Vorlesung Datenstrukturen

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1 Vorlesung Datenstrukturen Binärbaum Suchbaum Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 356

2 Datenstruktur Binärbaum Strukturrepräsentation des mathematischen Konzepts Binärbaum struct node { Elementtyp data; node* left; // linker Teilbaum / Kindknoten node* right; // rechter Teilbaum / Kindknoten ; Es existieren zwei Verbindungen zu den Kindknoten und Nullzeiger realisieren externe Knoten. Mit dieser Darstellung können die meisten Operationen für binäre Bäume effizient realisiert werden, allerdings lassen sich so nur Bewegungen von der Wurzel weg im Baum ausdrücken, d.h. nur Kindknoten verarbeiten. Für Algorithmen, die auf der direkten Kenntnis der übergeordneten Knoten basieren, bietet sich analog zur doppelt verketteten Liste die Ergänzung der Knotenstruktur um einen Verweis auf den Vorgänger eines Knotens an. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 357

3 Beispiel - Aufbau eines Binärbaums Gesucht Algorithmus zum Aufbau eines möglichst ausgeglichenen Binärbaums mit beliebiger Knotenanzahl Idee Rekursive Verteilung der zu erzeugenden Knotenanzahl gleichmäßig auf die Teilbäume node* exampletree( int count ) { if ( count ) { int leftnodes = count / 2; int rightnodes = count - leftnodes - 1; node* newnode = new node; newnode->left = exampletree( leftnodes ); newnode->right = exampletree( rightnodes ); return newnode; else return 0; Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 358

4 Traversieren von Binärbäumen Traversierung geordneter Bäume Im Gegensatz zur linearen Durchmusterung von Listen muss bei Bäumen eine Entscheidung getroffen werden: Diese Entscheidung besteht jedoch nicht darin, welcher Nachfolgerknoten ausgewählt wird (denn die Reihenfolge ist durch die Ordnung bereits vorgegeben), sondern wann ein Knoten bzgl. seiner Kindknoten ausgewertet wird. Traversierung von Binärbäumen Bei Binärbäumen gibt es drei Möglichkeiten: Präorder Inorder Postorder - Traversierung = Auswertung eines Knotens vor seinen Kindern - Traversierung = Auswertung eines Knotens inmitten seiner Kinder - Traversierung = Auswertung eines Knoten nach seinen Kindern Ergebnis der Traversierung Konvertierung einer komplexeren Baumstruktur in eine flache Listenstruktur. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 359

5 Präorder-Traversierung Reihenfolge 1. Auswertung des Knotens 2. Auswertung des linken Teilbaums 3. Auswertung des rechten Teilbaums A void traverse( node* n ) { if ( n ) { process ( n->info ); traverse( n->left ); traverse( n->right ); B I C F J M D E G H K L N O Bezeichnung Ein Knoten wird vor seinen Kindknoten verarbeitet, also Präorder-Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 360

6 Inorder-Traversierung Reihenfolge 1. Auswertung des linken Teilbaums 2. Auswertung des Knotens 3. Auswertung des rechten Teilbaums H void traverse( node* n ) { if ( n ) { traverse( n->left ); process ( n->info ); traverse( n->right ); D L B F J N A C E G I K M O Bezeichnung Ein Knoten wird inmitten seiner Kindknoten verarbeitet, also Inorder-Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 361

7 Postorder-Traversierung Reihenfolge 1. Auswertung des linken Teilbaums 2. Auswertung des rechten Teilbaums 3. Auswertung des Knotens O void traverse( node* n ) { if ( n ) { traverse( n->left ); traverse( n->right ); process ( n->info ); G N C F J M A B D E H I K L Bezeichnung Ein Knoten wird nach seinen Kindknoten verarbeitet, also Postorder-Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 362

8 Level-Order-Traversierung Wunsch Ebenenweise Verarbeitung von Baumknoten Problem A Im Gegensatz zu den bereits bekannten Traversierungs- B C arten entspricht eine ebenenweise Verarbeitung von Baumknoten nicht der natürlichen rekursiven Definition eines Baums. D E F G Lösung H I J K L M N O Um Bäume ebenenweise verarbeiten zu können, ist eine Zwischenspeicherung von Baumknoten nötig, die mit Hilfe der Datenstruktur Schlange realisiert wird. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 363

9 ADT Schlange / Queue ADT Schlange Für viele Aufgaben in der Informatik werden Datenstrukturen benötigt, die nach dem FIFO-Prinzip arbeiten, d.h. dass das zuerst eingefügte Element auch als erstes wieder entnommen wird. Analog zum ADT Stapel wollen wir deshalb einen abstrakten Datentyp für die Datenstruktur Schlange entwickeln. Anwendung Da wir die Schlange konkret zur Baumtraversierung benötigen, muss sie Baumknoten bzw. Zeiger auf Baumknoten verwalten. Dementsprechend gestalten wir die Schnittstelle des ADT: class Queue { // Schlange mit Elementtyp Baumknoten Queue() // Konstruktor ~Queue() // Destruktor bool isempty() // Test auf leere Schlange void enqueue(node* data) // Anstellen an die Schlange node* dequeue() // Abfertigen des ersten Elements Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 364

10 ADT Queue - Interne Struktur class Queue { struct list { ; node* data; // Wir fügen Baumknoten in Schlange ein list* next; list(node* value) { // Hier eine Variante mit struct-konstruktor data = value; next = 0; struct node { Elementtyp data; node* left; node* right; ; list* head; list* tail; // Einfügen und Entnehmen von Elementen erfolgt bei // Schlangen an den entgegengesetzten Enden einer Liste Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 365

11 ADT Queue - Methoden public: Queue() { head = tail = 0; bool isempty() { return (head == 0); void enqueue(node* value) { list* t = tail; tail = new list(value); if (!head) head = tail; else t->next = tail; node* dequeue() { if (isempty()) { printf("schlange leer"); return 0; else { node* value = head->data; list* next = head->next; delete head; head = next; return value; ~Queue() { // Löschen aller Listenelemente ; Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 366

12 Level-Order-Traversierung Um die ebenenweise Verarbeitung zu ermöglichen, modifizieren wir die Präorder-Traversierung: Zu Beginn fügen wir den Wurzelknoten des Baumes in eine Schlange ein. Solange die Schlange nicht leer ist entnehmen wir den aktuell zu verarbeitenden Knoten n aus der Schlange, verarbeiten ihn und fügen die Kinder von n in die Schlange ein void traverselevelorder( node* n ) { Queue q; q.enqueue( n ); A while (!q.isempty() ) { n = q.dequeue(); B C process( n->info ); if ( n->left ) q.enqueue( n->left ); if ( n->right ) q.enqueue( n->right ); H D I J E K L F M N G O Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 367

13 Binärer Suchbaum Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 368

14 Binärer Suchbaum Definition Ein binärer Suchbaum ist ein binärer Baum, dessen interne Knoten mit einem Schlüssel verbunden sind. Schlüssel sind eindeutig, es gibt keine verschiedenen Knoten mit dem selben Schlüssel. 8 Alle Knoten, deren Schlüssel kleiner als der Schlüssel eines 4 12 Knotens ist, befinden sich im linken Teilbaum Alle Knoten, deren Schlüssel größer als der Schlüssel eines Knotens ist, befinden sich im rechten Teilbaum Konsequenz Die Gestalt der Datenstruktur Suchbaum ist abhängig von ihren Werten! Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 369

15 Suchen im binären Suchbaum (1) Rekursiver Algorithmus Aus der Gestalt eines Suchbaums ergibt sich ein rekursiver Suchalgorithmus: Ist der aktuell betrachtete Baumknoten n ein externer Knoten erfolgloser Abbruch der Suche sonst Vergleich des gesuchten Schlüssels mit dem Schlüssel von n Stimmen die Schlüssel überein erfolgreicher Abbruch der Suche - Ist der gesuchte Schlüssel kleiner, suche im linken Teilbaum von n - Ist der gesuchte Schlüssel größer, suche im rechten Teilbaum von n Initialisierung Startknoten des Algorithmus ist die Wurzel des Suchbaumes Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 370

16 Suchen im binären Suchbaum (2) Quelltext Algorithmus liefert Zeiger auf Baumknoten mit gefundenem Element oder Nullzeiger node* search( node* tree, int value ) { if ( tree == 0 ) { // value nicht vorhanden return 0; if ( tree->data == value ) return tree; // Element gefunden if ( value < tree->data ) return search( tree->left, value ); // Suche links else return search( tree->right, value ); // Suche rechts Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 371

17 Suchen im Suchbaum Suche nach Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 372

18 Suchen im Suchbaum Suche nach ist kleiner als 50 Verzweigung nach links Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 373

20 Suchen im Suchbaum Suche nach ist größer als Verzweigung nach rechts Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 375

22 Suchen im Suchbaum Suche nach ist kleiner als Verzweigung nach links Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 377

24 Suchen im Suchbaum Suche nach ist größer als Verzweigung nach rechts Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 379

26 Suchen im Suchbaum Suche nach wurde mit nur 5 Vergleichen gefunden, bei 31 Elementen Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 381

27 Suchen im Suchbaum Suche nach Komplexitätsanalyse Die Suche benötigt in einem ausgeglichenen binären Suchbaum bei N Knoten maximal ld(n) Schritte. Damit hat das Suchverfahren eine Komplexität von O(log N). Vergleich Im Vergleich zur linearen Laufzeit der Suche nach einem Listenelement oder einer Feldkomponente arbeitet die Suche nach einem Element in einem ausgeglichenen Suchbaum wesentlich effizienter. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 382

28 Einfügen in einen Suchbaum (1) Such- und Einfügeoperationen eines Suchbaums sind eng miteinander verwandt: Der Knoten, an dem die Suche (nach einem nichtvorhandenen Schlüssel) abbricht, entspricht der Position, an dem ein neuer Knoten mit diesem Wert eingefügt werden muss. Der eingefügte bzw. bereits vorhandene Knoten wird als Funktionswert zurückgeliefert. node* insert(node* tree, int value) { node* temp; if (tree) { if (tree->data == value) return tree; if (value < tree->data) if (tree->left) return insert(tree->left, value); else tree->left = temp = new node; else if (tree->right) return insert(tree->right, value); else tree->right = temp = new node; else temp = new node; temp->data = value; temp->left = 0; temp->right = 0; return temp; Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 383

29 Einfügen in einen Suchbaum (2) Komplexitätsanalyse Analog der Suchoperation benötigen wir bei einem ausgeglichenen binären Suchbaum mit N Knoten höchstens ld(n) Vergleiche um die Einfügeposition zu bestimmen und einen neuen Knoten anzuhängen Komplexität O(log N). Im Vergleich zur linearen Laufzeit zum Bestimmen der Einfügeposition in einer Liste arbeitet das Einfügen in einen ausgeglichenen Suchbaum wesentlich effizienter. Aber Bei falscher Reihenfolge des Einfügens kann ein Baum sehr schnell degenerieren. Wenn das Ausgeglichenheitskriterium verletzt wird, tendiert die Laufzeit für Such- und Einfügeoperationen in die Größenordnung der entsprechenden Listenoperationen. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 384

30 Ende der Vorlesung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 385