Kreissektoren und Bogenmaß

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1 M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = = Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( = 1): Besondere Werte: Umrechnungsformeln: = 360 = 360 Gradmaß Bogenmaß M 10. Kugel Ist der Radius einer Kugel, so gilt: Volumen: = Oberfläche: = 4 = 6 = 4 3 (6) = = 4 (6) =

2 M 10.3 Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Für beliebige Winkel 0 < < 360 gibt der Sinus die -Koordinate: = sin () der Kosinus die -Koordinate: = cos () eines Punktes an, der unter auf dem Einheitskreis liegt. Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel sowie für die Winkel 180, und 360 denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten: Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von 360 auf einen Winkel zwischen 0 und 360 zurückführen. 76 = = 4 am Einheitskreis 1596 = = 156 am Einheitskreis M 10.4 Sinus- & Kosinusfunktion im Gradmaß im Bogenmaß () () Eigenschaften: Sinusfunktion () Kosinusfunktion () periodisch mit der Periode π periodisch mit der Periode π () = ( + ), Z () = ( + ), Z Definitionsmenge = R Wertemenge W = [ 1; 1] punktsymmetrisch zum Ursprung ( ) = () achsensymmetrisch zur -Achse ( ) = ()

3 M 10.5 Die allgemeine Sinusfunktion Durch die allgemeine Sinusfunktion () = a sinb(x + c) + d lassen sich beliebige sinusförmige Graphen beschreiben: : Stauchung/Streckung in -Richtung (Amplitude) b: Stauchung/Streckung in -Richtung. c: Verschiebung in -Richtung d: Verschiebung in -Richtung () = sin + 1 = : Doppelter Ausschlag nach oben () = : Doppelte Periode (4) = : Verschiebung um nach links = 1: Verschiebung um 1 nach unten M 10.6 Lineares und exponentielles Wachstum Lineares Wachstum Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Exponentielles Wachstum Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen (Zeit-) Schritten Nimmt die Größe um 1 zu, so wächst die Größe stets um einen festen Summanden. = + Nimmt die Größe um 1 zu, so wächst die Größe stets um einen festen Faktor. =

4 M 10.7 Exponentialfunktion Funktionen der Form () = ( = R, 0, > 0, 1 ) heißen Exponentialfunktionen. Die Konstante gibt den Wachstumsfaktor an. Die Konstante gibt den Anfangswert der Funktion für = 0 an, also ist (0) =. Für > 1 steigt der Graph Wachstum Für < 1 fällt der Graph negatives Wachstum Der Graph verläuft durch den Punkt (0; ). Die -Achse ist Asymptote. Ist, so wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor gestreckt ( > 1) bzw. gestaucht ( b < 1). Ist <, so wird der gestreckte/gestauchte Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt. Spiegelt man den Graphen von () = an der -Achse, so erhält man den Graphen von () = und umgekehrt. M 10.8 Logarithmus Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung = (für > 0, 1, > 0 ) bezeichnet man als Logarithmus von zur Basis und schreibt = log : = = 51 log = log 51 = 9 log 1 = 0 log ( ) = = 1 = Logarithmus ist ein Name für Exponent zu einer bestimmten Basis : Rechenregeln: 3 = 81 = log 81 = 4 log ( ) = log + log log = log log log ( ) = log log = (Produktregel) (Quotientenregel) (Potenzregel) (Wechsel der Basis)

5 M 10.9 Exponentialgleichungen Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf. Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsstrategien gibt: Logarithmieren Substitution Grafisch Exponentialgleichungen, die in die Form = gebracht werden können, löst man durch Logarithmieren:, = /, = /:, = /, =,, = Substitution: = 5 ( = 5 ) = Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstitution liefert das Ergebnis:, Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar. Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem: = + M Vierfeldertafel Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei Merkmalsausprägungen stellt man üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar. Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten enthalten. Die Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm. () = Ω = Ω ( ) ( ) ( ) ( ) Ω 1. Merkmal (). Merkmal ()

6 M Bedingte Wahrscheinlichkeit () ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von. Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von, bei denen zusätzlich eintritt. 1. Baumdiagramm. Baumdiagramm () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) 1. Merkmal (). Merkmal () 1. Merkmal (). Merkmal () Berechnung: () = ( ) () M 10.1 Ganzrationale Funktionen Grad Potenzfunktionen Koeffizienten () = Polynom ganzrationale Funktion Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen: höchster vorkommende Exponent (hier ) gerade ungerade Leitkoeffizient (hier ) > < von links oben nach rechts oben von links unten nach rechts unten von links unten nach rechts oben von links oben nach rechts unten

7 M Nullstellen einer ganzrationalen Funktion Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat höchstens Nullstellen. Bestimmung der Nullstellen der Funktion () = + Errate Nullstelle durch systematisches Probieren (NST Teiler von ) = Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom () () = ( ) () Polynomdivision + : ( ) = + Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen = = falls Grad des Restpolynoms > Faktorisierte Form: () = ( 1) ( + ) (doppelte Nullstelle bei = 1) Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle ungeradzahlig oft auf, wechselt () bei das Vorzeichen, geradzahlig oft auf, wechselt () bei das Vorzeichen nicht. M Polynomdivision ( ): ( 1) = ( ) 3 ( ) ( 5 + 5) ( 1 + 1) 0

8 M Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen Verschiebung von Funktionsgraphen : Stauchung/Streckung in -Richtung b: Stauchung/Streckung in -Richtung. Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen c: Verschiebung in -Richtung d: Verschiebung in -Richtung Spiegelung an der -Achse () ist der an der -Achse gespiegelte Graph von () Spiegelung an der -Achse () = (( )) + ( ) () ( ) ist der an der y-achse gespiegelte Graph von () () M Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie zur -Achse Punktsymmetrie zum Ursprung Gleich weit vom Nullpunkt entferte -Werte besitzen stets denselben Funktionswert. ( ) = () Gleich weit vom Nullpunkt entfernte - Werte besitzen stets den betragmäßig gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen. ( ) = ()

9 M Verhalten im Unendlichen Konvergenz Kommen die Funktionswerte () einer Funktion für beliebig groß werdende - Werte einer Zahl R beliebig nahe, so nennt man den Grenzwert der Funktion für gegen unendlich ( ± ). Die Gerade mit der Gleichung = ist dann waagrechte Asymptote von. () = ± Divergenz Wachsen die Funktionswerte () für + bzw. unbegrenzt nach oder sinken sie unbegrenzt nach, so divergiert die Funktion, d.h. sie besitzt keinen Grenzwert R. () = ± ± M Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen Ganzrationale Funktionen vgl () = + und lim () = Gebrochen rationale Funktionen jedes Glied des Zählers und Nenners durch die höchste Nennerpotenz dividieren: geht gegen 0 lim größte Nennerpotenz = lim = lim = geht gegen 0

10 M Grundfunktionen Name Term Beispiel Graph 1 Lineare Funktionen () = + () = Quadratische Funktionen () = + + () =, 3 Ganzrationale Funktionen () = () = + 4 Gebrochen rationale Funktionen () = () () () = 5 Exponentialfunktionen () = () =, 6 Winkelfunktionen () = a sinb(x + c) + d () = (, )