Versuchsprotokoll. Kondensator und Spule im Wechselstromkreis. Dennis S. Weiß & Christian Niederhöfer. zu Versuch 9

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1 Montag, Dennis S. Weiß & Christian Niederhöfer Versuchsprotokoll (Physikalisches Anfängerpraktikum Teil II) zu Versuch 9 Kondensator und Spule im Wechselstromkreis 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung 3 2 Physikalische Grundlagen Der Kondensator usammenschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung Reihenschaltung Die Spule Versuchsaufbau Der Kondensator Beschreibung Skizze Die Spule Beschreibung Skizze Die Messung Meßmethode Der Kondensator Die Spule Meßwerte Der Kondensator Die Spule Auswertung Fehlerbetrachtung Der Kondensator Die Spule Diskussion Der Kondensator Die Spule usatzaufgaben und Fragen aus der Versuchsanleitung Der Kondensator Die Spule Anhang Graphen Original-Meßprotokoll

3 1 Problemstellung Es soll die Kapazität zweier Kondensatoren im Wechselstromkreis bestimmt werden. Ebenso die Induktivität einer Spule mit Eisenkern in Abhängigkeit des Einschubtiefe des Kerns. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Der Kondensator Die einfachste Bauform für einen Kondensator ist der Plattenkondensator. Er besteht aus zwei großen, parallel zueinander angeordneten leitfähigen Platten. In der Serienfertigung ersetzt man die Platten durch zwei dünne Streifen einer Metallfolie und legt einen Isolator dazwischen. Um Platz zu sparen, wird dieser Sandwich anschließend aufgerollt. Schließt man die beiden Platten eines Kondensators an eine Gleichspannungsquelle an, so fließen so lange positive adungen auf die eine und negative auf die andere Platte, bis die Potentialdifferenz zwischen den Platten gleich der angelegten Spannung ist. Ein idealer Kondensator hat also einen unendlich hohen Gleichstromwiderstand. egt man eine Wechselspannung an, so fließt durch den Kondensator scheinbar ein Wechselstrom. Während einer Halbwelle der anliegenden Wechselspannung wird der Kondensator zunächst entladen und dann mit umgekehrten Vorzeichen aufgeladen. Mit dem Nulldurchgang des Stromes setzt dabei jedesmal die Entladung ein. u diesem eitpunkt hat die adung Q auf den Kondensatorplatten jeweils ihren größten Wert. Die Spannung ist gegeben durch: U = Q C wobei C die Kapazität des Kondensators ist. Der durch den Kondensator fließende Wechselstrom ist bei gegebener Spannung umso größer, je höher die Frequenz und je größer die Kapazität sind. Der kapazitive Wechselstromwiderstand ist deshalb: U I = C = 1!C (1) wobei U und I die Effektivwerte von Spannung und Strom bezeichnen. Die Frequenz des Wechselstromes, der bei diesem Versuch verwendet wird, beträgt 50 Hz.! =2f =2 1 T mit f =50Hz )! = 100 =314Hz 2.2 usammenschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung Die oberen Platten der Kondensatoren sind durch einen eiter miteinander verbundenund liegen daher auf dem gleichen Potential; dasselbe gilt für die unteren Platten. Die Punkte a und b seien mit einer Spannungsquelle verbunden, so daß die Spannung U = ' a ; ' b anliegt. Man sieht, daß sich bei dieser Schaltung die Flächen und damit die Kapazitäten addieren. 3

4 a C 1 C 2 b Sind C 1 und C 2 die Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren, so sind die adungen auf den Platten gegeben durch Q 1 = C 1 U und Q 2 = C 2 U. Die gespeicherte Gesamtladung ist damit: Die Ersatzkapazität ist dann gegeben durch Q = Q 1 + Q 2 = C 1 U + C 2 U =(C 1 + C 2 ) U C ges = Q U = C 1 + C Reihenschaltung Die Punkte a und b seien wieder mit einer Spannungsquelle verbunden. Die Potentialdifferenz über die gesamte Anordnung hinweg beträgt wieder U = ' a ; ' b. Die adung +Q, die sich auf der oberen Platte des Kondensators C 1 befindet (Potential ' a ) induziert auf der unteren Platte eine gleich große adung ;Q. Diese adung rührt von den Elektronen her, die von der oberen Platte des zweiten Kondensators C 2 abgeflossen sind; auf der oberen Platte von C 2 befindet sich daher die adung +Q. Das Potential dieser Platten ist ' c. Auf der unteren Platte des zweiten Kondensators muß wegen der Influenz wieder die entsprechende adung ;Q vorhanden sein. ϕ a a ϕ c C 1 C 2 ϕ b b Für die Spannung am ersten Kondensator gilt U 1 = ' a ; ' c = C1 Q und für den zweiten Kondensator gilt U 2 = ' c ; ' b = C2 Q. Die Summe dieser Spannungen muß wieder die Gesamtspannung U ergeben: U = ' a ; ' b =(' a ; ' c )+(' c ; ' b )=U 1 + U 2 = Q + Q 1 = Q + 1 C 1 C 2 C 1 C 2 4

5 Die Ersatzkapazität ist dann gegeben durch 2.3 Die Spule C ges = Q U ) 1 C ges = 1 C C 2 Die einfachste Bauform für eine Spule ist die uftspule. Sie besteht aus einem gewickelten Draht, der in der Mitte keinen Kern enthält. In der Serienfertigung wird die Spule mit verschiedenen Kernmaterialien gefüllt (meist Eisen), um deren Induktivität zu beeinflussen. Schließt man eine Gleichspannung an eine Spule an, so fließt nach anfänglichem Aufbau des Magnetfeldes ein Gleichstrom, der nur vom ohmschen Widerstand des Spulendrahtes bestimmt ist: I = = U = (2) R egt man eine Wechselspannung an, so baut sich in der Spule ein sich mit dem Wechselstrom veränderndes Magnetfeld auf. Während einer Halbwelle des Stromes nimmt das Magnetfeld zunächst zu, dann mit abnehmendem Strom wieder ab. Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld ist nach dem Induktionsgesetz mit einer induzierten Spannung U verknüpft, die nach der enzschen Regel, der angelegten Spannung entgegengesetzt gerichtet ist: U = di (3) dt wobei die Selbstinduktivität der Spule ist. Vernachlässigt man den ohmschen Widerstand, so sind induzierte und angelegte Spannung gleich groß. Beim Nulldurchgang des Stromes ist die induzierte Spannung an der Spule am größten und im Maximum des Stromes gleich Null. Der durch die Spule fließende Wechselstrom ist umso kleiner, je höher die Frequenz und je größer die Selbstinduktion sind. Die Selbstinduktivität vergrößert sich, wenn man einen Eisenkern einschiebt. Die Qualität des Eisens und die Einschubtiefe spielen dabei eine Rolle. Da sich die Geschwindigkeit der Stromänderung (Frequenz des Wechselstromes) und die Selbstinduktivität hemmend auf den durch die Spule fließenden Wechselstroms auswirken, gilt für die ideale Spule (ohne ohmschen Widerstand): U I = =! (4) wobei U und I die Effektivwerte von Spannung und Strom bezeichnen. Die Spule stellt für den Wechselstrom jedoch einen Widerstand dar, der sich aus dem ohmschen Widerstand und dem induktiven Widerstand zusammensetzt. Den Sachverhalt erläutert folgendes Ersatzschaltbild: R Der Wechselstromwiderstand ist wie oben das Verhältnis von Strom und Spannung. Es gibt aber eine Phasenverschiebung zwischen dem ohmschen und dem induktiven Widerstand, die gegeben ist durch: tan =! R und für den Wechselstromwiderstand gilt: U I = R+ = 5 p R 2 +! 2 2 (5)

6 3 Versuchsaufbau 3.1 Der Kondensator Beschreibung Mit dem Amperemeter wird der Strom gemessen, der durch den Kondensator fließt. Mit dem Voltmeter wird die Spannung am Kondensator gemessen Skizze A V C 3.2 Die Spule Beschreibung Mit dem Amperemeter wird der Strom gemessen, der durch die Spule fließt. Mit dem Voltmeter wird dir Spannung an der Spule gemessen Skizze A V 4 Die Messung 4.1 Meßmethode Der Kondensator Nachdem wir uns überzeugt haben, daß die Kondensatoren keinen Schluß hat (keine adung fließt), wird die oben angegebene Schaltung aufgebaut. Es wird eine Wechselspannung angelegt und die Kapazität C nach (1) bestimmt. Anschließend werden die beiden Kondensatoren parallel geschaltet und deren Gesamtkapazität bestimmt. Abschließend wird noch die Gesamtkapazität der Reihenschaltung der beiden Kondensatoren bestimmt. 6

7 4.1.2 Die Spule An die oben angegebene Schaltung wird eine Gleichspannung angelegt. Der ohmsche Widerstand der Spule kann nun nach (2) bestimmt werden. Anschließend wird eine Wechselspannung angelegt. Der Wechselstromwiderstand der Spule ohne Kern wird nach (5) bestimmt. Daraus folgt direkt die Induktivität. Nacheinander werden die beiden zur Verfügung stehenden Eisenkerne schrittweise in die Spule eingeschoben. Dadurch kann die Induktivität in Abhängigkeit der Einschubtiefe nach (5) bestimmt werden. 4.2 Meßwerte Der Kondensator Nach (1) gilt für die Kapazität C = I.!U Kondensator C 1 U = V I = ma! = 100 Der Kondensator hat eine Kapazität von C 1 = 15 3 F. Kondensator C 2 U = V I = ma! =100 Der Kondensator hat eine Kapazität von C 2 = F. Für den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung zweier Kondensatoren gilt C ges = C 1 + C 2. Für den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung zweier Kondensatoren gilt 1 C ges = 1 C1 + 1 C2. Parallelschaltung U = V I =240 3 ma! = 100 Die Kondensatoren haben eine Gesamtkapazität von C ges = 18 4 F. Durch Rechnung ergibt sich eine erwartete Gesamtkapazität von C ges =174F. Reihenschaltung U = V I = ma! =100 Die Kondensatoren haben eine Gesamtkapazität von C ges = F. Durch Rechnung ergibt sich eine erwartete Gesamtkapazität von C ges = F Die Spule Gleichstromwiderstand Der Gleichstromwiderstand wird nach (2) bestimmt: R = U I. U = V I = A Die Spule hat einen Gleichstromwiderstand von R = Wechselstromwiderstand q Die Induktivität wird nach (5) bestimmt: = 1 U 2! I2 ; R 2, wobei R der Gleichstromwiderstand ist. U = V I = ma 7

8 Die Spule hat eine Induktivität von = mh. Nach (5) ergibt sich der Wechselstromwiderstand der Spule zu R = Mit zwei verschiedenen Kernen massiver Eisenkern ` [cm] I [ma] [H] 1 110,5 0, ,7 0, , , ,2 0, ,4 0, ,7 0, ,7 0, , , ,2 0, ,6 0, ,2 0, ,8 0, ,6 0, ,7 0, ,8 0, ,1 0, ,4 0, ,75 0, ,3 1, ,045 lamellierter Eisenkern ` [cm] I [ma] [H] , , , ,8 0,2 9 49,5 0, ,5 0, ,2 0, ,6 0, ,9 0, ,1 0, ,5 0, ,2 1, ,1 1, ,1 1, ,3 1, ,8 1, ,1 1, ,5 1, , ,6 1, ,3 1, ,942 Die Funktion der Induktivität in Abhängigkeit der Einschubtiefe zeigen die beiliegenden Diagramme. 5 Auswertung 5.1 Fehlerbetrachtung Der Kondensator Nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz gilt für den Fehler in C = C = Analog für die Reihen- und Parallelschaltung. I :!U s 1 2!U I + ; I 2! 2 U! + ; I 2!U 2 U 8

9 5.1.2 Die Spule p Es gilt = 1 2 ; R 2 mit = U! I Differentials: 2d= und R = U= I=, also ; 2 =!2 1 2 ; R 2. Bildung des totalen 1 (2 d ; 2RdR)! 2! wurde dabei als konstant angenommen. Demnach ist die Meßungenauigkeit von im ungünstigsten Fall = 1! 2 ( + R R) und nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz ist die Standardabweichung s = 1 p! R 2 R 2 Für R und gilt nach der Fehlerregel für Potenzprodukte: R R R = R U= R U= + I= I= = U U + I I Also ist bzw. v s = 1 u t 4! 2 = 1 U! 2 2 U + I + R 2 U= + I = I U = I = U 2! I R U I 4 U= U = 2 + I= I = 2! Für R ergibt sich mit! sofort die einfache Näherung s U 2 I 2 s = + U I 5.2 Diskussion = oder =, also Bei einem Amperemeter ist der Innenwiderstand möglichst klein, damit die Schaltung wenig beeinflußt wird. Bei einem Voltmeter ist der Innenwiderstand möglichst groß, damit die Schaltung wenig beeinflußt wird. Dies ist bei den verwendeten Meßgeräten gegeben. Also ist der Fehler, der durch die Meßgeräte entsteht wesentlich kleiner, als der Fehler durch Ableseungenauigkeit Der Kondensator Die verwendeten Geräte haben 1% Fehler vom Gesamtausschlag, d. h. I =0 3 ma, U =0 1 V,! =0 1 Hz. Es ergibt sich also ein Fehler in der Kapazität von C =3F für C 1 und C = 0 9 F für C 2. Die berechneten Werte der Reihen- und Parallelschaltung stimmen sehr gut mit den gemessenen Werten überein. 9

10 5.2.2 Die Spule Die verwendeten Geräte haben 1% Fehler vom Gesamtausschlag, d. h. I = I = = 0 3 ma, U =U = =0 1V. Es ergibt sich also ein Fehler in der Induktivität von =1 3mH. Der Fehler im Gleichstromwiderstand berechnet sich (mal wieder) nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz. 6 usatzaufgaben und Fragen aus der Versuchsanleitung 6.1 Der Kondensator Strom und adung sind verknüpft durch I = dq dt. Über dem Kondensator fällt die Spannung U C = q C ab, wobei q die adung ist, die sich zum betrachteten eitpunkt t auf den Kondensatorplatten befindet. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt für die angelegte Spannung U ; U C =0 Es wird eine Wechselspannung U = U 0 cos!t angelegt. Es gilt dann: U 0 cos!t ; q C =0 ) q = U 0C cos!t Damit kann man durch einmaliges Differenzieren den Strom berechnen: I = dq dt = ;!CU 0 sin!t Er erreicht seinen Maximalwert, wenn sin!t = ;1 ist, also wenn!t = 3 2 : I 0 =!CU 0 Mit der Beziehung sin!t = ; cos ;!t + 2 kann man den Strom schreiben als: I = ;!CU 0 sin!t = ;I 0 sin!t = I 0 cos!t + 2 Das ist der Strom, der durch einen rein kapazitiven Widerstand fließt. Der usammenhang zwischen Strom und Spannung läßt sich so schreiben, wie man es vom ohmschen Widerstand her gewöhnt ist: I 0 =!CU 0 = U 0 1!C = U 0 C Die Größe 1!C bezeichnet: im Nenner entspricht formal einem Widerstand und wird als kapazitiver Widerstand C = 1!C 10

11 Im U,I U(t) U I Re I(t) t 6.2 Die Spule Infolge der Änderung des magnetischen Flusses wird in der Spule die Spannung di induziert. Für dt den Spannungsabfall über der Spule ergibt sich U = di. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel dt gilt für die angelegte Spannung: U ; U =0 Mit der Wechselspannung U = U 0 cos!t erhält man: Integration ergibt den Strom: U = U 0 cos!t = di dt ) di = U 0 cos!t dt I = U 0 cos!t dt = U 0 sin!t + K! Die Integrationskonstante K ist dabei die mittlere Stromstärke, denn der Mittelwert von sin!t über eine oder mehrere Perioden ist Null. Hat der Strom keinen Gleichstromanteil, so wird I = U 0! sin!t = I 0 sin!t Wie oben kann man mit sin!t =cos ;!t ; 2 schreiben: I = I 0 cos Umschreiben wie für den ohmschen Widerstand liefert: Die Größe! heißt induktiver Widerstand:!t ; 2 I 0 = U 0! = U 0 =! 11

12 Im U,I U I Re t U(t) I(t) Drosselspule Ein ohmscher Vorwiderstand wandelt die Energie in Joulesche Wärme um. Eine Spule dagegen setzt dem Strom aufgrund der enzschen Regel eine Gegenspannung als Widerstand entgegen. Man spricht auch von einem Blindwiderstand. Der Einsatz einer Drosselspule empfiehlt sich besonders in temperaturempfindlichen Schaltungen, sowie in Schaltungen, die große eistung verbrauchen, da hier oftmals die ohmschen Widerstände gigantische Ausmaße annehmen. 6.3 Anhang Graphen Im folgenden ist Kurve 1 mit massivem Kern und Kurve 2 mit lamelliertem Kern: 1. Diagramm: Induktivität als Funktion der Einschubtiefe 2. Diagramm: Strom als Funktion der Einschubtiefe Original-Meßprotokoll 12