1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

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1 Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

2 Einordnung u zur Erinnerung... effiziente Realisierung der zur Verwaltung von sich dynamisch ändernden Datenbeständen typischen Operationen Verwendung von binären Suchbäumen, um die Idee der binären Suche zu realisieren (/* Suchen, Löschen und Einfügen gehen in O(tiefe(B)) */) Einschränkung auf höhenbalancierte binäre Suchbäume, um die Operationen effizienter zu realisieren (/* tiefe(b) O(log(n)), wobei n die Anzahl der Knoten in B bezeichnet */)... die Operationen Suchen, Einfügen und Löschen benötigen im worst case jeweils die Zeit O(log(n)) 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

3 Einordnung u prominente Beispiele AVL-Bäume B-Bäume... Anforderungen an die Struktur festlegen, damit sicher gestellt ist, daß tiefe(b) O(log(n)) gilt die Operationen Einfügen und Löschen so realisieren, daß die Anforderungen an die Struktur (/* Invariante 1 */) und an die Ordnung (/* Invariante 2 */) auch nach Ausführung der Operation erfüllt sind 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

4 AVL-Bäume u informelle Beschreibung Ein binärer Suchbaum heißt AVL-Baum, wenn für jeden Knoten gilt, daß sich die Tiefe seines linken und seines rechten Teilbaums um maximal 1 unterscheiden. u Begriff - Balancegrad k b(k) = tiefe(tb L ) - tiefe(tb R ) TB L TB R 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

5 AVL-Bäume u Anmerkung zur Repräsentation (zur Erinnerung) jeder Knoten enthält maximal fünf Informationen einen Schlüssel seinen Balancegrad (/* für die Operationen Einfügen und Löschen wichtig */) max. einen Verweis auf den Vater (/* fehlt für die Wurzel */) max. zwei Verweise auf die Söhne (/* diese können auch fehlen */) 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

6 AVL-Bäume u Beispiel 5/-1 3/0 8/1 4/0 6/-1 9/0 7/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

7 AVL-Bäume u Anmerkung zur Operation Suchen... die Operation Suchen wird wie üblich in binären Suchbäumen realisiert 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

8 u zugrunde liegende Idee findet in 2 Phasen statt Phase 1 Operation Einfügen, wie man sie für normale binäre Suchbäume kennt, ausführen (/* es wird auf Blattebene eingefügt; Invariante 2 erfüllt */) Phase 2 dem Pfad von dem neuen Blatt zur Wurzel folgen im aktuell besuchten Knoten ist der Balancegrad anzupassen (/* dazu muß man die Balancegrad der Söhne kennen */) falls der Balancegrad auf 2 bzw. -2 geändert wird, ist der Baum erst zu modifizieren und dann wird gestoppt sonst wird der nächste Knoten auf dem Weg zur Wurzel besucht (/* falls es keinen nächsten Knoten gibt, wird gestoppt */) 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

9 u Illustration x = 1 in den leeren Baum einfügen 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

10 u Illustration (cont.) x = 2 in den linken Baum einfügen 1/-1 2/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

11 u Illustration (cont.) x = 3 in den linken Baum einfügen 1/-2 1/-1 2/-1 2/0 3/0 2/0 3/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

12 u Illustration (cont.) x = 5 in den linken Baum einfügen 2/0 2/-1 3/0 3/-1 5/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

13 u Illustration (cont.) x = 6 in den linken Baum einfügen 2/-1 2/-1 3/-1 3/-2 5/0 5/-1 6/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

14 u Illustration (cont.) LinksRotation 2/-1 2/-1 3/-2 5/0 5/-1 3/0 6/0 6/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

15 u Illustration (cont.) x = 4 in den linken Baum einfügen 2/-1 2/-2 5/0 5/1 3/0 6/0 3/-1 6/0 4/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

16 u Illustration (cont.)... nicht wirklich gut!!! 2/-2 5/2 5/1 2/-2 6/0 3/-1 6/0 3/-1 4/0 4/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

17 u Illustration (cont.) RechtsRotation 2/-2 2/-2 5/1 3/-2 3/-1 6/0 5/0 4/0 4/0 6/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

18 u Illustration (cont.) anschließende LinksRotation 2/-2 3/0 3/-2 2/1 5/0 5/0 4/0 6/0 4/0 6/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

19 u allgemein zu den Rotationen (/* auch fürs Löschen wichtig */) falls der Balancegrad auf 2 bzw. -2 geändert wird, ist der Baum lokal zu modifizieren (/* welche und wie viele Rotationen durchzuführen sind, ist durch den Balancegrade der Söhne determiniert */) bei der Rotation müssen die Balancegrade der Söhne und ggf. der Enkel angepaßt werden 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

20 u Linksrotation (/* gibt es auch als Rechtsrotation */) k/-2 LinksRotation k /0 k /-1 k/0 k /x k /x... hier x = -1; analog, falls x = 1 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

21 u Doppelrotation (/* gibt es auch mit einer Linksrotation beginnend */) k/-2 RechtsRotation k/-2 k /1 k /-2 k /x k /0... hier x = -1; analog, falls x = 1 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

22 u Doppelrotation (/* cont. */) k/-2 LinksRotation k /0 k /-2 k/1 k /0 k /0... hier x = -2; analog, falls x = -1 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

23 u Anmerkungen zum Einfügen Phase 1 wie in üblichen Suchbäumen (/* geht in Zeit O(tiefe(B)) */) Phase 2 die Balancegrade anpassen, bis Wurzel erreicht oder bis der Balancegrad auf 2 bzw. -2 geändert wurde (/* geht in Zeit O(tiefe(B)) */) falls der Balancegrad auf 2 bzw. -2 geändert wird, sind im worst case 2 Rotationen fällig (/* geht in Zeit O(1), da nur lokale Änderungen nötig sind */)... die Operation Einfügen benötigt im worst case die Zeit O(log(n)), wobei n die Anzahl der Knoten im Baum B bezeichnet (/* es gilt tiefe(b) O(log(n)) */) 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

24 AVL-Bäume - Operation Löschen u zugrunde liegende Idee findet in 2 Phasen statt Phase 1 Operation Löschen, wie man sie für normale binäre Suchbäume kennt, ausführen (/* die Idee der symmetrischen Nachfolger berücksichtigen; Invariante 2 erfüllt */) Phase 2 dem Pfad vom Vater des gestrichenen Knotens zur Wurzel folgen im aktuell besuchten Knoten ist der Balancegrad anzupassen (/* dazu muß man die Balancegrad der Söhne kennen */) falls der Balancegrad auf 2 bzw. -2 geändert wird, ist der Baum zu modifizieren (/* analog zum Einfügen */) und der nächste Knoten auf dem Weg zur Wurzel zu besuchen (/* anders als beim Einfügen */) sonst wird gleich der nächste Knoten auf dem Weg zur Wurzel besucht (/* falls es keinen nächsten Knoten gibt, wird gestoppt */) 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

25 AVL-Bäume - Operation Löschen u Illustration (/* Löschen von x = 5 */) 9/-1 6/-1 18/1 5/0 8/1 14/0 19/-1 7/0 1 16/-1 20/0 17/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

26 AVL-Bäume - Operation Löschen u Illustration (/* Löschen von x = 5, cont. */) 9/-1 6/-2 18/1 8/1 14/0 19/-1 7/0 1 16/-1 20/0 17/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

27 AVL-Bäume - Operation Löschen u Illustration (/* Löschen von x = 5, cont. */) 9/-2 7/0 18/1 6/0 8/0 14/0 19/ /-1 20/0 17/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

28 AVL-Bäume - Operation Löschen u Illustration (/* Löschen von x = 5, cont. */) 9/-2 7/0 14/-1 6/0 8/0 1 18/0 16/-1 19/-1 17/0 20/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

29 AVL-Bäume - Operation Löschen u Illustration (/* Löschen von x = 5, cont. */) 14/0 9/1 18/0 7/0 1 16/-1 19/-1 6/0 8/0 17/0 20/0 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

30 AVL-Bäume - Operation Löschen u Anmerkungen zum Löschen Phase 1 wie in üblichen Suchbäumen (/* geht in Zeit O(tiefe(B)) */) Phase 2 insgesamt müssen die Balancegrade aller Knoten auf dem Weg zur Wurzel angepaßt werden und im worst case je besuchten Knoten zwei Rotationen ausgeführt werden die Balancegrade anpassen (/* geht in Zeit O(1), da nur lokale Änderungen nötig sind */) falls der Balancegrad auf 2 bzw. -2 geändert wird, sind im worst case 2 Rotationen fällig (/* geht in Zeit O(1), da nur lokale Änderungen nötig sind */)... die Operation Löschen benötigt im worst case die Zeit O(log(n)), wobei n die Anzahl der Knoten im Baum B bezeichnet (/* es gilt tiefe(b) O(log(n)) */) 4/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen