Ranking by Reordering Tobias Joppen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ranking by Reordering Tobias Joppen"

Transkript

1 Ranking by Reordering Tobias Joppen Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 1

2 Überblick Einleitung Rank-differential Methode Idee Problemdefinition Beispiel Vereinfachung des Problems Zusammenfassung und Eigenschaften Rating-differential Methode Unterschiede der Methoden Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 2

3 Einleitung Was hatten die bisherigen Ranking Methoden gemeinsam? 1) Daten Sammeln Data Team 1 Team 2 Team n Team Team Team n Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 3

4 Einleitung Was hatten die bisherigen Ranking Methoden gemeinsam? 1) Daten Sammeln 2) Methode anwenden z.b. Massey: Mr = p Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 4

5 Einleitung Was hatten die bisherigen Ranking Methoden gemeinsam? 1) Daten Sammeln 2) Methode anwenden 3) Ratingvektor berechnen -1,4 4,3 0,5 1,2-3,1 5,3 7, Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 5

6 Einleitung Was hatten die bisherigen Ranking Methoden gemeinsam? 1) Daten Sammeln 2) Methode anwenden 3) Ratingvektor berechnen 4) Rankingvektor bestimmen Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 6

7 Einleitung Was hatten die bisherigen Ranking Methoden gemeinsam? 1) Daten Sammeln 2) Methode anwenden 3) Ratingvektor berechnen 4) Rankingvektor bestimmen Ist das alles notwendig um ein Ranking bestimmen zu können? Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 7

8 Einleitung Was hatten die bisherigen Ranking Methoden gemeinsam? 1) Daten Sammeln 2) Methode anwenden 3) Ratingvektor berechnen 4) Rankingvektor bestimmen Ist das alles notwendig um ein Ranking bestimmen zu können? -Nein Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 8

9 Rank-differential Methode Wenn Aufgabe: Jedes Team hat eine Platzierung Dann Berechnen des Ratingvektors kann vermieden werden! Weil Aus Spieldaten können direkt Platzierungen erzeugt werden Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 9

10 Idee Ziel: Rankingvektor r bestimmen z.b.: Duke Miami UNC UVA VT Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 10

11 Idee Ziel: Rankingvektor r bestimmen z.b.: Duke Miami UNC UVA VT Lässt sich auch umformen in eine Matrix (Paarweiser Unterschied im positiven) R = Duke Miami UNC UVA VT Duke Miami UNC UVA VT Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 11

12 Idee Jeder Rankingvektor der Länge n erzeugt eine n x n Rangunterschiedsmatrix R, welche eine symmetrische Umsortierung der folgenden fundamentalen Rangunterschiedsmatrix R ist. 1 2 n 1 n n n n R = r = 1 st 2 nd 3 rd n th n Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 12

13 Idee Kurz gesagt: Ranking-Vektor r erzeugt Rangunterschiedsmatrix R Es gilt R = Q T R Q mit Q als Permutationsmatrix Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 13

14 Idee Einmal weiterdenken R ist eine Team-gegen-Team Matrix Schon einige gesehen im Seminar Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 14

15 Idee Einmal weiterdenken R ist eine Team-gegen-Team Matrix Schon einige gesehen im Seminar R hat große (inhaltliche) Parallelität mit der Markovvoting-matrix V pointdiff aus der vorletzten Vorlesung Zur Erinnerung: Hier wurden aufaddierte Punktunterschiede gespeichert. Ein Eintrag > 0 bedeutet, dass dieses Team dem Gegnerteam um diesen Wert unterlegen ist Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 15

16 Idee Einmal weiterdenken R ist eine Team-gegen-Team Matrix Schon einige gesehen im Seminar R hat große (inhaltliche) Parallelität mit der Markovvoting-matrix V pointdiff aus der vorletzten Vorlesung Zur Erinnerung: Hier wurden aufaddierte Punktunterschiede gespeichert. Ein Eintrag > 0 bedeutet, dass dieses Team dem Gegnerteam um diesen Wert unterlegen ist. Diese Werte sind anders herum, daher: Transponieren! Ab sofort Datenunterschiedsmatrix: D = V pointdiff T Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 16

17 Idee Wie kommen wir zur Lösung? Gegeben: D und R D Erzeugt durch Spielergebnisse Gesucht: Eine Umsortierung von D zu R Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 17

18 Idee Wie kommen wir zur Lösung? Gegeben: D und R D Erzeugt durch Spielergebnisse Gesucht: Eine Umsortierung von D zu R Das ist natürlich nur selten möglich. Daher: 1) D und R normalisieren 2) keine 100% Umsortierung suchen, sondern "nearest matrix problem" lösen. Also eine Umsortierung mit dem kleinsten Fehler Q T D Q R finden Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 18

19 Problemdefinition Mathematische Formulierung des Problems: Finde sodass: min Q Q T DQ R Qe = e e T Q = e T q ij 0,1 Wegen der Norm ist dieses Problem nichtlinear. Wir verwenden als Norm die Frobeniusnorm (2er-Norm euklidische-norm für Matrizen). Dadurch wird das Problem quadratisch nichtlinear Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 19

20 Beispiel Daten sammeln D = V T = Duke Miami UNC UVA VT Duke Miami UNC UVA VT R = Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 20

21 Beispiel Daten normalisieren D = Duke Miami UNC UVA VT Duke Miami UNC UVA VT R = Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 21

22 Beispiel Nearest Matrix Problem lösen n = 5 5! = 120 Anzahl der verschiedenen Permutationen für D Brute Force ergibt Permutation ( ), beziehungsweise: Q = Q T DQ = Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 22

23 Beispiel D = Q T DQ = R = Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 23

24 Vereinfachung des Problems Es gilt dank Frobeniusnorm und der Struktur von R: Q T DQ R F 2 = trace D T D 2 trace Q T DQR + trace R T R Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 24

25 Vereinfachung des Problems Es gilt dank Frobeniusnorm und der Struktur von R: Q T DQ R F 2 = trace D T D 2 trace Q T DQR + trace R T R trace D T D und trace R T R sind konstant! Das Problem kann also umformuliert werden: Finde sodass: max Q trace(q T D Q R) Qe = e e T Q = e T q ij 0, Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 25

26 Evolutionärer Ansatz Das Problem ist NP-schwer. Evolutionäre Algorithmen lösen das Problem aber gut Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 26

27 Evolutionärer Ansatz Es wird keine Permutationsmatrix Q gesucht, sondern ein Permutationsvektor q (äquivalent): Q = q = ( ) Es gilt die Gleichheit: min Q Q T DQ R = min q p n D(q, q) R Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 27

28 Evolutionärer Ansatz Mitglieder der Population = Permutationsvektoren Fitnessfunktion = Fehler der umsortierten Matrix (oder hillside violations) Die fitten Mitglieder werden gekreuzt, der Rest wird mutiert Algorithmus stoppt, wenn die Bevölkerung sich kaum mehr ändert Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 28

29 Zusammenfassung Rank-Differential D R Q q item-by-item Datenmatrix (paarweise Beziehungen) fundamentale Rangunterschiedsmatrix ist die Permutationsmatrix ist der zu Q korrespondierende Permutationsvektor D(q, q) ist die umsortierte Datenunterschiedsmatrix Q T D Q Der Algorithmus 1. Löse das Optimierungsproblem min Q Q T DQ R 2. Sortiere q in absteigender Reihenfolge und speichere die sortierten Indizes als Rankingvektor Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 29

30 Eigenschaften Rank-Differential Kein Ratingvektor Findet die beste Umsortierung von D zu R Das Optimierungsproblem ist NP-Schwer Nur für kleines n geeignet Beliebige Datenmatrizen können verwendet werden Wie bei anderen Methoden auch: D kann aus mehreren Matrizen zusammengesetzt werden Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 30

31 Rating Differential Method Von: Kathryn Pedings M.S. Thesis College of Charleston Für College Basketball Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 31

32 Idee Betrachtet man R, so erkennt man eine Struktur: hillside Form Eine Matrix R ist in hillside Form, wenn i j: r ij = 0 i j k: r ij r ik j i k: r ij r kj (strikte obere Dreiecksmatrix) (Zeilen in aufsteigender Reihenfolge) (Spalten in absteigender Reihenfolge) Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 32

33 Idee Wähle Q so, dass die wenigsten Hillside-Verstöße auftreten Beispiel mit 9 Verstößen (Q T DQ): i j: r ij = 0 i j k: r ij r ik j i k: r ij r kj (strikte obere Dreiecksmatrix) (Zeilen in aufsteigender Reihenfolge) (Spalten in absteigender Reihenfolge) Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 33

34 Unterschiede der Methoden Die Unterschiede wirken sich aus auf: Keine Normalisierung notwendig, da Kein Vergleich zu R, sondern Benotung der Form Wahl von Q anders bestimmt (Fehlerterm vs. Anzahl der Verstöße) Andere Fitnessfunktion des evolutionären Algorithmus Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 34

35 Nachwort zum Lösen des Problems Evolutionäre Algorithmen lösen das Problem Laufzeit aber deutlich höher als z.b. Massey In dieser Variante fast ausschließlich für kleines n effizient Kann aber besser gelöst werden Transformieren in BILP (binary integer linear program) Vereinfachen in LP (linear program) Diese Transformation wird im späteren Verlauf des Buches eingeführt (Kapitel 15, rank-aggregation). Rating-Differential ist ein Spezialfall der Rank-Aggregation Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 35

36 Verwendungsmöglichkeiten Ranking von Spielern / Mannschaften Online Metasuche Spamfilter Suchwebsite-Rankings Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 36

37 Ende Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Noch Fragen? Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 37

Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)

Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2015 Dr. Tobias Lasser Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8 Such-Algorithmen

Mehr

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen.

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen. Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Transponierung. Spezielle Matrizen. Lineare Algebra I Kapitel 4 23. April 2013 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/

Mehr

Kapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24

Kapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)

Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2017 Dr. Stefanie Demirci Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8

Mehr

Numerik für Informatiker und Bioinformatiker. Daniel Weiß

Numerik für Informatiker und Bioinformatiker. Daniel Weiß Numerik für Informatiker und Bioinformatiker Daniel Weiß SS 202 Folgende Literatur bildet die Grundlage dieser Vorlesung: P Deuflhard, A Hohmann, Numerische Mathematik, Eine algorithmisch orientierte Einführung,

Mehr

Matrizen. Lineare Algebra I. Kapitel April 2011

Matrizen. Lineare Algebra I. Kapitel April 2011 Matrizen Lineare Algebra I Kapitel 2 26. April 2011 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/~holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de Assistent: Sadegh

Mehr

Spezielle Matrizen. Invertierbarkeit.

Spezielle Matrizen. Invertierbarkeit. Spezielle Matrizen. Invertierbarkeit. Lineare Algebra I Kapitel 4 2. Mai 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 9 20. Mai 2010 Kapitel 9. Matrizen und Determinanten Der Begriff der Matrix Die transponierte Matrix Definition 84. Unter einer (reellen) m n-matrix

Mehr

bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR A = LR

bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR A = LR LR-Zerlegung bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR Definition 2.17 Unter einer LR-Zerlegung einer Matrix A R n n verstehen wir eine

Mehr

Matrizen: Grundbegriffe. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Matrizen: Grundbegriffe. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Matrizen: Grundbegriffe -E Ma Lubov Vassilevskaya Lineares Gleichungssystem Abb. : Der Schnittpunkt P der beiden Geraden ist die graphische Lösung des linearen Gleichungssystem g : y = x, g 2 : y = 3 x,

Mehr

Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:

Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]

Mehr

Algorithmen und Komplexität

Algorithmen und Komplexität Algorithmen und Komplexität Dynamische Programmierung Markus Ullrich Norbert Baum Fachbereich Informatik - IIb07 Hochschule Zittau/Görlitz 28. Mai 2009 1 / 29 Wie sieht es mit langen Ketten aus? A 1 A

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 11 Rang von Matrizen Definition 111 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 17. Vorlesung Nächstes Paar Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Problem: Gegeben: Menge P von n Punkten in der Ebene, jeder Punkt

Mehr

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

1 Matrizenrechnung zweiter Teil MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Teil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.

Teil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v. Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 2011 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr 14-16 und nv holtz@mathtu-berlinde Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do 12-14 und nv jokar@mathtu-berlinde Kapitel

Mehr

Diplom VP Informatik / Numerik 2. September 2002

Diplom VP Informatik / Numerik 2. September 2002 Diplom VP Informatik / Numerik. September 00 Aufgabe Gegeben sei das lineare Gleichungssystem A x = b mit 0 4 0 0 0 0 A = 4 0 0 0 0 0 0 0 0 und b = 4 4 8 5. Punkte a Berechnen Sie die Cholesky Zerlegung

Mehr

Algorithmen für die Speicherhierarchie

Algorithmen für die Speicherhierarchie Lineare Algebra: untere Schranken Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen Fakultät für Informatik Technische Universität München Vorlesung Sommersemester 2009 Gliederung 1 2 Zusätzliche Überlegungen Erinnerung

Mehr

Lösung Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung

Lösung Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 06 Dr. Meike Akveld Lösung Serie : Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung. Um zu zeigen, dass es sich bei den gegebenen Vektoren um Basen handelt,

Mehr

Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme

Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205 HM: Numerik (SS 205), Kapitel

Mehr

Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.

Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........

Mehr

4. Großübung. Lösung linearer Gleichungssysteme

4. Großübung. Lösung linearer Gleichungssysteme 4. Großübung Lösung linearer Gleichungssysteme Gesucht x, x, x 3, x 4 R, sodass gilt. mit A R 4 4, x R 4, b R 4 x x + 3x 3 + x 4 = 5 6x 3x 7x x 4 = 5 4x + 4x + 5x 3 5x 4 = 3 8x + x + x 3 + x 4 = 8 3 x

Mehr

Invertierbarkeit von Matrizen

Invertierbarkeit von Matrizen Invertierbarkeit von Matrizen Lineare Algebra I Kapitel 4 24. April 2013 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden

Mehr

Klausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), Samstag, 19. August 2017

Klausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), Samstag, 19. August 2017 Verständnisfragen-Teil (5 Punkte) Jeder der 5 Verständnisfragenblöcke besteht aus 5 Verständnisfragen. Werden alle 5 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block

Mehr

10. Übung zur Linearen Algebra I -

10. Übung zur Linearen Algebra I - . Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@FU-Berlin.de FU Berlin. WS 29-. Aufgabe 37 i Für welche α R besitzt das lineare Gleichungssystem 4 αx + αx 2 = 4x + α + 2x 2 = α genau eine,

Mehr

LR Zerlegung. Michael Sagraloff

LR Zerlegung. Michael Sagraloff LR Zerlegung Michael Sagraloff Beispiel eines linearen Gleichungssystems in der Ökonomie (Input-Output Analyse Wir nehmen an, dass es 3 Güter G, G, und G 3 gibt Dann entspricht der Eintrag a i,j der sogenannten

Mehr

8.2 Invertierbare Matrizen

8.2 Invertierbare Matrizen 38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Reduced-Rank Least Squares Modelle

Reduced-Rank Least Squares Modelle 16.12.2008 Wiederholung Gegeben: Matrix A m n Paar Rechter Eigenvektor x, Eigenwert λ: A x = λ x mit x R n \ 0, λ N Paar Linker Eigenvektor y, Eigenwert λ: y T A = λ y T Singulärwertzerlegung (SVD): A

Mehr

9. Vorlesung Lineare Algebra, SVD und LSI

9. Vorlesung Lineare Algebra, SVD und LSI 9. Vorlesung Lineare Algebra, SVD und LSI Grundlagen lineare Algebra Vektornorm, Matrixnorm Eigenvektoren und Werte Lineare Unabhängigkeit, Orthogonale Matrizen SVD, Singulärwerte und Matrixzerlegung LSI:Latent

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

Lineare Gleichungssystem

Lineare Gleichungssystem Lineare Gleichungssystem 8. Juli 07 Inhaltsverzeichnis Einleitung Der Gauß-Algorithmus 4 3 Lösbarkeit von Gleichungssystemen 6 Einleitung Wir haben uns bisher hauptsächlich mit dem Finden von Nullstellen

Mehr

Lineare Algebra I 3. Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen

Lineare Algebra I 3. Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen Lineare Algebra I Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen Fachbereich Mathematik WS / Prof Dr Kollross November Dr Le Roux Dipl-Math Susanne Kürsten Aufgaben Aufgabe G (Die zweite Variante des Gauß-Algorithmus)

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 +

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Prof. Dr. Henning Meyerhenke

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Prof. Dr. Henning Meyerhenke Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische

Mehr

Numerisches Programmieren, Übungen

Numerisches Programmieren, Übungen Technische Universität München SoSe 8 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Michael Rippl Fabio Gratl Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt: Gaußelimination mit Pivotsuche,

Mehr

Numerische Lineare Algebra Spezielle Systeme

Numerische Lineare Algebra Spezielle Systeme Numerische Lineare Algebra Spezielle Systeme Friedrich Solowjow 2. Mai 2012, Bonn 1 / 34 1 Einleitung Übersicht Definitionen 2 3 Datenzugriff Speichertechniken 2 / 34 Übersicht Definitionen Gliederung

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie 6

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie 6 R. Hiptmair S. Pintarelli E. Spindler Herbstsemester 2014 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG Serie 6 ETH Zürich D-MATH Einleitung. Diese Serie behandelt nochmals das Rechnen mit Vektoren

Mehr

Der LLL - Algorithmus. Seminar ganzzahlige Optimierung Wintersemester 2006/2007

Der LLL - Algorithmus. Seminar ganzzahlige Optimierung Wintersemester 2006/2007 Der LLL - Algorithmus Seminar ganzzahlige Optimierung Wintersemester 2006/2007 Autor: Konrad Schade Betreuer: Prof. Dr. J. Rambau 1 Einführung 1.1 Motivation In dieser Arbeit soll die Verwendung des LLL-Algotithmuses

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen

Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 14 Rang von Matrizen Definition 141 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von den Spalten

Mehr

T := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass

T := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass I. a) Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e G. Zeigen Sie, dass U := {g G g 3 = e G } eine Untergruppe von G ist. b) In der symmetrischen Gruppe S 4 definieren wir analog zu a) die

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 02.07.2015 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP

Mehr

Universität Trier. Fachbereich IV. Wintersemester 2004/2005. Wavelets made easy. Kapitel 2 Mehrdimensionale Wavelets und Anwendungen

Universität Trier. Fachbereich IV. Wintersemester 2004/2005. Wavelets made easy. Kapitel 2 Mehrdimensionale Wavelets und Anwendungen Universität Trier Fachbereich IV Wintersemester 2004/2005 Wavelets made easy Kapitel 2 Mehrdimensionale Wavelets und Anwendungen Thomas Queckbörner 16.11.2004 Übersicht des Kapitels: 1. Einführung 2. Zweidimensionale

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP

Mehr

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? 1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Tutorium 24-6. Sitzung Marcus Georgi tutorium@marcusgeorgi.de 04.12.2009 1 Repräsentation von Graphen im Rechner Adjazenzlisten Adjazenzmatrizen Wegematrizen 2 Erreichbarkeitsrelationen

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf

4. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Fachbereich Mathematik Prof Dr Streicher Dr Sergiy Nesenenko Pavol Safarik SS 010 11 15 Mai 4 Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Gruppenübung Aufgabe G13 (Basistransformation) ( ) 15 05 Die lineare

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 5 Lineare Algebra

Mehr

Aufwand und Komplexität Vorlesung vom Komplexität und Effizienz

Aufwand und Komplexität Vorlesung vom Komplexität und Effizienz Aufwand und Komplexität Vorlesung vom 15.12.17 Komplexität und Effizienz Aufwand: Anzahl dominanter Operationen (worst-case). Beispiel. Landau-Symbol O(n). Beispiel. Definition: Aufwand eines Algorithmus.

Mehr

2 Lineare Gleichungssysteme

2 Lineare Gleichungssysteme Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 4): Kapitel Version: 9 Mai 4 Lineare Gleichungssysteme Gegeben: A R n n mit det(a) b R n Gesucht: x R n mit Ax = b Zeilenäquilibrierung Möchten zunächst die Kondition des

Mehr

1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6

1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................

Mehr

Optimierung. Vorlesung 08

Optimierung. Vorlesung 08 Optimierung Vorlesung 08 Heute Dualität Ganzzahligkeit Optimierung der Vorlesung durch Evaluierung 2 Das duale LP Das primale LP Maximiere c T x unter Ax b, x R d 0. wird zu dem dualen LP Minimiere b T

Mehr

5.2 Rechnen mit Matrizen

5.2 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 97 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

TU Ilmenau Institut für Mathematik FG Numerische Mathematik und Informationsverarbeitung PD Dr. W. Neundorf Datei: UEBG2.TEX

TU Ilmenau Institut für Mathematik FG Numerische Mathematik und Informationsverarbeitung PD Dr. W. Neundorf Datei: UEBG2.TEX TU Ilmenau Institut für Mathematik FG Numerische Mathematik und Informationsverarbeitung PD Dr. W. Neundorf Datei: UEBG2.TEX Übungsaufgaben zum Lehrgebiet Numerische Mathematik - Serie 2 Beweise Sie folgende

Mehr

Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 ( )

Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 ( ) Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 2016/17 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 (29032017) 1 Lineare Gleichungssysteme Oft hat man es in der Physik mit unbekannten Größen zu tun, für

Mehr

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine

Mehr

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir

Mehr

(A T ) T = A. Eigenschaft:

(A T ) T = A. Eigenschaft: Elementare Matrizenrechnung m n-matrix von Zahlen A m n a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n rechteckige Tabelle m n Dimension der Matrix Sprechweise: m Kreuz n wobei m Anzahl Zeilen, n Anzahl Spalten a i,j Element

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein

Mehr

In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.

In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle. Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft:

Mehr

Cramersche Regel. Satz Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei. A j := (a 1,...,a j 1,b,a j+1,...

Cramersche Regel. Satz Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei. A j := (a 1,...,a j 1,b,a j+1,... Cramersche Regel Satz 2.4. Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei A j := (a,...,a j,b,a j+,...,a n ) also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-spalte durch den

Mehr

3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen

3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses

Mehr

19. Dynamic Programming I

19. Dynamic Programming I 495 19. Dynamic Programming I Fibonacci, Längste aufsteigende Teilfolge, längste gemeinsame Teilfolge, Editierdistanz, Matrixkettenmultiplikation, Matrixmultiplikation nach Strassen [Ottman/Widmayer, Kap.

Mehr

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt

Mehr

Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom

Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom 19.1.18 Gaußsche Elimination und Rückwärtssubstitution: Motivation am Beispiel, Verallgemeinerung und Algorithmus. Achtung: Durchführbarkeit nur bei

Mehr

Orthogonale Matrix. Definition 4.19

Orthogonale Matrix. Definition 4.19 Orthogonale Matrix Ausgleichsprobleme sind häufig schlecht konditioniert. Matrix des Normalengleichungssystems kann nahezu singulär sein. Spezielle Matrixzerlegung für höhere numerische Stabilität: QR-Zerlegung

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Arbeitsblatt 16 Die Pausenaufgabe Aufgabe 161 Zeige, dass zu einem K-Vektorraum V mit Dualraum V die Auswertungsabbildung

Mehr

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011)

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) M. Sc. Frank Gimbel Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) 1 Motivation Ziel ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b (1) mit x, b R n und A R n n zu lösen.

Mehr

Matrixzerlegungen. 6. Vorlesung Numerische Methoden I. Clemens Brand. 2. April Nachträge und Wiederholung. Links-Rechts- Zerlegung

Matrixzerlegungen. 6. Vorlesung Numerische Methoden I. Clemens Brand. 2. April Nachträge und Wiederholung. Links-Rechts- Zerlegung Matrixzerlegungen. 6. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand QR- QR- 2. April 2009 Gliederung Elimination faktorisiert A = L R QR- QR- QR- QR- Eine Zusammenfassung der Folien 6 14 der letzten

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 =

Mehr

19. Dynamic Programming I

19. Dynamic Programming I 495 19. Dynamic Programming I Fibonacci, Längste aufsteigende Teilfolge, längste gemeinsame Teilfolge, Editierdistanz, Matrixkettenmultiplikation, Matrixmultiplikation nach Strassen [Ottman/Widmayer, Kap.

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 7 Was die Menschen verbin, ist nicht der Glaube, sondern der Zweifel Peter Ustinow Universelle Eigenschaft der

Mehr

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α Mathematik 1 - Übungsblatt 7 Lösungshinweise Tipp: Verwenden Sie zur Kontrolle Scilab, wo immer es möglich ist. Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind

Mehr

Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n

Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n 1 Lineare Algebra 11 Matrizen Notation: Vektor x R n : x = x 1 x n = (x i ) n i=1, mit den Komponenten x i, i {1,, n} zugehörige Indexmenge:

Mehr

2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen

2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen 2.5. SMITH-NORMALFORM FÜR MATRIZEN ÜBER EUKLIDISCHEN RINGEN73 2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen Bemerkung 2.74. Sei K ein Körper und A K n m, b K n 1. Das lineare Gleichungssystem

Mehr

3 Lineare Algebra Vektorräume

3 Lineare Algebra Vektorräume 3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen Lerneinheit : Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester.. Einleitung Diese Lerneinheit widmet sich einer

Mehr

Kurven. Markus Kraxner 22. Januar 2015

Kurven. Markus Kraxner 22. Januar 2015 Kurven Markus Kraxner 22. Januar 2015 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Einleitung Kurven 4 2.1 Parameterdarstellung von Kurven.................. 4 2.2 Ebene Kurven............................. 4 2.3

Mehr

Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)

Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen

Mehr

3 Lineare Gleichungssysteme

3 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir wissen bereits, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die zugehörige Matrix regulär ist. In diesem Kapitel lernen wir unterschiedliche Verfahren

Mehr

Recommender Systeme mit Collaborative Filtering

Recommender Systeme mit Collaborative Filtering Fakultät für Informatik Technische Universität München Email: rene.romen@tum.de 6. Juni 2017 Recommender Systeme Definition Ziel eines Recommender Systems ist es Benutzern Items vorzuschlagen die diesem

Mehr

Dynamische Programmierung

Dynamische Programmierung Dynamische Programmierung Claudia Gerhold 9.5.6 Claudia Gerhold Dynamische Programmierung 9.5.6 / 4 Agenda Einführung Dynamische Programmierung Top-Down Ansatz mit Memoization Bottom-Up Ansatz 3 Anwendungsbeispiele

Mehr

Lineare Algebra. Wintersemester 2018/19. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen in R: 4 2 = = 18.

Lineare Algebra. Wintersemester 2018/19. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen in R: 4 2 = = 18. Goethe-Universität Frankfurt Institut für Mathematik Lineare Algebra Wintersemester 218/19 Prof Dr Jakob Stix Martin Lüdtke Übungsblatt 11 15 Januar 219 Aufgabe 1 (5=1+1+1,5+1,5 Punkte) Berechnen Sie die

Mehr

Grundlagen der Optimierung. Übung 6

Grundlagen der Optimierung. Übung 6 Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 2. November 24 Prof. Dr. R. Herzog, J. Blechschmidt, A. Schäfer Abgabe am 28. November 24 Grundlagen der Optimierung Übung 6 Aufgabe 2: Verschiedene Verfahren

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 5 Aufgabe 5.1 Kommutierende Matrizen In der Vorlesung und vergangenen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 6. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 25. März 2010 Nachträge Gliederung Nachträge it Nachträge Wichtige Begriffe Eine Zusammenfassung der Folien 8 16 der letzten

Mehr

Numerisches Programmieren, Übungen

Numerisches Programmieren, Übungen Technische Universität München WiSe 7 / 8 Institut für Informatik Univ.-Prof. Dr. Hans-Joachim Bungartz Michael Obersteiner Philipp Samfass Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 8. Übungsblatt:

Mehr

Faktorisierung von Polynomen. zusammen mit Karim Belabas, Mark van Hoeij und Allan Steel.

Faktorisierung von Polynomen. zusammen mit Karim Belabas, Mark van Hoeij und Allan Steel. Faktorisierung von Polynomen Jürgen Klüners klueners@mathematik.uni-kassel.de zusammen mit Karim Belabas, Mark van Hoeij und Allan Steel. Beispiele Faktorisieren von Zahlen: 60 = 2 2 3 5. Faktorisieren

Mehr

Informatik I Übung, Woche 48: Nachbesprechung Aufgabe 10.1: Implementation von wechselgeld.pas

Informatik I Übung, Woche 48: Nachbesprechung Aufgabe 10.1: Implementation von wechselgeld.pas Informatik I Übung, Woche 48: Nachbesprechung Aufgabe 10.1: Implementation von wechselgeld.pas Giuseppe Accaputo 26. November, 2015 Wechselgeld: Definition Wechselgeld: Wir sind im Besitz von m Münzen,

Mehr

A = A A

A = A A Musterlösung - Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1 Gegeben ist das Polytop P = conv {±e i ± e j : 1 i, j 3, i j} = conv {e 1 + e 2, e 1 e 2, e 1 + e 2, e 1 e 2, e 1 + e 3, e 1 e 3, e 1 + e 3, e 1 e 3, e 2 + e 3,

Mehr

Numerische Lineare Algebra

Numerische Lineare Algebra Numerische Lineare Algebra Vorlesung 5 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 21 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)

Mehr

Matrizenoperationen mit FORTRAN

Matrizenoperationen mit FORTRAN Kapitel 2 Matrizenoperationen mit FORTRAN 21 Grundlagen Bei vielen Anwendungen müssen große zusammenhängende Datenmengen gespeichert und verarbeitet werden Deshalb ist es sinnvoll, diese Daten nicht als

Mehr

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching October 2, 207 Erinnerung Definition. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, : E n E n E, v, w v, w = n k= v

Mehr