttion von 1, 2, 3,.... Ds Tuschen zweier Indizes führt lso zur Umkehr des Vorzeichens des Epsilon- Tensors! Für die Rottion folgt lso: rot( f) ɛ 1,2,3 2 f 3 + ɛ 1,3,2 3 f 2 ɛ 2,3,1 3 f 1 + ɛ 2,1,3 1 f 3 ɛ i,j,k j f k e i. ɛ 3,1,2 1 f 2 + ɛ 3,2,1 2 f 1 i,j,k1,2,3

9 4.2 Der Stz von Stokes Stz von Stokes : Für eine Fläche R 3 mit stückweiseglltem Rnd ist ds Integrl der Rottion eine Vektorfeldes über diese Fläche gleich dem Wegintegrl zweiter rt über dessen Rnd. In Formelschreibweise rot( f) d f d s. Ds linke Integrl beim Stz von Stokes ist ein Flächenintegrl und ds rechte ein Wegintegrl zweiter rt. Dmit wird ein Flächenintegrl in ein Wegintegrl überführt bzw. umgekehrt! Den Stz können wir für ein Rechteck mthemtisch beweisen. O.B.d.. (Ohne Beschrängung der llgemeinheit) können wir nnehmen, dss ds Rechteck in der x 1 -x 2 -Ebene liegt. rot( f) d 2 f 3 3 f f 1 1 f 3 0 d 1 f 2 2 f 1 1 ( 1 f 2 2 f 1 ) d

10 Mit dem Huptstz der Integrl und Differentilrechnung und dem Stz von Fubini: ( 1 f 2 2 f 1 ) d F ubini b 1 x 1 1 b 2 x 2 2 ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 2 dx 1 b 2 b 1 x 2 2 x f 2 dx 1 dx 2 b 1 b 2 x 1 1 x f 1 dx 2 dx 1 HDI b 2 x 2 2 (f 2 (b 1, x 2 ) f 2 ( 1, x 2 ))dx 2 b 2 x 2 2 f 2 (b 1, x 2 )dx 2 }{{} Int. über rechte Knte b 1 f 1 (x 1, b 2 ) x 1 } 1 {{} f d s, Int. über obere Knte + b 2 b 1 x 2 2 f 2 ( 1, x 2 )dx 2 }{{} Int. über linke Knte b 1 x 1 1 f 1 (x 1, 2 )dx 1 }{{} Int. über untere Knte x 1 1 (f 1 (x 1, b 2 ) f 1 (x 1, 2 ))dx 1 q.e.d. References [1] Christin Schmltz, Pscl Gwosdek, ndrs Bruhn, nd Jochim Weickert. Electrosttic hlftoning. Comput. Grph. Forum, 29(8): , 2010.