Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk Bedgte Wahrschelchket ud stochastsche Uabhäggket Zu Aufgabe 1) Se X de zufällge Lebesdauer ees Bautels ud es gelte X > 200h) = 0,5 sowe X > 100 h) = 0,8. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e Bauelemet, welches berets 100 h überlebt hat auch 200 h überlebt? Lösug: Wr defere de Eregsse A = X>200h ud B=X>100h. Da sd gegebe: =0,5 ud =0,8 ud gesucht: A/ = X>200/X>100). Es glt ach Defto der bedgte Wahrschelchket: X 200 X 100) X 200) 0,5 5 X 200 / X 100) X 100) X 100) 0,8 8 Zu Aufgabe 2) E Bautel wrd 2 Tests T1 ud T2 getestet. De Wahrschelchket dafür T1 zu bestehe se 0,7. De Wahrschelchket T2 zu bestehe hägt vo T1 ab: st T1 bestade worde, so besteht das Bautel T2 mt der Wahrschelchket 0,8, sost st se 0,5. We groß st de Wahrschelchket dafür, bede Tests zu bestehe? Lösug: Se T1 = Bautel besteht Test T1 ud T2 = Bautel besteht Test T2. Da st: T1T 2) T 2 / T1) T1) 0,8 0,7 0,56 Zu Aufgabe 3) Se G e System, welches aus 2 htereadergeschaltete Bauehete E1 ud E2 besteht. Das System G arbetet ur da fehlerfre, we bede Bauehete fehlerfre arbete. Bereche Se für de Szeare a) ud b) de Wahrschelchket dafür, dass das Gesamtsystem G fehlerfre arbetet! a) De Fehlerrate vo E2 wrd durch de vo E1 beeflusst. De Wahrschelchket, dass E2 fehlerfre arbetet uter der Vorrausetzug, dass auch E1 fehlerfre arbetet, st 0,90. De Wahrschelchket, dass E1 fehlerfre arbetet se 0,85. 1

2 b) De Fehlerrate vo E2 wrd cht durch de vo E1 beeflusst, d.h., E1 ud E2 verhalte sch stochastsch uabhägg!. De Wahrschelchket, dass E1 fehlerhaft arbetet se 20 % ud de Wahrschelchket dafür, dass E2 fehlerhaft arbetet se 10 %. Lösug: Se G= Gerät arbetet fehlerfre, E1= E1 arbetet fehlerfre, E2= E2 arbetet fehlerfre. Zu a) G) E1 E2) E2 / E1) E1) 0,9 0,85 0, 765 Zu b) G) E1 E2) E2) E1) (1 0,1) (1 0,2) 0, 72 Zuverlässgketstheore mt stochastscher Uabhäggket Eregsse A1,...,A heße gegesetg stochastsch uabhägg, we für jede Auswahl A (1),..., A (k) vo k aus dese Eregsse glt, dass de Verbudwahrschelchket glech dem Produkt der Ezelwahrschelchkete st: A (1)... A (k) ) = A (1) ) *... * A (k) ). Zu Aufgabe 4) G se e Gerät mt parallele Rehe, de jewels 2 Bauelemete Rehe geschaltet ethalte. Das Gerät fällt aus, falls alle Rehe ausfalle. Ee Rehe fällt aus, falls ees der bede Bauelemete der Rehe ausfällt. De Bauelemete E j falle stochastsch uabhägg voeader mt der gleche Wahrschelchket E j = ot OK) = 0,1 für alle = 1,...,; j = 1, 2, aus. Wevele Rehe muß das Gerät habe, damt de Ausfallwahrschelchket p des Gerätes 0,1 % cht überschretet, d.h. damt glt p P G ot OK 0, 001? Lösug: Es st: p P G ot OK uabhäggket 1 Uabhäggket 1 1 Rehe (1 E1 OK E2 OK)) (1 0,81) Rehe1 otok Rehe2 otok Rehe otok) otok) 1 (1 E1 OK) E2 OK)) 0,19 (1 Rehe 1 OK)) (1 (1 0,1) 2 ) Wr löse jetzt de Uglechug G otok) 0,19 0,001 ach auf! 2

3 Es st: l(0,001) 0,19 0,001 l(0,19) l(0,001) 4,159 l(0,19) D.h. dass Gerät muss mdestes =5 Rehe bestze! Satz vo Bayes ud totale Wahrschelchket Formel der totale Wahrschelchket : B B B Formel vo Bayes: A/ Zu Aufgabe 5) E praktsches Bespel für de Awedug des Satzes vo Bayes ud de Besoderhete be der Auswertug der Ergebsse st der sogeate Elsa-Test auf HIV. Der Elsa-Test hat zwe Kezeche: 1. De Sestvtät; das st de Wahrschelchket, mt der der Test korrekterwese e postves Ergebs lefert (Ads azegt), sofer de Perso fzert st. Dese Wahrschelchket beträgt 99.9%. 2. De Spezftät, das st de Wahrschelchket, dass der Test ebefalls korrekterwese ke postves Ergebs lefert, we de Perso cht fzert st. Bem Elsa-Test beträgt se 99.5%. Weterh se de Prävalez, das st de Häufgket der HIV-Ifekto eer bestmmte Bevölkerugsgruppe glech 0,1%. a) Bereche Se de Wahrschelchket dafür, dass ee Perso tatsächlch fzert st, we se e postves Testresultat hat. b) Utersuche Se, we sch bem Elsa-Test de Wahrschelchket für e falsch postves Resultat (d.h. ee als HIV-fzert dagostzerte Perso st gesud) ädert, we Se de Prävalez auf 0.01 ud 0.02 erhöhe (ud de Egeschafte des Tests, also Sestvtät ud Spezftät, sost uverädert lasse). Was stelle Se fest? c) Bereche Se für ee Prävalez vo 0,1% de Wahrschelchket dafür, dass ee Perso tatsächlch cht fzert st, we se e egatves Testresultat hat. Lösug: Um das formal zu fasse, übersetze wr de Agabe formale Schrebwese. Gegebe sd zwe Eregsse: 3

4 Für dese Eregsse sd folgede Wahrschelchkete bekat: = 0,001 Prävalez B/ = 0,999 B / = 0,995 Gesucht: Zu a) A/, Zu b) A /, Zu c) A / für verschedee (= 0,01 ud 0,02) Lösug zu a) Damt ergbt sch für de Wahrschelchket für das Vorlege eer Ifekto be postvem Testergebs: D.h., es kommt ee relatv gerge Wahrschelchket zustade, dass jemad tatsächlch fzert st, we er e postves Testresultat hat. Adersherum: Mt großer Wahrschelchket erhält er e falsch postves Ergebs A / 1 A/ 1 0,167 0,833 wrd also zu Urecht beuruhgt. Zu b) Wr erhöhe de Prävalez auf 0.01, also = 0,01 bzw. 0,02 ud lasse Sestvtät ud Spezftät uberückschtgt. Da ädert sch de Wahrschelchket für das Vorlege eer Ifekto be postvem Testergebs we folgt: Für = 0,01 Für = 0,02 4

5 Wr sehe, dass de Wahrschelchket für e falsch postves Ergebs stark vo der Prävalez (Häufgket des Auftretes der HIV-Krakhet der Bevölkerug) st. Je kleer dese Häufgket st, desto größer st de Wahrschelchket ees falsch postve Ergebsses. Ist gerg, = 0,1%, so st be eem postve Testergebs de Wahrschelchket ur ca. 16,7%, dass tatsächlch ee Ifekto vorlegt. Für = 1% erhöht sch dese Wahrschelchket berets auf ca. 67 % ud für = 80% Zu c) B ,999 0, A 1 1 (0,999 0,001 0,005 0,999) 0, D.h., mt ahezu 100 % Scherhet st ee Perso tatsächlch gesud, we se e egatves Testergebs hat. (Das Patetersko st glech 0). Satz vo Bayes ud totale Wahrschelchket für mehr als 2 Eregsse See A1,...,A Eregsse aus der Grudmege mt folgede Egeschafte: 1. A A j für j (kee 2 Eregsse trete glechzetg e) 2. A 1 A2... A (A blde ee vollstädge Zerlegug vo ) Da glt: Formel der totale Wahrschelchket : Formel vo Bayes: A / B A ) A ) 1 B / A ) A ) Zu Aufgabe 6) Ee Frma bezeht jewels 30 %, 20% bzw. 50% vo beötgte Tele vo 3 verschedee Zuleferer Z1, Z2 bzw. Z3. Über de Ausschussrate (Atel der defekte Tele uter de geleferte) se bekat, dass se be Z1 1%, be Z2 ud Z3 2% bzw. 0,5 % beträgt. a) We vel % Ausschuss (Eregs erhält de Frma sgesamt? b) Mt welcher Wahrschelchket stammt e defektes Tel vo Z1? c) Sd de bede Eregsse: Tel st Ausschuss ud Tel stammt vo Zuleferer Z1 stochastsch uabhägg voeader? (Begrüdug!) Lösug: Wr defere folgede Eregsse: Z = Tel kommt vo Zuleferer Z A = Tel st Ausschuss Da sd folgede Wahrschelchkete gegebe: A/Z1) = 0,01 Z1)=0,3 5

6 A/Z2)= 0,005 A/Z3)=0,005 Z2)=0,2 Z3)=0,5 Zu a) = A/Z1)Z1)+A/Z2)Z2)+A/Z3)Z3) = 0,0065 Zu b) Z1/ = A/Z1)Z1) / = 0,003/0,0065 = 0,6415 Zu c) = 0,0065 A/Z1) = 0,01 Demzufolge sd A ud Z1 cht stochastsch uabhägg (A hägt vo Z1 ab)! 6