f(x) := lim f n (x) (a) Wann ist die Grenzfunktion f stetig? Reicht dazu die Stetigkeit aller Funktionen f n?

Transkript

1 Kpitel 9 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 9.1 Gleichmäßige Konvergenz 9.2 Eigenschften der Grenzfunktion 9.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen 9.4 Anwendung uf Potenzreihen 9.5 Tylor Polynome 9.6 Tylor Reihen 9.7 Ds Integrl für Regelfunktionen 9.1 Gleichmäßige Konvergenz Gegeben seien gewisse Funktionen f n : X K mit gemeinsmen Definitionsbereich X (n N). Die Folge der Funktionen {f n } heißt uf X punktweise konvergent, wenn für jedes x X die Zhlenfolge {f n (x)} K konvergiert. Durch f(x) := lim n f n (x) ist dnn eine Funktion f : X K definiert. Wir untersuchen in diesem Kpitel insbesondere Frgen der folgenden Gestlt: () Wnn ist die Grenzfunktion f stetig? Reicht dzu die Stetigkeit ller Funktionen f n? (b) Wie knn mn ds Integrl von f berechnen, wenn mn die Integrle der f n kennt? (c) Wnn ist die Grenzfunktion f differenzierbr? Genügt hierfür die Differenzierbrkeit ller Funktionen f n? Wir bemerken zunächst, dss die obigen Frgen viel mit der Vertuschbrkeit von Grenzprozessen zu tun ht. Die oben eingeführte Grenzfunktion f ist zum Beispiel genu dnn 263

2 264KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN stetig in einem Punkt x 0, wenn lim x x0 f(x) = f(x 0 ) gilt. Gemäß Definition der Grenzfunktion f ist dies äquivlent zu lim lim f n (x) = lim f n (x 0 ). x x 0 n n Setzen wir die f n selbst ls stetig vorus, so können wir dies uch schreiben ls lim lim f n (x) = lim lim f n (x). x x 0 n n x x0 Also ist f stetig in x 0, wenn sich die beiden oben uftretenden Grenzprozesse vertuschen lssen. Wir zeigen in unserem folgenden Beispiel llerdings, dss dies im Allgemeinen nicht der Fll ist. Beispiel 9.1 () Sei f n : [0, 1] R für jedes n N definiert durch f n (x) := x n. Die Folge {f n } ist offenbr punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion { 0, flls x [0, 1), f : [0, 1] R, f(x) := 1, flls x = 1. Obwohl lle f n stetig sind, ist f selbst unstetig, vergleiche hierzu uch die Abbildung x x 2 x n f 1 x Abbildung 9.1: Vernschulichung des Beispiels 9.1 () (b) Sei f n : [0, 1] R für jedes n N wie folgt definiert: f n ist uf dem Intervll [0, 1 ] 2n liner mit f(0) := 0, f( 1 1 ) := n, uf dem Intervll [, 1] ist f 2n 2n n n ebenflls liner mit f( 1 ) := n, f( 1 ) := 0, und uf dem verbleibenden Teilintervll [ 1, 1] sei f 2n n n n(x) die Nullfunktion, vergleiche hierzu die Abbildung 9.2. Insgesmt ist jedes f n dnn eine stetige und stückweise linere Funktion. Die Folge {f n } konvergiert punktweise offenbr gegen die Nullfunktion f 0, d für jedes x [0, 1] und lle n N hinreichend groß f n (x) = 0 gilt. Andererseits hben wir 1 0 f(x)dx = = lim n 1 0 f n (x)dx,

3 9.1. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ 265 n f n 1 2n 1 n x Abbildung 9.2: Zur Definition der Abbildung f n im Beispiel 9.1 (b) d.h., die Folge der Integrle der f n konvergiert nicht gegen ds Integrl von f. (c) Betrchte die Funktionen f n : R R, f n (x) := sin(nx) n für n N. Die Grenzfunktion ist offenbr wieder die Nullfunktion f 0. Ihre Ableitung f 0 ist ber nicht die Grenzfunktion von der Folge {f n} der Ableitungen f n(x) = n cos(nx). Die Folge {f n } divergiert sogr n jeder Stelle x. Aus n cos(nx) für ein R würde nämlich cos(nx) 0 und dher (Teilfolge!) uch cos(2nx) 0 folgen. Aus der Identität cos(2nx) = cos 2 (nx) sin 2 (nx) = 2 cos 2 (nx) 1 ergäbe sich dnn ber der Widerspruch 0 = 1. Die negtiven Ergebnisse des Beispiels 9.1 lssen sich weitgehend vermeiden, wenn mn die punktweise Konvergenz durch eine stärkere Konvergenzforderung ersetzt. Zu diesem Zweck erinnern wir zunächst n die beiden Vektorräume B(X) := { f : X K f ist beschränkt uf X } und C(X) := { f : X K f ist stetig uf X } der uf X beschränkten bzw. stetigen Funktionen, wobei X im Flle der beschränkten Funktionen eine beliebige nichtleere Menge sein drf, während im Flle der stetigen Funktionen zumindest ein metrischer Rum vorliegen soll (nderenflls hben wir den Begriff der Stetigkeit nicht definiert). Der Leser stelle sich bei llen nchfolgenden Ausführungen insbesondere die Menge X = [, b] vor, uf die wir zum Teil uch explizit zurückgreifen werden (etw bei der Frge der Integrierbrkeit der Grenzfunktion, denn integrierbre Funktionen hben wir bislng nur für reelle Intervlle kennengelernt). Aufgrund des Stzes 7.47 bzw. der Bemerkung 7.48 werden beide Vektorräume mittels der Vorschrift f := sup f(x) für f B(X) bzw. f C(X) x X

4 266KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN zu normierten Räumen, wobei mn im Flle des Vektorrumes C(X) ds Supremum durch ein Mximum ersetzen drf, sofern X eine kompkte Menge ist. Hiermit definieren wir jetzt einen nderen (und gnz ntürlichen) Konvergenzbegriff für eine Folge von Funktionen f n. Definition 9.2 Eine Folge von beschränkten Funktionen f n : X K heißt uf X gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f : X K, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt derrt, dss f n f < ε für lle n N gilt. Sttt von der gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenfolge {f n } gegen eine Abbildung f werden wir im Folgenden mnchml uch nur von der gleichmäßigen Konvergenz einer gegebenen Funktionenfolge {f n } sprechen. Dmit ist dnn gemeint, dss es eine Funktion f gibt, gegen welche die Funktionenfolge {f n } gleichmäßig konvergiert. Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz lässt sich uch wie folgt usdrücken: Die Funktionenfolge {f n } konvergiert genu dnn gleichmäßig gegen eine Funktion f, wenn f n f 0 gilt. Alterntiv knn die Definition der gleichmäßigen Konvergenz wegen der Äquivlenz g < ε g(x) < ε für lle x X uch wie folgt formuliert werden: Eine Folge von Funktionen f n : X K konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f : X K, wenn es zu jedem ε > 0 ein N = N(ε) N gibt derrt, dss für lle x X und lle n N gilt: f n (x) f(x) < ε. Zum Vergleich dzu bedeutet die punktweise Konvergenz von {f n } gegen f: Greift mn ein x X herus, so gibt es zu jedem ε > 0 ein N = N(ε, x) N derrt, dss für lle n N gilt: fn (x) f(x) < ε. Bei der punktweisen Konvergenz hängt die Whl von N lso von ε und x b, während bei der gleichmäßigen Konvergenz ds zugehörige N lediglich von ε bhängt. Mn ht in diesem Sinn lso eine gleichmäßige Konvergenz bezüglich ller x X vorliegen, ws insbesondere die Nmensgebung rechtfertigt. Dmit ist uch klr, dss die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge die punktweise Konvergenz dieser Funktionenfolge impliziert. Anschulich besgt die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge f n gegen eine Grenzfunktion f, dss sich die Folgenglieder f n schließlich und endlich llesmt in einem ε Schluch um die Funktion f herum befinden müssen, wobei letztlich egl ist, wie klein ε > 0 hierbei gewählt wurde. Die Abbildung 9.3 () illustriert diesen Schverhlt, während die Abbildung 9.3 (b) verdeutlicht, wrum die Funktionenfolge us dem Beispiel 9.1 (b) nicht gleichmäßig konvergiert. Beispiel 9.3 () Wir betrchten die schon im Beispiel 9.1 ufgetretene Funktionenfolge f n : [0, 1] R, f n (x) := x n. Für x [0, 1) wr diese punktweise konvergent gegen die Nullfunktion. Wählen wir x [0, 1) beliebig und geben uns ein ε > 0 vor, so ist

5 9.1. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ 267 f + ε n ε ε f n f f ε ε b x ε 1 2n 1 n x () (b) Abbildung 9.3: () Beispiel einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge; (b) Beispiel einer nicht gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge x n = x n 0 = fn (x) f(x) < ε gleichwertig mit n > ln(ε) ln(x). Als N = N(ε, x) eignet sich dher jede ntürliche Zhl N > ln(ε)/ln(x). Für ε < 1 ist der Quotient ln(ε)/ln(x) für x (0, 1) ber nicht nch oben beschränkt, es gibt lso keine universelle Konstnte N = N(ε), die von x unbhängig ist, mit der gleichmäßige Konvergenz vorliegen würde. (b) Die Sitution ändert sich grundlegend, wenn wir die Funktionen f n (x) := x n nur uf dem Intervll [0, 1 ] betrchten. In diesem Fll liegt gleichmäßige Konvergenz gegen 2 die Nullfunktion vor, wenn wir nur N = N(ε) so wählen, dss bei gegebenem ε > 0 (mit ε < 1) N > ln(ε)/ln( 1 ) gilt. 2 Eine einfche Chrkterisierung der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionen ist in dem folgenden Resultt enthlten. Stz 9.4 ( Cuchy Kriterium für gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen ) Eine Folge von beschränkten Funktionen f n : X K ist genu dnn gleichmäßig konvergent (gegen eine gewisse Grenzfunktion f : X K), wenn {f n } eine Cuchy Folge in dem normierten Rum ( B(X), ) ist, es lso zu jedem ε > 0 ein N N gibt mit f n f m ε für lle m, n N. Beweis: Konvergiert die Folge {f n } gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f, so bedeutet dies definitionsgemäß, dss wir eine konvergente Folge in dem normierten Rum ( B(X), ) vorliegen hben. Jede konvergente Folge ist ber beknntlich eine Cuchy Folge in diesem Rum, womit die eine Richtung bereits bewiesen ist.

6 268KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Zum Nchweis der Rückrichtung sei {f n } ls Cuchy Folge vorusgesetzt. Dnn existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit f n f m ε m, n N. Wegen f n (x) f m (x) f n f m für lle x X folgt hierus insbesondere f n (x) f m (x) ε m, n N (9.1) für lle x X, wobei die Größe von N hierbei nicht von dem gewählten Punkt x bhängt. Wegen (9.1) ist die Folge der Funktionswerte {f n (x)} für jedes x X dnn eine Cuchy Folge in K. Die Vollständigkeit von K impliziert dher, dss {f n (x)} für jedes x X konvergiert, lso existiert der (punktweise) Grenzwert f(x) := lim n f n (x). Lässt mn ds n in Formel (9.1) fest und betrchtet drin den Grenzwert für m, so erhält mn f n (x) f(x) = lim f n(x) f m (x) ε n N m für lle x X. D die Größe von N hierbei unbhängig von dem betrchteten x wr, folgt somit f n f = sup f n (x) f(x) ε n N. x X Definitionsgemäß bedeutet dies gerde, dss die Folge {f n } sogr gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f konvergiert. D die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von beschränkten Funktionen f n offenbr selbst wieder beschränkt sein muss, lässt sich ds vorige Resultt uch wie folgt schreiben. Korollr 9.5 ( Menge der beschränkten Funktionen ls Bnch Rum ) Der normierte Rum ( B(X), ) ist vollständig, lso ein Bnch Rum. 9.2 Eigenschften der Grenzfunktion Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Eigenschften der Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von Funktionen. Dbei wird sich insbesondere herusstellen, dss die im Beispiel 9.1 ufgetretenen negtiven Effekte bei nur punktweiser Konvergenz im Wesentlichen nicht mehr uftreten können. Stz 9.6 ( Stetigkeit der Grenzfunktion bei gleichmäßiger Konvergenz ) Seien X ein metrischer Rum und f n : X K eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion f : X K konvergiere. Dnn ist f ebenflls stetig.

7 9.2. EIGENSCHAFTEN DER GRENZFUNKTION 269 Beweis: Sei x X beliebig gegeben. Wir hben dnn zu zeigen, dss es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt derrt, dss f(x) f(y) < ε für lle y X mit d(x, y) < δ gilt, wobei d die Metrik in X bezeichne. Sei lso ε > 0. D die Folge {f n } gleichmäßig gegen f konvergiert, existiert ein N N mit fn (ξ) f(ξ) < ε 3 D f N im Punkt x stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit für lle ξ X. fn (x) f N (y) < ε 3 für lle y X mit d(x, y) < δ. Dher folgt f(x) f(y) f(x) fn (x) + fn (x) f N (y) + fn (y) f(y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε für lle y X mit d(x, y) < δ. Die gleichmäßige Konvergenz einer Folge von stetigen Funktionen f n impliziert lso die Stetigkeit der Grenzfunktion. Bei nur punktweiser Konvergenz ist diese Aussge im Allgemeinen nicht mehr richtig (siehe Beispiel 9.1 ()), wenngleich es ntürlich durchus Beispiele von nur punktweise konvergenten und stetigen Funktionenfolgen gibt, deren Grenzfunktion uch stetig ist (siehe Beispiel 9.1 (b)). Als unmittelbre Folgerung des Stzes 9.6 und des Korollrs 9.5 erhlten wir ds nchstehende Resultt. Korollr 9.7 ( Menge der stetigen Funktionen ls Bnch Rum ) Der normierte Rum ( C(X), ) ist vollständig, lso ein Bnch Rum. Wir wollen im nächsten Resultt integrierbre Funktionen untersuchen. Dzu ersetzen wir den bislng sehr llgemeinen Definitionsbereich X durch ein kompktes Intervll X = [, b], d wir den Begriff des (eigentlichen) Integrls für llgemeinere Mengen bislng noch nicht definiert hben und dies uch erst im nächsten Semester tun werden. Für eine integrierbre (und dmit beschränkte) Abbildung f : [, b] K lutet die Supremumsnorm dnn f := sup { f(x) x [, b] }. Dmit können wir ds folgende Resultt beweisen. Stz 9.8 ( Integrierbrkeit der Grenzfunktion bei gleichmäßiger Konvergenz ) Sei f n : [, b] K für jedes n N eine integrierbre (und dmit beschränkte) Funktion,

8 270KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN die gleichmäßig gegen eine Funktion f : [, b] K konvergiere. Dnn ist f integrierbr, und es gilt f(x)dx = lim f n (x)dx. n Beweis: Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wegen f n f 0 für n existiert ein N N mit ε f n f < n N 2(b ) fn (x) f(x) ε < f n (x) 2(b ) ε 2(b ) < f(x) < f n(x) + x [, b] n N ε 2(b ) x [, b] n N. D die f n beschränkt sind, folgt hierus insbesondere die Beschränktheit von f. Ferner erhält mn für lle n N für ds obere und untere Riemnn Integrl die Ungleichungen und f(x)dx f(x)dx vergleiche Bemerkung 7.6. Hierus folgt ( ε ) f n (x) + dx = f n (x)dx + ε 2(b ) 2 ( ε ) f n (x) dx = f n (x)dx ε 2(b ) 2, f(x)dx f(x)dx + ε. D ε > 0 hierbei beliebig wr, ergibt sich f(x)dx = f(x)dx und dher die Riemnn Integrierbrkeit von f. Für lle n N erhlten wir nun uch die Abschätzung f(x)dx f n (x)dx < ε 2, us welcher sich unmittelbr die Behuptung ergibt.

9 9.2. EIGENSCHAFTEN DER GRENZFUNKTION 271 D die gleichmäßige Konvergenz von f n gegen f insbesondere die punktweise Konvergenz impliziert, können wir f(x) = lim n f n (x) für lle x [, b] schreiben. Dmit lässt sich die Aussge des Stzes 9.8 uch ls lim f n(x)dx = lim n n f n (x)dx formulieren, d.h. wir dürfen Integrtion und Limes Bildung miteinnder vertuschen, sofern {f n } gleichmäßig gegen f konvergiert. Wir wollen ls Nächstes eine Folge von differenzierbren Funktionen betrchten. D der Ableitungsbegriff ebenflls nur für Funktionen von einer Veränderlichen definiert ist, beschränken wir uns bei dem Definitionsbereich der betrchteten Abbildungen wieder uf ein kompktes Intervll X = [, b] in R. Stz 9.9 ( Differenzierbrkeit der Grenzfunktion bei gleichmäßiger Konvergenz ) Seien f n : [, b] R differenzierbre Funktionen derrt, dss die Folge der Ableitungen {f n} gleichmäßig konvergiert und die Folge {f n } selbst zumindest in einem Punkt x 0 [, b] konvergent ist. Dnn konvergiert die Folge {f n } gleichmäßig gegen eine differenzierbre Funktion f, und es gilt f (x) = lim f n (x) (9.2) n für lle x [, b]. Beweis: Wir zerlegen den Beweis in zwei Teile. Schritt 1: In diesem ersten Schritt zeigen wir die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge {f n } unter Verwendung des Cuchy Kriteriums us dem Stz 9.4. Mit dem gegebenen Punkt x 0 [, b] gilt zunächst die Abschätzung fm (x) f n (x) fm (x) f n (x) f m (x 0 ) + f n (x 0 ) + fm (x 0 ) f n (x 0 ) für lle x [, b] und beliebige n, m N. Auf die nch Vorussetzung differenzierbre Funktion g(x) := f m (x) f n (x) wenden wir den Mittelwertstz n und erhlten fm (x) f n (x) f m (x 0 ) + f n (x 0 ) = f m (ξ) f n(ξ) x x0 für lle x [, b] mit einem (im Allgemeinen von x und x 0 bhängigen) Zwischenpunkt ξ. Wegen der vorusgesetzten gleichmäßigen Konvergenz der Ableitungsfolge {f n } existiert nch Stz 9.4 zu jedem ε > 0 ein N 1 N mit f m f n < ε 2(b ) n, m N 1.

10 272KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Aus der Konvergenz von { f n (x 0 ) } (womit insbesondere eine Cuchy Folge vorliegt) ergibt sich ferner, dss zu diesem ε > 0 ein N 2 N existiert mit fm (x 0 ) f n (x 0 ) < ε 2 n, m N 2. Dmit erhält mn die Abschätzung fm (x) f n (x) f m f n x x 0 + fm (x 0 ) f n (x 0 ) ε 2(b ) (b ) + ε 2 = ε für lle x [, b] und lle n, m N := mx{n 1, N 2 }. Nch dem Cuchy Kriterium us dem Stz 9.4 ist die Folge {f n } somit gleichmäßig konvergent gegen eine gewisse Grenzfunktion f. Letztere ist wegen des Stzes 9.6 zumindest stetig, diese Eigenschft wird im Folgenden ber nicht weiter verwendet. Schritt 2: Wir zeigen in diesem Teil, dss die soeben konstruierte Grenzfunktion f sogr differenzierbr ist und die Grenzwertbeziehung (9.2) erfüllt ist. Nch Vorussetzung ist die Folge der Ableitungen {f n } gleichmäßig konvergent und besitzt dher einen Grenzwert, den wir mit g bezeichnen wollen. Dmit ist dnn zu zeigen, dss f differenzierbr ist mit f (x) = g(x) = lim n f n (x) für lle x [, b] (d die gleichmäßige Konvergenz die punktweise Konvergenz impliziert). Sei dzu x [, b] beliebig gewählt. Für eine Folge {x k } [, b] mit x k x und x k x für lle k N hben wir zu zeigen, dss f(x k ) f(x) lim = g(x) (9.3) k x k x gilt. Sei hierfür ε > 0 beliebig gegeben. Wegen der gleichmäßigen und dmit punktweisen Konvergenz existiert ein (hinreichend großes) n N mit f n (x) g(x) ε 3. Ferner können wir (ohne Einschränkung für dsselbe) n uch nnehmen, dss f(y) f(x) f n(y) f n (x) y x y x ε 3 (9.4) gilt, denn durch Anwendung des Mittelwertstzes uf die Funktion f m f n folgt für lle y x und lle hinreichend großen n, m N nämlich f m (y) f m (x) f n(y) f n (x) y x y x = (f m f n )(y) (f m f n )(x) y x = (fm f n ) (ξ m ) = f m (ξ m ) f n (ξ m)

11 9.2. EIGENSCHAFTEN DER GRENZFUNKTION 273 f m f n ε 3 mit gewissen Zwischenstellen ξ m, so dss mn für m und der schon beknnten Konvergenz der Folge {f m } gegen f ttsächlich die Abschätzung (9.4) mit einem hinreichend großen n erhält. D f n (mit dem fest gewählten n) nch Vorussetzung differenzierbr ist, existiert ein k 0 N, so dss f n (x k ) f n (x) x k x f n(x) ε 3 gilt (k 0 hängt ntürlich von n b). Hierus folgt nun k k 0 f(x k ) f(x) g(x) x k x f(x k ) f(x) f n(x k ) f n (x) x k x x k x + f n (x k ) f n (x) f n x k x (x) + f n (x) g(x) ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε für lle k k 0. Dies impliziert ber die Gültigkeit von (9.3) und vervollständigt somit den Beweis. Der gerde geführte Beweis ist vergleichsweise länglich. Es sei deshlb druf hingewiesen, dss mn unter etws stärkeren Vorussetzungen deutlich kürzere Beweise finden knn. Mn vergleiche diesbezüglich etw [20, Seite 293]. Mn bechte, dss die Vorussetzungen im Stz 9.9 etws umfngreicher sind, ls mn dies vielleicht erwrten würde. Ds folgende Beispiel zeigt llerdings, dss die Aussge des Stzes 9.9 im Allgemeinen nicht gilt, selbst wenn die Folge der differenzierbren Funktionen f n gleichmäßig konvergiert. Beispiel 9.10 Betrchte die Funktionenfolge {f n }, die durch f n : R R, f n (x) := 1 n sin(nx), definiert ist. Wegen f n 0 = f n = 1 0 für n konvergiert diese gleichmäßig n gegen die Grenzfunktion f 0. Die Folge {f n } der Ableitungen f n (x) = cos(nx) hingegen konvergiert nicht gegen f 0.

12 274KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 9.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen Sei {f k } wieder eine gegebene Folge von Funktionen f k : [, b] R derrt, dss der Grenzwert F(x) := f k (x) zumindest punktweise für lle x [, b] existiert. Wir hben jetzt lso eine Funktionenreihe vorliegen. Diese heißt gleichmäßig konvergent (gegen die Grenzfunktion F), wenn die Folge {F n } der Prtilsummen n F n := gleichmäßig konvergiert. Dmit ist die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe uf die bereits zuvor behndelte gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zurückgeführt. Wir können die entsprechenden Resultte über die Eigenschften der Grenzfunktion von gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen dher wie folgt uf Funktionenreihen übertrgen. Stz 9.11 ( Eigenschften der Grenzfunktion gleichmäßig konvergenter Funktionenreihen ) Seien f k : [, b] K gegebene Funktionen, so dss der punktweise Grenzwert f k F(x) := f k (x) für lle x [, b] existiert. Dnn gelten die folgenden Aussgen: () Sind lle f k stetig und konvergiert die Folge {F n } gleichmäßig gegen die Grenzfunktion F : [, b] K, so ist F ebenflls stetig. (b) Sind lle f k integrierbr und konvergiert die Folge {F n } gleichmäßig gegen die Grenzfunktion F, so ist uch F integrierbr und es gilt F(x)dx = f k (x)dx. (c) Sind lle f k differenzierbr und ist die Folge der Ableitungen {F n} gleichmäßig konvergent (gegen eine geeignete Grenzfunktion), so ist F selbst differenzierbr mit F (x) = f k (x) für lle x [, b].

13 9.3. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENREIHEN 275 Beweis: () Aus der Stetigkeit ller f k folgt unmittelbr die Stetigkeit ller F n. Dmit ergibt sich die Behuptung us dem Stz 9.6. (b) Die Integrierbrkeit der f k impliziert ntürlich die Integrierbrkeit ller F n. Aus dem Stz 9.8 ergibt somit direkt die Integrierbrkeit von F, und gemeinsm mit den Definitionen von F und F n erhält mn die Formel F(x)dx 9.8 = lim n F n (x) = lim n n f k (x)dx = f k (x) und dher gerde die Behuptung. (c) Mit f k sind ntürlich uch lle F n differenzierbr. Aufgrund des Stzes 9.9 ist die Grenzfunktion F dmit differenzierbr, und wir erhlten F (x) = lim F n (x) = lim n n n f k (x) = f k (x). lso die Aussge (c). Ebenso einfch lässt sich uch ds Cuchy Kriterium us dem Stz 9.4 übertrgen, ds sich bei Funktionenreihen wie folgt liest. Stz 9.12 ( Cuchy Kriterium für gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen ) Seien f k : [, b] K gegebene beschränkte Funktionen. Dnn ist die Funktionenreihe f k(x) genu dnn gleichmäßig konvergent, wenn die Folge der Prtilsummen {F n } eine Cuchy Folge ist, wenn lso zu jedem ε > 0 ein N N existiert mit für lle n N und lle p N. n+p k=n+1 f k ε Mittels dieses Cuchy Kriteriums erhlten wir reltiv leicht ein einfches hinreichendes Kriterium für ds Vorliegen der gleichmäßigen Konvergenz einer gegebenen Funktionenreihe. Stz 9.13 ( Mjorntenkriterium von Weierstrß für Funktionenreihen ) Seien f k : [, b] K gegebene Funktionen mit f k c k für lle k N 0 derrt, dss die Reihe c k konvergiert. Dnn ist die Funktionenreihe f k (bsolut und) gleichmäßig konvergent. Beweis: Nch Vorussetzung ist die Reihe c k konvergent, insbesondere ist die zugehörige Folge der Prtilsummen dher eine Cuchy Folge in R. Somit existiert zu jedem

14 276KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN ε > 0 ein N N mit n+p k=n+1 c k ε für lle n N und lle p N. Aus der Dreiecksungleichung und f k c k für lle k N folgt dher n+p k=n+1 f k n+p k=n+1 fk n+p k=n+1 c k ε für lle n N und lle p N. Aus dem Stz 9.12 folgt deshlb die behuptete gleichmäßige Konvergenz der gegebenen Funktionenreihe. Wir betrchten ls Illustrtion kurz ein Beispiel zum Mjorntenkriterium von Weierstrß. Beispiel 9.14 Gegeben sei die Funktionenreihe f k (x) k=1 mit f k (x) := cos(kx) k 2 k N. Wegen f k = 1 und der Konvergenz der Reihe 1 k 2 k=1 folgt us dem Mjorntenkriterium 9.13 von Weierstrß bereits die gleichmäßige Konvergenz der gegebenen Funk- k 2 tionenreihe uf gnz R. Forml hben wir im Stz 9.13 zwr nur kompkte Intervlle ls Definitionsbereich der f k zugelssen, während wir hier den gesmten R betrchten, ber wegen der Periodizität der Cosinus Funktion können wir zunächst uch nur ein kompktes Periodenintervll betrchten und nschließend drus dnn die gleichmäßige Konvergenz uf gnz R erhlten. Eine stetige und nirgends differenzierbre Funktion: Zum Abschluss und ls Anwendung dieses Abschnittes wollen wir ein Beispiel einer gleichmäßig konvergenten Funktionenreihe ngeben, die in jedem Punkte stetig, ber nirgends differenzierbr ist. Zu diesem Zweck benötigen wir zunächst ds folgende Hilfsresultt. Lemm 9.15 Seien f : R R differenzierbr in einem Punkt R sowie {x n }, {y n } zwei Folgen mit lim x n = lim y n = sowie x n y n für lle n N. n n Dnn ist wobei stets y n x n > 0 gelte. f(y n ) f(x n ) lim n y n x n = f (), Beweis: Wegen der vorusgesetzten Differenzierbrkeit gilt f(x) = f() + f ()(x ) + r(x)(x )

15 9.3. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENREIHEN 277 mit einer Abbildung r : R R, welche die Eigenschft lim r(x) = 0 x besitzt, vergleiche Stz 6.3. Insbesondere hben wir lso Subtrktion beider Gleichungen liefert f(x n ) = f() + f ()(x n ) + r(x n )(x n ) und f(y n ) = f() + f ()(y n ) + r(y n )(y n ). f(y n ) f(x n ) = f ()(y n x n ) + r(y n )(y n ) r(x n )(x n ). Nch Division durch y n x n erhlten wir somit f(y n ) f(x n ) y n x n = f () + r(y n ) y n y n x n + r(x n ) x n y n x n. (9.5) Nch Vorussetzung gilt hierbei sowie r(y n ) 0 und r(x n ) 0 für n + 0 y n y n x n 1 und 0 x n y n x n 1 n N, so dss diese Quotienten insbesondere beschränkt bleiben. Aus (9.5) folgt dher f(y n ) f(x n ) lim = f () n y n x n und dmit gerde die Behuptung. Wir werden ds Lemm 9.15 uf die folgende Weise nwenden: Gibt es zwei Folgen {x n }, {y n } mit den gennnten Eigenschften derrt, dss der frgliche Grenzwert nicht existiert, so knn die betrchtete Funktion f in dem Punkte nicht differenzierbr sein. Wir kommen nun zur Konstruktion einer stetigen und nirgends differenzierbren Funktion f. Dzu definieren wir zunächst die Sägezhn Funktion g : R R, die für x [ 1 2, +1 2] gleich dem Betrg x ist und nsonsten periodisch (mit der Periode 1) fortgesetzt wird. Dnn gelten: g ist uf gnz R stetig es ist 0 g(x) 1 2 für lle x R g ist genu n den Stellen x = k 2 (k Z) nicht differenzierbr.

16 278KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 1 2 g = g 0 g g x Abbildung 9.4: Zur Konstruktion der Abbildungen g j Wir verdichten nun die Singulritäten, indem wir g j (x) := 1 2 j g(2j x) für x R und j = 0, 1, 2,... setzen, vergleiche hierzu uch die Abbildung 9.4. Die Funktionen g j hben dnn die nchstehenden Eigenschften: g j ist uf gnz R stetig es ist 0 g j (x) 1 2 j+1 für lle x R g j ist genu n den Stellen x = k 2 j+1 (k Z) nicht differenzierbr g j ht die Periode 1 2 j g j ht die Nullstellen (Minim) in den Punkten x = k 2 j (k Z) g j ht Mxim in den Punkten x = k 2 j j+1 (k Z) zwischen ufeinnderfolgenden Nullstellen und Mxim ist g j liner. Betrchte nun die beiden Punkte x := k 2 n und y := k n. Dnn sind x und y Nullstellen von g n und somit uch Nullstellen von llen g j mit j n. Also gilt g j (y) g j (x) = 0 für lle j n. y x Für j < n hingegen ist g j liner zwischen y und x mit Steigung +1 oder 1. Wir hben lso g j (y) g j (x) = ±1 für lle j < n. y x

17 9.3. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENREIHEN 279 Nch diesen Vorbemerkungen definieren wir nun eine Abbildung f : R R durch f(x) := g j (x). j=0 Wegen g j (x) 1 2 j+1 und der Konvergenz der geometrischen Reihe folgt us dem Mjorntenkriterium des Stzes 9.13 sofort die gleichmäßige (und somit insbesondere punktweise) Konvergenz der Reihe. Folglich ist f zumindest wohldefiniert uf gnz R. Wir zeigen nun unter Verwendung der zuvor eingeführten Nottion, dss dieses f die gewünschten Eigenschften besitzt. Stz 9.16 Die gerde definierte Funktion f ist stetig uf gnz R, ber in keinem Punkt x R differenzierbr. Beweis: Aus der gerde erwähnten gleichmäßigen Konvergenz der Reihe gegen die Grenzfunktion f sowie der Stetigkeit ller g j ergibt sich mit dem Stz 9.11 () sofort die Stetigkeit von f. Wir beweisen nun, dss f in einem beliebig gegebenen Punkt R nicht differenzierbr ist. Dzu konstruieren wir uns Folgen {x n } und {y n } mit x n := k n 2 n k n n =: y n für gewisse k n Z (die k n sind gerde so gewählt, dss x n y n gilt). Die Intervlle [x n, y n ] hben somit eine Länge von 1 und bilden dher eine Intervllschchtelung, die sich uf zusmmenzieht, d.h. wir hben lim n x n = und lim n y n =. Nun berechnen wir (für festes 2 n n N) f(y n ) f(x n ) g j (y n ) g j (x n ) =. y n x n y n x n j=0 Die Glieder der rechts stehenden Reihe sind ufgrund unserer Vorbetrchtungen für j n lle gleich 0. Es bleibt lso nur eine endliche Summe mit genu n Summnden stehen, die entweder +1 oder 1 sind. Dmit muss diese Summe eine gerde gnze Zhl sein, wenn n gerde ist, und eine ungerde gnze Zhl, wenn n ungerde ist. Die Folge { f(yn ) f(x n ) } y n x n ist dher nicht konvergent. Wegen Lemm 9.15 knn f in dem Punkt dher nicht differenzierbr sein.

18 280KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 9.4 Anwendung uf Potenzreihen Wir untersuchen in diesem Abschnitt die gleichmäßige Konvergenz von Funktionen, die durch Potenzreihen der Gestlt f(z) = n (z z 0 ) n mit Entwicklungspunkt z 0 K gegeben sind. Wir erinnern drn, dss { r := sup z z 0 n=0 n=0 } n (z z 0 ) n konvergent den Konvergenzrdius der Potenzreihe bezeichnet. Wir wissen bereits, dss eine solche Potenzreihe in der offenen Kugel K r (z 0 ) konvergiert, uf dem Rnd konvergiert oder divergiert und ußerhlb stets divergiert. Wir zeigen jetzt, dss eine solche Potenzreihe in jeder bgeschlossenen Kugel um z 0 mit Rdius ρ < r sogr bsolut und gleichmäßig konvergiert. Stz 9.17 ( Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen ) Die Potenzreihe f(z) := n (z z 0 ) n (mit n, z 0 K) n=0 hbe den Konvergenzrdius r > 0. Dnn konvergiert die Potenzreihe bsolut und gleichmäßig uf K ρ (z 0 ) für jedes 0 < ρ < r, wobei K ρ (z 0 ) := { z z z0 ρ } die bgeschlossene Kugel um z 0 vom Rdius ρ bezeichnet. Beweis: Mit f n (z) := n (z z 0 ) n hben wir f(z) = n=0 f n(z). Wähle jetzt ein z 1 K mit ρ < z 1 z 0 < r, so dss f nch Vorussetzung in z 1 punktweise konvergiert. Also existiert ein M > 0 mit f n (z 1 ) M für lle n N. Für lle z K ρ (z 0 ) gilt dnn mit fn (z) = n (z z 0 ) n = n (z 1 z 0 ) n Also ist θ := ρ z 1 z 0 f n M θ n z z 0 z 1 z 0 n (0, 1). für lle n N = fn (z 1 ) z z 0 z 1 z 0 n M θ n mit der uf K ρ (z 0 ) definierten Supremumsnorm g := sup { g(z) z Kρ (z 0 ) }. Wegen θ (0, 1) ist die geometrische Reihe M n=0 θn konvergent. Dher konvergiert die Potenzreihe f = f n bsolut und gleichmäßig uf K ρ (z 0 ) wegen Stz 9.13.

19 9.4. ANWENDUNG AUF POTENZREIHEN 281 Wegen Stz 9.17 konvergiert eine Potenzreihe gleichmäßig, sofern mn von dem Rnd des Konvergenzkreises hinreichend wegbleibt. Ds folgende Beispiel zeigt, dss im Allgemeinen ttsächlich keine gleichmäßige Konvergenz in dem gesmten Konvergenzbereich vorliegen muss. Beispiel 9.18 Betrchte die Reihe zk. Diese besitzt den Konvergenzrdius R = 1 und konvergiert dher für lle z K mit z < 1. Sie ist uf dieser Menge jedoch nicht gleichmäßig konvergent. Um dies einzusehen, bezeichnen wir die n-te Prtilsumme mit s n (z) := n z k = 1 zn+1 1 z. Dnn ist z n+1 = (z 1)s n (z) + 1, so dss us der gleichmäßigen Konvergenz von s n (z) für lle z mit z < 1 uch die gleichmäßige Konvergenz der Folge {z n } für lle diese z folgen würde, ws beknntlich ber nicht der Fll ist, vergleiche Beispiel 9.1 (). Ähnlich wie den Stz 9.17 beweist mn die nchstehende Folgerung. Korollr 9.19 Die Potenzreihe f(z) := n (z z 0 ) n (mit n, z 0 K) n=0 hbe den Konvergenzrdius r > 0. Dnn konvergiert die hierus forml bgeleitete Potenzreihe g(z) := n n (z z 0 ) n 1 n=1 bsolut und gleichmäßig uf K ρ (z 0 ) für jedes 0 < ρ < r. Beweis: Setze g n (z) := n n (z z 0 ) n 1. Dnn ist g = n=1 g n. Wie im Beweis von Stz 9.17 zeigt mn, dss g n nmθ n 1 mit der dort eingeführten Supremumsnorm und mit gewissen Konstnten M > 0 und θ (0, 1) gilt. Aus dem Quotientenkriterium folgt sofort die Konvergenz der Reihe M n=1 nθn 1 und dmit die eigentliche Behuptung wegen des Stzes Durch Zusmmenfssung unserer bisherigen Resultte erhlten wir ds nchstehende Ergebnis, ds wir hier nur für reelle Potenzreihen definieren, d der Differenzierbrkeitsbegriff für komplexe Funktionen nicht eingeführt wurde, obgleich ds Ergebnis im Komplexen ebenflls gelten würde.

20 282KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Stz 9.20 ( Ableitung von Potenzreihen ) Die Potenzreihe f(x) := n (x x 0 ) n (mit n, x 0 R) n=0 hbe den Konvergenzrdius r > 0. Dnn ist f für lle x (x 0 r, x 0 + r) differenzierbr mit f (x) = n n (x x 0 ) n 1. n=1 Ferner hben f und f denselben Konvergenzrdius. Beweis: Sei x (x 0 r, x 0 + r). Dnn existiert ein 0 < ρ < r mit x K ρ (x 0 ). Dher folgt die Behuptung über die Differenzierbrkeit von f sowie die ngegebene Drstellung von f (x) us dem Stz 9.11 (c) und dem Korollr Die Aussge zum Konvergenzrdius von f und f hingegen erhält mn wie folgt: Setze zunächst g(x) := n n (x x 0 ) n. n=1 Dnn ist f (x)(x x 0 ) = g(x). Für jedes feste x x 0 ist die Reihe f (x) lso ein Vielfches der Reihe g(x). Also konvergiert f im Punkte x genu dnn, wenn g im Punkte x konvergent ist. Nch dem Kriterium von Cuchy Hdmrd us dem Stz 3.44 ist der Konvergenzrdius r von f chrkterisiert durch die Formel r = 1 L mit L := lim sup n n n. Anlog ist der Konvergenzrdius r von f gleich dem Konvergenzrdius von g, welcher wiederum nch der Formel von Cuchy Hdmrd gegeben ist durch r = 1 L mit L := lim sup n n n n. Wegen n n 1 für n, vergleiche Beispiel 3.4 (g), ergibt sich jedoch L = L, so dss die beiden Konvergenzrdien r und r von f und f in der Tt übereinstimmen. Ds vorstehende Ergebnis besgt, dss eine Potenzreihe gliedweise differenziert werden drf. Hierzu gilt folgende Verllgemeinerung. Stz 9.21 ( Anlytizität von Potenzreihen ) Die Potenzreihe f(x) = n (x x 0 ) n (mit n, x 0 R) n=0

21 9.5. TAYLOR POLYNOME 283 hbe den Konvergenzrdius r > 0. Dnn ist f : (x 0 r, x 0 + r) R beliebig oft differenzierbr, und es gilt für lle n N 0. n = 1 n! f(n) (x 0 ) Beweis: Wegen Stz 9.20 ist f differenzierbr mit einer Ableitung f, die ebenflls eine Potenzreihe drstellt, welche denselben Konvergenzrdius wie f selbst besitzt. Dher können wir den Stz 9.20 erneut uf f nwenden und erhlten, dss uch die zweite Ableitung f existiert. So fortfhrend, ergibt sich uf diese Weise, dss die Abbildung f unendlich oft differenzierbr ist. Ferner erhält mn durch wiederholte Anwendung des Stzes 9.20 die Formel f (k) (x) = n(n 1)... (n k + 1) n (x x 0 ) n k, us welcher sich insbesondere n=k f (k) (x 0 ) = k! k k = f(k) (x 0 ) k! ergibt wegen 0 0 = 1. Ds vorige Resultt besgt, dss jede Potenzreihe eine C Funktion ist, lso beliebig oft differenzierbr ist. Bei der Behndlung von Tylor Reihen im Abschnitt 9.6 werden wir umgekehrt sehen, dss jede C Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden knn, llerdings konvergiert diese Potenzreihe nicht notwendig gegen die gegebene C Funktion. 9.5 Tylor Polynome Seien I R ein gegebenes Intervll und f : I R eine in einem Punkt x 0 n-ml differenzierbre Funktion. Zur loklen Approximtion dieser Funktion in der Nähe von x 0 suchen wir ein Polynom der Gestlt n T(x) := k (x x 0 ) k derrt, dss gelten. Wegen T(x 0 ) = f(x 0 ), T (x 0 ) = f (x 0 ),..., T (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) T (k) (x 0 ) = k! k ergibt sich us dieser Forderung sofort k = 0, 1,..., n k = 1 k! f(k) (x 0 ) k = 0, 1,..., n.

22 284KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Wir erhlten lso T(x) = n Dieses Polynom erhält einen eigenen Nmen. Definition 9.22 Ds Polynom T f n(x; x 0 ) := f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! heißt n-tes Tylor Polynom von f mit Entwicklungspunkt x 0. (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Sofern der Entwicklungspunkt x 0 us dem Zusmmenhng klr ist, schreiben wir im Folgenden oft nur T f n(x) sttt T f n(x; x 0 ). Besitzt die Funktion f in einer Umgebung von x 0 eine Drstellung ls Potenzreihe der Form f(x) = k (x x 0 ) k, so ist ds zugehörige Tylor Polynom offenbr gerde durch die n-te Prtilsumme T f n(x) = n k (x x 0 ) k gegeben, vergleiche den Stz Wir frgen uns ls Nächstes, wie gut ds n-te Tylor Polynom die Funktion f ttsächlich (zumindest in der Nähe von x 0 ) pproximiert. Zu diesem Zweck definieren wir den Fehler R n+1 (x) := f(x) T f n(x; x 0 ), den wir uch ls ds Restglied bezeichnen wollen. Eine explizite Drstellung des Fehlers ist in dem folgenden Resultt enthlten. Stz 9.23 ( Integrl Form für R n+1 ) Seien f : I R insgesmt (n + 1)-ml stetig differenzierbr uf einem Intervll I mit x 0 I. Dnn gilt für jedes x I. R n+1 (x) = 1 n! x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt Beweis: Der Beweis erfolgt durch Induktion nch n. Für n = 0 reduziert sich die Aussge uf die Identität f(x) = f(x 0 ) + x x 0 f (t)dt,

23 9.5. TAYLOR POLYNOME 285 die ufgrund des Huptstzes 7.37 der Differentil und Integrlrechung gilt. Die behuptete Drstellung möge dher für ein n 1 gelten. Es sei lso R n (x) = 1 (n 1)! x x 0 (x t) n 1 f (n) (t)dt. Durch prtielle Integrtion erhält mn hierus f(x) Tn 1(x; f (x t)n x 0 ) = f (n) (t) x + 1 n! x 0 n! = f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n + 1 n! n! x x Dies impliziert offenbr die behuptete Drstellung von R n+1 (x). x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt. Als Folgerung us dem Stz 9.23 ergibt sich die nchstehende lterntive Drstellung für den Fehler R n+1 (x). Stz 9.24 ( Lgrnge Form für R n+1 ) Sei f : I R insgesmt (n+1)-ml stetig differenzierbr uf einem Intervll I mit x 0 I. Dnn gibt es zu jedem x I ein ξ zwischen x 0 und x mit R n+1 (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1. Beweis: Sei x I beliebig gegeben. Ds Polynom p(t) := (x t) n besitzt die n-fche Nullstelle t = x und ht links bzw. rechts von x einheitliche Vorzeichen. Insbesondere ht p einheitliches Vorzeichen uf dem gesmten Intervll zwischen x 0 und x. Aus dem verllgemeinerten Mittelwertstz 7.32 der Integrlrechnung ergibt sich dher die Existenz eines ξ zwischen x 0 und x derrt, dss R n+1 (x) 9.23 = 1 n! womit die Behuptung bereits bewiesen ist. x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt x 7.32 = f (n+1) (x t) n (ξ) dt x 0 n! = f (n+1) (x t)n+1 (ξ) (n + 1)! = f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1, x x 0 Die Lgrnge Form des Fehlers R n+1 liefert eine oft benutzte Drstellung, die wir in der nchstehenden Folgerung formulieren.

24 286KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Korollr 9.25 Seien f : I R eine n-ml stetig differenzierbre Funktion und x 0 I. Dnn gilt f(x) = T f n (x) + η(x)(x x 0) n für lle x I, wobei η eine Funktion mit lim x x0 η(x) = 0 ist. Beweis: Mit dem Stz 9.24 (mit n n Stelle von n + 1, d wir hier j einen Differenzierbrkeitsgrd weniger gefordert hben) ergibt sich lso f(x) T f n 1(x) = R n (x) = f(n) (ξ) (x x 0 ) n n! = f(n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + f(n) (ξ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, n! f(x) T f n (x) = η(x)(x x 0) n mit der Abbildung (Achtung: die Zwischenstelle ξ hängt von x b) η(x) := f(n) (ξ) f (n) (x 0 ). n! Mit x x 0 gilt uch ξ x 0 für die Zwischenstellen ξ, so dss wir us der Stetigkeit von f (n) im Punkte x 0 unmittelbr erhlten. f (n) (ξ) f (n) (x 0 ) lim η(x) = lim x x 0 x x0 n! = 0 Die im Korollr 9.25 ngegebene Formel wird oft ls f(x) = T f n (x) + o( (x x 0 ) n) (9.6) geschrieben, wobei o ds so gennnte Lndu Symbol bezeichnet. Dieses ist wie folgt definiert: Sind f, g zwei in einer Umgebung von x 0 gegebene Funktionen, so schreibt mn gilt. Ferner schreibt mn f(x) = o ( g(x) ) f(x) für x x 0, flls lim x x0 g(x) = 0 f = h + o(g), flls f h = o(g) gilt. Dies rechtfertigt die Formulierung (9.6). Entsprechend schreibt mn uch f(x) = O ( g(x) ) für x x 0, flls f(x) C g(x)

25 9.6. TAYLOR REIHEN 287 mit einer Konstnten C > 0 gilt, ws sich im Flle von g(x) 0 uch äquivlent schreiben lässt ls lim sup f(x) x x 0 g(x) < Mn spricht hierbei uch von den klein-o und groß-o Symbolen. Wir geben zum Abschluss noch eine dritte Drstellung des Restgliedes R n+1 n. Stz 9.26 ( Cuchy Form für R n+1 ) Sei f : I R insgesmt (n+1) ml stetig differenzierbr uf einem Intervll I mit x 0 I. Dnn gibt es zu jedem x I ein θ (0, 1) mit R n+1 (x) = 1 n! (1 θ)n f (n+1)( x 0 + θ(x x 0 ) ) (x x 0 ) n+1. Beweis: Aufgrund des Stzes 9.23 gilt R n+1 (x) = x x 0 g(x, t)dt mit der Funktion g(x; t) := 1 n! (x t)n f (n+1) (t). Nch dem Mittelwertstz 7.33 der Integrlrechnung existiert nun ein ξ zwischen x 0 und x, lso ξ = x 0 + θ(x x 0 ) für ein θ (0, 1), mit x x 0 g(x, t)dt = g(x; ξ)(x x 0 ). Die Definition von g liefert dher die Behuptung. 9.6 Tylor Reihen Wir verllgemeinern jetzt den Begriff des Tylor Polynoms uf unendlich oft differenzierbre Funktionen. Definition 9.27 Sei f : I R eine beliebig oft differenzierbre Funktion und x 0 I beliebig gegeben. Dnn heißt T f (x) := f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! die Tylor Reihe von f mit Entwicklungspunkt x 0.

26 288KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Die Tylor Reihe einer Funktion f ist lso eine Potenzreihe. Die n-te Prtilsumme der Tylor Reihe ergibt ds Tylor Polynom us dem vorigen Abschnitt. Dher konvergiert die Tylor Reihe genu für diejenigen x I gegen den Funktionswert f(x), für die ds Restglied R n+1 (x) us (beispielsweise) dem Stz 9.24 gegen Null konvergiert. Es knn ntürlich sein, dss die Tylor Reihe nur im Entwicklungspunkt x = x 0 konvergiert, ihr Konvergenzrdius lso nicht positiv ist. Andererseits knn es uch vorkommen, dss die Tylor Reihe konvergiert, ber leider nicht gegen den gewünschten Wert f(x). Für diese unerwünschte Sitution geben wir zunächst ein Beispiel n. Beispiel 9.28 Sei f : R R definiert durch { e 1/x 2, flls x 0, f(x) := 0, flls x = 0. Wir zeigen, dss f beliebig oft differenzierbr ist und f (n) (0) = 0 für lle n N gilt. Die Tylor Reihe von f um den Entwicklungspunkt x 0 := 0 ist dnn identisch Null, konvergiert lso, ber nicht gegen f(x). Wir beweisen durch vollständige Induktion nch n, dss es Polynome p n gibt mit { f (n) pn ( (x) = 1, flls x 0, x )e 1/x2 0, flls x = 0. Der Induktionsnfng n = 0 ist klr, mn setze einfch p 0 1. Die Aussge möge nun für ein beliebiges n 0 gelten. Für jedes x 0 ist dnn mit dem Polynom f (n+1) (x) = d dx f(n) (x) = d ( ) (1) p n e 1/x 2 dx x ( (1) = p 1 n x x + 2p (1) 1 2 n x (1) = p n+1 e 1/x 2 x x 3 p n+1 (t) := p n(t) t 2 + 2p n (t) t 3. ) e 1/x2 Für x = 0 hingegen gilt gemäß Definition des Differenzenquotienten f (n+1) (0) = lim x 0 f (n) (x) f (n) (0) x p n ( 1 x = lim )e 1/x2 x 0 x = lim rp n(r)e r2 r ±

27 9.6. TAYLOR REIHEN 289 = 0, wobei wir mit r := 1 substituiert hben und die letzte Gleichheit us dem Wchstumsverhlten der Exponentilfunktion folgt, siehe Stz 5.5. x Aufgrund des nchstehenden Stzes kennen wir in einigen wichtigen Fällen bereits die Tylor Reihe. Stz 9.29 ( Tylor Reihe von Potenzreihen ) Seien I R ein Intervll, x 0 I beliebig und f : I R eine Funktion, welche durch die Potenzreihe f(x) := k (x x 0 ) k für lle x I drgestellt werde. Dnn ist die Tylor Reihe von f gleich dieser Potenzreihe und konvergiert gegen f. Der Beweis des Stzes 9.29 folgt unmittelbr us dem Stz Mittels des Stzes 9.29 können wir einige Beispiele von Tylor Reihen ngeben. Beispiel 9.30 x 0 = 0 ist () Die Tylor Reihe der Exponentilfunktion mit Entwicklungspunkt exp(x) = Sie konvergiert beknntlich für lle x R. Aus dem Additionstheorem erhält mn uch die Tylor Reihe für einen beliebigen Entwicklungspunkt x 0 : exp(x) = exp(x 0 ) exp(x x 0 ) = (b) Die Tylor Reihe des Sinus ist gegeben durch sin(x) = x k k!. ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!, exp(x 0 ) (x x 0 ) k. k! und diese Reihe konvergiert ebenflls für lle x R. Aus der Lgrnge Form des Restgliedes folgt weiter (Achtung: die Tylor Entwicklung geht hier bis zum Term 2n + 2, uch wenn durch Umindizierung die Summtion letztlich nur von k = 0 bis k = n verläuft) n sin(x) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + R 2n+3(x) mit R 2n+3 (x) = sin(2n+3) (ξ) (2n + 3)! x 2n+3 = ( 1) n+1 cos(ξ) (2n + 3)! x2n+3.

28 290KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN Dmit folgt für ds Restglied die Abschätzung für lle x R. R2n+3 (x) x 2n+3 (2n + 3)! (c) Die Tylor Reihe des Cosinus ist durch die überll konvergente Potenzreihe cos(x) = ( 1) k x2k (2k)! gegeben. Mit dem Stz 9.24 erhlten wir nlog zu Teil (b) die Drstellung cos(x) = n ( 1) k x2k (2k)! + R 2n+2(x) mit dem Restglied so dss wir für lle x R erhlten. R 2n+2 (x) = ( 1) n+1 cos(ξ) (2n + 2)! x2n+2, R 2n+2 (x) x 2n+2 (2n + 2)! Wir wollen ls Nächstes noch die Tylor Reihe des ntürlichen Logrithmus ngeben. Stz 9.31 ( Tylor Reihe des Logrithmus ) Für lle x ( 1, +1] ist ln(1 + x) = ( 1) k+1xk k. k=1 Beweis: Die Funktion f(x) := ln(1 + x) ist uf dem Intervll ( 1, ) beliebig oft differenzierbr. Für die Ableitungen gilt offenbr f (k) (x) = (k 1)!( 1)k+1 (1 + x) k (k N). Dher ist f (0) (0) = 0 und f(k) (0) = ( 1)k+1 für lle k = 1, 2,.... 0! k! k Für ds Tylor Polynom mit Entwicklungspunkt x 0 = 0 erhlten wir somit T f n (x) = n k=1 ( 1) k+1xk k.

29 9.6. TAYLOR REIHEN 291 Zum Beweis der Konvergenz der ngegebenen Reihe gegen den Wert ln(1 + x) müssen wir nun zeigen, dss ds zugehörigen Restglied R n+1 (x) für jedes x ( 1, +1] für n gegen Null geht. Zu diesem Zweck betrchten wir zunächst ds Restglied in der Lgrnge Form, welches gegeben ist durch R n+1 (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! xn+1 = ( 1)n x n+1 (n + 1)(1 + ξ) n+1 für ein ξ zwischen 0 und x. Hierus ergibt sich für jedes x [0, 1] Rn+1 (x) = 1 n + 1 x 1 + ξ n+1 1 n für n und dher die Konvergenz der gennnten Reihe in jedem Punkt x [0, 1]. Für x ( 1, 0) hingegen lässt sich uf diese Weise nicht die gewünschte Aussge herleiten, denn der Nenner 1 + ξ könnte für ξ 1 gegen Null gehen. Zum Nchweis der Konvergenz für x ( 1, 0) benutzen wir deshlb ds Restglied in der Cuchy Form R n+1 (x) = f(n+1) (θx) n! (1 θ) n x n+1 = ( 1)n x n+1 (1 + θx) n+1(1 θ)n für ein θ (0, 1). Ist dher x < 1 (insbesondere lso x ( 1, 0)), so ist 1 θ 1 θ x < 1 und dher Rn+1 (x) = x n+1 (1 θ) n 1 + θx ( n+1 x n+1 1 θ 1 x 1 θ x x n+1 1 x 0 für n. ) n Dmit ist lles bewiesen. Speziell für x = 1 erhält mn us dem Stz 9.31 die Formel ln(2) = ±...,

30 292KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN d.h., die lternierende hrmonische Reihe k=1 ( 1)k+1 1 konvergiert (ws wir schon lnge k wissen) gegen den Grenzwert ln(2) (ws wir bislng noch nicht wussten). Als kleine Anwendung des Stzes von Tylor wollen wir noch ein Kriterium für ds Vorliegen von loklen Minim und Mxim ngeben. Zu diesem Zweck werden diese Begriff zunächst definiert. Definition 9.32 Seien I R ein Intervll und f : I R eine gegebene Funktion. Ein Punkt ξ I heißt () lokles Minimum von f, wenn ein ε > 0 existiert mit f(ξ) f(x) für lle x I [ξ ε, ξ + ε]. (b) striktes lokles Minimum von f, wenn ein ε > 0 existiert mit f(ξ) < f(x) für lle x I [ξ ε, ξ + ε] mit x ξ. (c) lokles Mximum von f, wenn ein ε > 0 existiert mit f(ξ) f(x) für lle x I [ξ ε, ξ + ε]. (d) striktes lokles Mximum von f, wenn ein ε > 0 existiert mit f(ξ) > f(x) für lle x I [ξ ε, ξ + ε] mit x ξ (e) (striktes) lokles Extremum von f, wenn ξ ein (striktes) lokles Minimum oder Mximum von f ist. Entsprechend können (strikte) globleminim/mxim/extrem definiert werden. Für die in Abbildung 9.5 gezeichnete Funktion f uf X = [x 1, x 8 ] ist x 2 ds (strikte) globle Minimum, x 7 ds (strikte) globle Mximum, x 1 und x 3 sind strikte lokle Mxim, x 8 ist ein striktes lokles Minimum und lle Punkte des Intervlls [x 4, x 5 ] sind (nicht strikte) lokle Minim (die inneren Punkte dieses Intervlls sind zugleich lokle Mxim); x 6 ist weder ein lokles Minimum noch ein lokles Mximum. Hndelt es sich bei ξ um einen inneren Punkt des Intervlls I, so kennen wir bereits ein notwendiges Kriterium für ds Vorliegen eines loklen Extremums: Wegen Stz 6.15 gilt dnn f (ξ) = 0. Ds Beispiel f(x) = x 3 mit ξ := 0 zeigt jedoch, dss diese Bedingung nicht hinreichend für ds Vorliegen eines loklen Extremums ist. Als reltiv einfche Folgerung des Stzes 9.24 können wir jetzt ber uch ein hinreichendes Kriterium formulieren, und zwr sogr für ds Vorliegen eines strikten loklen Extremums. Stz 9.33 ( Kriterium für strikte lokle Extrem ) Seien I R ein Intervll und f : I R insgesmt n-ml stetig differenzierbr mit f (ξ) = 0, f (ξ) = 0,...,f (n 1) (ξ) = 0, f (n) (ξ) 0 für einen inneren Punkt ξ von I. Dnn gelten:

31 9.7. DAS INTEGRAL FÜR REGELFUNKTIONEN 293 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Abbildung 9.5: Minim und Mxim einer Funktion () Ist n gerde und f (n) (ξ) > 0, so ist ξ ein striktes lokles Minimum von f. (b) Ist n gerde und f (n) (ξ) < 0, so ist ξ ein striktes lokles Mximum von f. Beweis: Aufgrund des Stzes 9.24 erhlten wir für jedes x I durch Tylor Entwicklung von f um den Punkt ξ f(x) = n 1 f (k) (ξ) (x ξ) k + R n (x) = f(ξ) + R n (x) k! für ein gewisses Restglied R n (x). Wir verwenden hier ds Restglied in der Lgrnge Form. Gilt f (n) (ξ) > 0, so gilt uch f (n) (x) > 0 für lle x us einer hinreichend kleinen Umgebung von ξ. Für gerdes n folgt us der Drstellung des Lgrnge Restglieds dher unmittelbr f(x) > f(ξ) für lle x ξ us dieser Umgebung von ξ. Anlog folgt die Behuptung im Fll (b). Als Beispiel betrchten wir die Funktion f(x) := x 4 für x R. Die Ableitungen sind gegeben durch f (x) = 4x 3, f (x) = 12x 2, f (x) = 24x und f (4) (x) 24. In ξ = 0 gilt dher f (ξ) = f (ξ) = f (ξ) = 0 sowie f (4) (ξ) > 0. Aufgrund des Stzes 9.33 ist der Nullpunkt somit ein striktes lokles Minimum. Anschulich ist klr, dss es sich hierbei sogr um ds globle Minimum von f hndelt, ds ergibt sich ber nicht us dem obigen Resultt. 9.7 Ds Integrl für Regelfunktionen Wir gehen in diesem Abschnitt ls eine Anwendung der bisherigen Theorie über die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen uf ds Integrl für so gennnte Regelfunktionen ein. Dzu bezeichnen wir in diesem gesmten Abschnitt mit I := [, b] stets ein gegebenes kompktes Intervll. Ferner seien B(I) := { f : I R f ist beschränkt } und

32 294KAPITEL 9. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN R(I) := { f : I R f ist Riemnn integrierbr } die Mengen der uf I beschränkten bzw. Riemnn integrierbren Funktionen. Per Definition gilt dnn die Inklusion R(I) B(I). In vielen Büchern der Anlysis (siehe beispielsweise [2, 20]) wird ds Integrl nicht für die Klsse der Riemnn integrierbren Funktion eingeführt, sondern stttdessen ds so gennnte Regelintegrl uf der Menge der Regelfunktionen. Mit den uns jetzt zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln sind wir reltiv leicht in der Lge, dieses Regelintegrl einzuführen und mit dem uns vertruten Riemnn Integrl zu vergleichen. Zwecks Einführung der Regelfunktionen sei zunächst n die Definition einer Treppenfunktion erinnert, vergleiche hierzu ds Beispiel 2.2 (g): Eine Abbildung f : I R heißt Treppenfunktion, wenn es eine Prtition P von I durch Punkte x k mit = x 0 < x 1 <... < x n = b gibt derrt, dss f uf jedem der offenen Teilintervlle (x j 1, x j ) konstnt ist. Treppenfunktionen sind lso stückweise konstnte Funktionen. Über die Werte einer Treppenfunktion in den (höchstens) endlich vielen Zerlegungspunkten x k wird nichts usgesgt, sie müssen lediglich reell sein. Insbesondere ist jede Treppenfunktion dher beschränkt. Bezeichnen wir mit T(I) := { f : I R f ist Treppenfunktion } die Menge ller Treppenfunktionen uf dem Intervll I, so hben wir T(I) B(I). Jede Treppenfunktion ist offenbr Riemnn integrierbr mit f(x)dx = n c j (x j x j 1 ), (9.7) j=1 wenn wir zur Abkürzung c j := f(x) für x us dem Konstnzintervll (x j 1, x j ) setzen. Die Werte einer Treppenfunktion in den endlich vielen Prtitionspunkten x k spielen für ds Riemnn Integrl dbei beknntlich keine Rolle. Mit der uns schon us der Bemerkung 7.48 beknnten Supremumsnorm f := sup { f(x) } x [, b] für f B(I) können wir unter Verwendung von Treppenfunktionen nun die Klsse der Regelfunktionen einführen. Definition 9.34 Eine Funktion f : I R heißt Regelfunktion, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen f n : I R gibt mit f f n 0 für n.