Zwei neue Basisgrössen in der Physik

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1 Nachtrag zur orlesung am vergangenen Montag Zwei neue Basisgrössen in der Physik 9. Wärmelehre, kinetische Gastheorie Temperatur T: Wärme ist verknüpft mit ungeordneter Bewegung der Atome oder Moleküle. Temperatur wird sich als Maß für deren mittlere kinetische Energie herausstellen... Temperatur T ist 4. Basisgröße (mit Zeit, Länge, Masse) Stoffmenge n: Einheit mol : Stoffmenge, die genauso viele Teilchen enthält wie g des C -Kohlenstoff-Isotop.(Atomare Masseneinheit / der Masse von einem C - Atom.) N A Teilchen mol (Avogadro-Zahl) Stoffmenge n ist 5. Basisgröße EPI WS 006/7 Dünnweber

2 9. 9. Wärmelehre 9. Wärmelehre, kinetische Gastheorie Nachtrag: Temperaturskalen. Bild zeigt Kelvin-, Celsius- und Fahrenheit-Temperatur (Ordinate) als Funktion der Celsius-Temperatur EPI WS 006/7 Dünnweber

3 Es geht weiter mit Zustandsänderungen idealer Gas. Im wesentlichen Anwendung der allgemeinen Gasgleichung und altgriechischer okabeln. Allgemeine Gasgleichung: p nrt p Druck; Einheit PaPascal olumen; Einheit m3 Kubikmeter n Stoffmenge; Einheit mol Mol R allgemeine Gaskonstante T absolute Temperatur; Einheit KKelvin EPI WS 006/7 Dünnweber

4 Zustandsänderungen - Stoffmenge n sei jeweils konstant Isothermen Hyperbeln (a) Isotherme Zustandsänderung (T konst.) p n R T const Boyle-Mariotte-Gesetz: p 0. 0 p. const. Isobaren Geraden (b) Isobare Zustandsänderung (Druck p const.) Gay-Lussac Gesetz: bzw.: n R p T T 0 0 T const EPI WS 006/7 Dünnweber

5 (c) Isochore Zustandsänderung (olumen const.) n R p T Isochore Geraden hieraus kann man durch Extrapolation p->0 den absoluten Nullpunkt bestimmen Charles-Gesetz: p T 0 0 p T const Anwendung: Gasthermometer p T p ( + γ T ) p0 p0 T 0 0 T 73.5K EPI WS 006/7 Dünnweber

6 d) adiabatische Zustandsänderung erhalten eines Systems, das ohne Wärmeaustausch zusammengedrückt oder entspannt wird, mechanische Arbeit wird geleistet adiabatische Kompression Wichtige oraussetzung: Kompressionszeit <<Zeit für Wärmeaustausch, wie z.b bei Schallausbreitung p κ p const κ Adiabatenkoeffizient Bild rechts zeigt vier Isothermen und zwei Adiabaten EPI WS 006/7 Dünnweber

7 Kinetische Gastheorie: Gas Flüssigkeit Festkörper 9. Wärmelehre, kinetische Gastheorie Wärme : ungeordnete Bewegung der Moleküle in einer Substanz. erkennbar an: Brownscher Molekularbewegung von Schwebstoffen Bisher: erhalten von Gasen mit makroskopischen ariablen (p,, T) beschrieben. Frage: Wie sind diese mit dem mikroskopischen Zustand des Gases (kinetische Energie, erteilung im Raum) verknüpft? Gase: Gasdruck wird verursacht durch Stöße der einzelnen Gasmoleküle mit der Wand. Die Teilchen (Moleküle) im Gas bewegen sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten: Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung EPI WS 006/7 Dünnweber

8 Stoß eines Teilchens mit Wand (elastisch, m Teilchen << m Wand ): Impulsänderung: P P m x v x (siehe Stoßgesetze) - Angenommen, man würde die gesamte kinetische Energie der N Gasteilchen in einem olumen kennen, dann wäre die mittlere Geschwindigkeit: E N gesamt kin E kin m v m v - Auf jede der drei Raumrichtungen x, y oder z entfällt /3 der Energie: m v m ( v x + v y + v z ) EPI WS 006/7 Dünnweber

9 Mit diesen Annahmen kann man berechnen, wie viele Moleküle pro Zeit auf eine Wand der Fläche treffen und wie gross die gesamte Impulsänderung pro Zeit ist. Da Impulsänderung pro Zeit eine Kraft ergibt (Newtonsches Axiom) und Kraft pro Fläche ein Druck ist, ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Druck und mittlerer kinetischer Energie der Teilchen. Die Masse der Moleküle m spielt dabei eine Rolle, ebenso die Anzahl der Moleküle pro olumen N/. Auf der nächsten Seite wird die Herleitung der Zusammenhänge explizit gezeigt. Das Resultat sieht man am Ende der Seite. Es zeigt: Das Produkt p ist proportinal zur mittleren kinetischen Energie der Moleküle. Der ergleich mit der allgemeinen Gasgleichung p nrt liefert eine fundamentale Erklärung der Temperatur. EPI WS 006/7 Dünnweber

10 P N m v x mn A v x t 9. Wärmelehre, kinetische Gastheorie Wieviele Teilchen stoßen nun pro Zeitintervall t auf die Oberfläche A? on den Molekülen mit N N vx t A einer Schicht der Dicke v x erreichen nur die Moleküle aus v x t Damit ist die Gesamtimpulsänderung: in der Zeit t die Wand Und somit ist der Druck auf die Oberfläche: (/: Annahme symmetr. erteilung) p F A A P t mn v x mn v 3 oder p mn v 3 n R T EPI WS 006/7 Dünnweber

11 -> Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie der Gasteilchen und der Temperatur des Gases: m v 3 3 E kin ( Rn / N) T kt E kin mittlere kinetische Energie pro Teilchen, N/n N A k Boltzmannkonstante [J/K] : R k N A Damit hat man eine exakte Definition der Temperatur T beim idealen Gas. EPI WS 006/7 Dünnweber

12 f ( v) m 4π πkt 3 v exp m v kt 9. Wärmelehre, kinetische Gastheorie Einzelne Teilchen (Moleküle) im Gas bewegen sich jedoch mit verschiedenen v Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, siehe Bild N(v) N. f(v) v Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeitsbetrag zwischen v + v Teilchen stoßen untereinander Änderung von v und der Richtung (Brownsche Molekularbewegung!) Mit der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung lassen sich mittlere Geschwindigkeit und mittleres Geschwindigkeitsquadrat berechnen: v 0 vf (v)dv ; v 0 v f (v)dv v 8kT πm ; v 3kT m EPI WS 006/7 Dünnweber

13 Mittl. Geschw. bei 73 K: H : 700 m/s ; N : 453 m/s ; O : 447 m/s Bisherige Bewegungsformen der Teilchen (Moleküle etc.) im Gas: -> nur Translation in den 3 Raumrichtungen: 3 Freiheitsgrade Thermische Energie pro Freiheitsgrad: Formel gilt auch für zusätzliche Freiheitsgrade (z.b. Rotation) der Moleküle im Gas: Bei i Freiheitsgraden gilt: E kin, FG kt E kin, gesamt i k T (Gleichverteilungssatz) kugelsymmetrische Teilchen (z.b. Argon-Atome): kein Rotationsfreiheitsgrad hantelförmige Moleküle (z.b. N, O ): Rotationsfreiheitsgrade kompliziertere Moleküle (z.b. H O): 3 Rotationsfreiheitsgrade EPI WS 006/7 Dünnweber

14 Prozessgrösse Wärmemenge (Seite nach orlesung eingefügt) Historisch: cal ( Kalorie) Wärmemenge, die nötig ist, um g Wasser von 4.5 auf 5.5 C zu erwärmen. Später fand man Äquivalenz von Energie und Wärmemenge, siehe Hauptsatz, weiter unten. Wärme ist eine Form von Energie. Die Gaskinetik lieferte einen direkten Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie der Teilchen und der Temperatur, siehe oben. Neue Einheit der Wärmemenge ist die Energieeinheit Joule J: Umrechnung: cal 4.87 Joule EPI WS 006/7 Dünnweber

15 R(T T) Q Q c masse m T c Mol J J [ c mol ] oder [ c ] Masse mol K kg K 9. Wärmelehre, kinetische Gastheorie Wärmekapazität: Wird einer Substanz Energie in Form von Wärme Q.zugeführt, steigt die Temperatur, ausser bei Phasenübergang,s. unten pro Freiheitsgrad und pro Mol Allgemein: Wärmezufuhr Temperaturänderung T n T C T C: Wärmekapazität eines bestimmten Körpers [J/K] c: Spezifische Wärmekapazität (bezogen auf Masse, Stoffmenge) c mol c Masse M mit M molare Masse [kg/mol] Wärmekapazität hängt davon ab, unter welchen Bedingungen das Experiment durchgeführt wird. Man definiert zwei Wärmekapazitäten: c P spezifische Wärme bei konstantem Druck (olumenarbeit p. ) c spezifische Wärme bei konstantem olumen (isochor, p. 0) c p > c : bei isobarer Erwärmung wird zusätzlich olumenarbeit geleistet EPI WS 006/7 Dünnweber

16 Prozessgrösse olumenarbeit (Seite geändert nach orlesung): - mit olumenänderung um ist mechanische Arbeit W verbunden - Kolben-Fläche A F p A (p const. für isobaren Prozess) - Beim erschieben um s wird von aussen olumenarbeit geleistet: T W ol F s p W vo l Das negative orzeichen ist eine Folge der Definition: Bei olumenverkleinerung, negativ, wird positive Arbeit von aussen am System geleistet. In diesem Fall soll die olumenarbeit am System positiv gerechnet werden Die Energie des Systems erhöht sich. EPI WS 006/7 Dünnweber

17 Geschieht die olumenänderung sehr schnell (adiabatisch), so kann kein Wärmeaustausch stattfinden und damit erhöht sich die Temperatur des Gases. Bei isothermer Zustandsänderung, T const.: olumenarbeit geht in das Wärmebad über, das mit dem Systemvolumen in Kontakt steht. c p und c v beim idealen Gas: c v (isochore Temperaturänderung): W vol p 0 c p (isobare Temperaturänderung): olumenarbeit tritt zusätzlich auf W vol -p n R T EPI WS 006/7 Dünnweber

18 isobare Wärmezufuhr isochore Wärmezufuhr + olumenarbeit Q n c T n c T + p n c T + n R T c p c R Q mol p E kin, mol Wärmemenge zur Erwärmung von einem Mol Gas mit i Freiheitsgraden: i isochor: R T isobar: Q Q mol mol c c p T : T : c v c p i R ( i ) + R c v c p i -atomig 3/ R 5/ R 3 Translation -atomig 5/ R 7/ R 3 Translation, Rotation 3-atomig, nicht linear 6/ R 8/ R 3 Translation, 3 Rotation Bei höheren Temperaturen können noch Schwingungen (ibrationen) wichtig werden (Anstieg von c p und c ). EPI WS 006/7 Dünnweber

19 Festkörper (Zimmertemperatur): cp c (olumenausdehnung sehr klein) Beispiel: Blei: Aluminium: c Pb 9 Beispiele: Flüssigkeiten i6 c 3. R 4.9 J/(mol. K) Dulong-Petit Gesetz c Al 896 J kgk J kgk oder 5.6 oder 3.3 J molk J molk, M Pb 0,99 kg/mol, M Al 0,06 kg/mol Alkohol 40 J/(kgK) Benzol 70 " CCl " Wasser 480 " J c P c in Einheiten von kg K ergleich mit Kaloriedefinition: Q ch 0 m T c 0.00 kg K 4.8 J H 0 EPI WS 006/7 Dünnweber

20 Bestimmung der Wärmekapazität eines Körpers mit Mischungskalorimeter Körper gibt Wärme an das Bad und das Gefäß ab: Q K c K. m K. (T K T M ) Badflüssigkeit nimmt auf: Q B c B. mb. (TM T B ) Kalorimetergefäß nimmt auf: Q KA W KA. (T M T B ) W KA : Wasserwert Wärmekapazität des Kalorimeters (berechnet aus einem Mischexperiment mit bekannten Wärmekapazitäten) Q K Q B + Q KA Q K c K. mk. (TK T M ) c B. mb. (TM T B ) + W KA. (TM T B ) c K ( c B m B m + W K ( T K KA )( T T M M ) T B ) EPI WS 006/7 Dünnweber