Statistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/174

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1 VO Februar /174

2 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: srechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung 2/174

3 Übersicht über die Vorlesung Teil 5: Testen von Hypothesen Teil 6: Regressionsanalyse Teil 7: Simulation von n 3/174

4 smaße Teil 2 srechnung 98/174

5 Übersicht Teil 2 smaße /174

6 Abschnitt 4: smaße /174

7 smaße Der konkrete Ausgang eines Experiments kann im Allgemeinen nicht genau vorausgesagt werden. Die möglichen Ausgänge sind jedoch bekannt. Ziel der srechnung ist es, den Ausgängen en zuzuweisen. Zwei Interpretationen der möglich. 101/174

8 Häufigkeitsinterpretation smaße Beispiel Die eines Ausgangs ist die Häufigkeit des Ausgangs, wenn das Experiment sehr oft unter den gleichen Bedingungen wiederholt wird. Die darauf basierende wird frequentistisch genannt. Die des Ausgangs 1 beim Würfeln ist der Grenzwert der Häufigkeit für eine große Zahl von Würfen. 102/174

9 Subjektive Interpretation smaße Beispiel Die eines Ausgangs ist eine Aussage über den Glauben der Person, die die angibt. Die darauf basierende wird bayesianisch genannt. Die, dass es morgen regnet, ist 40 Prozent ist ein Aussage über den Glauben der Person, die diese Aussage tätigt. 103/174

10 smaße In der Praxis ist der Übergang zwischen den beiden Ansätzen oft fließend. In vielen Fällen sind die Resultate identisch, nur die Interpretation ist verschieden. Der bayesianische Ansatz ist umfassender und flexibler. Der frequentistische Ansatz ist meist einfacher, aber beschränkter. 104/174

11 Abschnitt 5: smaße /174

12 Unterabschnitt: smaße /174

13 smaße Grundlegend für die ist der Begriff des (zufälligen) s. Für den Physiker der Ausgang eines Experiments, dessen Ergebnis nicht genau vorausgesagt werden kann. Mehrere Gründe: Die beobachteten Objekte sind eine zufällige Auswahl aus einer größeren Grundgesamtheit. Der beobachtete Prozess ist prinzipiell indeterministisch (Quantenmechanik). Messfehler geben dem Ergebnis einen stochastischen Charakter. Mangelnde Kenntnis des Anfangszustandes. 107/174

14 smaße Beispiel Die Menge Ω aller möglichen Ausgänge heißt Ereignisraum oder Stichprobenraum. Ω kann endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich sein. Beim Roulette gibt es 37 mögliche Ausgänge. ist endlich. Wird eine radioaktive Quelle beobachtet, ist die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde im Prinzip unbeschränkt. ist abzählbar unendlich. Die Wartezeit zwischen zwei Zerfällen kann jeden beliebigen Wert annehmen. ist überabzählbar unendlich. 108/174

15 Unterabschnitt: smaße /174

16 smaße Definition (Ereignis) Ein Ereignis E ist eine Teilmenge des Ereignisraums Ω. Ein Ereignis E tritt ein, wenn E den Ausgang ω Ω des Experiments enthält. Beispiel Der Wurf mit einem Würfel hat den Ereignisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Das Ereignis G (gerade Zahl) ist die Teilmenge G = {2, 4, 6} G tritt ein, wenn eine gerade Zahl geworfen wird. 110/174

17 smaße Definition (Ereignisalgebra) Die Menge aller des Ereignisraums Ω heißt die Ereignisalgebra Σ(Ω). Im endlichen oder abzählbar unendlichen Fall kann jede Teilmenge als Ereignis betrachtet werden. Die Ereignisalgebra heißt diskret. Im überabzählbar unendlichen Fall müssen gewisse pathologische (nicht messbare) Teilmengen ausgeschlossen werden. heißt kontinuierlich oder stetig. Zwei A Σ und B Σ können logisch verknüpft werden. 111/174

18 Verknüpfung von n smaße Disjunktion Symbol Name Bedeutung A B Disjunktion A oder B (oder beide) Konjunktion Symbol Name Bedeutung A B Konjunktion A und B (sowohl A als auch B) Negation Symbol Name Bedeutung A Negation nicht A (das Gegenteil von A) 112/174

19 smaße Implikation Symbol Name Bedeutung A B Implikation aus A folgt B (A B) Mit diesen Verknüpfungen ist Σ ist eine Boole sche Algebra: distributiver komplementärer Verbands mit Nullund Einselement. Das Nullelement 0 = ist das unmögliche Ereignis. Das Einselement 1 = Ω ist das sichere Ereignis. Ein Ereignis, das nur aus einem möglichen Ausgang besteht, heißt ein Elementarereignis. 113/174

20 smaße Rechengesetze für Σ ist abgeschlossen: A, B Σ = A B Σ A, B Σ = A B Σ Assoziativgesetze : (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Verschmelzungsgesetze: A (A B) = A A (A B) = A Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Regeln von de Morgan: (A B) = A B Verneinung: (A B) = A B A A = 0, A A = 1 = Ω 114/174

21 smaße Ist Ω (abzählbar oder überabzählbar) unendlich, verlangt man, dass auch abzählbar viele Vereinigungen und Durchschnitte gebildet werden können. ist dann eine sogenannte σ-algebra. Ist überabzählbaren Fall ist die Ereignisalgebra Σ ist die kleinste σ-algebra, die alle Teilintervalle von Ω enthält. 115/174

22 Unterabschnitt: smaße /174

23 smaße Der Wurf mit einem Würfel hat den Ereignisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Σ(Ω) hat folglich sechs Elementarereignisse: e 1 = {1}, e 2 = {2}, e 3 = {3}, e 4 {4}, e 5 = {5}, e 6 = {6} und insgesamt 2 6 = 64 (Teilmengen von Ω). des zweimaligen Würfelns ist das kartesische Produkt Ω Ω: Ω Ω = {(i, j) i, j = 1,..., 6} Das geordnete Paar (i, j) bedeutet: i beim ersten Wurf, j beim zweiten Wurf. Σ(Ω Ω) hat folglich 36 Elementarereignisse e ij : e 11 = {(1, 1)},..., e 36 = {(6, 6)} 117/174

24 smaße Analog ist beim n-maligen Würfeln der Ereignisraum das n-fache kartesische Produkt Ω Ω... Ω. Beispiel (Ereignisalgebra des Doppelwurfs) Beispiele für Elemente der Ereignisalgebra des Doppelwurfs sind: 6 beim ersten Wurf: {(6, 1), (6, 2),..., (6, 6)} 6 beim zweiten Wurf: {(1, 6), (2, 6),..., (6, 6)} Beide Würfe gleich: {(1, 1), (2, 2),..., (6, 6)} Summe der Würfe gleich 7: {(1, 6), (2, 5),..., (6, 1)} 118/174

25 smaße Beispiel (r Alternativversuch) Ein Experiment, das nur zwei mögliche Ergebnisse hat, heißt ein Alternativversuch. Es gibt zwei Ausgänge, 0 und 1. Wird ein Alternativversuch n-mal durchgeführt, ergibt sich eine Ereignisraum mit 2 n Ausgängen, nämlich den Folgen der Form (i 1,..., i n) mit i j = 0 oder 1. In der Regel interessiert aber nur die Häufigkeit des Eintretens von 1 (oder 0). Dann gibt es nur mehr n + 1 Ausgänge: 1 tritt 0, 1, 2,... oder n-mal ein. Bezeichnet das Ereignis E 1 das einmalige Eintreten von 1, so ist E 1 die -Verbindung mehrerer Elementarereignisse der ursprünglichen Ereignisalgebra: E 1 = {(e 1, e 0,..., e 0), (e 0, e 1, e 0,..., e 0),..., (e 0,..., e 0, e 1)} Ein Beispiel ist das n-malige Werfen einer Münze. 119/174

26 Abschnitt 6: smaße smaße 7 120/174

27 Unterabschnitt: smaße smaße smaße 7 121/174

28 smaße smaße Definition (smaß) Es sei Σ eine Ereignisalgebra, A und B in Σ, und W eine Abbildung von Σ in R. W heißt ein smaß, wenn gilt: 1. Positivität: W (A) 0 A Σ 2. Additivität: A B = 0 = W (A B) = W (A) + W (B) 3. Normierung: W (1) = 1 122/174

29 smaße smaße Definition (sraum) Ist Σ eine σ-algebra, was für unendliche Ereignisräume vorausgesetzt werden muss, verlangt man für abzählbares J: 4. σ-additivität: A i Σ, i J; A i A j = 0, i j = W ( i J A i ) = i J W (A i ) Σ heißt dann normiert, und (Σ, W ) ein sraum. W wird auch als sverteilung bezeichnet. 123/174

30 smaße smaße Rechengesetze für Ist (Σ, W ) ein sraum, so gilt: 1 W (A ) = 1 W (A), A Σ 2 W (0) = 0 3 A B = W (A) W (B), A, B Σ 4 W (A) 1, A Σ 5 W (A B) = W (A) + W (B) W (A B), A, B Σ 6 Hat Σ höchstens abzählbar viele Elementarereignisse {e i i I}, so ist i I W (e i) = /174

31 smaße smaße In einer diskreten Ereignisalgebra ist die eines s gleich der Summe der en der Elementarereignisse, deren -Verbindung es ist. Daher ist ein smaß durch die Werte, die es den Elementarereignissen zuordnet, eindeutig bestimmt. Andererseits kann jede positive Funktion, die auf der Menge der Elementarereignisse definiert ist und Punkt 6 erfüllt, eindeutig zu einem smaß fortgesetzt werden. Man kann also auf einer diskreten Ereignisalgebra Σ unendlich viele Verteilungen definieren. 125/174

32 smaße smaße In einer kontinuierlichen Ereignisalgebra ist die jedes Elementarereignisses gleich 0. Die eines s kann daher nicht mehr durch Summation ermittlet werden. Statt dessen wird eine Dichtefunktion f(x) angegeben, die jedem Elementarereignis x einen nichtnegativen Wert f(x) zuordnet. Die Dichtefunktion muss normiert sein: f(x) dx = 1 R Die eines s A wird durch Integration über die Dichte ermittelt: W (A) = f(x) dx Die Dichte muss so beschaffen sein, dass das Integral für alle zugelassenen existiert. A 126/174

33 Unterabschnitt: smaße smaße 7 127/174

34 smaße Betrachten einfaches Zufallsexperiment: Münzwurf Zwei mögliche Ergebnisse: Kopf (K), Zahl (Z) Annahme: Münze symmetrisch, K und Z gleichwahrscheinlich Experiment wird n-mal wiederholt n h n (K) f n (K) f n (K) Häufigkeitstabelle Matlab: make coin 128/174

35 smaße f(k) n Entwicklung der relativen Häufigkeit von K 129/174

36 smaße Die relative Häufigkeit des s K scheint gegen den Grenzwert 0.5 zu streben. Dieser Grenzwert wird als die W (K) bezeichnet. Empirisches lim f n(k) = W (K) n Das mathematische Problem dieser Definition liegt darin, dass die Existenz des Grenzwerts von vornherein nicht einzusehen ist und im klassisch analytischen Sinn tatsächlich nicht gegeben sein muss, sondern nur in einem weiteren, statistischen Sinn. 130/174

37 Unterabschnitt: smaße smaße 7 131/174

38 smaße Häufig ist es auf Grund von Symmetrieüberlegungen möglich, die Elementarereignisse als gleichwahrscheinlich anzusehen. Dies ist natürlich nur sinnvoll für endlich viele Elementarereignisse. Diese Annahme entspricht nur in seltenen Fällen der physikalischen Realität und muss im Zweifelsfall durch das Experiment überprüft werden. Sind alle m Elementarereignisse gleichwahrscheinlich, gilt: W (e 1 ) = W (e 2 ) =... = W (e m ) = 1 m 132/174

39 smaße Für ein Ereignis A, das sich aus g Elementarereignissen zusammensetzt, gilt: Regel von Laplace W (A) = g m Die von A ist die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Fälle. Die Abzählung der günstigen und möglichen Fälle erfordert oft kombinatorische Methoden. 133/174

40 smaße Definition (Variation) Es sei M eine Menge mit n Elementen. Eine geordnete Folge von k verschiedenen Elementen von M heißt eine Variation von n Elementen zur k-ten Klasse. Es gibt Vk n n! = = n (n 1)... (n k + 1) (n k)! solcher Variationen. Für den Sonderfall k = n sieht man, dass sich die n Elemente der Menge M auf n n! = i i=1 verschiedene Weisen (Permutationen) anordnen lassen. 134/174

41 smaße Definition (Kombination) Sei M wieder eine Menge mit n Elementen. Eine k-elementige Teilmenge von M heißt eine Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse. ( ) n Es gibt Ck n n! = = solcher Kombinationen. k k! (n k)! Ck n wird auch als Binomialkoeffizient bezeichnet. Die Binomialkoeffizienten können im sogenannten Pascal schen Dreieck angeordent werden: ( n 1 k ) + ( n 1 k 1 ) = ( n k ) 135/174

42 smaße Beispiel Wie aus der Definition der Kombination folgt, ist die Summe aller Ck n, 0 k n, für festes n gleich der Anzahl aller Teilmengen von M: ( n k=0 n k ) = 2 n Beim Roulette sind die von 0 bis 36 als Ergebnis möglich. 1 Wie groß ist die, dass sich in einer Serie von zehn Würfen keine Zahl wiederholt? 2 Wie groß ist die, dass in einer Serie von 37 Würfen jede Zahl vorkommt? 136/174

43 Abschnitt 7: smaße /174

44 Unterabschnitt: smaße /174

45 smaße Wir betrachten jetzt zwei A und B, die bei einem Experiment eintreten können. Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen den n? Ein solcher Zusammenhang wird Koppelung genannt. Positive Koppelung: Je öfter A eintritt, desto öfter tritt tendenziell auch B ein. Negative Koppelung: Je öfter A eintritt, desto seltener tritt tendenziell auch B ein. Quantifizierung von oft und selten erfolgt durch Häufigkeitstabelle. 139/174

46 smaße Die Häufigkeit des Eintretens von A und B kann in einer Vierfeldertafel oder Kontingenztafel zusammengefasst werden. Beispiel: A= Eine untersuchte Person ist weiblich B= Eine untersuchte Person hat Diabetes Vierfeldertafel für 1000 Personen: B B A A /174

47 smaße Gewöhnliche relative Häufigkeiten werden auf den Umfang n des gesamten Datensatzes bezogen: f(a B) = h(a B) n relative Häufigkeiten werden auf das Eintreten des anderen Merkmals bezogen: f(a B) = h(a B) h(b) = f(a B) f(b) f(a B) heißt die bedingte relative Häufigkeit von A unter der Bedingung B. 141/174

48 smaße Die Vierfeldertafel U gibt folgende bedingte relative Häufigkeiten: f(a B) = = 0.422, f(a B ) = = Es ist somit zu vermuten, dass die beiden Merkmale gekoppelt sind. f(a B) > f(a) deutet auf eine positive Koppelung, f(a B) < f(a) auf eine negative Koppelung. 142/174

49 smaße Stammen die Daten aus einem Zufallsexperiment, dann besitzen die Ereigniskombinationen auch en. stabelle: B B A W (A B) W (A B ) W (A) A W (A B) W (A B ) W (A ) W (B) W (B ) 1 Nach dem empirischen Zahl sind diese en die Grenzwerte der entsprechenden relativen Häufigkeiten. 143/174

50 smaße Die bedingten relativen Häufigkeiten konvergieren für n gegen einen Grenzwert: f n (A B) = f n(a B) f n (B) Definition ( ) W (A B) = W (A B) = W (A B) W (B) W (A B) W (B) heißt die bedingte von A unter der Bedingung B, sofern W (B) /174

51 smaße Beispiel (Der symmetrische Würfel) Ist der Würfel völlig symmetrisch, werden den Elementarereignissen e i = {i} gleiche en zugeordnet: W (e i) = 1 6, 1 i 6 Wir definieren die folgenden : Dann gilt zum Beispiel U = {1, 3, 5}, G = {2, 4, 6} W (e 1 U) = W (e 1 G) = W (e1 U) W (U) W (e1 G) W (U) = W (e1) W (U) = 1 3 = W (0) W (U) = 0 145/174

52 smaße Beispiel (Fortsetzung) W (U e 1) = W (e 1 e 3 U) = W (e 1 e 2 U) = W (e1 U) W (e 1) W ((e1 e3) U) W (U) W ((e1 e2) U) W (U) = W (e1) W (e 1) = 1 = W (e1 e3) W (U) = W (e1) W (U) = 1 3 = /174

53 smaße Aus der Definition der bedingten folgt sofort die Produktformel W (A B) = W (A B)W (B) = W (B A)W (A) und die Formel für die Inverse W (B A) = W (A B)W (B) W (A) Beide Formeln gelten auch für relative Häufigkeiten! 147/174

54 Unterabschnitt: smaße /174

55 smaße Definition (Zerlegung) Die B 1, B 2,..., B m bilden eine Zerlegung der Ergebnismenge Ω, wenn gilt: Satz 1 Unvereinbarkeit: B i B j =, i j 2 Vollständigkeit: B 1 B 2... B m = Ω Bilden die B 1, B 2,..., B m eine Zerlegung der Ergebnismenge Ω, dann gilt: W (B 1 ) + W (B 2 ) W (B m ) = W (Ω) = 1 149/174

56 smaße Es sei B 1,..., B m eine Zerlegung. Dann gilt: Totale Beispiel W (A) = W (A B 1 )W (B 1 ) W (A B m )W (B m ) Ein Betrieb erzeugt Glühbirnen mit 40W (35% der Produktion), mit 60W (45%) und mit 100W (20%). Nach einem Jahr sind noch 98% der 40W-Birnen funktionsfähig, 96% der 60W-Birnen, und 92% der 100W-Birnen. Welcher Anteil an allen Glühbirnen ist nach einem Jahr noch funktionsfähig? 150/174

57 smaße Es sei B 1,..., B m eine Zerlegung. Dann gilt: W (B i A) = W (A B i)w (B i ) W (A) W (A B i )W (B i ) = W (A B 1 )W (B 1 ) W (A B m )W (B m ) W (B i ) wird die a-priori von B genannt, W (B i A) die a-posteriori. 151/174

58 smaße Beispiel Ein Betrieb kauft Bauteile von zwei Anbietern, wobei der Anteil des ersten 65% beträgt. Erfahrungsgemäß ist der Ausschussanteil bei Anbieter 1 gleich 3% und bei Anbieter 2 gleich 4%. 1 Wie groß ist der totale Ausschussanteil? 2 Wie groß ist die, daß ein einwandfreier Bauteil von Anbieter 2 kommt? 3 Wie groß ist die, daß ein mangelhafter Bauteil von Anbieter 1 kommt? 152/174

59 smaße Beispiel Ein Bauteil wird von vier Firmen geliefert, und zwar kommen 20% von Firma 1, 30% von Firma 2, 35% von Firma 3, und 15% von Firma 4. Die, dass der Bauteil im Testbetreib innerhalb von 24 Stunden ausfällt, ist 0.02 für Firma 1, für Firma 2, für Firma 3, und 0.02 für Firma 4. Ein Bauteil fällt im Testbetrieb nach 16 Stunden aus. Die, dass er von Firma i kommt, ist mittel des Satzes von Bayes zu berechnen. 153/174

60 Unterabschnitt: smaße /174

61 smaße Zwei sind positiv gekoppelt, wenn W (A B) > W (A) oder W (A B) > W (A)W (B) Zwei sind negativ gekoppelt, wenn W (A B) < W (A) oder W (A B) < W (A)W (B) Liegt weder positive noch negative Kopppelung vor, sind A und B unabhängig. 155/174

62 smaße Definition () Zwei A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn W (A B) = W (A)W (B) Die A 1, A 2,..., A n heißen unabhängig, wenn gilt: W (A 1... A n ) = W (A 1 )... W (A n ) Dazu genügt nicht, dass je zwei A i und A j paarweise unabhängig sind! 156/174

63 smaße Beispiel Wir betrachten den zweimaligen Wurf einer Münze (Kopf/Zahl). Die möglichen Ausgänge sind Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ}. Ferner definieren wir die : Dann gilt für alle i j aber E 1 = {KK, KZ}... Kopf beim ersten Wurf E 2 = {KK, ZK}... Kopf beim zweiten Wurf E 3 = {KK, ZZ}... Gerade Zahl von Köpfen W (E i E j) = 1 = W (Ei) W (Ej) 4 W (E 1 E 2 E 3) = = W (E1) W (E2) W (E3) 8 157/174

64 smaße Sind A und B unabhängig, gilt W (A B) = W (A) und W (B A) = W (B). Die Vierfeldertafel für zwei unabhängige : B B A W (A)W (B) W (A)W (B ) W (A) A W (A )W (B) W (A )W (B ) W (A ) W (B) W (B ) 1 158/174

65 smaße Die Koppelung kann durch die Vierfelderkorrelation gemessen werden: Vierfelderkorrelation ρ(a, B) = W (A B) W (A)W (B) W (A)W (A )W (B)W (B ) Eigenschaften der Vierfelderkorrelation 1 1 ρ(a, B) 1 2 ρ(a, B) = 0 A und B unabhängig 3 ρ(a, B) > 0 A und B positiv gekoppelt 4 ρ(a, B) < 0 A und B negativ gekoppelt 159/174

66 smaße Das Vorzeichen von ρ(a, B) gibt die Richtung der Koppelung an. Der Betrag von ρ(a, B) gibt die Stärke der Koppelung an. Speziell gilt: A = B = ρ(a, B) = 1 A = B = ρ(a, B) = 1 Eine bestehende Koppelung ist kein Beweis für einen kausalen Zusammenhang! Die Koppelung kann auch durch eine gemeinsame Ursache für beide entstehen. 160/174

67 smaße Zwei physikalische können als unabhängig postuliert werden, wenn zwischen ihnen keine wie immer geartete Verbindung besteht, da dann das Eintreten des einen s die des anderen nicht beeinflussen kann. Zwei Elementarereignisse sind niemals unabhängig, da ihre -Verbindung stets das unmögliche Ereignis ist. Zwei Elementarereignisse sind sogar höchst abhängig, weil das Eintreten des einen das Eintreten des anderen mit Sicherheit ausschließt. Sind E 1 und E 2 zwei unaghängige eines sraumes (Σ, W ), so sind auch E 1 und E 2, E 1 und E 2, sowie E 1 und E 2 unabhängig. 161/174

68 smaße Beispiel (Wurf mit zwei unterscheidbaren Würfeln) Es gibt 36 Elementarereignisse e ij = {(i, j)}, 1 i, j 6. Das Ereignis E 1 i, beim ersten Wurf eine i zu würfeln, setzt sich so zusammen: E 1 i = e i1 e i2... e i6 und analog E 2 j = e 1j e 2j... e6j Klarerweise gilt E 1 i E 2 j = e ij. Kann man annehmen, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, so gilt: W (E 1 i ) = 1 6, W (E2 j ) = 1 6 W (E 1 i E 2 j ) = W (e ij = 1 36 = W (E1 i ) W (E 2 j ) 162/174

69 smaße Beispiel (Fortsetzung) In diesem Fall sind also auch die Elementarereignisse des einfachen Wurfes gleichwahrscheinlich und die beiden Teilwürfe sind unabhängig. Setzt man umgekehrt voraus, dass für beide Teilwürfe die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, und dass Ei 1 und Ej 2 für alle i und j unabhängig sind, so sind die e ij gleichwahrscheinlich. Sind die Teilwürfe nicht unabhängig, so sind die e ij trotz der Gleichwahrscheinlichkeit der e i und e j nicht mehr gleichwahrscheinlich. Ein Beispiel dafür ist der Wurf mit einem sehr großen Würfel, der jedesmal bloß um 90 o gedreht werden kann. Das Elementarereignis e 34 ist hier unmöglich und muss daher die 0 zugewiesen bekommen. 163/174

70 smaße Beispiel (Wiederholung eines Alternativversuchs) hat 2 n Elementarereignisse, nämlich die Folgen der Form (i 1,..., i n), i j = 0 oder 1. Sind die Wiederholungen unabhängig, und bezeichnet p die des Eintretens von 1, ist die einer Folge W ({(i 1,..., i n)}) = p n 1 (1 p) n 0 wo n 0 bzw. n 1 die Anzahl des Eintretens von 0 bzw. 1 angibt. Klarerweise gilt n 0 + n 1 = n. 164/174

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