VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme

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1 V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot Savart-Gesetz V.7 oder in den äquivalenten Formeln V.6 und V.. Betrachtet man nämlich ein infinitesimales Volumenelement d 3 r um einen Teil des Drahts, so lässt sich dieses als d 2 S dl schreiben, mit dl der Länge von d 3 r entlang des Drahts und d 2 S die Fläche des Querschnitts von d 3 r senkrecht dazu. d 2 S d 2 S dl Abbildung V.2 Sei e der Einheitsvektor in Drahtrichtung d.h. kollinear zur Stromdichte j el. r, sowie Vektoren d l dl e und d 2 S d 2 S e, im Einklang mit der üblichen Definition des vektoriellen Flächenelements. Dann gilt Daraus folgt j el. r d 3 r = j el. r d 2 S dl = j el. r d 2 S ] d l. jel. j el. r d 3 r = r d 2 S ] d l. Zum Oberflächenintegral trägt nur der in Abb. V.2 Querschnitt d 2 S bei, was die Stromstärke des Ladungsstroms ergibt. nsgesamt können Volumenintegrale durch Kurvenintegrale entlang des Drahts ersetzt werden, mit der Substitution j el. r d 3 r = d l im ntegranden, wie z.b. für das Biot Savart-Gesetz V.7 in Gl. V.2 gemacht wird. Wem diese Substitution nicht gefällt, kann stattdessen die Ladungsstromdichte durch den Draht mithilfe einer zweidimensionalen Delta-Distribution schreiben: j el. r = δ δ 2, V.8

2 52 Magnetostatik wobei ein lokales Koordinatensystem gewählt wurde, in dem der unendlich dünne Draht entlang der 3 -Achse liegt. Nach Einsetzen in ein ntegral ergibt sich das gleiche wie mit der Substitution V.8. V..4 a Magnetisches Feld eines dünnen geradlinigen Draht Durch einen unendlich langen dünnen geradlinigen elektrischen Leiter fließt ein stationärer Ladungsstrom. Dieser erzeugt in jedem Punkt r außerhalb des Drahts eine magnetische nduktion B r. Wegen der Zylindersymmetrie um den Draht ist es sinnvoll, Zylinderkoordinaten r, θ, z mit den zugehörigen Basisvektoren e r, e θ, e z einzuführen. Dabei zeigt in jedem Punkt e r in die Radialrichtung weg vom Draht, während e θ orthogonal dazu ist. Dank der Zylindersymmetrie kann der Betrag des Magnetfeldes in einem Punkt r nur von dessen Abstand r zur Achse des Leiters abhängen, sei Br. Sei ein Kreis mit Radius R in einer Ebene senkrecht zum Draht, wobei der letztere durch das Zentrum des Kreises durchläuft; dann ist B r konstant entlang. Wegen der Symmetrie der Geometrie unter Spiegelungen bezüglich der Ebene von muss B r in einem Punkt r B des Kreises in der Ebene liegen; genauer ist B r tangential zum Kreis, denn es orthogonal zum Abstandsvektor zur Drahtachse ist. Die genaue Richtung, und zwar mit einer positiven Komponente entlang e θ, folgt aus der Rechte-Hand-Regel: B r = BR e θ für r. Da B r in jedem Punkt r des Kreises tangential dazu ist, lautet die Abbildung V.3 Zirkulation der magnetischen nduktion entlang B r d l = B r dl = 2πRBR, wobei die zweite Gleichung den konstanten Wert von B r auf berücksichtigt. Laut dem Ampère- Gesetz ist diese Zirkulation gleich µ, woraus sich BR = µ /2πR und somit ergibt. B r = µ 2πr e θ für r > V.9 Man prüft einfach nach, dass dieses Magnetfeld aus dem Vektorpotential A r = µ r 2π ln e z für r > V.2 abgeleitet werden kann. Dabei bezeichnet r eine beliebige positive Zahl, die eingeführt wurde, damit das Argument des Logarithmus dimensionslos ist. Dazu erfüllt dieses Vektorpotential die oulomb-eichbedingung V.4. Bemerkung: Anhand einer ähnlicher Herangehensweise kann die Leserin zeigen, dass ein von einer gleichförmigen Ladungsstromdichte j el. r = /πa 2 Θr a e z durchflossener geradliniger Draht mit Radius a die magnetische nduktion µ r 2πa 2 e θ für r a erzeugt. B r = r µ 2πr e θ für r a

3 V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 53 V..4 b Magnetisches Feld einer Leiterschleife Als Ladungsstrom wird jetzt ein stationärer Strom durch eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius R betrachtet. Gesucht ist die magnetische nduktion B r in einem Punkt P auf der Achse des Kreises. Sei O das Zentrum von und der Abstand zwischen O und P. Laut dem Biot Savart-Gesetz V.7 mit der Substitution V.8 ist das durch die Leiterschleife erzeugte magnetische Feld durch µ d B r = l r r r r 3 V.2 gegeben. Dabei ist r der Ortsvektor des Linienelements d l entlang des Leiters. d l r ϕ O R d α P d B 2 3 Abbildung V.4 Ein solches Leiterelement erzeugt eine infinitesimale magnetische nduktion db, die durch das ntegrand des Kurvenintegrals gegeben ist. Dieses Feld ist senkrecht zum Abstandsvektor r r von dl bis zum Punkt P, wie in Abb. V.4 dargestellt wird. Da das Problem Zylindersymmetrie um die Achse des Kreises besitzt, muss das durch den ganzen Stromkreis erzeugte Feld B parallel dieser Achse sein. Dementsprechend wird hiernach nur die Komponente der Gl. V.2 entlang der Kreisachse betrachtet. Unabhängig von der Position des Linienelements d l entlang bleibt dessen Abstand r r zum Punkt P konstant, sei d, während der Abstandsvektor r r und d l immer orthogonal zu einander sind. Somit ist der Betrag des ntegranden von Gl. V.2 konstant gleich µ dl /d 2. Gleichfalls ist der Winkel zwischen dem von dem durch d l fließenden Strom herrührenden Magnetfeld db und der Kreisachse auch unabhängig von der Position von d l entlang, und zwar gleich π/, wobei α in Abb. V.4 definiert ist. Daraus folgert man für den Betrag von B B = µ dl d 2 cos = µ d 2 cos dl = µ d 2 cos Dabei gilt cosπ/ = sin α = R/d, mit d = R nsgesamt kommt und B ist gerichtet nach rechts in Abb. V.4. B µ R 2 = 2 R /2 2πR. Alternativ kann man ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Nullpunkt im Zentrum der Kreisschleife einführen vgl. Abb. V.4 und damit arbeiten. 69 Parametrisiert man die Position 69 Auf erster Sicht können kartesische Koordinaten für ein Problem mit Zylindersymmetrie zwar überraschend wirken. Zur Berechnung des Kreuzprodukts im ntegranden des Biot Savart-Gesetzes sind sie aber die einfachsten.

4 54 Magnetostatik eines Punkts von mit einem Winkel ϕ, so gelten r = und r = R cos ϕ R cos ϕ R sin ϕ d.h. r r = R sin ϕ. Dazu kann man bemerken, dass das Linienelement d l tangential zum Kreis genau die infinitesimale Variation von r darstellt; daher ist d l = d r dϕ dϕ mit d r R sin ϕ dϕ = R cos ϕ und das Kurvenintegral entlang wird zu einem ntegral über ϕ, 2π]. Daraus folgt d l r r = R cos ϕ R sin ϕ dϕ. R 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ Das Einsetzen in die Biot Savart-Formel V.2 unter Berücksichtigung von r r = R ergibt schließlich B r = µ 2π R cos ϕ R sin ϕ dϕ = µ R 2 R /2 R 2 2 R /2 im Einklang mit dem schon oben gefundenen Ergebnis. V..4 c Magnetisches Feld einer Zylinderspule... Aufgabe 6! V..5 Kraft zwischen zwei Stromkreisen n Abwesenheit eines elektrischen Feldes lautet die Lorentz-Kraftdichte auf eine Ladungsstromdichte j el. in einem magnetischen Feld f L r = j el. r B r. V.22 Ausgehend aus dieser Formel kann man die Kraft F a b bestimmen, die ein erster Stromkreis a mit Stromdichte j el.,a auf einem zweiten Stromkreis b mit Stromdichte j el.,b ausübt. Sei V a bzw. ein Gebiet, das den Stromkreis a bzw. b beinhaltet, wobei j el.,i in jedem Punkt des Rands von V i verschwindet. Die Stromdichte j el.,a erzeugt eine magnetische nduktion B a im Raum, insbesondere in jedem Punkt r b. Dadurch erfährt der ganze Stromkreis b eine resultierende Kraft F a b = j el.,b r b B a r b d 3 r b. Dabei kann B a r b durch das Biot Savart-Gesetz V.7 ausgedrückt werden: F a b = µ ] j el.,a r a r b r a j el.,b r b V a 3 d 3 r a d 3 r b. Diese Formel lässt sich mit Hilfe der dentität r b r a 3 = b umschreiben: F a b = µ j el.,b r b b V a ] j el.,a r a d 3 r b d 3 r a.

5 V.2 Multipolentwicklung 55 Unter Verwendung des doppelten Kreuzprodukts a b c = a c b a b c kommt F a b = µ jel.,a r a j el.,b r b ] b d 3 r b d 3 r a V a µ ] j el.,b r b b j el.,a r a d 3 r b d 3 r a. V a V.23 Wie wir jetzt beweisen werden, ist der Term in der zweiten Zeile Null, denn das darin enthaltene ntegral über r b verschwindet. n der Tat gilt unter Einführung der Koordinaten { k b } von r b j el.,b r 3 rb d 3 r b = jel.,b k r b k d 3 r b r k= b b r a 3 j k ] el.,b r b = d 3 3 jel.,b k r r b d 3 r b. k k= b Dabei erkennt man die Divergenz zweier Vektorfelder: j el.,b r b rb d 3 r b = b jel.,b r b k= k b ] d 3 r b b j el.,b r b d 3 r b. Das zweite ntegral auf der rechten Seite verschwindet wegen der Quellfreiheit V.3 der Ladungsstromdichte j el.,b. Wiederum lässt sich das erste ntegral mit dem Satz von Gauß transformieren: daraus kommt das Oberflächenintegral von j el.,b r b / über den Rand, wo j el.,b Null ist, so dass auch dieser Beitrag verschwindet. nsgesamt bleibt somit die Kraft F a b = µ V a jel.,a r a j el.,b r b ] b d 3 r b d 3 r a. V.24 Da der Gradient von / r b r a bezüglich r a das Negative des Gradienten bezüglich r b ist, kommt ein globales Minus-Zeichen im Austausch der Rollen von a und b, und zwar F b a = F a b. Dies ist genau das dritte newtonsche Gesetz.9.