Biegung. Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur.

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Charlotte Hase
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1 Biegung Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungsentrum in der Helmholt-Gemeinschaft

2 Biegung Biegung Spannungsnachweise Dipl.-Ing. Kai Hainlein

3 Biegung q x Mittelachse ε Stauchung ε + Dehnung Mittelachse krümmt sich und bleibt ungedehnt Der Querschnitt bleibt im verformten Zustand eben Der obere Rand wird um denselben Betrag gestaucht wie der untere Rand gedehnt Dipl.-Ing. Kai Hainlein

4 Biegungspannung L(1-ε) ε d L x d y L(1+ε) ε + = ε Dehnung über die Balkenhöhe + Spannung über die Balkenhöhe b Querschnitt Der Querschnitt ist ein Rechteck Dehnung verhält sich linear über die Höhe des Balkens Spannung ist proportional ur Dehnung (Hooke sches Geset = E ε) lineare Spannungsverteilung über die Höhe des Balkens Dipl.-Ing. Kai Hainlein

5 Biegespannung Resultierende Druckkraft D aus der Spannungsverteilung D= b d = b d d L(1-ε) L D Resultierende Zugkraft Z aus der Spannungsverteilung 1 Z = b d 4 + L(1+ε) Z + Horiontales Gleichgewicht D = Z Spannungsverteilung über die Breite b Dipl.-Ing. Kai Hainlein

6 Biegespannung Resultierendes Moment M L(1-ε) Drehpunkt Angriffspunkt von D Innerer Hebelarm = 2 d = d M = 0 D M= D d= d b d d L L(1+ε) Z D + M 1 6 b d 2 + = M M = = = b d W W Widerstandsmoment [cm³] 1 W = b d Dipl.-Ing. Kai Hainlein

7 Biegespannung Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm y d y b d b Biegung um die y-achse 1 1 Wy = b d = 4 cm 20 cm = 267 cm W = 267 W = 5 W 53 y Biegung um die -Achse 1 1 W = d b = 20 cm 4 cm = 53 cm Dipl.-Ing. Kai Hainlein

8 Biegespannung Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm L = Mmax P 4 4 m = 0,75 kn = 0,75 knm 4 M 0,75 knm y = ± = ± 3 W 267 cm y 75 kncm =± 3 = ± 0,28 kn/cm 267 cm M 0,75 knm = ± = ± 3 W 53 cm 75 kncm =± 3 = ± 1,41 kn/cm 53 cm 2 2 P = 0,75 kn 2,0 m 2,0 m M L/2 = P L/4 B H = Dipl.-Ing. Kai Hainlein

9 Biegespannung Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm -0,28 kn/cm² y -1,41 kn/cm² y x 0,28 kn/cm² x 1,41 kn/cm² Spannungen Biegung um die y-achse Spannungen Biegung um die -Achse Dipl.-Ing. Kai Hainlein

10 Biegespannung Dipl.-Ing. Kai Hainlein

11 Einwirkungen M L/2 = q L 2 /8 q Werkstoffwiderstand Spannung [N/mm²] max. Festigkeit f k L/2 L/2 Bruchfestigkeit f u Lasten Stat. System Lagerung Schnittgrößen N, Q, M, M T Max. Festigkeiten Bruchfestigkeiten ε ε,u Dehnung ε [%] Dipl.-Ing. Kai Hainlein

12 Einwirkungen Ungenauigkeiten in den Lastannahmen Werkstoffwiderstand Abminderung der max. Festigkeit und Bruchfestigkeit Streuung bei den Versuchen Ungenauigkeiten in der Abbildung der statischen Systeme Ausmittigkeiten, Imperfektionen Ausbildung der Lager (frei verschieblich, nachgiebig, starr) Details (gelenkig, biegesteif) E-Moduli,.B. Risse im Beton oder Mauerwerk Abminderung durch Einflüsse wie Häufigkeit Belastungsdauer Belastungsgeschwindigkeit Feuchtigkeit Temperatur, UV-Strahlung Korrosion Alterung, Ermüdung Dipl.-Ing. Kai Hainlein

13 Einwirkungen Berücksichtigung der Ungenauigkeiten in den Lasten durch Sicherheitsfaktoren γ F Eigenlasten von Baustoffen γ F = 1,35 Nutlasten, Schnee, Wind γ F = 1,5 Bei mehr als einer Einwirkung ur Eigenlast sind Lastkombinationen mit Kombinationswerten u berücksichtigen Werkstoffwiderstand Berücksichtigung der Abminderung der Festigkeiten durch Sicherheitsfaktoren γ M Stahl γ M = 1,1 Beton γ M = 1,5 Bewehrungsstahl γ M = 1,15 Hol γ M = 1,3 Unterscheidung wischen ständiger, vorübergehender und außergewöhnlicher Situation Dipl.-Ing. Kai Hainlein

14 Einwirkungen Bemessungswert F d einer Einwirkung mit dem charakteristischer Wert der Einwirkung F k Werkstoffwiderstand Bemessungswert X d einer Baustoffeigenschaft mit dem charakteristischen Wert X k F d = γ F F k X d = η X k /γ M Bemessungswert E d einer Schnittgröße oder Vererrung mit dem Bemessungswerte der Einwirkung E d = E(F d, a d, ) a d Geometrische Größen wie Spannweiten, Querschnittswerte, Bemessungswert R d des Bauteilwiderstandes / Tragwiderstandes R d = R(X d, a d, ) η Abminderungsfaktor für Lastdauer, Maßstabseffekt, Temperatur, Feuchtigkeit usw. Grenustand der Tragfähigkeit E d < R d Dipl.-Ing. Kai Hainlein

15 Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm Bemessungswerte der Einwirkungen Eigenlast g d = 1,35 0,2 m 0,04 m 5 kn/m³ = 0,054 kn/m Nutlast P d = 1,5 0,75 kn = 1,125 kn P = 0,75 kn 2,0 m 2,0 m B H = 0 Maximales Biegemoment, Bemessungswert M E,d = 0,054 kn/m 4² m²/8 + 1,125 kn 4m/4 = 0,108 knm + 1,125 knm = 1,233 knm Dipl.-Ing. Kai Hainlein

16 Bemessungswerte der Bauteilwiderstände Charakteristische Festigkeit Nadelhol C 24 Biegung f m,k = 24 N/mm² Bemessungswert der Bauteilfestigkeit R,d = η f m,k /γ M = k mod f m,k /γ M Nutlast k Mod = 0,8 R,d = 0,8 24 N/mm² /1,3 = 14,77 N/mm² Beiehung wischen Spannung E,d und Biegemoment M E,d Biegemoment M Ed, = = Widerstandsmoment W Ed, Ed, Ed, Rd, Rd, Dipl.-Ing. Kai Hainlein

17 Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm Biegung um die y-achse E,d = M E,d / W y = 1, kncm / 267 cm³ = 0,462 kn/cm² = 4,62 N/mm² d b y Ed, Rd, 1 4,62 0,31 1 Ausnutung 31 % 14,77 = Dipl.-Ing. Kai Hainlein

18 Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm Biegung um die -Achse E,d,g = M E,d / W = 1, kncm / 53 cm³ = 2,33 kn/m² = 23,3 N/mm² b d y Ed, Rd, 1 23,3 14,77 = 1, 58 > 1 Querschnitt nicht tragfähig!!!!!!! Tragfähigkeit um 58 % überschritten Dipl.-Ing. Kai Hainlein

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