Doppelintegrale. rd dr. Folie 1

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1 Doppelintegrale G fda f, dd R R G 1 f ( rcos, rsin) rd dr Folie 1

2 Doppelintegrale einführendes Beispiel Als Vorwissen sollten Sie die Grundlagen ur Integration mitbringen (s..b. L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1). Um die Grundidee hinter Doppelintegralen u verstehen, betrachten wir als einführendes Beispiel die Volumenberechnung wischen einer in der --Ebene liegenden Grundfläche und einer darüber liegenden Fläche, gegeben durch eine Funktion (,). (,) Grundfläche Doppelintegrale haben sehr viele verschiedene Anwendungen und können auf keinen Fall auf Volumenberechnungen reduiert werden. Wir betrachten diese hier nur wegen der guten Anschaulichkeit. Folie

3 Doppelintegrale einführendes Beispiel Das Gesamtvolumen V kann durch Aufsummieren von Teilvolumina V bestimmt werden: Die Teilvolumina werden näherungsweise mit einem mittleren Funktionswert (Höhe) bestimmt: (,) (, ) k i j A V n k1 k k k... k1 V V A V A k n V lim A da n k 1 A0 k k (Grundfläche Höhe) Der Übergang um Integral geschieht durch die Bestimmung des Grenwertes einer 'unendlich feinen' Summe: In dieser abstrakten Schreibweise ist der Unterschied um einfachen Integral kaum u erkennen. Etwas konkreter wird es auf der folgenden Seite. G Folie 3

4 Doppelintegrale einführendes Beispiel Anstelle der einfachen Summe über k, bei der jede Position durch einen Inde gekenneichnet ist, können anschaulicher wei Indies (i, j) ur 'Adressierung' verwendet werden. Entsprechend muss über beide Indies summiert werden. (, ) V (, ) A k i j n i n i n n j j i (, ) i j j (,) (, ) k i j A Übergang um Doppelintegral: n n i j V lim (, ) V ni, nj i 1 j 1, 0 G (, ) dd i j Folie 4

5 Doppelintegrale Die jeweiligen Integrationsgrenen sind durch die Geometrie des Integrationsbereichs festgelegt. und d... wirken jeweils wie eine Klammer. Man muss darauf achten, dass die, für die entsprechende Variable utreffenden Integrationsgrenen, jeweils an das richtige Integral geschrieben werden. Für die im Eingangsbeispiel verwendet Reihenfolge gilt: G (, ) da (, ) dd (, ) d d, d.h. die Integrationsgrenen für gehören um inneren Integral, die -Grenen um Äußeren. Die Integration erfolgt von,von innen nach außen. Für die hier festgelegte Reihenfolge wird also uerst über integriert, wird hierbei (genau wie bei partiellen Ableitungen) wie eine Zahl behandelt. Anschließend führt man die Integration über durch. Dies geschieht genau wie bei herkömmlichen Einfachintegralen. G o u o u Folie 5

6 Doppelintegrale Rechenbeispiel mit rechteckigem Integrationsgebiet Beispiel: Integriert werden soll die Funktion (,)=3 (s. Abb. rechts) Das Integrationsgebiet entspricht dem geeigten Bereich in der --Ebene. Um die Integrationsgrenen u identifiieren, betrachtet man die Projektion auf die --Ebene: o Für die -Integrationsgrenen gilt also: 0 4 u u o Für die -Integrationsgrenen gilt: 1 5 Folie 6

7 Doppelintegrale Rechenbeispiel mit rechteckigem Integrationsgebiet Beispiel: (,)= (, ) da (, ) dd 3 d d G G 1 0 Man integriert von innen nach außen, d.h. unächst löst man das -Integral, wird dabei wie eine Zahl behandelt: d 3 d 3 ( 4 0) Jett das äußere Integral: d ( 5 1) Endergebnis: 5 4 (, ) da (, ) dd 3 d d 99 G G 1 0 Folie 7

8 Doppelintegrale Rechteckiges Integrationsgebiet Zusammenfassung Rechteckige Integrationsgebiete sind definiert durch: da (, ) dd (, ) dd (, ) G G o u Bei der Berechnung ist u beachten: Es wird wei mal nacheinander integriert Von innen nach außen Inneres Integral: alles was nicht heißt ist (wie) eine Zahl Äußeres Integral: gan normal. Alle sind ausintegriert. o u -Bereich: u o -Bereich: u o Übung: Integrieren Sie die Funktion (,)= über das Gebiet: Zur Kontrolle das Ergebnis: 564 Folie 8

9 Doppelintegrale beliebige Integrationsgebiete Das für rechteckige Integrationsgebiete geeigte Vorgehen lässt sich unmittelbar auf allgemeinere Integrationsgebiete, mit eingrenenden Funktionen, übertragen. Betrachten wir das Volumen, welches durch die abgebildetes Deckelfläche (Funktion (,)) und die geeigte Grundfläche (Integrationsgebiet) definiert ist. Deckel: (,) Die Integrationsgrenen sind wieder am besten mit Hilfe der Projektion u bestimmen: Die -Grenen sind jett durch wei Funktionen definiert: f u () f o (). Bgl. der -Grenen verfährt man wie uvor: u o. f ( ) V da (, ) dd (, ) dd (, ) G G a f ( ) b o u u f o () f u () o Grundfläc Folie 9

10 Doppelintegrale Rechenbeispiel mit allgemeinem Integrationsgebiet Beispiel: Integriert werden soll wieder die Funktion: (,)=3 (s. Abb. rechts) Das Integrationsgebiet ist jett trapeförmig. Um die Integrationsgrenen u identifiieren, betrachtet man wieder die Projektion: f o () Für die -Integrationsgrenen gilt: f o ()=, f u ()=0 also 0 u f u () o Für die -Integrationsgrenen gilt: 1 5 Folie 10

11 Doppelintegrale Rechenbeispiel mit allgemeinem Integrationsgebiet Beispiel: (,)= 3 5 (, ) da (, ) dd 3 d d G G 1 0 Zunächst das -Integral, (im Integranden und als Integrationsgrene) wird hierbei wieder wie eine Zahl behandelt: d 3 d 3 ( 0) Jett das äußere Integral: d ( 5 1) 937. Folie 11

12 Doppelintegrale Rechenbeispiel mit allgemeinem Integrationsgebiet Übung: Integrieren Sie die Funktion (,)= über das Gebiet: Zur Kontrolle das Ergebnis: Folie 1

13 Doppelintegrale vereinfachte Berechnung Unter folgenden Voraussetungen lässt sich die Berechnung von Doppelintegralen vereinfachen: 1. Die Integrationsgrenen für beide Veränderliche sind konstant. Der Integrand lässt sich in ein Produkt erlegen, wobei der eine Faktor nur von, der andere nur von abhängt, also (,) = u() v() Dann (und nur dann!) gilt: o o o o g( ) h( ) d d u( ) d v( ) d u u u u Unter den Voraussetungen 1. &. lässt sich also ein Doppelintegral als Produkt weier Einfachintegrale schreiben. Folie 13

14 Doppelintegrale vereinfachte Berechnung Beispiel Die Funktion, e soll über das Gebiet integriert werden: G, da e dd G Vor. 1. &. erfüllt e e d d e d e d Substitution: u e e 15. e 1 e e Folie 14

15 Doppelintegrale Polarkoordinaten Das bisher besprochene Vorgehen ist prinipiell für sehr allgemeine Integrationsgebiete anwendbar. Je nach Art der berandenden Funktionen, können die auftretenden Integrale aber schnell kompliiert werden. Bei runden Integrationsgebieten oder solchen, die aus Kreissegmenten aufgebaut sind, bieten sich oft Polarkoordinaten an. Bei Polarkoordinaten werden die kartesischen Koordinaten und eines Punktes durch den entsprechenden Radius (Abstand wischen Punkt und Ursprung) und einen Winkel beschrieben: = r cos() = r sin() Folie 15

16 Doppelintegrale Polarkoordinaten Bei der Integration müssen: 1. die Integrationsgrenen,. der Integrand und 3. die Differentiale da=dd in Polarkoordinaten ausgedrückt werden (vergl. 'Übersetungsvorschrift' nächste Seite). Zur Beschreibung des Flächenelements: in kartesischen Koordinaten: da d d dr in Polarkoordinaten: da rd dr r+dr P d d d d r P r Die Größe der blauen Fläche (= da) ergibt sich (näherungsweise) u rd dr. Im Doppelintegral taucht also ein usätlicher Faktor r auf. Folie 16

17 Doppelintegrale Übersetungsvorschriften in kartesischen Koordinaten: G (, ) da f ( ) o o f ( ) u u (, ) dd in Polarkoordinaten: G (, ) da rcos rsin r r r 1 1 ( rcos rsin ) r d dr, Folie 17

18 Doppelintegrale Polarkoordinaten Integrationsgrenen Bestimmung der Radien: innerer Radius = untere Integrationsgrene äußerer Radius = obere Integrationsgrene Zur Bestimmung der eingrenenden Winkel: Die Fläche wird gegen den Uhreigersinn überstrichen. Zuerst Winkel dann = untere Integrationsgrene = obere Integrationsgrene r r Es muss gelten < r r 1 1 ( rcos rsin ), r d dr Beispiel: für das eingefärbte Integrationsgebiet gilt 3 1 / 4 ( rcos rsin ), r d dr Folie 18

19 Doppelintegrale Polarkoordinaten Beispiel Beispiel: Gesucht ist das Flächenträgheitsmoment I der abgebildeten Fläche. (Allgemein werden Flächenträgheitsmomente mit Hilfe von Doppelintegralen berechnet, wobei das Integrationsgebiet durch den entsprechenden (Balken-) Querschnitt definiert ist.) Es gilt: I G da Integration in Polarkoordinaten: 1) ) I da r sin ddr r dr sin d r dr 1 cos( ) d G 0 / 5 0 / 5 0 / / r sin( ) 4 sin 4 sin ) Da die Voraussetungen erfüllt sind, kann das Doppelintegral als Produkt weier Einfachintegrale geschrieben werden (vergl. Folie 13). ) Es gilt: sin 1 1 cos( ) Folie 19

20 Doppelintegrale Unterteilen von Integrationsgebieten Wie bei einfachen Integralen, können Integrationsgebiete auch bei Doppelintegralen geteilt werden: (, ) da (, ) da (, ) da G G G G 1 1 Man teilt das Integrationsgebiet so auf, dass über jedes Teilgebiet in angepassten Koordinaten integriert werden kann. Beispielsweise bietet sich beim rechts abgebildeten Integrationsgebiet folgende Aufteilung an: (, ) da (, ) da (, ) da r f ( ), (, ) da ( rcos rsin ) rd dr (, ) dd r f ( ) 1 1 u u o o Folie 0

21 Doppelintegrale Unterteilen von Integrationsgebieten Übung: Bestimmen Sie geeignete Unterteilungen und die entsprechenden Integrationsgrenen. Wie lauten die entsprechenden Doppelintegrale? die Integration selbst ist hier nicht gefragt. a) b) da ( ) G da G ur Kontrolle s. nächste Seite. Folie 1

22 Doppelintegrale Unterteilen von Integrationsgebieten Lösung: a) Linke Seite mit Polarkordinaten, b) Hier muss in drei Gebiete aufgeteilt rechts kartesisch: werden: Halbkreis, Dreieck, Viereck (, ) (, ) ( ) da (, ) da (, ) da (, ) G G1 G r cos ( )sin( ) ddr dd da (, ) da (, ) da (, ) da (, ) G G1 G G r sin( ) ddr ( ) dd ( ) dd 44 Folie

23 Doppelintegrale Doppelintegrale werden eingeführt, weiterhin wird die Bestimmung der Integrationsgrenen und die Integration in kartesischen - und in Polarkoordinaten besprochen. Vorwissen: Grundlagen ur Integration. Um die Grundidee hinter Doppelintegralen u verstehen, betrachten wir als einführendes Beispiel die Volumenberechnung wischen einer in der --Ebene liegenden Grundfläche und einer darüber liegenden Fläche, gegeben durch eine Funktion (,). Folie 3

24 Doppelintegrale Folie 4