Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Summenregel. Allgemeiner

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Pamela Kruse
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1 Kombinatorik: Abzählverfahren Teschl/Teschl 7 Fragestellung: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Elemente auszuwählen, z. B. Anzahl verschiedener möglicher Passwörter, IPAdressen, Zahlenkombinationen beim Lotto... Summenregel Zahl der Möglichkeiten der Auswahl aus zwei disjunkten Mengen ist gleich Summe der Anzahlen der Elemente: #A B = #A + #B, wenn A B =. Allgemeiner #A B = #A + #B #A B. kombinatorik13.pdf, Seite 1

2 Produktregel #A B = #A #B bzw. #A 1 A 2... A n = #A 1 #A 2... #A n. Beispiele Zahl der Wörter der Länge 3 aus Kleinbuchstaben und Ziern, die mit einem Buchstaben anfangen, ist gleich = Zahl der Wörter aus Kleinbuchstaben der Länge 3, 4 oder 5 ist gleich = Zahl der Wörter aus 3 Kleinbuchstaben, die mit einem Vokal a,e,i,o,u anfangen oder einem Vokal enden ist gleich = kombinatorik13.pdf, Seite 2

3 Permutationen Zahl der Möglichkeiten, n Elemente anzuordnen, ist gleich n n = n! n Fakultät. Beispiel: Traveling Salesman Problem Geschäftsreisender besucht nacheinander n Orte n! mögliche Reiserouten. Geordnete Auswahl Zahl der Möglichkeiten, k von n Elementen auszuwählen, mit Beachtung der Reihenfolge, ist gleich n n 1... n k + 1 = n! n k!. kombinatorik13.pdf, Seite 3

4 Beispiele Bei 10 nacheinander durchzuführenden mündlichen Prüfungen gibt es 10! = Möglichkeiten für die Reihenfolge. Bei 50 anwesenden Personen sind 6 Plätze in der ersten Reihe zu besetzen. Dafür gibt es = = Möglichkeiten. 50! 44! Es gibt 26! = = aus 21! 5 Kleinbuchstaben bestehende Passwörter, in denen kein Buchstabe mehrfach vorkommt. Sollen diese Passwörter mit einem Vokal beginnen oder enden, so bleiben Beginn Vokal + Ende Vokal doppelt gezählte = Möglichkeiten. kombinatorik13.pdf, Seite 4

5 Verallgemeinerungen Sind die n anzuordnenden Elemente nicht alle n! verschieden, so gibt es m 1! m 2 Möglichkeiten der!... m k! Anordnung, wobei m 1, m 2,..., m k die Anzahl von jeweils gleichen Elementen angibt. Beispiel: Die Buchstaben des Wortes ANANAS können 6! aus = 60 unterschiedliche Arten angeordnet 3! 2! 1! werden. Können bei der geordneten Auswahl Elemente mehrfach vorkommen, so gibt es n k Möglichkeiten, aus n verschiedenen Elementen eine Auswahl von k zu treen. Beispiel: Es gibt 26 5 = verschiedene aus 5 Kleinbuchstaben bestehende Passwörter, wenn Buchstaben mehrfach vorkommen dürfen. kombinatorik13.pdf, Seite 5

6 Binomialkoezienten Die Zahl der Möglichkeiten, k von n Elementen auszuwählen, ohne Beachtung der Reihenfolge Kombinationen, ist gleich n! n k! k! = n = C k n Binomialkoezient n über k. k n k ist gleich der Anzahl der kelementigen Teilmengen einer nelementigen Menge. Dabei setzt man 0! = 1 und n k = 0 falls k > n oder k < 0. Beispiel Die Zahl der Möglichkeiten beim Lotto 6 aus 49 ist 49 = 49! = = ! 6! kombinatorik13.pdf, Seite 6

7 Weiteres Beispiel Bestimmung der Zahl der 6stelligen Passwörter aus Kleinbuchstaben und Ziern, die mit einem Buchstaben beginnen und genau 2 Ziern enthalten: Für die Verteilung der 2 Ziern auf die 5 Stellen 2 bis 6 gibt es = 10 Möglichkeiten. Für die Auswahl der Ziern gibt 5 2 es 10 2 = 100 und für die Auswahl der 4 Buchstaben 26 4 = Möglichkeiten. Insgesamt hat man damit = Möglichkeiten. Bemerkung Oft ist bei Abzählverfahren der Lösungsweg nicht eindeutig, jedoch müssen alle Lösungsansätze zum selben Ergebnis führen. kombinatorik13.pdf, Seite 7

8 Beispiel Anwesend sind 40 Männer und 10 Frauen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Plätze der ersten Reihe mit 3 Männern und 3 Frauen zu besetzen? Antwort 1: 6 40! 3 37! 10! 7! = = Begründung: Zunächst wird ausgewählt, welche Plätze mit Männern und welche mit Frauen besetzt werden sollen. Dazu gibt es Möglichkeiten. Für die Besetzung der Männerplätze gibt es dann = 40! 37! Möglichkeiten, für die 3 Frauenplätze = 10! 7!. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten erhält man daraus mit der Produktregel. kombinatorik13.pdf, Seite 8

9 Antwort 2 zum letzten Beispiel 40 Männer und 10 Frauen besetzen 6 Plätze: Man wählt zunächst 3 Männer und 3 Frauen aus, wofür es bzw. Möglichkeiten gibt Diese 6 Personen verteilt man dann auf die 6 Plätze, wofür es 6! Möglichkeiten gibt. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist damit wieder mit der Produktregel ! = ! = kombinatorik13.pdf, Seite 9

10 Kombinationen mit Wiederholung Dürfen bei der Auswahl von k Elementen aus einer nelementigen Menge ohne Beachtung der Reihenfolge Elemente mehrfach vorkommen, so gibt es n+k 1 k Möglichkeiten. Beispiel Es gibt Gummibärchen in n = 6 Farben. Für die Auswahl von k = 4 Gummibärchen, die nicht alle verschiedenfarbig sein müssen, gibt es dann = 9 4 = = 126 4! verschiedene Möglichkeiten. kombinatorik13.pdf, Seite 10

11 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten Kombinatorische Überlegungen werde oft zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten benutzt. So ist z. B. die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Lotto 1 / 49 6 = Dabei wird vorausgestzt, dass alle Möglichkeiten gleichwahrscheinlich sind, eine LaplaceVerteilung vorliegt. Dies ist jedoch nicht automatisch immer der Fall. So gibt es z. B. beim Würfeln mit k = 3 Würfeln = 8 3 = 56 Möglichkeiten Kombinationen mit Wiederholung. Die 1 Wahrscheinlichkeit für 3 Sechsen ist dabei, für die 216 Kombination 1, 2, 3 beträgt die Wahrscheinlichkeit dagegen kombinatorik13.pdf, Seite 11

12 LaplaceExperimente sind Zufallsexperimente, die einem Symmetrieprinzip genügen, so dass alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Bei zufälliger Auswahl liegt ein LaplaceExperiment vor bei Anordnung von n Objekten: n! Möglichkeiten Anordnung von n Objekten, von denen einige gleich sind geordneter Auswahl von k aus n Objekten ohne n! Wiederholung: n k! Möglichkeiten geordneter Auswahl von k aus n Objekten mit Wiederholung: n k Möglichkeiten Auswahl von k aus n Objekten ohne Wiederholung ohne beachtung der Reihenfolge: n k Möglichkeiten Dagegen liegt bei der Auswahl mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge kein LaplaceExperiment vor. kombinatorik13.pdf, Seite 12

13 Eigenschaften der Binomialkoezienten Für Binomialkoezeineten gibt es eine Reihe von Rechenregeln. Die wichtigsten sind: n 0 = n n = 1 n 1 = n n 1 = n n 2 = n n 1 n k = n n k = n 1 2 j=1 j = n 1 Symmetrie: Auswahl von k aus n Objekten ist gleichbedeutend von der Bestimmung von n k Objekten, die nicht ausgewählt werden n k=0 n k = 2 n Anzahl aller Teilmengen einer nelementigen Menge n+1 k = n k + n k 1 Summationseigenschaft kombinatorik13.pdf, Seite 13

14 Das Pascalsche Dreieck liefert eine rekursive Berechnung der Binomialkoezienten mit Hilfe der Summationseigenschaft: Die n + 1-te Zeile enthält die Binomialkoezienten n k für k = 0,..., n. Dabei ist jeder Eintrag die Summe der beiden Einträge darüber, z. B. ist 8 3 = 56 = = kombinatorik13.pdf, Seite 14

15 Allgemeine Binomische Formel Für a, b R un n N ist Beispiel Beweisidee a + b n = n k=0 n 4 = k a k b n k = , 5 + 1, = a + b n = a + b a + b a + b... a + b }{{} n mal... Abzählen aller Möglichkeiten, aus jeder Klammer genau einen Summanden auszuwählen. kombinatorik13.pdf, Seite 15

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