Protokoll zur Vorlesung Lineare Algebra I

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1 Protokoll zur Vorlesung Lineare Algebra I Prof W Bley 21 Februar 2006 Protokoll über die 1-2Vorlesung 1 Lineare Gleichungssysteme 11 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Sei ax + by = e, cx + dy = f ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten Ohne wesentliche Einschränkungen setzten wir a 0 voraus Falls ad bc 0, so erhält man genau eine Lösung Falls ad bc = 0, so hat man zwei weitere Fälle zu unterscheiden a) Falls af ce 0, so ist das GS nicht lösbar b) Falls af ce = 0, so gibt es eine Lösung, jedoch ist sie nicht eindeutig 12 Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten und m Gleichungen notieren wir in der Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (1) Hierbei sind die Koeffizienten a ij, b i aus einem Körper K Im Moment stellen wir uns einfach K = Q oder K = R vor Einem solchen GS orden wir die Koeffizientenmatrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (2) a m1 a m2 a mn zu Falls b 1 = = b m = 0, so nennen wir das GS homogen Andernfalls nennt man es ein inhomogenes Gleichungssystem Man ordnet jedem inhomogenen GS ein homogenes GS zu, indem man alle b i der rechten Seite durch 0 ersetzt Satz 121 Man erhält alle Lösungen eines inhomogenen GS, wenn man zu einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems alle Lösungen des zugehörigen homogenen GS addiert 1

2 Es bezeichne L die Gesamtheit der Lösungen des inhomogenen Systems und L 0 die Gesamtheit der Lösungen des zugeordneten homogenen GS Dann kann man den vorigen Satz kurz in folgender Form formulieren: L = x + L 0 = {x + y y L 0 } Hierbei ist das n-tupel x = x 1 x 2 x n eine spezielle Lösung von (1) und y = die sämtlichen Lösungen des zugeordneten homogenen GS y 1 y 2 y n durchläuft Definition 122 Mit K n bezeichnen wir die Gesamtheit aller n-tupel mit Koeffizienten in K Eine nicht-leere Teilmenge U von K n heißt linearer Unterraum oder Teilraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1) x, y U = x + y U, 2) x U, c K = cx U Beobachtung: Die Lösungsmenge L 0 eine homogenen linearen GS ist ein Unterraum des K n 13 Elementare Zeilenumformungen Wir wollen (1) in ein einfacheres GS umformen und erlauben dazu folgende Operationen: 1) Vertauschen zweier Gleichungen 2) Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile 3) Multiplikation einer Zeile mit c K \ {0} Um uns die Notation zu erleichtern, betrachten wir die sogenannte erweiterte Koeffizientenmatrix a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 (3) a m1 a m2 a mn b m und führen die obigen Operationen an dieser Matrix durch Durch geschickte Zeilenumformungen, dem sogenannten Gauß-Verfahren, haben wir folgenden Satz bewiesen: Satz 131 Durch elementare Zeilenumformungen läßt sich jede p q-matrix c 11 c 12 c 1q c 21 c 22 c 2q c p1 c p2 c pq in eine Matrix der Form 0 0 d 1j d 2j2 0 0 d 3j3 0 0 d rjr 0 0 überführen Hierbei ist 0 r p und 0 r q Ferner gilt 1 j 1 < j 2 < < j r q (4) 2

3 Protokoll über die 3-4Vorlesung/ Folgerung 132 Ein homogenes lineares GS mit mehr Unbekannten als Gleichungen, also n > m, hat stets nicht-triviale Lösungen Folgerung 133 Ein inhomogenes GS mit m = n, dessen zugehöriges homogeness GS nur die triviale Lösung besitzt, ist stets eindeutig lösbar 14 Das Gaußsche Verfahren Den Algorithmus, den wir zum Beweis von Satz 131 angegeben haben, nennt man das Gaußsche Verfahren zur Lösung von linearen GS Vor allem in der numerischen Mathematik werden sie noch viele Verfeinerungen davon kennenlernen, die Grundidee ändert sich dabei jedoch nicht Zur Lösung des homogenen Systems Durch elementare Zeilenumformumgen transformieren wir die Koeffizientenmatrix in eine Matrix der Form (4) Falls n = r, so gibt es nur die triviale Lösung, dh x 1 = = x n = 0 Sei fortan n > r Durch Umnumerierung der Variablen (dies entspricht in der Matrix der Vertauschung von Spalten) erhält man aus (4) eine Matrix der Form d 11 d rr 0 0 Satz 141 Sei n > r und seien l 1 = 0, l 2 = 1,, l n r = 0, wobei die Nullen und Einsen jeweils auf die letzten n r Zeilen verteilt sind und * jeweils so zu bestimmen ist, daß die l i, i = 1,, n r, Lösungen des homogenen Systems sind Dann ist die Gesamtheit der Lösungen des homogenen Systems gegeben durch L 0 = {t 1 l t n r l n r t 1,, t n r R} Zur Lösung des inhomogenen Systems Wir führen dieselben Zeilenumformungen an der erweiterten Koeffizientenmatrix durch Dies liefert 0 0 d 1j1 b d 2j2 b d 3j3 0 0 d rjr b r b r b m Satz 142 Das inhomogene System ist genau dann lösbar, wenn b r+1 = = b m = 0 Ist dies der Fall, so kann man eine spezielle Lösung explizit ablesen (5) 3

4 2 Vektorräume 21 Körper Definition 211 Eine Gruppe ist eine Menge, für welche eine Verknüpfung : G G G gegeben ist, so daß folgende Regeln erfüllt sind: 1) (Assoziativgesetz) Für alle a, b, c G gilt (a b) c = a (b c) 2) (Existenz des neutralen Elements) Es gibt genau ein Element e G, so daß für alle a G gilt a e = e a = a 3) (Existenz von Inversen) Zu jedem a G gibt es genau ein b G, so daß gilt Falls zusätzlich noch für alle a, b G gilt, daß so nennt man die Gruppe kommutativ a b = b a = e a b = b a, Konventionen: Falls eine Addition ist, so schreibt man gewöhnlich + und 0 für das neutrale Element Falls eine Multiplikation ist, so schreibt man gewöhmlich und 1 für das neutrale Element Als Beispiel für eine nicht-kommutative Gruppe haben wir die Menge der bijektiven Abbildungen f : {1, 2, 3} {1, 2, 3} betrachtet Die Verknüpfung ist hier die Hintereinanderausführung von Abbildungen Definition 212 Ein Schiefkörper K ist eine Menge, für welche eine Addition und eine Multiplikation + : K K K, (a, b) a + b, : K K K, (a, b) a b gegeben ist, so daß folgende Regeln erfüllt sind: 1) K ist eine kommutative Gruppe bez + 2) K \ {0} ist eine Gruppe bez 3) Für alle a, b, c K gelten die sogenannten Distributivgesetze: (a + b) c = a c + b c, a (b + c) = a b + a c Falls zusätzlich gilt, daß K \{0} bez eine kommutative Gruppe ist, so nennt man K einen Körper Ein vielleicht neues Beispiel für einen Körper ist der Körper der komplexen Zahlen: C = {a + bi a, b R}, i 2 = 1 Ein Beispiel für einen Schiefkörper liefern die Hamiltonschen Quaternionen: H = {a + bi + cj + dk a, b, c, d R} wobei i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = ij, kj = jk, ik = ki 4

5 Teilen mit Rest: Sei m N Dann gibt es zu a Z eindeutig bestimmte Zahlen q, r Z mit a = qm + r, 0 r < m Bezeichnung: r m (a) := r bezeichnet den Rest von a bei ganzzahliger Division durch m Es sei F m = {0, 1,, m 1} die Menge der Reste Wir definieren eine Addition und Multiplikation auf F m : a + m b := r m (a + b), a m b := r m (ab) Es ist eine leichte Übungsaufgabe nachzurechnen, daß alle Körperaxiome bis auf die Existenz des Inversen bez der neuen Multiplikation erfüllt sind Für beliebiges m gibt es im Allgemeinen auch keine Inversen Es gilt Satz 213 F m ist ein Körper m ist eine Primzahl Den Beweis der Rückrichtung werden wir konstruktiv führen und dazu den sogenannten Euklidischen Algorithmus kennenlernen Grundlegend dafür ist die folgende Definition 214 Seien a, b Z nicht beide gleich 0 Eine Zahl d N heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b (in Zeichen ggt (a, b)), falls gilt: (i) d teilt a und b (ii) Falls d 1 Z ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, so ist d 1 ein Teiler von d 5

6 Protokoll über die 5-6Vorlesung Der folgende Satz ist grundlegend für den Beweis von Satz 213 Satz 215 Seien a, b Z Dann existiert der größte gemeinsame Teiler d = ggt (a, b) Ferner gibt es x, y Z, so daß d = xa + yb Den Beweis dieses Satzes haben wir konstruktiv geführt und dabei den Euklidischen Algorithmus kennengelernt, der es erlaubt, die Zahlen d, x, y effizient zu berechnen 22 Vektorräume Ab jetzt bezeichne K stets einen beliebigen Körper Definition 221 Ein Vektorraum über dem Körper K ist eine Menge V, für welche eine Addition und eine skalare Multiplikation + : V V V, (x, y) x + y : K V V, (a, x) a x = ax gegeben sind, so daß gilt: 1) V ist bezüglich + eine kommutative Gruppe 2) Für alle a, b K und x V gilt (ab)x = a(bx) 3) Für alle x V gilt 1 x = x 4) Für alle a K und x, y V gilt a(x + y) = ax + ay 5) Für alle a, b K und x V hilt (a + b)x = ax + bx Definition 222 Sei V ein K-Vektorraum und W V Falls W bezüglich der in V erklärten Addition und skalaren Multiplikation ebenfalls ein Vektoraum ist, so nennt man W einen linearen Unterraum (oder auch Teilvektorraum oder kurz Teilraum) von V 23 Lineare Unabhängigkeit und Basen Sei V stets ein K-Vektorraum Definition 231 a) Ein Vektor v V heißt Linearkombination von u 1,, u m t 1,, t m K gibt, so daß v = t 1 u t m u m b) Sei M V eine nicht-leere Teilmenge Dann heißt V, falls es die lineare Hülle von M in V Lin(M) := {v V v ist Linearkombination von Vektoren aus M} Der folgende Satz liefert eine weitere Charakterisierung der linearen Hülle Satz 232 Sei V ein K-Vektorraum und M V Dann gibt es genau einen Teilraum U von V mit folgenden zwei Eigenschaften: (i) M U (ii) Für jeden Teilraum W von V mit M W gilt U W Es gilt: U = Lin(M) 6

7 Bemerkungen 233 a) M Lin(M) b) M M = Lin(M) Lin(M ) c) M = Lin(M) M ist ein Teilraum von V d) Lin(Lin(M)) = Lin(M) e) U, W V Teilräume = Lin(U W ) = U + W f) Lin(M) = X X, wobei sich der Schnitt über alle Teilräume X von V erstreckt, die M enthalten Die folgenden Begriffsbildungen sind von fundamentaler Bedeutung für den Rest der Vorlesung (und allen weiteren Mathematikvorlesungen!!) Definition 234 Eine Teilmenge M eines K-Vektorraums V heißt Basis von V, wenn sich jeder Vektor v V in eindeutiger Weise als Linearkombination von paarweise verschiedenen Vektoren aus M darstellen läßt Definition 235 Eine Teilmenge M eines K-Vektorraums V heißt linear unabhängig, falls folgende Bedingung erfüllt ist: Sind v 1,, v n endlich viele, paarweise verschiedene Vektoren aus M und a 1,, a n K mit so gilt a 1 = = a n = 0 Andernfalls nennt man M linear abhängig a 1 v a n v n = 0, Satz 236 Sei V ein K-Vektorraum und M V Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) M ist eine Basis von V (ii) M ist ein minimales Erzeugendensystem von V (iii) M erzeugt V und ist linear unabhängig (iv) M ist maximale linear unabhängige Teilmenge von V Erläuterungen: Man sagt, M erzeugt V oder M ist ein Erzeugendensystem von V, falls Lin(M) = V Eine Menge M ist ein minimales Erzeugendensystem von V, falls Lin(M \ {w}) V für alle w M Eine Menge M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V, falls M {w} linear abhängig ist für alle w V \ M 7

8 Protokoll über die 7-8Vorlesung Als Anwendung des Zornschen Lemmas beweisen wir Satz 237 Jeder Vektorraum V besitzt eine Basis Zusatz: Falls V endlich erzeugt ist, so besitzt V eine endliche Basis Genauer kann man sagen: Wenn V = Lin{v 1,, v m }, so gibt es eine Basis B von V mit B {v 1,, v m } Satz 238 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum Dann haben je zwei Basen dieselbe Kardinalität Dies gibt Anlass zur folgenden Definition 239 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum Die Kardinalität einer Basis B (und damit einer jeden Basis) heißt die Dimension von V In Zeichen: dim(v ) oder dim K (V ) Zusätzlich setzt man dim(v ) = für Vektorräume V, die nicht endlich erzeugt sind Satz 2310 (Basisergänzungssatz) Jede linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraums V läßt sich zu einer Basis von V ergänzen Der Beweis ist analog zum Beweis von Satz (237) und benutzt das Zornsche Lemma Falls man sich auf die Betrachtung von endlich erzeugten Vektorräumen beschränken möchte, so kommt man ohne das Zornsche Lemma aus Satz 2311 Sei dim(v ) < und U V ein Teilraum Dann gilt: (i) dim(u) dim(v ), (ii) dim(u) = dim(v ) U = V (i) ist auch richtig für beliebige Vektorräume, (ii) hingegen ist im Allgemeinen falsch Als Gegenbeispiel betrachte man den Vektorraum aller Polynome in X über dem Körper K mit dem Teilraum U aller Polynome in X 2 Es gilt dim(u) = dim(v ) =, jedoch U V Satz 2312 (Existenz von Komplementärräumen) Sei V ein Vektorraum und U V ein Teilraum Dann gibt es einen Teilraum W V, so daß (i) U W = {0}, (ii) U + W = V Bemerkung 2313 In der Situation von (2312) sagt man, V ist die direkte Summe von U und W Man schreibt dann V = U W Jeder Vektor v V läßt sich dann eindeutig in der Form v = u + w, u U, w W, darstellen Satz 2314 (Dimensionsformel für Teilräume) Seien U 1, U 2 endlich erzeugte Teilräume eines Vektorraums V Dann gilt: dim(u 1 + U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ) dim(u 1 U 2 ) 8

9 Protokoll über die 9 Vorlesung 24 Der Rang eines endlichen Systems von Vektoren Definition 241 Seien u 1,, u m Vektoren eines Vektorraums V Dann sagt man, das System u 1,, u m habe den Rang r, in Zeichen rg(u 1,, u r ) = r, falls gilt: (i) Es gibt eine linear unabhängige Teilmenge von {u 1,, u m }, die aus r Elementen besteht (ii) Jede Teilmenge von {u 1,, u m }, die aus r + 1 Elementen besteht, ist linear abhängig Das folgende Lemma beschreibt den Zusammenhang zum Dimensionsbegriff Lemma 242 rg(u 1,, u m ) = dim(lin{u 1,, u m }) Im weiteren wollen wir ein Verfahren zur Bestimmung des Ranges beschreiben Sei dazu V ein Vektorraum der Dimension n < und B = {b 1,, b n } eine Basis von V Seien wie oben u 1,, u m Vektoren in V Dann gibt Koeffizienten a ij K, so daß n u i = a ij b j, i = 1,, m j=1 Wir ordnen u 1,, u m die Koeffizientenmatrix A = (a ij ) 1 i m,1 j n zu und wollen mittels elementarer Zeilenumformungen den Rang bestimmen Wie im Gaußschen Verfahren kann man A auf Zeilen-Stufenform transformieren und erhält eine Matrix wie im Satz 131 Satz 243 Mit den obigen Notationen gilt rg(u 1,, u m ) = r, wobei r durch den Satz 131 definiert ist Satz 244 Sei V ein Vektorraum der Dimension n < Dann gilt: u 1,, u m ist Basis von V m = n und rg(u 1,, u m ) = n Definition 245 Sei A = (a ij ) eine m n-matrix (i) Mit u 1,, u m bezeichnen wir die Zeilen von A und fassen u 1,, u m als Vektoren des K n auf Dann heißt rg(u 1,, u m ) der Zeilenrang von A (ii) Mit v 1,, v n bezeichnen wir die Spalten von A und fassen v 1,, v n als Vektoren des K m auf Dann heißt rg(v 1,, v n ) der Spaltenrang von A Satz 246 Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich ihrem Spaltenrang 25 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme Satz 251 Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem hat genau dann eine Lösung, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der einfachen Koeffizientenmatrix ist Satz 252 Es sei ein homgenes Gleichungssystem mit n Unbekannten und m Gleichungen gegeben Sei A die zugeordenete Koeffizientenmatrix Dann gilt für den Lösungsraum L: dim(l) = n rg(a) Bemerkung 253 Zu einem gegebenen Unterraum U des K n gibt es stets ein homogenes lineares Gleichungssystem mit Lösungsraum U 9

10 3 Lineare Abbildungen 31 Grundlegende Definitionen Definition 311 Sei K ein Körper und V und W Vektorräume über K Eine Abbildung f : V W heißt linear (oder auch Homomorphismus von Vektorräumen), wenn für alle x, y V und alle α K gilt: f(x + y) = f(x) + f(y), f(αx) = αf(x) Lemma 312 Sei f : V W eine Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W Dann ist f genau dann linear, wenn für alle x, y V und alle α, β K gilt: f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) Ein wichtiges Beispiel: Abbildung Sei A = (α ij ) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten Dann ist die x = f A : K n K m, n x 1 j=1 a 1jx j x n n j=1 a njx j eine lineare Abbildung Lemma 313 Seien V, W und Z Vektorräume über dem Körper K Seien f : V W und g : W Z lineare Abbildungen Dann ist auch das Kompositum g f : V Z linear Die folgende Definition listet mehrere gebräuchliche Sprechweisen auf Definition 314 Sei f : V W eine lineare Abbildung a) f heißt Epimorphismus, falls f surjektiv ist b) f heißt Monomorphismus, falls f injektiv ist c) f heißt Isomorphismus, falls f bijektiv ist d) Zwei K-Vektorräume V und W heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus f : V W gibt Man schreibt dann: V W Lemma 315 Sei f : V W ein Isomorphismus Dann ist auch die Umkehrabbildung f 1 : W V eine lineare Abbildung Der folgende Satz besagt, daß ein endlich-dimensionaler Vektorraum durch seine Dimension bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist Satz 316 a) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n < Dann ist V isomorph zum K n b) Für zwei endlich dimensionale K-Vektorräume V und W gilt: V W dim(v ) = dim(w ) Lemma 317 Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n < und sei b 1,, b n eine Basis von V Sei W ein weiterer K-Vektorraum und w 1,, w n W Dann gibt es genau eine lineare Abbildung f : V W, so daß für i = 1,, n gilt: f(b i ) = w i Bemerkung 318 Das Lemma besagt, daß eine lineare Abbildung bereits duch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt ist 10

11 32 Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen Definition 321 Sei f : V W eine lineare Abbildung a) Die Menge ker(f) = {v V f(v) = 0} heißt der Kern von f b) Die Menge heißt das Bild von f im(f) = f(v ) = {f(v) v V } Satz 322 Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann sind ker(f) V und im(f) W lineare Unterräume und es gilt: a) f ist injektiv ker(f) = {0} b) f ist surjektiv im(f) = W Bemerkungen 323 a) Für einen linearen Teilraum U von V ist f(u) = {f(v) v U} stets ein linearer Teilraum von W b) Sei dim(v ) = n < und f : V W linear Sei v 1,, v n eine Basis von V Dann gilt: dim(im(f)) = rg(f(v 1 ),, f(v n )) Den folgenden Satz nennt man die Dimensionsformel für lineare Abbildungen Ihr Beweis wird auf die Dimensionsformel für Unterräume zurückgeführt Satz 324 Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt: dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(v ) Bemerkung 325 Über den Vektorraum W in der Dimensionsformel müssen wir nichts voraussetzen, da das Bild einer linearen Abbildung f : V W automatisch endlich erzeugt ist, wenn nur V endlich erzeugt ist Satz 326 Seien V und W zwei endlich dimensionale Vektorräume gleicher Dimension Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) f ist ein Isomorphismus (ii) f ist ein Monomorphismus (iii) f ist ein Epimorphismus 33 Die Matrixbeschreibung linearer Abbildungen Sei A = (α ij ) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, also i = 1,, m und j = 1,, n Sei B = (β jk ) eine weitere Matrix mit n Zeilen und l Spalten, also j = 1,, n und k = 1,, l Man beachte: Die Anzahl der Spalten von A stimmt mit der Anzahl der Zeilen von B überein Mit diesen Daten definieren wir eine Matrix C = (γ ik ) mit m Zeilen und l Spalten durch γ ik = n α ij β jk, i = 1,, m, k = 1,, l j=1 Definition 331 Die Matrix C heißt das Produkt der Matrizen A und B Wir schreiben C = A B = AB 11

12 Im folgenden betrachten wir lineare Abbildungen f : V W zwischen endlich erzeugten Vektorräumen V und W Jeder solchen Abbildung wollen wir durch die Wahl von Basen eine Matrix A zuordnen Falls g : W Z eine weitere lineare Abbildung ist, mit ebenfalls endlich erzeugtem Vektorraum Z und zugeordneter Matrix B, so werden wir sehen, daß dem Kompositum g f gerade das Matrixprodukt BA zugeordnet wird Sei nun f : V W linear und v 1,, v n bzw w 1,, w m eine Basis von V bzw W Es sei f(v i ) = m α ji w j, i = 1,, n, j=1 mit Koeffizienten α ji in K Die lineare Abbildung f ist also nach Wahl der Basen eindeutig durch die Matrix A = (α ji ) j=1,,m,i=1,,n bestimmt Man merke sich: Die Anzahl der Zeilen von A ist gleich der Dimension von W Die Anzahl der Spalten von A ist gleich der Dimension von V Die Spalten von A entsprechen der Reihe nach den Koeffizientenvektoren von f(v 1 ),, f(v n ) bezüglich der Basis w 1,, w m Definition 332 Die Matrix A heißt die Koordinatenmatrix der linearen Abbildung f : V W bezüglich der Basen v 1,, v n und w 1,, w n Bemerkung 333 Die Koordinatenmatrix hängt von der Wahl der Basen ab Lemma 334 Wir übernehmen die eben eingeführte Notation Sei v = x 1 v x n v n, x i K, ein Vektor in V Dann sind die Koeffizienten von f(v) bezüglich der Basis w 1,, w n durch y 1 x 1 = A y m x n gegeben Dh f(v) = y 1 w y m w m Der folgende Spezialfall des Lemmas ist von größter Wichtigkeit: Sei V = K n und W = K m Als Basen wählen wir in beiden Räumen die Standardbasen Sei f : K n K m eine lineare Abbildung mit Koordinatenmatrix A Dann gilt f x 1 x n = A Definition 335 Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann heißt rg(f) := dim(im(f)) der Rang von f Falls V nicht endlich erzeugt ist, so kann der Rang auch unendlich sein Falls V und W endlich erzeugt sind, so kann man den Rang von f an der Koordinatenmatrix ablesen Lemma 336 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen V und W Sei A eine Koordinatenmatrix bezüglich einer beliebigen Wahl von Basen Dann gilt: rg(f) = rg(a) Bemerkung 337 Der Rang einer linearen Abbildung zwischen endlich erzeugten Vektorräumen läßt sich also mit dem Gaußschen Verfahren bestimmen x 1 x n 12

13 Seien nun f : V W und g : W Z lineare Abbildungen zwischen endlich erzeugten Vektorräumen V, W, Z Nach Wahl von Basen v 1,, v n von V, w 1,, w m von W, z 1,, z l von Z, sei f die Koordinatenmatrix A, und g die Koordinatenmatrix B, zugeordnet Lemma 338 Mit obiger Notation ist das Matrixprodukt BA die Koordinatenmatrix von g f bezüglich der Basen v 1,, v n von V und z 1,, z l von Z Im weiteren studieren wir die Menge der Matrizen etwas eingehender Definition 339 a) Sei K ein Körper und m, n N Dann bezeichnet K m,n die Menge aller m n-matrizen mit Einträgen in K b) Auf der Menge K m,n definieren wir eine Addition und eine skalare Multiplikation durch (a ij ) i=1,,m + (b ij ) i=1,,m = (a ij + b ij ) i=1,,m, a ij, b ij K, j=1,,n j=1,,n j=1,,n und c (a ij ) i=1,,m = (ca ij ) i=1,,m, c, a ij K j=1,,n j=1,,n Satz 3310 Mit dieser Addition und skalaren Multiplikation wird K m,n zu einem Vektorraum über K Seine Dimension ist mn Bereits früher haben wir eingesehen, daß Hom(V, W ) ein Vektorraum ist Satz 3311 Seien V und W endlich dimensionale Vektorräume der Dimension dim(v ) = n und dim(w ) = m Sei v 1,, v n eine Basis von V und w 1,, w m eine Basis von W Dann ist die Abbildung ϕ : Hom(V, W ) K m,n, f A, wobei A die Koordinatenmatrix von f bezüglich der gewählten Basen bezeichnet, ein Isomorphismus Bemerkung 3312 Wir halten nochmals fest, daß ϕ nicht kanonisch ist, sondern von der Wahl der Basen in V und W abhängt Rechenregeln für Matrizen Seien A, B, C Matrizen mit Koeffizienten im Körper K und α K Dann gelten die folgenden Rechenregeln: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC, A(BC) = (AB)C, (αa)b = α(ab) = A(αB) Wir treffen nun folgende Vereinbarung: Sei V = K n, W = K m und A K mn Falls in dieser Situation nicht ausdrücklich Basen festgelegt werden, so nehmen wir stets an, daß die Standardbasen zugrunde liegen Wir interpretieren dann A als Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung 13

14 f : K n K m (bezüglich der Standardbasen) Die Spalten von A sind dann der Reihe nach die Bilder der Basisvektoren e 1 =,, e n = Definition 3313 a) Sei V ein K-Vektorraum Eine lineare Abbildung f : V V heißt Endomorphismus von V Den Vektorraum Hom(V, V ) aller Endomorphismen von V nach V bezeichnet man mit End(V ) b) Sei n N Dann bezeichnet M n (K) den Vektorraum aller n n-matrizen mit Koeffizienten in K Es gilt: End(V ) M n (K), falls V ein Vektorraum der Dimension n ist Die Vektorräume End(V ) und M n (K) tragen eine weiter binäre Operation, nämlich die Komposition von Abbildungen bzw das Matrizenprodukt Dies gibt Anlaß zu folgender Definition 3314 Wenn man in der Definition eines Schiefkörpers das Gesetz von der Existenz des Inversen bezüglich der Multiplikation streicht, so spricht man von einem Ring Man rechnet also in einem Ring fast so wie in einem Körper; wir fordern jedoch nicht die Kommutativität der Multiplikation und die Existenz von Inversen bezüglich der Multiplikation Definition 3315 Sei f : R S eine Abbildung zwischen Ringen Dann nennt man f einen Homomorphismus von Ringen, wenn für alle a, b R gilt: f(1 R ) = 1 S, f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) Falls f bijektiv ist, so nennt man f einen Isomorphismus (von Ringen) Lemma 3316 Falls f : R S ein Isomorphismus von Ringen ist, so ist auch f 1 : S R ein Isomorphismus von Ringen Satz 3317 a) Sei V ein Vektorraum Dann ist End(V ) ein Ring Falls dim(v ) > 1, so ist End(V ) nicht kommutativ (Der Fall dim(v ) = ist hier erlaubt!) b) Sei n N Dann ist M n (K) ein Ring Falls n > 1, so ist M n (K) nicht kommutativ c) Sei ϕ : End(V ) M n (K) der Isomorphismus aus Satz (3311) Dann ist ϕ ein Isomorphismus von Ringen Definition 3318 Sei R ein Ring Ein Element a R heißt invertierbar, falls es ein b R gibt, so daß ab = ba = 1 Man schreibt dann a 1 = b Oft nennt man invertierbare Elemente auch Einheiten Mit R bezeichnen wir die Menge aller Einheiten Tatsächlich ist R eine Gruppe Falls a, b R, so ist (ab) 1 = b 1 a 1 Die Einheiten im Matrizenring M n (K) werden durch folgenden Satz charakterisiert Satz 3319 Für eine Matrix A M n (K) sind folgende Aussagen äquivalent: a) A ist invertierbar b) rg(a) = n c) A : K n K n ist injektiv d) A : K n K n ist surjektiv e) A : K n K n ist bijektiv f) Es gibt B M n (K) mit AB = E n g) Es gibt C M n (K) mit CA = E n Hierbei ist E n die n n-einheitsmatrix, dh 1 auf der Diagonalen, sonst überall 0 14

15 Definition 3320 a) Invertierbare Matrizen nennt man auch regulär, nicht invertierbare Matrizen dagegen singulär Für die Gruppe der Einheiten in M n (K) schreibt man gewöhnlich Gl n (K) b) Die Gruppe der Einheiten in End(V ) heißt lineare Gruppe und wird mit Gl(V ) bezeichnet Rechenverfahren zur Bestimmung der Inversen Sei A Gl n (K) Mittels elementarer Zeilenumformungen bringe man die Matrix (A E n ) auf die Form (E n B) Dann gilt: A 1 = B Zum Beweis der Korrektheit dieses Verfahrens haben wir elementare Zeilenoperationen durch die Multiplikation von A von links mit sogenannten elementaren Matrizen ausgedrückt Elementare Spaltenumformungen entsprechen der Multiplikation von rechts mit diesen elementaren Matrizen 34 Isomorphismen und Basiswechsel Satz 341 Sei dim(v ) = n <, dim(w ) = m < und f : V W eine lineare Abbildung Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) f ist ein Isomorphismus (ii) m = n = rg(f) (iii) Sei A Koordinatenmatrix von f bezüglich beliebig gewählter Basen in V und W Dann gilt n = m und A ist regulär Der wesentliche Begriff in diesem Abschnitt ist der der sogenannten Übergangsmatrix Definition 342 Sei V ein Vektorraum der Dimension n < Seien b 1,, b n und b 1,, b n zwei Basen von V Es gelte n b i = s ji b j, i = 1,, n, mit eindeutig bestimmten Koeffizienten s ji K Dann heißt die Matrix j=1 S = (s ji ) j=1,,n,i=1,,n die Übergangsmatrix von b 1,, b n zu b 1,, b n Lemma 343 Sei S wie in obiger Definition Dann gilt: a) S ist invertierbar b) S 1 ist die Übergangsmatrix von b 1,, b n zu b 1,, b n Lemma 344 Sei S wie eben und v V Es sei n v = x i b i = i=1 n x ib i mit eindeutig bestimmten Koeffizienten x i, x i K Dann gilt: x 1 x 1 S = i=1 x n x n Der folgende Satz beschreibt die Änderung der Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel Satz 345 Sei dim(v ) = n <, dim(w ) = m < Seien v 1,, v n und v 1,, v n Basen von V mit Übergangsmatrix S Seien w 1,, w m und w 1,, w m Basen von W mit Übergangsmatrix T Sei f : V W eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen v 1,, v n und w 1,, w m die Koordinatenmatrix A K m,n habe Dann hat f bezüglich der Basen v 1,, v n und w 1,, w m die Koordinatenmatrix T 1 AS 15

16 Als Spezialfall hiervon erhält man für Endomorphismen f : V V Satz 346 Sei dim(v ) = n < Seien v 1,, v n und v 1,, v n Basen von V mit Übergangsmatrix S Sei f : V W eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis v 1,, v n die Koordinatenmatrix A M n (K) habe Dann hat f bezüglich der Basis v 1,, v n die Koordinatenmatrix S 1 AS Die Matrizen A und T 1 AS (bzw A und S 1 AS) beschreiben also die selbe lineare Abbildung, jedoch bezüglich verschiedener Basen In gewissem Sinne möchten wir sie deshalb als gleich oder äquivalent betrachten Definition 347 Sei M eine nicht-leere Menge a) Eine Relation ist eine nicht-leere Teilmenge R des kartesischen Produkts M M Man schreibt dann für a, b M auch a b, falls (a, b) R b) Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, falls für alle a, b, c M gilt: Reflexivität: a a Symmetrie: a b = b a Transitivität: a b, b c = a c c) Für a M heißt ā := {b M a b} die Äquivalenzklasse von a Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit M/ Lemma 348 Sei eine Äquivalenzrelation auf der nicht-leeren Menge M Dann gilt: M = C, C 1 C 2 = für C 1, C 2 M/ mit C 1 C 2 C M/ Jede Äquivalenzrelation führt also zu einer disjunkten Einteilung von M in Äquivalenzklassen Elemente derselben Klasse wollen wir in diesem Sinn als gleich betrachten Definition 349 a) Seien A, B K m,n Dann ist A äquivalent zu B, in Zeichen A B, falls es S Gl n (K) und T Gl m (K) gibt, so daß B = T 1 AS b) Seien A, B M n (K) Dann ist A ähnlich zu B, in Zeichen A B, falls es S Gl n (K) gibt, so daß B = S 1 AS Lemma 3410 ist eine Äquivalenzrelation auf K m,n und eine Äquivalenzrelation auf M n (K) Wir wollen nun Matrizen bis auf Äquivalenz klassifizieren, dh wir wollen in jeder Äquivalenzklasse einen möglichst einfachen Vertreter finden Satz 3411 a) Jede Matrix A K m,n ist genau zu einer Matrix der Gestalt ( ) Er 0 K m,n 0 0 äquivalent Hierbei ist r = rg(a) b) Seien A, B K m,n Dann gilt: A B rg(a) = rg(b) 16

17 4 Determinanten 41 Definition und erste Eigenschaften Definition 411 Eine Abbildung d : M n (K) K heißt Determinantenfunktion, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt: (i) Ersetzt man in A M n (K) eine beliebige Spalte durch das a-fache dieser Spalte (a K beliebig) und bezeichnet die neue Matrix mit A, so gilt: d(a ) = ad(a) (ii) Sei 1 i, j n, i j Ersetzt man in A die i-te Spalte durch i-te Spalte + j-te Spalte und bezeichnet die neue Matrix mit A, so gilt: (iii) d(e n ) = 1 d(a ) = d(a) Bemerkung 412 Sei A M n (K) und seien v 1,, v n die Spalten von A Dann kann man eine Determinantenfunktion d auch als Funktion von v 1,, v n auffassen und schreibt dann d(v 1,, v n ) Dann lassen sich die Eigenschaften (i), (ii) und (iii) auch folgendermaßen formulieren: (i) Für alle v 1,, v n K n, a K und 1 j n gilt: d(, av j, ) = ad(, v j, ) (ii) Für alle v 1,, v n K n, 1 i, j n, i j gilt: d(, v i + v j,, v j, ) = d(, v i,, v j, ) (iii) d(e 1,, e n ) = 1, wobei e 1,, e n die Standardbasis des K n bezeichnet Lemma 413 a) Für alle v 1,, v n K n, a K und 1 i, j n, i j gilt: d(, v i + av j,, v j, ) = d(, v i,, v j, ) b) Für alle v 1,, v n K n, 1 i, j n, i j gilt: d(, v i,, v j, ) = d(, v j,, v i, ) Lemma 414 Sei d : M n (K) K eine Determinantenfunktion und A M n (K) Dann gilt: d(a) 0 A Gl n (K) Bislang ist völlig ungeklärt, ob es für beliebiges n überhaupt eine Determinantenfunktion gibt Wir werden jedoch zeigen, daß es zu jedem n genau eine Determinatenfunktion gibt Der folgende Satz liefert die Eindeutigkeit Die Existenz werden wir im nächsten Abschnitt beweisen Satz 415 Sei n N Dann gibt es höchstens eine Determinantenfunktion d : M n (K) K Bemerkung 416 Der Beweis dieses Satzes ist sehr wichtig Wir zeigen, daß man jede Matrix A Gl n (K) mit Spaltentransformationen der Art i-te Spalte = i-te Spalte + a j-te Spalte auf Diagonalgestalt 1 D = 1, e 0 e transformieren kann 17

18 42 Existenz von Determinantenfunktionen Lemma 421 Sei d : M n (K) K eine Determinantenfunktion Dann ist d linear in jeder Spalte, dh für jedes i mit 1 i n und a, b K, v 1,, v i 1, v i, w i, v i+1,, v n K n gilt: d(v 1,, av i + bw i,, v n ) = ad(v 1,, v i,, v n ) + bd(v 1,, w i,, v n ) Bemerkung 422 Das vorige Lemma kann man auch folgendermaßen formulieren: Für fixierte Vektoren v 1,, v i 1, v i+1,, v n K n ist die Abbildung linear K n K v d(v 1,, v i 1, v, v i+1,, v n ) Satz 423 Für jede natürliche Zahl n gibt es genau eine Determinantenfunktion d : M n (K) K Der Existenzbeweis liefert auch die folgende Formel ( Entwicklung nach der letzten Zeile ): det(a) = n ( 1) n+j a nj det(a nj ) Hierbei entsteht A nj aus A durch Streichen der n-ten Zeile und der j-ten Spalte j=1 43 Weitere Eigenschaften von det Satz 431 det ist multiplikativ, dh für A, B M n (K) gilt: det(ab) = det(a) det(b) Definition 432 Die Menge heißt spezielle lineare Gruppe Sl n (K) := {A M n (K) det(a) = 1} Daß Sl n (K) tatsächlich eine Gruppe ist, folgt sofort aus der Multiplikativität von det Offensichtlich ist Sl n (K) eine Untergruppe von Gl n (K) Satz 433 Eine Matrix A M n (K) ist genau dann Element von Sl n (K), wenn A ein Produkt von Elementarmatrizen vom Typ 1 ist Definition 434 Sei A K m,n Dann ist A t K n,m diejenige Matrix, die aus A entsteht, indem man die Zeilen von A zu den Spalten von A t macht Man überzeugt sich leicht von Lemma 435 a) Für A K m,n, B K n,l gilt: (AB) t = B t A t b) Für S M n (K) gilt: S Sl n (K) S t Sl n (K) Der folgende Satz zeigt, daß wir in unsereren bisherigen Überlegungen hinsichtlich Determinanten auch Zeilen (anstatt von Spalten) betrachten hätten können Satz 436 Für A M n (K) gilt: det(a) = det(a t ) Durch Zeilenvertauschungen und Transponieren zeigt man jetzt den allgemeinen Determinantenentwicklungssatz 18

19 Satz 437 Sei A = (a rs ) M n (K) und 1 i n Dann gilt: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) Hierbei entsteht A ij aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte Ebenso gilt für 1 j n: n det(a) = ( 1) i+j a ij det(a ij ) j=1 i=1 Für theoretische Anwendungen sind die folgenden Cramerschen Regeln oft von großer Bedeutung Sie dienen weniger zur tatsächlichen Berechnung von Inversen oder von Lösungen linerar Gleichungsysteme Satz 438 a) Sei A = (a rs ) M n (K) Man definiere die zu A komplementäre Matrix à = (ã ij) durch ã ij = ( 1) i+j det(a ji ) Dann gilt: Aà = ÃA = det(a)e n b) Sei A Gl n (K) Dann ist A 1 = 1 c) Sei Ax = b ein lineares Gleichungsystem mit A Gl n (K), b K n Sei x 1 x n = A 1 b die eindeutige Lösung Dann gilt für i = 1,, n x i = det(a i) det(a), wobei A i aus A entsteht, indem man die i-te Spalte von A durch den Spaltenvektor b ersetzt Satz 439 Seien B 1,, B r quadratische Matrizen Dann gilt: B 1 B 1 B 2 det 0 = det B 2 0 Br Br r = det(b i ) i=1 Speziell gilt für d 1,, d n K det 1 d 2 0 dn = det 1 d 2 0 dn n = d i i=1 44 Dartsellung der Determinante nach Leibniz Für n N sei an die Definition der symmetrischen Gruppe S n erinnert Dies ist die Gruppe der bijektiven Abbildungen (= Permutationen) σ : M M einer n-elementigen Menge M Definition 441 Eine Permutation σ, die genau zwei Elemente vertauscht, heißt Transposition 19

20 Der folgende Satz besagt, daß die Transpositionen die symmetrische Gruppe S n erzeugen Satz 442 Jede Permutation σ S n kann man als Produkt von Transpositionen schreiben Man beachte jedoch, daß diese Darstellung als Produkt von Transpositionen nicht eindeutig ist Für eine Permutation σ S n sei nun P σ = ( e σ(1), e σ(2),, e σ(n) ) Gln (K) P σ entsteht also aus der n n Einheitsmatrix, indem man die Spalten gemäß σ vertauscht Solche Matrizen nennt man Permutationsmatrizen Lemma 443 Seien σ, τ S n Dann gilt: P σ P τ = P στ Die Abbildung P : S n Gl n (K), σ P σ, ist also ein Homomorphismus von Gruppen Definition 444 Die Abbildung sgn : S n {±1}, σ det(p σ ), heißt Signumsfunktion, oder auch das Vorzeichen von σ Die Multiplikativität von det impliziert zusammen mit dem vorigen Lemma, daß sgn ebenfalls ein Homomorphismus von Gruppen ist Satz 445 (Vollständige Entwicklung nach Leibniz) Sei A = (a ij ) M n (K) Dann gilt: det(a) = σ S n sgn(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(n),n = σ S n sgn(σ)a 1,σ(1) a 2,σ(2) a n,σ(n) 45 Determinante und Spur von Endomorphismen Definition 451 Sei dim(v ) = n < und f : V V eine lineare Abbildung Sei A M n (K) die Koordinatenmatrix bezüglich einer beliebigen Basis von V Dann heißt die Determinante von f det(f) := det(a) Definition 452 Sei dim(v ) = n < und f : V V eine lineare Abbildung Sei A M n (K) die Koordinatenmatrix bezüglich einer beliebigen Basis von V Dann heißt die Spur von f Sp(f) := Sp(A) Erläuterung: Beide Definitionen sind tatsächlich sinnvoll, dh det(f) und Sp(f) sind wohldefiniert Dazu ist die Unabhängigkeit der Definitionen von der Wahl einer Basis in V zu zeigen 5 Eigenwerte und charakteristisches Polynom 51 Algebren und Polynomringe Definition 511 Sei K ein Körper Ein Ring R heißt K-Algebra, falls 1) R ein K-Vektorraum ist, 2) für alle f, g R und alle a K gilt: a(fg) = (af)g = f(ag) 20

21 Definition 512 Seien R, S zwei K-Algebren Eine Abbildung ϕ : R S ist ein Homomorphismus von K-Algebren, falls: 1) ϕ ein Homomorphismus von Vektorräumen ist, 2) für alle r 1, r 2 R gilt: ϕ(r 1 r 2 ) = ϕ(r 1 )ϕ(r 2 ), 3) ϕ(1 R ) = 1 S Ein wichtiges Beispiel ist der sogenannte Einsetzungshomomorphismus Sei dazu R eine K-Algebra und a R Dann ist ϕ : K[X] R, p(x) p(a) ein Homomorphismus von K-Algebren und heißt Einsetzungshomomorphismus Für das Bild von ϕ schreiben wir auch K[a] K[a] ist eine K-Unteralgebra von R Im weiteren studieren wir den Polynomring K[X], wobei K wie üblich einen Körper bezeichnet Für ein Polynom f K[X], f 0, sei deg(f) der Grad des Polynoms Zusätzlich definieren wir deg(0) = Damit gilt: deg(f + g) max(deg(f), deg(g)), deg(f g) = deg(f) + deg(g), K[X] = K Falls deg(f) deg(g), so gilt in der obigen Ungleichung die Gleichheit Satz 513 (Teilen mit Rest) Zu Polynomen f, g K[X], g 0, gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r K[X], so daß f = qg + r, deg(r) < deg(g) Folgerung 514 a) Sei f K[X] und f(α) = 0 mit α K Dann teilt X α das Polynom f(x) b) Sei f K[X], f 0, ein Polynom vom Grad n Dann hat f höchstens n Nullstellen in K Definition 515 Sei f K[X], f 0 und α K Dann heißt die eindeutig bestimmte Zahl m α N 0 mit der Eigenschaft f(x) = (X α) mα q(x), q(α) 0, die Vielfachheit der Nullstelle α Man schreibt auch ord α (f) := m α Es gilt also: ord α (f) > 0 α ist Nullstelle von f Jedes Polynom f 0 kann man eindeutig in der Form f(x) = (X α 1 ) mα 1 (X αs ) mαs q(x) schreiben, wobei {α 1,, α s } die Menge der Nullstellen von f in K ist und das Polynom q(x) keine weiteren Nullstellen in K hat Dies motiviert die folgende Definition 516 Ein Polynom f K[X], f 0, zerfällt vollständig in Linearfaktoren, falls es Zahlen γ, α 1,, α n K gibt, so daß f(x) = γ(x α 1 ) (X α n ) Man beachte, daß wir nicht verlangen, daß die α i paarweise verschieden sind Satz 517 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes nicht-konstante Polynom f C[X] besitzt in C eine Nullstelle Dies ist äquivalent zur Aussage, daß jedes Polynom f C[X], f 0, vollständig in Linearfaktoren zerfällt 21

22 52 Eigenwerte und Eigenvektoren Definition 521 Sei f : V V ein Endomorphismus Eine Zahl λ K heißt Eigenwert von f, falls es einen Vektor 0 v V gibt, so daß f(v) = λv Jedes solche v heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ Lemma 522 Folgende Aussagen sind äquivalent: i) λ ist Eigenwert von f ii) ker(λid V f) {0} Definition 523 Sei λ ein Eigenwert von f Dann heißt der Teilraum der Eigenraum von f zum Eigenwert λ V (λ, f) := ker(λid V f) = {v V f(v) = λv} Für Endomorphismen von endlich dimensionalen Vektorräumen läßt sich die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren durch Übergang zu einer Koordinatenmatrix bewerkstelligen Bemerkung 524 Sei f : V V linear und dim(v ) = n < Sei v 1,, v n eine Basis von V und A die zugehörige KoordinatenmatrixDann gilt: 1) Die Eigenwerte von f sind genau die Eigenwerte von A : K n K n 2) Sei λ K ein Eigenwert von f (und damit auch von A) Dann gilt: x = x 1 x n K n ist Eigenvektor von A zu λ v = x 1 v x n v n V ist Eigenvektor von f zu λ Falls also dim(v ) < ist, so kann man den Eigenraum zu λ stets durch Lösen des homogenen Gleichungssystems (λe n A)x = 0 berechnen Es stellt sich also die Frage nach der Berechnung der Eigenwerte Definition 525 Sei A M n (K) Dann heißt χ A (X) := det(xe n A) K[X] das charakteristische Polynom von A Ist f : V V ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums V und A eine Koordinatenmatrix (bez einer beliebigen Basis von V ), so setzt man χ f := χ A Man beachte, daß χ f tatsächlich wohldefiniert ist Satz 526 Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum der Dimension n und f : V V linear Dann gilt: i) χ f (X) ist ein normiertes Polynom vom Grad n ii) λ K ist Eigenwert von f λ ist Nullstelle von χ f (X) Insbesondere hat also f höchstens n verschiedene Eigenwerte Satz 527 Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum der Dimension n und f : V V linear Sei χ f (X) = X n + s n 1 X n s 1 X + s 0 mit Koeffizienten s i K Dann gilt: s n 1 = Sp(f), s 0 = ( 1) n det(f) 22

23 Im weiteren nennen wir dim(v (λ, f)) die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ und ord λ (χ f ) seine algebraische Vielfachheit Der nächste Satz besagt, daß die geometrische Vielfachheit stets kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit ist Satz 528 Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum der Dimension n und f : V V linear Dann gilt für jeden Eigenwert λ von f: 1 dim(v (λ, f)) ord λ (χ f ) 53 Diagonalisierbare Endomorphismen Definition 531 Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum der Dimension n und f : V V linear Dann heißt f diagonalisierbar, falls es eine Basis v 1,, v n von V gibt, so daß die zugehörige Koordinatenmatrix Diagonalgestalt hat f ist also genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V gibt, die nur aus Eigenvektoren zu f besteht Sei A eine beliebige Koordinatenmatrix Dann gilt: f ist diagonalisierbar S Gl n (K) : S 1 AS hat Diagonalgestalt Man erhält auch schnell eine notwendige Bedingung: Falls f diagonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom χ f vollständig in Linearfaktoren Im weiteren verfolgen wir das Ziel, auch eine hinreichende Bedingung zu formulieren Satz 532 Seien λ 1,, λ n paarweise verschiedene Eigenwerte eines Endomorphismus f : V V Seien v 1,, v n zugehörige Eigenvektoren Dann sind v 1,, v n linear unabhängig Folgerung 533 Sei dim(v ) = n < und f : V V linear Falls f n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, so ist f diagonalisierbar Man beachte, daß dies nur eine hinreichende Bedingung ist, wie etwa das Bespiel f = id V zeigt Die folgende Begriffsbildung verallgemeinert den Begriff der direkten Summe zweier Unterräume Definition 534 Sei I eine beliebige Indexmenge und seien U i, i I, Unterräume eines Vektorraumes V Dann heißt V die direkte Summe der U i, falls a) V = i I U i := { i I u i u i U i, fast alle u i = 0} b) U i j I,j i U j = {0} für alle i I Man schreibt dann: V = i I U i Satz 535 Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) V ist die direkte Summe der U i, i I (ii) Jedes v V besitzt eine eindeutige Darstellung v = i I u i mit u i U i, wobei fast alle u i gleich 0 sind (Die Summe ist also tatsächlich nur eine endliche Summe) Falls dim(v ) < und I <, so ist dies ebenfalls äquivalent zu (iii) dim(v ) = i I dim(u i) = dim( i I U i) Zusammen mit Satz 532 ergibt sich hieraus Folgerung 536 Sei f : V V linear, wobei V hier beliebig ist Seien λ 1,, λ s paarweise verschiedene Eigenwerte von f Dann gilt: s V (λ i, f) = i=1 s V (λ i, f) i=1 23

24 Satz 537 (Notwendige und hinreichende Kriterien für Diagonalisierbarkeit) Sei V ein Vektorraum der Dimension n < und f : V V linear Seien λ 1,, λ r, r n, die paarweise verschiedenen Eigenwerte von f Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) f ist diagonalisierbar (ii) Das charakteristische Polynom χ f K[X] zerfällt über K vollständig in Linearfaktoren und für jeden der Eigenwerte λ i gilt: ord λi (χ f ) = dim(v (λ i, f)) Für jeden Eigenwert ist also die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit (iii) V = r i=1 V (λ i, f) (iv) V = r i=1 V (λ i, f) (v) dim(v ) = r i=1 dim(v (λ i, f)) 54 Der Satz von Cayley-Hamilton Satz 541 Sei dim(v ) = n < und f : V V linear Dann gilt χ f (f) = 0 in der K-Algebra End(V ) Es gibt also normierte Polynome g K[X], so daß g(f) = 0 Satz 542 Sei dim(v ) = n < und f : V V linear Das normierte Polynom µ f K[X] kleinsten Grades mit µ f (f) = 0 heißt das Minimalpolynom von f Satz 543 Sei p K[X] ein beliebiges Polynom mit p(f) = 0 Dann gilt: µ f p Insbesondere ist also das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms Folgerung 544 Die Nullstellen von µ f sind genau die Nullstellen von χ f Abschließend formulieren wir ein weiteres Diagonalisierungskriterium Satz 545 Sei V ein Vektorraum der Dimension n < und f : V V linear Dann sind äquivalent: (i) f ist diagonalisierbar (ii) µ f zerfällt vollständig in Linearfaktoren über K und jede Nullstelle von µ f ist einfach Oftmals stellt sich auch die Frage, ob man eine Koordinatenmatrix in oberer Dreicksgestalt finden kann Definition 546 Sei V ein Vektorraum der Dimension n < und f : V V linear Dann heißt f trigonalisierbar, falls es eine Basis v 1,, v n von V gibt, so daß die zugehörige Koordinatenmatrix obere Dreiecksgestalt besitzt Satz 547 Sei V ein Vektorraum der Dimension n < und f : V V linear Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) f ist trigonalisierbar (ii) Das charaketeristische Polynom χ f zerfällt vollstandig in Linearfaktoren 24