Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS

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1 Vorbereitungsmappe Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Liebe Schülerinnen und Schüler, vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS stellt sich vor allem im Fach Mathematik oft die Frage, was als Voraussetzung für einen guten Start in den ersten Schulwochen an Vorkenntnissen mitzubringen ist. Vieles, was Sie in Ihrer Schulzeit bisher gelernt haben, werden Sie auch an unserer Schule wieder benötigen, um die Herausforderungen des Faches zu bewältigen. Da aber der früher einmal beherrschte Stoff ohne ständiges Wiederholen sehr leicht vergessen wird, soll Ihnen diese Vorbereitungsmappe dabei helfen, möglicherweise in Vergessenheit geratene Grundlagen wieder aufzufrischen. Zusätzlich soll diese Mappe auch als Vorbereitung für den in der ersten Schulwoche anstehenden Einstufungstest im Fach Mathematik dienen. Dazu ist diese Vorbereitungsmappe in 7 Themenbereiche eingeteilt, die sich jeweils wie folgt untergliedern: 1. Kurze Zusammenfassung der entsprechenden Inhalte und Regeln; 2. Verdeutlichung durch bereits gelöste Musteraufgaben; 3. Zusätzliche Übungsaufgaben mit Lösungen am Ende eines Themengebietes, um das Wiederholte nochmals selbstständig anwenden zu lernen. Sie sollten sich vor Beginn des Schuljahres zum Durcharbeiten dieser Vorbereitungsmappe ausreichend Zeit nehmen. Dadurch wird Ihnen der Start in das neue Schuljahr sicherlich erleichtert. Sollten die gegebenen Aufgaben nicht zum Wiederholen des Stoffes ausreichen, finden Sie zusätzliche Aufgabenquellen als Links auf unserer Homepage.

2 1. Bruchrechnen 1.1 Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche Definition: Brüche heißen gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Rechenregel: Gleichnamige Brüche werden addiert (bzw. subtrahiert), indem man die Zähler addiert (bzw. subtrahiert) und den Nenner beibehält. Beispiel: = 3+7 = lässt sich auch als oder schreiben (gemischte Zahl). Dies ist mathematisch zwar korrekt und Sie sind es aus der Mittelstufe so gewohnt, führt aber immer wieder zu Missverständnissen und Rechenfehlern. Daher sollten Sie künftig auf die Angabe von gemischten Zahlen verzichten. Kürzen beachten: 5 10 = Übungsaufgaben: 1) = 2) ( ) = 1.2 Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche Rechenregel: Ungleichnamige Brüche müssen zunächst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) gebracht werden. Anschließend addiert bzw. subtrahiert man die Brüche nach den oben stehenden Rechenregeln. Beispiel: = = 1 8 Übungsaufgaben:

3 3) = 4) p 3 p 6 = 1.3 Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl Rechenregel: Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem der Zähler mit der Zahl multipliziert wird. (Der Nenner bleibt unverändert) Beispiel: = = 6 11 Übungsaufgaben: 5) = 6) 1 3 3p = 1.4 Multiplikation von zwei Brüchen Rechenregel: Zwei Brüche werden multipliziert, indem die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert werden. Beispiel: 1 2 = 1 2 = Übungsaufgaben: 7) = 8) = 1.5 Division zweier Brüche Rechenregel: Man dividiert durch einen Bruch, indem mit dessen Kehrbruch multipliziert wird. Beispiel: 3 8 : 1 2 = = 3 4

4 Beachte: Beispiel: Auch die Division durch eine ganze Zahl kann so berechnet werden: 3 4 : 3 = 3 4 : 3 1 = = 1 4 Übungsaufgaben: 9) 7 3 : 2 3 = 10) 4: 3 8 = Vermischte Übungsaufgaben: 11) = 12) 1 3 x 1 6 x = 13) ( ) : 3 = 14) : 3 = 15) : 1 2 = Anmerkung: Die Aufgaben zum Bruchrechnen im Buch sind recht stark mit Binomen bzw. binomischen Formeln vermischt, daher nicht ganz einfach. Versuchen Sie dies aber trotzdem mit Ihren alten Unterlagen oder mit Hilfe des Internets zu lösen. Dabei können Sie sich auf die ersten drei binomischen Formeln beschränken. Lösung zu den Übungsaufgaben: 3 1) = = ) (3 + 7 ) = 3 ( 1)+2 (3+7) = = 4 = ) 4 3 = 16 3 = ) p p = 2p p = 2p p = p ) 7 4 = 7 4 = ) 1 3 3p = 1 3p 3 = p 7) 4 6 = 4 6 =

5 8) = = 1 6 9) 7 3 : 2 3 = = ) 4: 3 8 = = ) = = 12 2 = 6 12) 1 3 x 1 6 x = 2 6 x 1 6 x = x = 1 6 x 13) ( ) : 3 = ( ) : 3 = 13 1 = ) : 3 = : 3 1 = = = = ) : 1 2 = = = = 1 2

6 2. Wurzelrechnung Definition und Beispiele: x 2 = 9 x 1 = + 9 x 1 = + 3 x 2 = 9 x 2 = 3 in Worten: Die Quadratwurzel einer positiven Zahl (z.b. a = 9) bezeichnet diejenige positive Zahl a ( 9 = 3), die mit sich selbst multipliziert a ergibt (3 * 3 = 9). Folgerung: Es kann keine Quadrat Wurzel aus einer negativen Zahl geben!!! Rechenregel: 9 16 = 9 16 = 144 = 12 3 * 4 = 12 allgemein: a b = a b und auch: a b = a b 16 = 4 = 2 oder 16 = = 4 = 2 4 Aufpassen: = = = 25 = 5 7 also: a ± b a ± b Anwendungen: teilweise Radizieren (Wurzelziehen) 24 = 4 6 = 4 6 = = 16 2 = 16 2 = 4 2 Nenner rational machen 1 3 = 3 =

7 Aufgaben zum Wurzelrechnen: 1. Berechnen Sie beide Terme und vergleichen Sie: a) ; b) 4 9 ; 4 9 c) 36 4 ; Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) 64 b) 4 16 c) 10 2,5 3. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) 18 b) 128 c) 125 Lösungen: 1a) = = = 13 1b) 4 9 = 2 3 = 6 = 4 9 = 36 = 6 1c) 36 4 = 6 2 = = 32 = 4 2 2a) 64 = 8 8 = 8 2b) 4 16 = 64 = 8 2c) 10 2,5 = 10 2,5 = 4 = 2 3a) 18 = 2 9 = 2 9 = 3 2 3b) 128 = 4 32 = = = = 8 2 3c) 125 = 5 25 = 5 5

8 3. Zusammenfassen von Termen Terme bestehen aus Zahlen, Variablen oder Rechenausdrücken mit Zahlen und Variablen. Bsp.: 4; x; a; 4x 2 + y; b± 8ab 4ab 2a Unterscheide: 2a = 2 * a = a + a und a 2 = a * a; a 3 = a * a * a 2a, a 2 und a 3 sind verschiedenartige Terme; sie lassen sich nicht zusammenfassen. Es lassen sich nur gleichartige Terme zusammenfassen. 3.1 Addition von gleichartigen Termen Gleichartige Terme werden addiert, indem man deren Koeffizienten addiert. Bsp.: Aber: a) 2a + 4a = (2 + 4) * a = 6a b) 9a 2 2a 2 = (9 2) * a 2 = 7a 2 4a + 6a 2 lässt sich nicht zusammenfassen 3.2 Multiplikation von Termen Terme werden multipliziert, indem man die Koeffizienten der Terme multipliziert und dann die Variablen multipliziert. Bsp.: a) 2 * 5a = 5a + 5a = 10a (2 * 5 = 10) b) 4a * 3a 2 = 3*4 * a*a 2 = 12a 3 (a * a 2 = a 3 ) Vorzeichenregel: 1) + * + = + und - * - = + 2) - * + = - und + * - = - Übungsaufgaben: b a + b a = 2. 5x + 2x² + 3x x² = 3. 3x² 5 2x = 4. 3x² x = 5. (0,3x x x) (x + 4)(x2 3x + 1) 2(x 2 1) = 6. 2 ( 1 a 3b) + 3b[0,25b ( 2a)] = 2 7. (0,5x 1) ( y + 2 x) 1 (x 2)x = 3 3

9 Lösungen: 1. 4a + 4b x + 5x² x³ 4. 15x² + 6x 5. -2x ab + 0,75b ,5xy + y 4. Rechnen mit Klammern 4.1 Ausmultiplizieren und Zusammenfassen Besteht bei einem Produktterm ein Faktor aus einer Summe, so wird jeder Summand mit dem Faktor multipliziert, der bei der Klammer steht: a (b + c) = a b + a c Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so ändern sich die Vorzeichen nicht, d.h. die Glieder der Klammer behalten ihre Vorzeichen. Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so ändern sich die Vorzeichen aller Glieder der Klammer bei ihrem Weglassen. a (b + c) = a b a c Beispiel 1: 3(x + 3y) = 3 x + 3 3y = 3x + 9y Beispiel 2: 3(x + 3y) = 3 x 3 3y = 3x 9y Übungsaufgaben: 1. 3x(x² + 2y) 4y(2x + 3x 2 ) 2. 7x(x + 3y) + 15( 2x + 3y) Sind bei einem Produkt beide Faktoren Summen, so muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden: Beispiel: Übungsaufgaben: (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d (3 + 3x) (4x + 4y) = 3 4x + 3 4y + 3x 4x + 3x 4y = 12x + 12y + 12x xy 3. (4x+2y)(3x-2y) 4. (2x+2y+3)(4-2y+3x)

10 Lösungen: 1. 3x 3 + 6xy 8xy 12x 2 y = 3x 3 2xy 12x 2 y 2. 7x 2 21xy 30x + 45y 3. 12x² 8xy + 6xy 4y 2 = 12x 2 2xy 4y² 4. 8x 4xy + 6x 2 + 8y 4y 2 + 6xy y + 9x = 17x + 2xy + 6x 2 4y 2 + 2y Faktorisieren (Ausklammern) Besitzen die Glieder eines Summenterms einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden: a b + a c = a(b + c) Beispiel 1: tx + ty + tz = t(x + y + z) Beispiel 2: pr pt + qr + qt = p(r t) + q(r + t) Übungsaufgaben: Lösungen: 1. 10x 2 + 5xy 15xz 2. u(z v) + y(z v) 3. 3at-5bt+3as-5bs 1. 5x(2x + y 3z) 2. (z v)(u + y) 3. t(3a 5b) + s(3a 5b) = (t + s)(3a 5b) 5.1 Lineare Gleichungen 5. Gleichungen Mit folgendem Schema kann man lineare Gleichungen lösen: 1. Um die Lösungsmenge einer Gleichung zu bestimmen, formt man die Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung nur Terme mit x stehen. Folgende Äquivalenzumformungen sind erlaubt: - Auf beiden Seiten die gleichen Zahlen oder Terme addieren bzw subtrahieren, - Beide Seiten mit der gleichen Zahl oder dem gleichen Term ungleich 0 multiplizieren, - Beide Seiten durch die gleiche Zahl oder den gleichen Term ungleich 0 dividieren. 2. Alle Terme ohne die Unbekannte x mit Hilfe von Äquivalenzumformungen auf die rechte Seite der Gleichung bringen. 3. Auf der linken Seite die Unbekannte x ausklammern.

11 4. Dann kann man durch den Koeffizienten von x dividieren und muss überprüfen, ob die erhaltene Zahl für x in der Definitionsmenge ist. 5. Lösungsmenge angeben. Beispiel in 5 Lösungsschritten: 1. 2x 5 = 7 4x +4x 2. 6x 5 = x = 12 /: 6 4. x = 2 5. L = {2} Übungsaufgaben: 1. 2x 16 = 13 7x 2. 2x + 1 = 8 + 2x 3. 2(x + 5) 2 = 2x x 4 = 4x x Lösungen: 1. x = Keine Lösung, da 1 = 8 eine falsche Aussage ist. 3. x = R, da 8 = 8 eine immer wahre Aussage darstellt. 4. x = Quadratische Gleichungen Eine allgemeine quadratische Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen immer leicht auf folgende Form gebracht werden: ax² + bx + c = 0, mit a, b, c εr und a 0 Zum Lösen quadratischer Gleichungen werden 3 Werkzeuge verwendet: 1. Ausklammern, falls c = 0 z.b. x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x 1 = 0 und x 2 = 2 2. Radizieren (Wurzel ziehen), falls Gleichung reinquadratisch, also b = 0 Bsp. 1. 5x 2 35 = 0 5x 2 = 35 x 2 = 7 (x² = positiv, zwei Lösungen) x 1 = 7 und x 2 = 7 Bsp. 2 6x 2 = 0 x² = 0 x 1/2 = 0 (x² = 0 eine doppelte Lösung) Bsp. 3 7x² + 14 = 0

12 7x² = 14 x² = 2 L = { } (x² = negativ keine Lösung) 3. Quadratische Lösungsformel, falls b 0 und c 0 x 1/2 = b ± b² 4ac 2a Der Term unter der Wurzel, b² 4ac, heißt Diskriminante und ist dafür verantwortlich ob die quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzt. Bsp. 1 3x 2 + x + 6 = 0 x 1/2 = 1 ± (1) D = 71 < 0, d. h. es gibt keine Lösung L = { } Bsp. 2 2x x + 50 = 0 x 1/2 = 20± (20) ± 0 x 1/2 = = 5 4 D = 0, d. h. es gibt eine doppelte Lösung Bsp. 3 4x x 4 = 0 x 1/2 = 14 ± (14)2 4 4 ( 4) 2 4 x 1/2 = 14± 260 (D > 0, d. h. es gibt zwei Lösungen) 8 x 1 = x 2 = = = 0, ,53 Übungsaufgaben: 1. 2x² 16 = 13 7x 2. 3x² 4 3 = 0 3. x 2 + 2x = x² = 76x Lösungen: 1. x 1 = x 1 = L = { } 4. x 1/2 = 19 x 2 = 2 3 2,44 x 2 = ,94

13 6. Lineare Funktionen 6.1 Zeichnen von Graphen linearer Funktionen Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden f lautet: f: y = mx + t mit m; t IR Dabei ist m die Steigung der Geraden f und t der y-achsenabschnitt. Um Graphen von linearen Funktionen zu zeichnen geht man wie folgt vor: 1. Einzeichnen des Schnittpunktes der Geraden mit der y-achse (bereits bekannt durch den y- Achsenabschnitt t!) 2. Ausgehend von diesem Punkt zeichnen Sie die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks ein. Am einfachsten ist dieses Steigungsdreieck zu zeichnen, indem m als Bruch dargestellt wird. Der Nenner entspricht der Strecke in x-richtung, der Zähler der Strecke in y- Richtung. Beispiel: Zeichnen Sie die Geraden g und h mit den Gleichungen g: y = 1 2 x 1 und Lösung: h: y = x + 3 in ein kartesisches Koordinatensystem ein

14 6.2 Aufstellen von Geradengleichungen Eine Gerade ist durch die Angabe - von zwei verschiedenen Punkten P (x 1 I y 1 ) und Q (x 2 I y 2 ) oder - durch einen Punkt und die Steigung der Geraden eindeutig festgelegt. Sind zwei verschiedene Punkte einer Geraden bekannt, lässt sich 1. die Steigung m berechnen. Es gilt: m = y 2 y 1 x 2 x 1 2. Anschließend berechnet man den y-achsenabschnitt t unter Zuhilfenahme der allgemeinen Funktionsgleichung y = mx + t. Die berechnete Steigung m sowie die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden werden in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt und anschließend nach t aufgelöst. Beispiel: Eine Gerade g verläuft durch die Punkte P ( 3 I 5) und Q (1 I 4). Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g. Lösung: 1. Berechnung der Steigung m: m = 4 5 = 1 = 1 1 ( 3) alternativ: m = 5 4 ( 3) 1 = 1 4 Merke: Es ist gleichgültig, welchen der Punkte man als ersten bzw. als zweiten Punkt einsetzt. 2. Berechnung des y-achsenabschnitts: Die berechnete Steigung m sowie einen beliebigen Punkt (hier: Q) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + t einsetzen: 4 = t 4 = t t = 4,25 g: y = 1 4 x + 4,25

15 6.3 Zeichnerische Bestimmung von Geradengleichungen Zum Ablesen einer Geradengleichung aus einem Schaubild liest man zunächst den Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse (y-achsenabschnitt) ab. Beim Ablesen der Steigung m der Geraden wählt man das Steigungsdreieck möglichst so, dass der Seitenunterschied (x 2 x 1 ) und der Höhenunterschied (y 2 y 1 ) ganzzahlig sind. Beispiel: Geben Sie die Gleichung der gezeichneten Geraden g und h an Lösung: Gerade f: Der y-achsenabschnitt der Geraden f ist -1. Das Steigungsdreieck von f ist +2 Längeneinheiten in x-richtung und +3 Längeneinheiten in y-richtung. Dies entspricht einer Steigung von 3 2. f: y = 3 2 x 1 Gerade g: Der y-achsenabschnitt der Geraden g ist -2. Das Steigungsdreieck von f ist +3 Längeneinheiten in x-richtung und -1 Längeneinheiten in y-richtung. Dies entspricht einer Steigung von 1 3. g: y = 1 3 x 2

16 Übungsaufgaben 1. Zeichnen von Geraden: Gegeben sind folgende Geradengleichungen. Zeichnen Sie die zugehörigen Geraden in ein kartesisches Koordinatensystem. a) f: y = 1 4 x + 2 b) g: y = 1 2 x 5 2 c) h: y = 2x 4 2. Aufstellen von Geradengleichungen: a) Eine Gerade f verläuft durch die Punkte A(2 1) und B( 3 5). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden f. b) Eine Gerade g verläuft parallel zur Geraden h mit der Gleichung y = 2x 1 und geht durch den Punkt F(2 1). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g. Nur für Techniker: c) Eine Gerade h verläuft senkrecht zur Geraden g mit der Gleichung y = 2x 1 und geht durch den Punkt F(2 1). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h. 3. Zeichnerische Bestimmung von Geradengleichungen: Geben Sie die Gleichungen der gezeichneten Geraden an. a) b)

17 Lösungen Aufgabe 1: Aufgabe 2: a) f: y = 4 5 x 13 5 b) g: y = 2x 3 Merke: Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung! Nur für Techniker: c) h: y = 1 x + 2 Merke: Für die Steigungen zweier senkrecht zueinander stehenden 2 Geraden gilt: m 1 m 2 = 1 Aufgabe 3: Geben Sie die Gleichung der gezeichneten Geraden g und h an. a) y = 1 x + 1 b) y = 3x + 2 2

18 7. Quadratische Funktionen 7.1 Zeichnen von Graphen quadratischer Funktionen Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet: f(x) = ax² + bx + c mit a, b, c IR Dabei ist a der Formparameter der Parabel f. a gibt an, wohin die Parabel f geöffnet ist und um welche Art der Parabel es sich handelt: a > 0 : Parabel ist nach oben geöffnet a < 0 : Parabel ist nach unten geöffnet IaI = 1 : Normalparabel IaI > 1 : Parabel ist verschmälert IaI < 1 : Parabel ist verbreitert Es gibt zwei weitere Darstellungsformen der quadratischen Funktionsgleichung: Scheitelform: f(x) = a (x x s )² + y s Linearfaktorform: f(x) = a (x x 1 ) (x x 2 ) Um die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen zu können, muss die allgemeine Form mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform überführt werden. Beispiel 1: Bestimmen Sie mithilfe der quadratischen Ergänzung die Scheitelform folgender Funktionsgleichung. f(x) = x² + 4x + 1 Lösung 1: f(x) = x² + 4x f(x) = (x + 2) 2 3 S ( 2 I 3)

19 Da der Koeffizient von x² (also der Formparameter a) 1 ist, handelt es sich hier um eine nach oben geöffnete Normalparameter. Beispiel 2: Bestimmen Sie mithilfe der quadratischen Ergänzung die Scheitelform folgender Funktionsgleichung. f(x) = 2x² + 2x + 4 Lösung 2: Hier ist der Formparameter a = 2, daher muss vor der quadratischen Ergänzung zuerst 2 ausgeklammert werden. f(x) = 2(x² x 2) f(x) = 2(x² x + 0,5² 0,5² 2) f(x) = 2[(x 0,5)² 2,25] f(x) = 2(x 0,5)² + 4,5 S (0,5 I 4,5) Da der Formparameter a eine negative Zahl ist und IaI > 1, ist die Parabel nach unten geöffnet und verschmälert. Wertetabelle: x ,5 1 2 f(x) 0 4 4,5 4 0

20 7.2 Berechnung der Nullstellen Nullstellen sind die Schnittpunkte der Graphen mit der x-achse. Zunächst muss f(x) = 0 gesetzt werden, um damit die x-werte zu berechnen. Eine Nullstelle hat die Koordinate N (x I 0). Ist die Parabelgleichung in allgemeiner Form, f(x) = ax² + bx + c, gegeben bzw. die gegebene Gleichung in diese Form umgestellt worden, kann die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstellen verwendet werden: x 1,2 = b ± b² 4ac 2a Die Diskriminante D = b² 4ac entscheidet mit ihrem Vorzeichen über die Existenz und Anzahl von Nullstellen: D > 0 : Zwei Nullstellen D = 0 : Eine Nullstelle D < 0 : Keine Nullstelle (x 1 = b+ b² 4ac 2a (x 1,2 = b ) 2a ; x 2 = b b² 4ac ) 2a Beispiel 1: Gegeben ist die Parabel f durch f(x) = 1 x² + x 4. Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel f. 2 Lösung 1: Zunächst wird f(x) = 0 gesetzt. Anschließend erfolgt die Berechnung der Nullstellen über die Mitternachtsformel : 1 ± 1² ( 4) x 1,2 = x 1,2 = 1 ± 3 1 x 1 = 2 x 2 = 4 N 1 (2 I 0) ; N 2 ( 4 I 0) Sind die Nullstellen einer Funktion bekannt, kann der Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegt werden (Linearfaktorform: f(x) = a (x x 1 ) (x x 2 )). Die Linearfaktorform ist in diesem Fall: f(x) = 1 2 (x 2)(x+4)

21 Beispiel 2: Gegeben ist die Parabel f durch f(x) = 1 x² + 2x 5. Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel f. 4 Lösung 2: f(x) = 0 ; Berechnung der Nullstellen über die Mitternachtsformel : 2 ± 2² 4 ( 1 4 ) ( 5) x 1,2 = 2 ( 1 4 ) 2 ± 1 x 1,2 = 1 2 keine Nullstellen, wegen D < 0. Besitzt der Graph einer quadratischen Funktion keine Nullstellen, so kann der Funktionsterm auch nicht in Linearfaktoren zerlegt werden. 7.3 Aufstellen von Parabelgleichungen Eine Parabel ist durch die Angabe des Scheitelpunktes und eines weiteren Punktes eindeutig festgelegt. Beispiel 1: Gesucht ist eine Funktionsgleichung der Parabel, die den Scheitelpunkt bei S (1 I 4) besitzt und durch den Punkt P (3 I 0) verläuft. Lösung 1: Schrittweise Lösung: 1. Ansatz: Scheitelform: y = a (x x s )² + y s 2. Einsetzen der Scheitelkoordinaten: y = a (x 1)² Punktprobe für P: 0 = a (3 1)² + 4 4a = 4 a = 1 4. Ergebnis: Scheitelform: y = (x 1)² + 4 Normalform: y = x² + 2x + 3

22 Übungsaufgaben 1. Zeichnen der Graphen quadratischer Funktionen: Gegeben sind folgende quadratische Funktionen. Zeichnen Sie die zugehörigen Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem. a) f(x) = x²+x 3 b) g(x) = - 1 x² + 2x - 1 c) h(x) = 2x² 8x Berechnung der Nullstellen und Scheitelkoordinaten Bestimmen Sie wenn möglich die Nullstellen und die Scheitelkoordinaten: a) f(x) = x² 5x 4 b) g(x) = 1 4 x² + x 3 c) h(x) = 1 2 x² x Aufstellen von Parabelgleichungen a) Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung der Parabel, die den Scheitel bei S (3 I 2,5) besitzt und durch den Punkt P (6 I 2) verläuft. b) Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung der Parabel, die den Scheitel bei S ( 0,5 I 1,5) besitzt und durch den Punkt P (0 I 1) verläuft.

23 Lösungen Aufgabe 1: Aufgabe 2: a) Nullstellen: N 1 ( 1 I 0), N 2 ( 4 I 0) S ( 2,5 I 2,25) b) keine Nullstellen, da D<0, S (2 I 2) c) Nullstellen: N 1 (1+ 8 I 0), N 2 (1 8 I 0) S (1 I 4) Aufgabe 3: a) y = 1 x² 3x b) y = 2x² 2x + 1