Für Kommentare zu Fehlern und Verbesserungsvorschlägen bin ich weiterhin dankbar:

Transkript

1 Dieses Skript ist die überarbeitete und deutlich erweiterte Version des Kosmologieteils des bisherigen Gesamtskripts und geht etwas über den Vorlesungsstoff hinaus, insbesondere bei den verschiedenen FRW-Modellen. Bei Verweisen außerhalb dieses Teils kann teilweise im alten Gesamtskript nachgeschaut werden, es sollte aber auch so hoffentlich alles verständlich sein. Für Kommentare zu Fehlern und Verbesserungsvorschlägen bin ich weiterhin dankbar: 1

2 15 Kosmologie als exakte Wissenschaft Die Kosmologie beschäftigt sich mit dem Aufbau sowie der Entstehung und Entwicklung des Kosmos als Ganzem. Sie versucht zu verstehen, wie sich das Universum in den Zustand entwickelt hat, den wir heute beobachten und wie die zukünftige Entwicklung aussehen wird. Der Mensch hat sich über diese Fragen in der einen oder anderen Form schon immer Gedanken gemacht. Bereits in der Antike gab es Modelle für unser Universum, insbesondere die Philosophen in Griechenland beschäftigten sich mit solchen Fragen. Claudius Ptolemäus p18 entwickelte ein Weltbild, in dem sich die Erde im Mittelpunkt des Weltalls befindet und vom Mond, der Sonne und allen Planeten umkreist wird. Diese Vorstellung setzte sich durch, obwohl zum Beispiel Aristarchos von Samos p19 bereits ein heliozentrisches Weltbild vertrat. Erst Copernicus und Kepler entdeckten das heliozentrische Weltbild mit der Sonne im Mittelpunkt des Weltalls wieder. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts ist es mit Hilfe immer leistungsstärkerer Teleskope im Zusammenspiel mit der neu entwickelten ART möglich geworden, die Kosmologie als auf Beobachtungen basierte Naturwissenschaft zu betreiben, nachdem sie vorher eher eine philosophische Disziplin war. Besonders in den letzten beiden Jahrzehnten haben neue Erkenntnisse unsere Vorstellungen über das Universum sehr erweitert und verändert. Beobachtungen weit entfernter Supernovae mit dem Hubble Space Telescope ließen den Schluß zu, dass unser Universum entgegen allen Erwartungen beschleunigt expandiert. Die Entdeckung des Mikrowellenhintergrundes in den sechziger Jahren lieferte starke Hinweise darauf, dass das Universum aus einem Urknall hervorgegangen ist und die genaue Analyse des Mikrowellenhintergrundes insbesondere mit den Satelliten CO- BE, WMAP und vor kurzem Planck lieferte und liefert detaillierte Informationen über das junge Universum. Selbst über die allerersten Sekundenbruchteile nach dem Urknall werden heute Überlegungen angestellt und mit Beobachtungen verglichen. Wir werden detailliert auf die gerade angesprochenen Missionen und die mit ihrer Hilfe gewonnenen Einsichten eingehen. Bevor wir dies aber sinnvoll tun können, müssen wir uns Gedanken über die theoretischen Modelle für mögliche Universen machen und aus der ART Grundgleichungen zur Beschreibung der Dynamik des Universums herleiten. Beginnen möchten wir unsere Diskussion aber mit einem jahrhundertealten Problem, das im Laufe der Zeit einer großen Zahl von Forschern Kopfzerbrechen berei- Kosmologie 283

3 15 Kosmologie als exakte Wissenschaft tet hat und ein erstes Gefühl für die Problemstellungen in der Kosmologie vermitteln soll Olber s Paradoxon: Ein Grundproblem der Kosmologie Dieses nach Heinrich Olbers benannte Problem können wir vereinfacht in Form einer Frage formulieren: Warum ist es in der Nacht dunkel? Olbers beschäftigte sich anfangs des 19. Jahrhunderts mit diesem Problem, vor ihm war es aber schon vielen anderen Forschern bekannt und lässt sich mindestens bis Thomas Digges und Johannes Kepler im 16. Jahrhundert zurückdatieren. Auf den ersten Blick mag die Antwort auf diese Frage offensichtlich sein: Nachts ist es dunkel, weil die Sonne hinter der Erde steht und uns ihr Licht nicht erreichen kann. Gleichzeitig scheinen die anderen Sterne viel zu weit entfernt um eine, im Vergleich zur Sonne, nennenswerte Lichteinstrahlung zu verursachen. Allein zu erkennen, dass die Antwort auf diese Frage bei weitem nicht so einfach ist, ist daher schon eine Leistung, die großen Respekt verdient. Bei einer genaueren Betrachtung ergeben sich nämlich für diese Argumentation Probleme. Angenommen unser Universum sei unendlich groß und die Dichte n der Sterne sei im Mittel konstant im ganzen Universum. Wir wollen auch die unterschiedlichen Sterntypen vernachlässigen, und annehmen, alle Sterne im Universum hätten die gleiche Leuchtkraft L. Der uns von einem Stern in der Entfernung r erreichende Strahlungsstrom S hängt dann über S(r) 1 4πr 2 (15.1) mit der Entfernung zusammen, siehe auch Kapitel 7. Um den gesamten Strahlungsstrom dj aller Sterne in einer Entfernung zwischen r und r + dr zu berechnen müssen wir den Strahlungsstrom eines dieser Sterne mit der Anzahl der Sterne dn = n dv in der Kugelschale zwischen r und r + dr multiplizieren. Da die Oberfläche der Kugel O = 4πr 2 quadratisch mit r steigt (Abb. 15.1), erhalten wir dv = 4πr 2 dr und weiter dj S(r)dN(r) n4πr2 dr = n dr. (15.2) 4πr2 Für alle Sterne des von uns angenommenen Universums erhalten wir dann den 284

4 15.1 Olber s Paradoxon: Ein Grundproblem der Kosmologie dn 2 = 4πr 2 2 ndr dr r 2 r 1 Abbildung 15.1: Bei homogoner Sterndichte im Universum steigt die Anzahl dn der Sterne im Volumen zwischen den Kugeln mit Radius r und r + dr quadratisch mit r, während der Fluss pro Stern quadratisch mit r abnimmt. dn 1 = 4πr 2 1 ndr Strahlungsstrom J ˆ 0 n dr. (15.3) Nach unserer einfachen Überlegung müsste der Nachthimmel also unendlich hell sein. Wie können wir diese offensichtliche Diskrepanz zum beobachteten, dunklen Nachthimmel erklären? Ein erster Schritt ist zu erkennen, dass wir gerechnet haben, als wenn unsere Sterne punktförmige Gebilde sind. Wenn wir berücksichtigen, dass reale Sterne ausgedehnte Objekte sind, dann ändert das unsere Vorhersage erheblich. Sehr weit entfernte Sterne werden jetzt mit einer mit der Entfernung steigenden Wahrscheinlichkeit von näher bei uns gelegenen Sternen verdeckt. Egal wohin wir schauen, nach einer bestimmten Entfernung landen wir auf der Oberfläche eines Sterns. Damit können weiter weg gelegene Sterne nicht mehr zum Strahlungsstrom auf der Erde beitragen. Ein anschauliches Analogon zu dieser Situation ist ein Wald. Egal in welche Richtung man hier schaut, irgendwann steht ein Baum im Weg und verhindert, dass man aus dem Wald herausschauen kann, solange der Wald nur groß genug ist. Bei einem unendlich großen Wald spielt es keine Rolle, wie dünn verteilt die Bäume sind, ob sie in Gruppen angeordnet sind, so wie Sterne sich in Galaxien sammeln. Irgendwann kommt in jeder Richtung ein Baum. In Abbildung 15.2 ist diese Situation für einen Himmelsausschnitt veranschaulicht. In diesem Fall könnten wir aber dann immer noch einen Nachthimmel erwarten, der in jeder Richtung etwa so hell ist wie die Sonne. Hier ist die Entfernung zu den Sternen nicht entscheidend wie man sich leicht klarmachen kann. Befindet man sich nämlich im Inneren einer Kugel, deren Innenoberfläche homogen mit konstanter Leistung leuchtet, so erscheint diese Kugel einem unabhängig von ihrem Radius mit einer bestimmten Helligkeit. Die Argumentation ist auch hier die, dass von einer doppelt so großen Kugel pro Fläche nur ein Kosmologie 285

5 15 Kosmologie als exakte Wissenschaft Abbildung 15.2: In einem undendlich großen Universum mit ausgedehnten Sternen liegt in beliebiger Blickrichtung irgendwo die Oberfläche eines Sternes, ähnlich wie in einem Wald in jeder Richtung irgendwo ein Baum im Blick steht. Viertel der Strahlungsleistung bei uns ankommt, gleichzeitig die Fläche der Kugel aber viermal so groß ist. Da die Sonne nur etwa 1/ des Himmels ausfüllt, würde auf die Erde in diesem Fall die fache Strahlungsleistung fallen, genug um alle Ozeane zu verdampfen und auch die Erde in kurzer Zeit zu schmelzen. Allein die Berücksichtigung der endlichen Größe von Sternen hilft uns also nicht, das Paradoxon aufzulösen. Auch die Annahme, dass etwa interstellarer Staub unsere Sicht auf weit entfernte Sterne verdunkelt hilft, uns nicht weiter. Dieser Staub würde sich solange erhitzen, bis er die gleiche Temperatur wie die Sternoberflächen hätte und dementsprechend gleich hell strahlen würde. Wir müssen also noch zusätzliche Vermutungen ins Spiel bringen um das Paradoxon aufzulösen, diese gehen aber letztlich alle in die gleiche Richtung: Wenn der Himmel dunkel ist, dann liegt nicht in jeder Richtung am Himmel ein Stern, den wir sehen können. Wenn das so ist, dann muss eine unserer Vorbedingungen falsch sein. Es könnte etwa sein, dass die Strahlungsleistung von Sternen schneller als mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt, wie wir sehen werden ist das in gewissen kosmologischen Modellen aufgrund der Raumkrümmung tatsächlich so, oder dass es ab einer bestimmten Entfernung von der Erde keine Sterne mehr gibt. Eine Lösung des Paradoxons könnte also ein endlich großes Universum sein. Johannes Kepler ging etwa von diesem Fall aus. [60] Es ist aber auch möglich, dass unser Universum, zwar unendlich groß, aber nicht unendlich alt ist, so dass das Licht sehr weit entfernter Sterne noch nicht genug Zeit hatte, um uns zu erreichen. Aus dem Olbersschen Paradoxon erhalten wir also bereits einen Hinweis darauf, dass unser Universum möglicherweise nicht unendlich groß, bwz. nicht statisch oder nicht unendlich alt ist. In Abbildung 15.3 finden sich Skizzen, die die gerade diskutierten Fälle veranschaulichen. 286

6 15.1 Olber s Paradoxon: Ein Grundproblem der Kosmologie Erde Erde (a) Unendlich großes unendlich altes Universum mit punktförmigen Sternen. (b) Unendlich großes unendlich altes Universum mit ausgedehnten Sternen. Erde Erde (c) Endlich großes Universum. (d) Unendlich großes Universum aber mit endlichem Alter. Abbildung 15.3: Skizzen zur Erklärung des Olberschen Paradoxons. a) In einem unendlich ausgedehnten Universum mit punktförmigen, unendlich alten Sternen wäre der Himmel unendlich hell. b) Durch die endliche Ausdehnung der Sterne ist die Sicht zu weiter hinten liegenden Sternen durch weiter vorn liegende verdeckt. c) In einem endlich großen Universum gibt es in manche Richtungen am Himmel keinen Stern, ähnliches gilt auch in einem endlich alten Universum, dort hatte das Licht weit entfernter Sterne nicht genug Zeit, den Beobachter zu errreichen. Kosmologie 287

7 15 Kosmologie als exakte Wissenschaft Wie bereits erwähnt hat das Olberssche Paradoxon im Laufe von Jahrhunderten sehr viele Forscher beschäftigt und es wurden die unterschiedlichsten Lösungsansätze vorgeschlagen. Der interessierte Leser findet in einem Artikel von E. R. Harrisson [61] einen kurzen geschichtlichen, aber auch wissenschaftlichen Überblick. Wer sich noch mehr in das Thema vertiefen möchte, dem sei das schöne Buch Darkness at Night: A Riddle of the Universe [60] des selben Autors empfohlen Modellbildung in der Kosmologie Wir werden in den folgenden Kapiteln sehen, dass es heutzutage sehr starke Hinweise darauf gibt, dass unser Universum tatsächlich vor endlicher Zeit aus einem Anfangszustand sehr hoher Dichte und Temperatur hervorgegangen ist. Bevor wir uns aber ein zusammenfassendes Bild davon machen können, wie die heutige Vorstellung von der Entwicklungsgeschichte des Universums aussieht, müssen wir grundlegende Überlegungen anstellen, wie wir überhaupt ein mathematisch behandelbares Modell des Universums erstellen können. In diesem Rahmen werden wir auf die ART zurückgreifen, denn sie ist nach derzeitigem Wissen diejenige Theorie, die die Gravitation am besten beschreibt. Bei unserer Behandlung der ART haben wir gesehen, dass diese uns mit den Feldgleichungen eine Relation zwischen der Geometrie des Raumes und der Materie-, bzw. allgemeiner der Energieverteilung im Raum vorgibt. Allerdings legt die ART die Energieverteilung im Universums nicht fest. Um die Menge der möglichen Energieverteilungen auf eine solche, physikalisch begründete, Untermenge einzuschränken, die wir dann mathematisch genauer untersuchen können. Wir werden sehen, dass auch nach dieser Einschränkung noch eine Vielzahl an freien Parametern übrigbleibt. Die ART liefert uns also nicht ein Bild unseres Universums, sondern eine ganze Vielzahl möglicher Modelle, aus denen wir dann anhand weiterer Kriterien das Modell auswählen müssen, das unser Universum am besten beschreibt. Letztlich werden diese Kriterien aus Beobachtungsergebnissen folgen. Wir werden danach aber weiter sehen, dass für die Entwicklung des ganz jungen Universums aber auch bei der Diskussion der möglichen Zukunft unseres Universums, noch weitere Überlegungen notwendig sind, die zum Teil auch über die ART hinausgehen, und die Berücksichtigung von quantenmechanischen Effekten nötig machen, für die noch keine umfassende Theorie vorliegt. 288

8 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen Wir haben in Kapitel 13 gesehen, dass die Feldgleichungen der ART nichtlineare, gekoppelte Differentialgleichungen und nur in Sonderfällen analytisch lösbar sind. Gleichzeitig wissen wir, dass unser Universum ein äußerst kompliziertes Gebilde ist. Unser Sonnensystem besteht aus der Sonne, Planeten und vielen kleineren Körpern, zusammen mit vielen weiteren Sternen, über deren Systeme wir allenfalls teilweise Informationen haben, bildet unsere Sonne die Milchstraße. Auf Größenskalen jenseits der Milchstraße bilden viele Galaxien noch größere Strukturen von Haufen und Superhaufen. Es ist also offensichtlich, dass eine mathematische Beschreibung des Universums und seiner Dynamik mit Hilfe der ART nur möglich sein kann, wenn dazu vereinfachende Annahmen getroffen werden. Diese Annahmen müssen natürlich durch Beobachtungen des tatsächlichen Universums gestützt werden bzw. darauf begründet sein Homogenität und Isotropie des Universums Wie können solche Modellannahmen aussehen? Eine Antwort gab Einstein 1917 mit dem Einsteinschen Kosmologischen Prinzip in seinem Artikel Kosmologische Betrachtungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie", [62] einer der ersten Arbeiten in der die ART auf kosmologische Fragen angewendet wurde. (In seiner Grundaussage ist das Kosmologische Prinzip deutlich älter, schon im antiken Griechenland gab es solche Gedankengänge, aber Einstein verwendete es zum ersten Mal im Rahmen der ART.) Die Aussage des Kosmologischen Prinzips lautet Der Raum ist homogen, d.h. es ist kein Punkt ausgezeichnet, und isotrop, d.h. es ist keine Richtung ausgezeichnet. Anders formuliert, aber mit der gleichen Grundaussage können wir auch sagen Wir auf der Erde sind nicht an einem speziellen Platz des Universums. Auf großen Längenskalen sieht das Universum für Beobachter an beliebigen Punkten gleich aus. Kosmologie 289

9 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen Diese Annahme ist ganz zentral und wird uns durch unsere gesamte Diskussion der Kosmologie begleiten. Es lohnt sich daher sie genauer zu betrachten. Als erstes machen wir uns klar, dass das Kosmologische Prinzip offensichtlich Beobachtungen des Universums widerspricht, sowohl auf der Erde als auch auf deutlich größeren Längenskalen. So ist unser Sonnensystem weder homogen noch isotrop: Die Sonne als der mit Abstand massereichste und hellste Körper im Sonnensystem gibt eine Vorzugsrichtung vor. Die Materie im Sonnensystem ist auch in keinster Weise homogen verteilt, die Sonne vereint weit über 99% der Gesamtmasse auf sich. In unserem Sonnensystem ist die Erde darüberhinaus auch mit Sicherheit ein besonderer Punkt, auf keinem anderen Planeten könnten wir überleben. Aber auch wenn wir noch größere Längenskalen betrachten ist der Raum nicht homogen oder isotrop: Nachts erkennen wir am Himmel das Band der Milchstraße. Das Zentrum der Milchstraße gibt uns wieder eine Vorzugsrichtung vor. Offensichtlich müssen wir also noch größere Längenskalen betrachten. Das ist insbesondere deshalb interessant, weil 1917 noch nicht klar war, ob es außerhalb unserer Milchstraße noch weitere Galaxien gibt, oder ob es sich dabei um Nebel innerhalb der Milchstraße handelte. Diese Frage konnte erst E. Hubble 1923 klären. Wieviel größere Gebiete müssen wir betrachten? Astronomen haben festgestellt, dass Galaxien sich zu Haufen und Superhaufen zusammenschließen und daher riesige inhomogene und anisotrope Strukturen bilden. Die typische Längenskala, ab der die Näherung, die im Kosmologischen Prinzip steckt gut wird, beträgt etwa 10 8 oder mehr Lichtjahre, als Richtgröße merken wir uns d 100 Mpc, also eine sehr große Entfernungsskala. Dennoch werden wir sehen, dass diese Skalen immer noch deutlich kleiner sind, als die Ausdehnung des sichtbaren Universums. Die Vorstellung ganze Galaxien oder Ansammlungen von Galaxien wegzumitteln fällt anfangs fast zwangsweise schwer. Andererseits sind wir aber in diesem Teil unserer Diskussion am Universum als ganzes interessiert, und die Ausdehnung einer Galaxie ist, wie wir sehen werden, verschwindend klein im Vergleich zu den Distanzen zu den am weitesten entfernten Objekten, die wir heute kennen. Hinter den Überlegungen in den folgenden Kapiteln steht also immer ein Bild des Universums, in dem es homogen mit Materie und Energie gefüllt ist, wobei wir noch diskutieren müssen, welche Formen von Energie denkbar sind Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik Die allgemeinste Form einer mit den gerade eingeführten Annahmen verträglichen Metrik ist die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik p20,p21,p22,p23. Im 290

10 16.2 Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik Folgenden schreiben wir verkürzt FRW-Metrik. Die Originalarbeiten von Robertson und Walker finden sich in den Referenzen [63 66]. Bei Verwendung der Koordinaten (ct,r,ϑ, ϕ) lautet ihr Linienelement [ dr ds 2 = c 2 dt 2 a 2 2 ( (t) 1 qr 2 + r2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2)], mit q = 0, ± 1. (16.1) Dabei hat a(t) die Dimension einer Länge, während r, ϑ und ϕ dimensionslos sind. Der Parameter q heißt Krümmungsindex und kann nur die drei angegebenen Werte 0, ±1 annehmen. Auf andere mögliche Koordinaten werden wir im Folgenden detailliert eingehen. Wir werden sehen, dass die FRW-Metrik Räume mit konstanter Krümmung beschreibt, wobei je nach Wert des Krümmungsindex q, drei Fälle unterschieden werden: Für q = 0 erhält man einen Euklidischen Raum, für q = 1 einen Sphärischen Raum und für q = 1 einen Pseudosphärischen Raum. An dieser Stelle darf aber nicht der Eindruck entstehen, die konstante Krümmung des Raumes wäre eine diskrete Größe. Der Wert von q gibt vielmehr nur das Vorzeichen einer eventuellen Krümmung an, die Größe der Krümmung wird über den Krümmungsradius festgelegt. Dieser ist bei unserer Koordinatenwahl nicht leicht zu erkennen. Eine alternative Form, in der er explizit auftaucht, wäre ds 2 = c 2 dt 2 a 2 (t) dr2 1 q r2 R 2 0 ( + r 2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2), mit q = 0, ± 1. (16.2) Unsere Koordinatenwahl entspricht also einer Normierung R 0 = 1. Wir werden in unserer Diskussion den Krümmungsradius als explizite Größe nicht benötigen und benutzen daher die Form (16.1). Es ist aber wichtig zu wissen, dass diese Größe existiert. Die Metrik (16.1) enthält außerdem den zeitabhängigen Längenskalierungsfaktor a(t). Dieser kann nicht aus der Homogenitäts- und Isotropieforderung bestimmt werden. Dazu werden wir die Feldgleichungen der ART benötigen. Wir möchten jetzt schrittweise überlegen, welche Struktur der Metrik mit den Forderungen des Kosmologischen Prinzips nach Homogenität und Isotropie verträglich ist und wie man aus diesen Überlegungen auf die Form (16.1) kommt Existenz einer universellen Zeit Wenn kein Punkt und keine Richtung im Universum ausgezeichnet sein sollen, so folgt, dass es eine universelle Zeitkoordinate t geben muss, die nicht vom Ort abhängt, d.h. die Zeit verstreicht an jedem Punkt in der selben Weise. Wäre dies nicht Kosmologie 291

11 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen so und an einem Punkt würde die Zeit z.b. langsamer vergehen, ähnlich wie etwa bei der Schwarschild-Metrik aus Abschnitt 14.1, so wäre die Homogenität des Raumes gebrochen und das Kosmologische Prinzip verletzt. Wenn eine universelle Zeit existieren soll, so müssen Raum und Zeit in der Metrik entkoppeln, d.h. die Metrik hat allgemein die Form ds 2 = c 2 dt 2 g ij dx i dx j = c 2 dt 2 dl 2, (16.3) mit dem räumlichen Abstand dl 2. Es folgt allerdings nicht, dass sich das Universum bei verstreichender Zeit nicht verändern darf. Die Veränderungen müssen nur im Mittel überall in gleicher Weise erfolgen, damit die Homogenität und Isotropie erhalten bleiben. Die strengere Forderung einer zeitlichen Homogenität würde bedeuten, dass unser Universum zu allen Zeiten gleich aussah. Diese Annahme, das sogenannte Perfekte Kosmologische Prinzip ist Grundlage der steady-state Theorie, die in den 50-er und 60-er Jahren des 20. Jahrhunderts populär war Homogene und isotrope Räume Nachdem wir gesehen haben, dass unsere Metrik in eine g tt -Komponente und g ij - Komponenten zerfallen muss, können wir uns jetzt mit der möglichen Struktur des Raumanteiles dl 2 = g ij dx i dx j befassen. Die Eigenschaften der FRW-Metrik lassen sich gut anschaulich im zweidimensionalen Fall diskutieren. Wir betrachten in diesem Abschnitt daher die zu den möglichen Werten q = 0, ±1 gehörenden Metriken für zweidimensionale Räume mit den Koordinaten (r,ϕ). Aus (16.1) erhalten wir dann das diesem Kapitel zugrundeliegende Linienelement [ dr dl 2 = a 2 2 (t) ]. (16.4) 1 qr 2 + r2 dϕ 2 Es ist anschaulich klar, dass nur Räume mit konstanter Krümmung die Bedingungen der Homogenität und Isotropie erfüllen, im zweidimensionalen Fall also z.b. die Ebene mit Krümmung Null oder die Kugeloberfläche mit Krümmung 1/a, wobei a den Kugelradius bezeichnet. Auf der Ebene und auf der Kugeloberfläche sind für ein Flächenelement kein Punkt und keine Richtung ausgezeichnet. Dagegen würde eine ortsabhängige Krümmung die Homogenität zerstören. a) Der Fall q = 0: Die Euklidische Ebene Setzen wir in Gleichung (16.4) q = 0, so erhalten wir [ dl 2 = a 2 (t) dr 2 + r 2 dϕ 2]. (16.5) 292

12 16.2 Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik Man erkennt sofort die Metrik der Euklidischen Ebene in Polarkoordinaten, allerdings mit einem zusätzlichen Skalenfaktor a(t). Auf der Ebene können sich also die Abstände ruhender Punkte mit der Zeit ändern. Ein anschauliches Beispiel dazu wäre ein, allerdings unendlich ausgedehntes, Gummituch, das man dehnen oder stauchen kann. Auf dem Tuch liegende Objekte sind zwar bezüglich des Tuches in Ruhe, ihre gegenseitigen Abstände ändern sich aber dennoch. b) Der Fall q = 1: Die Metrik der Kugeloberfläche Wir betrachten als nächstes die Metrik einer Kugeloberfläche. Hier möchten wir eine etwas ausführlichere Rechnung vornehmen. Wir denken uns die Kugel in einen dreidimensionalen Euklidischen Raum eingebettet. In diesen Koordinaten leiten wir dann die Metrik für die Kugeloberfläche her und zeigen, dass wir sie in die Form (16.4) mit q = 1 bringen können. Zur Beschreibung des dreidimensionalen Raumes verwenden wir die Koordinaten ˆx 1, ˆx 2 und ˆx 3. Der Radius unserer Kugel sei a. Für den Abstand zweier infinitesimal benachbarter Punkte auf der Kugeloberfläche gilt dann dl 2 = d ˆx d ˆx2 2 + d ˆx2 3, (16.6) mit der Nebenbedingung, dass die betrachteten Punkte auf der Kugeloberfläche liegen, d.h. ˆx ˆx2 2 + ˆx2 3 = a2 bzw. ˆx 1 d ˆx 1 + ˆx 2 d ˆx 2 + ˆx 3 d ˆx 3 = 0. (16.7) Damit kann man die abhängige Variable ˆx 3 und ihr Differential d ˆx 3 aus dem Linienelement eliminieren und erhält dl 2 = d ˆx d ˆx2 2 + ( ˆx 1d ˆx 1 + ˆx 2 d ˆx 2 ) 2 a 2 ˆx 2 1 ˆx2 2 = (a2 ˆx 2 2)d ˆx ˆx 1 ˆx 2 dx 1 dx 2 + (a 2 ˆx 1 2)d ˆx2 2 a 2 ˆx 1 2. ˆx2 2 Wir transformieren auf sphärische Polarkoordinaten über (16.8) ˆx 1 = a sin ϑ cos ϕ, ˆx 2 = a sin ϑ sin ϕ, ( ˆx 3 = a cos ϑ). (16.9) Dabei haben wir die Transformationsgleichung für ˆx 3 nur der Vollständigkeit halber angegeben. Eine elementare Umrechnung ergibt dann dl 2 = a 2 ( dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). (16.10) Dies ist die Metrik der Oberfläche einer Kugel mit Radius a. Anschaulich wird die Kugel also zeitabhängig entsprechend a(t) aufgeblasen oder geschrumpft. Kosmologie 293

13 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen r Abbildung 16.1: Äquidistante Raumintervalllinen in der Metrik der Kugeloberfläche. Die blauen Kreisbögen haben jeweils bezüglich der Metrik (16.12) den gleichen Raumabstand. Man sieht aber sofort, dass die Radialkoordinaten nicht äquidistant sind. Alle betrachteten Kreisbögen liegen im Wertebereich r [0, 1]. Wir führen eine weitere Transformation durch über die Zuordnung r = sin ϑ, dr = cos ϑ dϑ, dϑ 2 = dr2 1 r 2 (16.11) und erhalten dadurch ( dr dl 2 = a 2 2 ) (t) 1 r 2 + r2 dϕ 2, (16.12) mit der Beschränkung r [0,1]. In dieser Form erkennen wir die FRW-Metrik im zweidimensionalen Fall für q = 1. Die Bezeichnung sphärischer Raum wird über den Zusammenhang zur Kugeloberfläche klar. Die Koordinatenlinien entsprechen dabei denen in Polarkoordinaten, lediglich der r-maßstab ist durch den Faktor ( 1 r 2) 1/2 gedehnt. Für das Raumintervall zwischen dem Punkt bei r = 0 und einem zweiten Punkt bei r = r 1 mit ϕ beliebig folgt daher ˆ l = dr 1 r 2 = arcsin(r). (16.13) Die Radialkoordinate hat also, wie bei der Schwarzschild-Metrik, nicht die Bedeutung eines Abstandes. Hier können wir dies besonders leicht erkennen, weil wir von der Winkelkoordinate ϑ auf die Koordinate r transformiert haben. Abbildung 16.1 zeigt Kreisbögen, bei denen sich das Raumintervall jeweils um einen konstanten Wert ändert, man vergleiche mit Abbildung 14.2 auf Seite 234. Die Radialkoordinate r dagegen ändert sich nicht äquidistant. Der maximal zulässige Wert für r ist auch in diesem Diagramm natürlich 1. Eine alternative Darstellung dieser Metrik erhalten wir über die Transformation r = 2 tan(ϑ/2), d r = dϑ d r cos 2, dϑ =. (16.14) (ϑ/2) 1 + r

14 16.2 Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik Um in (16.10) den Ausdruck sin 2 ϑ durch r auszudrücken, drücken wir sin 2 ϑ durch tan(ϑ/2) aus. Das erreichen wir mit Hilfe der trigonometrische Relationen sin 2 ϑ = 4 sin 2 (ϑ/2) cos 2 (ϑ/2), sin 2 (ϑ/2) = cos 2 (ϑ/2) = Mit diesen Zusammenhängen ergibt sich ( sin 2 ϑ = 4 sin 2 (ϑ/2) cos 2 (ϑ/2) = 4 tan2 (ϑ/2) 1 + tan 2 (ϑ/2), tan 2 (ϑ/2) r2 4 ) ( r2 4 ) = (16.15) ( r 2 ) 2. (16.16) 1 + r2 4 Mit (16.16) und dem Ausdruck für dϑ aus (16.14) erhalten wir dl 2 = a2 (t) ( ) 2 (d r 2 + r 2 dϕ 2). (16.17) 1 + r2 4 Abschließend transformieren wir wieder auf Polarkoordinaten über und erhalten x = r cos ϕ, ȳ = r sin ϕ, r 2 = x 2 + ȳ 2 (16.18) dl 2 = a2 (t) ( ) 2 (d x 2 + dȳ 2). (16.19) 1 + r2 4 Diese Konform-Euklidischen Koordinaten entsprechen einer stereographischen Projektion der Kugeloberfläche auf die Ebene, siehe Abbildung Diese Form der FRW-Metrik wird ebenfalls oft verwendet. c) Der Fall q = 1: Die Metrik der Pseudosphäre Im Fall q = 1 führt die Nebenbedingung ˆx ˆx2 2 ˆx2 3 = a2, (16.20) die ein zweischaliges Rotationshyperboloid, auch Pseudosphäre genannt, beschreibt, zum Ziel. Abbildung 16.3 zeigt ein solches Rotationshyperboloid. Dabei nehmen wir außerdem eine Pseudo-Euklidische Metrik der Form dl 2 = d ˆx d ˆx2 2 d ˆx2 3 (16.21) Kosmologie 295

15 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen z ϕ ϑ P(x,y,z) P( x,ȳ) x, x y,ȳ Abbildung 16.2: Stereographische Projektion des Punktes P auf der Kugeloberfläche auf den Punkt P in der xȳ-ebene. an. Diese Wahl erscheint hier etwas willkürlich, und deutlich weniger anschaulich als der Fall der Euklidischen Ebene und der Kugeloberfläche. Der Grund für diese kompliziertere Wahl ist die Tatsache, dass kein zweidimensionaler Raum mit konstanter negativer Krümmung existiert, der in den Euklidischen Raum R 3 eingebettet werden kann. Auch auf dem Rotationshyperboloid gilt im Euklidischen Raum natürlich weiter dl 2 = d ˆx d ˆx2 2 + d ˆx2 3. Erst unsere spezielle Wahl der Metrik führt aber auf eine konstante negative Krümmung. Analog zur Kugeloberfläche führen wir neue Koordinaten ein über ˆx 1 = a sinh ϑ cos ϕ, ˆx 2 = a sinh ϑ sin ϕ, ( ˆx 3 = a cosh ϑ). (16.22) Wieder lässt sich die ˆx 3 Koordinate durch die Nebenbedingung (16.20) und ihre differentielle Form eliminieren. Entsprechend dem vorherigen Abschnitt kommen wir damit auf das räumliche Abstandsquadrat dl 2 = a 2 ( dϑ 2 + sinh 2 ϑdϕ 2). (16.23) Statt der Transformation in (16.11) benutzen wir dieses mal analog und kommen sofort auf r = sinh ϑ, dr = cosh ϑ dϑ, dϑ 2 = dr2 1 + r 2 (16.24) ( dr dl 2 = a 2 2 ) (t) 1 + r 2 + r2 dϕ 2. (16.25) 296

16 16.2 Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik N S Abbildung 16.3: Zweischaliges Rotationshyperboloid ˆx ˆx2 2 ˆx2 3 = a2 mit Einbettungszylinder ˆx 3 = ˆx ˆx2 2. Die beiden Pole N und S befinden sich bei ˆx 3 ± a. Abbildung 16.4: Äquidistante Raumintervalllinen in der Metrik der Pseudosphäre. Die blauen Kreisbögen haben jeweils bezüglich der Metrik (16.25) den gleichen Raumabstand. In diesem Fall ist die Radialkoordinate nicht beschränkt. r Wieder erkennen wir die zweidimensionale Form der FRW-Metrik, hier für q = 1. Die Koordinatenlinien entsprechend wieder denen in Polarkoordinaten bis auf eine Stauchung des r-maßstabs durch den Faktor ( 1 + r 2) 1/2. Für das Raumintervall zwischen dem Punkt bei r = 0 und einem zweiten Punkt bei r = r 1 mit ϑ und ϕ beliebig folgt in diesem Fall ˆ l = dr 1 r 2 = arcsinh(r), (16.26) siehe auch Abbildung Analog zur Einführung Konform-Euklidischer Koordinaten bei positiver Krümmung setzen wir r = 2 tanh(ϑ/2), d r = dϑ cosh 2 (ϑ/2) d r, dϑ =. (16.27) 1 r2 4 Kosmologie 297

17 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen Lediglich die Verwendung des Tangens Hyperbolicus statt des gewöhnlichen Tangens und einige Vorzeichenunterschiede in den entsprechenden trigonometrischen Relationen unterscheiden diese Transformation von (16.14). Ebenso können wir (16.16) unter Verwendung der gleichen trigonometrischen Relationen auf die Hyperbolischen Funktionen übertragen. Damit erhalten wir dl 2 = a2 (t) ( ) 2 (d r 2 + r 2 dϕ 2). (16.28) 1 r2 4 Schließlich können wir wieder die Transformation in Gleichung (16.18) vornehmen und gelangen dadurch zu dl 2 = a2 (t) ( ) 2 (dx 2 + dy 2). (16.29) 1 r2 4 Dies ist das Poincaré-Modell der Lobachevsky-Metrik. Im Vergleich zu (16.19) steht hier im Nenner des ersten Terms ein Minuszeichen. Eine weitere Form ergibt sich schließlich durch 1 + iw 1 iw Diese Transformation führt auf x + iȳ =, mit w = u + iv. (16.30) 2 ds 2 = du2 + dv 2 v 2, mit v > 0. (16.31) Dies ist die Metrik der Rotationsfläche der Traktrix oder Schleppkurve. Der Name rührt daher, dass ein Punkt, der an einer Stange gezogen wird, einer solche Kurve folgt. Die Rotationsfläche ist in Abbildung 16.5 dargestellt Der dreidimensionale Fall Die Ergebnisse der vorangegangenen Abschnitte lassen sich mathematisch leicht auf den dreidimensionalen Fall übertragen. Der Vorteil der Anschaulichkeit, die wir bis hier, abgesehen von der Pseudosphäre, hatten, geht uns jetzt aber verloren. Wir verzichten weitgehend auf die Darstellung der expliziten Rechnungen, lediglich den Fall q = 1, d.h. die 3-Sphäre, die Oberfläche der 4-dimensionalen Kugel, die wir uns 298

18 16.2 Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik Abbildung 16.5: Die Rotationsfläche der Traktrix oder Schleppkurve. Die zweidimensionale FRW-Metrik lässt sich im Fall q = 1 auf die Metrik dieser Rotationsfläche transformieren. in den 4-dimensionalen Euklidischen Raum mit Koordinaten ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3, ˆx 4 eingebettet denken können, möchten wir kurz anreißen. Es folgt in diesem Fall dl 2 = d ˆx d ˆx2 2 + d ˆx2 3 + ( ˆx 1d ˆx 1 + ˆx 2 d ˆx 2 + ˆx 3 d ˆx 3 ) 2 a 2 ˆx 1 2 ˆx2 2. (16.32) ˆx2 3 Dabei lässt sich ˆx 4 wiederum über die Nebenbedingung, dass nur Punkte auf der Kugeloberfläche betrachtet werden, eliminieren. Mit Hilfe der 4-dimensionalen sphärischen Polarkoordinaten ˆx 1 = a sin χ sin ϑ cos ϕ, ˆx 2 = a sin χ sin ϑ sin ϕ, ˆx 3 = a sin χ cos ϑ, ( ˆx 4 = a cos χ) (16.33) erhalten wir direkt das Linienelement [ ( dl 2 = a(t) 2 dχ 2 + sin 2 χ dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2)] (16.34) analog zu (16.10). Weiter erhalten wir das zu (16.12) äquivalente Linienelement [ dr dl 2 = a 2 2 ( (t) 1 r 2 + r2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2)] (16.35) über die Transformation r = sin χ. Auch die Transformation auf Konform-Euklidische Koordinaten ist analog möglich über r = 2 tan (χ/2). Die Metrik ergibt sich Kosmologie 299

19 16 Die Struktur unseres Universums - Grundlegende Modellannahmen damit zu dl 2 = a2 (t) ( ) 2 [d r ( 2 + r 2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2)], (16.36) 1 + r2 4 bzw. mit x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ und z = r cos ϕ auf dl 2 = a2 (t) ( ) 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2). (16.37) 1 + r Die FRW-Metrik in verschiedenen Koordinaten Man kann allgemein beweisen, dass aus der Forderung von Homogenität und Isotropie die von uns anschaulich gefundenen Lösungen mit verschwindender bzw. konstant positiver oder konstant negativer Krümmung folgen. Wir betrachten für diese abschließende Zusammenfassung wieder das volle Linienelement ds 2 = c 2 dt 2 dl 2. Alle Fälle lassen sich dann in folgenden Darstellungen der FRW-Metrik-Metrik zusammenfassen: Zum einen die Form [ dr ds 2 = c 2 dt 2 a 2 2 ( (t) 1 qr 2 + r2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2)], für q = 0, ±1. (16.38a) Mit der Koordinatentransformation r = χ, sin(χ), sinh(χ) ergibt sich [ sin 2 χ ds 2 = c 2 dt 2 a 2 (t) dχ 2 + χ (dϑ sin 2 ϑdϕ 2) ] für q = 1 für q = 0 sinh 2 χ für q = 1, (16.38b) und schließlich ds 2 = c 2 dt 2 a 2 (t) ) 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2), für q = 0, ±1, (16.38c) ( 1 + q r2 4 mit r = 2 tan(χ/2) für q = 1 und r = tanh(χ/2) für q = 1. Die Metriken in Gleichung (16.38) und insbesondere (16.38b) sind der Ausgangspunkt für die folgenden Betrachtungen. Eine gute Zusammenfassung der verschiedenen häufig verwendeten Koordinaten für die FRW-Metrik findet sich im Catalogue of Spacetimes. [23] Eine wesentliche Aufgabe der Kosmologie ist es, den Wert der Krümmung q und die Form des Skalenfaktors a(t) zu bestimmen. Dazu sind zum einen Beobachtungen und Experimente nötig, zum anderen aber auch theoretische Überlegungen und 300

20 16.2 Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik weitere Modellannahmen, um die experimentellen Ergebnisse mit diesen Größen in Form von mathematischen Gleichungen zu verknüpfen. Auf diese Überlegungen gehen wir in Kapitel 18 ein. Kosmologie 301

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22 17 Die Arbeit von Edwin Hubble am Mt. Wilson Observatorium Die Entdeckungen Edwin Hubbles p24 haben in den 1920er und 1930er Jahren starken Einfluss auf das Bild, das sich die Wissenschaft vom Universum machte, gehabt. So konnte er eine damals zentrale Frage der Kosmologie beantworten: Besteht das Universum nur aus der Milchstraße oder gibt es noch andere Galaxien? Seine wohl wichtigste Beobachtung aber war die Feststellung, dass weit entfernte Galaxien sich von uns fortbewegen. Damit legte er den Grundstein für die Idee eines expandierenden Universums. Der erste, der sich mit dieser Idee beschäftigte war er allerdings nicht, bereits 1927 hatte sich G. Lemaître Gedanken über ein expandierendes Universum gemacht. Hubble benutzte für seine Arbeit das 1917 in Betrieb genommene Hooker Teleskop mit einem 2,5 m Spiegel, das bis 1948 das größte Teleskop der Welt war. [67] 17.1 Entdeckung anderer Galaxien Als Hubble 1919 an das Mt. Wilson Observatorium kam, war die vorherrschende Meinung, dass das Universum nur aus der Milchstraße bestehe. Hubble gelang es, in mehreren Spiralnebeln, von denen damals unklar war, ob sie einfach Nebel innerhalb der Milchstraße oder eigene Galaxien waren, veränderliche Sterne, so genannte Cepheiden zu entdecken hatte H. S. Leavitt p25 mehrere Cepheiden in der Großen und Kleinen Magellanschen Wolke beobachtet. Dabei hatte sie bemerkt, dass eine enge Relation zwischen der Periodendauer P der Sterne und ihrer absoluten Helligkeit M in der Form M = M 0 c log P (17.1) besteht. [68, 69] Die Konstante c lässt sich dabei leicht aus der Messung mehrerer Cepheiden bestimmen. Für Distanzbestimmungen ist dieser Zusammenhang aber erst geeignet, wenn auch die absolute Helligkeit M 0 eines Referenz-Cepheiden mit Periode P 0 bestimmt werden kann. Dazu muss die Entfernung zu diesem Stern bestimmt werden. Eine erste solche Messung führte H. Shapley [70] durch. Damit können Cepheiden als Standardkerzen verwendet werden. Darunter versteht man Objekte, deren absolute Helligkeit aus bestimmten Eigenschaften hergeleitet werden kann, Kosmologie 303

23 17 Die Arbeit von Edwin Hubble am Mt. Wilson Observatorium ohne ihre Entfernung zu uns zu kennen. Aus der scheinbaren Helligkeit kann man dann die Entfernung zu einem solchen Objekt bestimmen. Dafür spielen Cepheiden bis heute eine wichtige Rolle. Eine weitere Standardkerze ist ein bestimmter Typ von Supernovae, auf die wir noch zu sprechen kommen werden. Hubble beobachtete in den Jahren mehrere solcher veränderlichen Sterne, unter anderem im Andromedanebel und konnte nun nachweisen, dass diese viel zu weit entfernt waren, als dass sie Teil der Milchstraße sein konnten. Hubble stellte seine Ergebnisse 1925 bei einer Konferenz der American Astronomical Society vor und veränderte damit die Vorstellungen über unser Universum stark Entfernungsabhängige Rotverschiebung Bereits 1912 hatte V. Slipher p26 begonnen, die spektrale Verschiebung von Galaxien zu beobachten. Seine erste Messung, die er 1913 veröffentlichte, führte er am Andromedanebel durch. Zufälligerweise ist dies eine der wenigen blauverschobenen Galaxien, da der Andromedanebel sich auf uns zubewegt. [71] In den Folgejahren analysierte Slipher aber die Spektren vieler Galaxien und entdeckte, dass die meisten rotverschoben waren. Hubble machte sich 1929 daran, eine mögliche Relation zwischen der Rotverschiebung von Galaxien und ihrer Entfernung von uns zu finden. Während die Messung der Rotverschiebung einer Galaxie relativ leicht möglich ist, ist die Bestimmung ihrer Entfernung eine sehr viel schwierigere und mit größeren Fehlern behaftete Aufgabe. Eine der Methoden, mit der Hubble dies versuchte, basierte auf der gerade erwähnten P-M-Relation. [72] Hubble fand tatsächlich einen einfachen linearen Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und Entfernung und zwar waren die Galaxien umso stärker rotverschoben, je größer ihre Entfernung war. Bei den Objekten, die Hubble beobachtete, war die Rotverschiebung klein, etwa in der Größenordnung z < 0,04 1. Wenn man, wie Hubble es tat, als Ursache für die Rotverschiebung den Dopplereffekt annimmt, so kann man einer bestimmten Rotverschiebung über den in Abschnitt gefundenen Zusammenhang z β, siehe Gleichung (6.89), eine Geschwindigkeit, mit der sich die entsprechende Galaxie von uns entfernt, zuordnen. Hubble fand also heraus, dass alle Galaxien, bis auf wenige, nicht sehr weit entfernte Ausnahmen, sich von uns entfernen und zwar um so schneller, je weiter sie von uns entfernt sind. Dabei gilt zwischen dieser Fluchtgeschwindigkeit genannten Geschwindigkeit v und der Entfernung d der lineare Zusammenhang v = H 0 d. (17.2) Der Proportionalitätsfaktor H 0 heißt Hubble-Konstante. Aus (17.2) sieht man so- 304

24 17.2 Entfernungsabhängige Rotverschiebung Abbildung 17.1: Originaldarstellung von Edwin Hubble zur entfernungsabhängigen Fluchtgeschwindigkeit von Galaxien. Später zeigte sich, dass die von ihm angenommenen Entfernungen viel zu klein waren. Aus [72]. fort, dass die Hubble-Konstante die Einheit s 1 haben muss. Aus historischen Gründen gibt man ihren Wert aber meist in der etwas ungewohnten, aber natürlich äquivalenten, Einheit km s 1 Mpc 1 an. Abbildung 17.1 zeigt eine Skizze aus Hubbles Veröffentlichung von Aus dem Bild wird die große Streuung der gemessenen Geschwindigkeiten im Vergleich zur für die jeweilige Entfernung erwarteten Geschwindigkeit deutlich. Dies liegt daran, dass die Galaxien relativ zum in der FRW-Metrik benutzten Koordinatensystem zufällige Geschwindigkeiten aufweisen können, so wie sich der Andromedanebel etwa auf uns zubewegt. Diese nicht von der Expansion des Universums herrührenden, für jedes Objekt verschiedenen, Geschwindigkeiten heißen Pekuliargeschwindigkeit, in der englischen Literatur wird von peculiar velocity gesprochen. Der Ursprung dieser Bezeichnung ist das lateinische Adjektiv peculiaris, das mit eigentümlich übersetzt werden kann. Die Pekuliargeschwindigkeit ist also eine jedem Objekt eigentümliche Geschwindigkeit und unabhängig von der Dynamik des Universums. Objekte, die keine Pekuliarbewegung durchführen, bzw. solche, die so weit von uns entfernt sind, dass ihre Pekuliargeschwindigkeit vernachlässigbar ist gegen die Fluchtgeschwindigkeit, heißen mitbewegte Objekte bzw. englisch comoving objects. Ein solches Objekt, z.b. eine Galaxie hat dann in der FRW-Metrik (16.38) konstante Koordinaten (r,ϑ,ϕ), (x,y,z) bzw. (χ,ϑ,ϕ). Aus den Messwerten bestimmte Hubble den Wert von H 0 auf etwa 500 km s 1 Kosmologie 305

25 17 Die Arbeit von Edwin Hubble am Mt. Wilson Observatorium a(t)r 34 r 34 r 23 r12 r 24 r 13 r 14 Expansion a(t)r 23 a(t)r 13 a(t)r 12 a(t)r 24 a(t)r 14 Abbildung 17.2: Die von E. Hubble gefundene Beziehung widerspricht nicht dem Kosmologischen Prinzip. So wie wir beobachten, dass sich alle Galaxien mit einer Geschwindigkeit proportional zu ihrer Entfernung von uns entfernen, beobachten das auch alle Beobachter in anderen Galaxien. Die Expansion ist homogen und isotrop. Mpc 1. Die von ihm bestimmten Entfernungen zu den beobachteten Galaxien waren allerdings viel zu klein, sein Wert war daher deutlich zu groß. Der genaueste Wert für H 0, der im Wesentlichen mit Hubble s Methode bestimmt wurde, lautet H 0 = 72 ± 8 km s 1 Mpc 1. [73] Für diese Beobachtungen wurde das Hubble Space Teleskop benutzt. Ein noch genauerer Wert ergibt sich aus den 7-Jahresdaten von WMAP [74] mit H 0,WMAP = 70,4 +1,3 1,4 km s 1 Mpc 1, (17.3) siehe dazu Kapitel 22. Bei den kleinen Rotverschiebungen, die Hubble beobachtete, lag die Interpretation als Dopplerverschiebung nahe. Wir werden sehen, dass mit heutigen Instrumenten Objekte beobachtet werden, für die z 1 gilt. In diesem Fall entspräche dies einer Geschwindigkeit v > c. Eine Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit steht allerdings nicht im Widerspruch zur SRT, weil wir als Ursache die Ausdehnung des Raumes betrachten, relativ zu dem die jeweiligen Galaxien in Ruhe sind. Außerdem ist die Definition einer Geschwindigkeit zweier Beobachter and verschiedenen Orten nur im flachen Raum trivial möglich, wie wir in Abschnitt bereits diskutiert haben. Wir gehen auf dieses Thema später nochmals genauer ein, wenn wir die Rotverschiebung quantitativ diskutieren. Ein weiterer Punkt könnte dem ein oder anderen Leser aufgefallen sein. Die Tatsache, dass sich alle Galaxien von uns entfernen, scheint im Widerspruch zum Kosmologischen Prinzip zu stehen, denn dadurch wird scheinbar zum einen ein Punkt, nämlich wir als Zentrum dieser Bewegungen und zum anderen eine Richtung, hin zu uns als dem Zentrum der Bewegung, ausgezeichnet. Dass dem nicht so ist, erkennt man leicht an Hand von Abbildung Wir betrachten 4 Galaxien und ihre gegenseitigen Entfernungen r ij in einem Universum in dem das Hubble-Gesetz (17.2) gilt. Nach einer bestimmten Zeit t haben sich diese Entfernungen um einen gemein- 306

26 17.2 Entfernungsabhängige Rotverschiebung samen Faktor a(t) geändert zu a(t)r ij. Alle Beobachter in allen Galaxien sehen also, dass sich alle anderen Galaxien mit einer Geschwindigkeit proportional zur Entfernung von ihnen fortbewegen. Diese einfache Überlegung zeigt uns, dass auch die von Hubble beobachtete Expansion bzw. entfernungsabhängige Fluchtgeschwindigkeit homogen und isotrop ist. Der Streckungsfaktor a(t) ist im gesamten Universum und in jeder Richtung gleich. Man kann sich diese Situation anhand eines Beispieles im Zweidimensionalen weiter veranschaulichen. Wir stellen uns einen Ameisenschwarm vor. Die Ameisen in diesem Schwarm sollen annähernd gleichverteilt ungeordnet auf einer Ebene bzw. auf der Oberfläche einer Kugel herumlaufen, während die Kugel größer oder kleiner wird, d.h. ihr Radius ist a = a(t). Bei der Ebene wäre a(t) analog ein Streckungsfaktor. Das Koordinatennetz auf der Kugel wird mit aufgeblasen oder geschrumpft, abhängig von der zeitlichen Entwicklung von a, die Ameisen entfernen sich zwar voneinander, sind aber lokal bezüglich des Koordinatennetzes an jedem Punkt der Kugeloberfläche im Mittel in Ruhe. Von jedem Punkt aus gesehen laufen alle anderen Punkte radial weg oder kommen auf ihn zu. Wenn sich alle Galaxien von uns, bzw. nach dem gerade gesagten ebenso von jedem anderen Punkt, mit einer zu ihrer Entfernung proportionalen Geschwindigkeit entfernen, so müssen sie früher offensichtlich näher beisammen gewesen sein. Wenn wir annehmen, dass ihre Geschwindigkeit sich nicht verändert hat, so können wir über die Bedingung vt = H 0 dt! = d (17.4) berechnen, wie lange sie jeweils gebraucht haben, um ihre heutige Entfernung von uns zu erreichen. Wir finden also t = H0 1. (17.5) Anders gesagt: Vor einer Zeit t = H0 1, die Hubble-Zeit heißt, waren alle Galaxien in Kontakt, vorausgesetzt, dass sie sich seitdem mit konstanter Geschwindigkeit voneinander entfernen. Die Zeit H0 1 kann daher als Abschätzung für das Alter des Universums verwendet werden. Im Bild der FRW-Metrik-Metrik ist der zeitabhängige Abstand zwischen Galaxien proportional zum Skalenfaktor a(t) und die Fluchtgeschwindigkeit zur Zeitableitung ȧ(t). Analog zur Hubble-Konstante können wir dann den Hubble-Parameter defineren als H(t) = ȧ(t) a(t). (17.6) Der Wert der Hubble-Konstante ergibt sich dann als Wert des Hubble-Parameters heute: H 0 = H(t 0 ). (17.7) Kosmologie 307

27 17 Die Arbeit von Edwin Hubble am Mt. Wilson Observatorium a(t) H 1 0 (a) t 0 t a(t) H 1 0 (b) t 0 t Abbildung 17.3: Mit der Hubble- Zeit H0 1 = a(t 0 )/ȧ(t 0 ) kann das Alter des Universums abgeschätzt werden. a) Bei abgebremster Expansion ist der Schätzwert für das Weltalter zu groß. b) Bei beschleunigter Expansion ist eine Überschätzung aber auch eine Unterschätzung möglich. Wenn wir für ein bestimmtes Modell den Skalenfaktor a(t) haben, so hat die Tangente an die Kurve a(t) an einer Stelle t 0 die Steigung ȧ(t 0 ). Der Wert von H0 1 wäre also das Alter des Universums, wenn es sich für alle Zeit linear ausgedehnt hätte, denn dann wäre a(t 0 ) = ȧ(t 0 )t 0. Bei abgebremster Expansion wird bei dieser Abschätzung das Alter des Universums überschätzt, bei beschleunigter Expansion ist sowohl eine Überschätzung als auch eine Unterschätzung möglich. Abbildung 17.3 zeigt diese beiden Fälle. Mit dem Wert für die Hubble-Konstante aus Gleichung (17.3) erhalten wir als Abschätzung für das Alter unseres Universums H 1 0 = (1,38 ± 0,03) Jahre. (17.8) Um diesen Wert zu erhalten müssen wir H 0 in Einheiten von s 1, bzw. y 1 umrechnen, mit Hilfe des Zusammenhangs 1 Mpc = 3, ly. Wie wir später sehen werden ist (17.8) eine sehr gute Abschätzung. Wir können noch eine wichtige Größe aus (17.2) ableiten und zwar sehen wir sofort, dass für d = c/h 0 die Fluchtgeschwindigkeit, mit der sich eine Galaxie von uns fortbewegt, gleich der Lichtgeschwindigkeit wird. Diese charakteristische Entfernung heißt Hubble-Distanz. Aus (17.8) sehen wir sofort, dass die Hubble-Distanz in unserem Universum beträgt. ch 1 0 = (1,38 ± 0,03) Lichtjahre (17.9) 308

28 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik Wir hatten in Abschnitt 13 die Einsteinschen Feldgleichungen eingeführt. Unser Ziel wird es jetzt sein, diese Gleichungen für die FRW-Metrik explizit aufzustellen und zu lösen. Wir gehen dabei von der Form der Feldgleichungen R µν = κtµν in (13.45b) aus, mit κ = 8πG/c 4 aus Gleichung (13.42). Unsere Aufgabe ist es nun, den Ricci-Tensor R µν aus der Form der FRW-Metrik zu berechnen und für den Energie-Impuls-Tensor Tµν = T µν 1/2 g µν T einen geeigneten Ansatz aus unseren Grundannahmen zur Struktur des Universums zu finden. Mit diesen Größen werden wir dann allgemeine Feldgleichungen erhalten, die aufgrund der hohen Symmetrie der FRW-Metrik eine relativ einfache Form aufweisen. Eine Feinheit in der Notation lässt sich hier kaum vermeiden: In der FRW-Metrik ist der Skalenfaktor a eine Funktion der Zeit. Unsere x 0 -Koordinate soll aber wie in der ART auch ct sein, dass heißt wir arbeiten weiterhin mit g ctct = 1. Daher müssen wir, um konsistent zu sein, auch den Skalenfaktor als Funktion von ct aufstellen, also a = a(ct). Wir wollen diese Variablenwahl aber nur bei Herleitungen benutzen, für die Diskussion der Lösungen werden wir alle zeitabhängigen Größen als Funktion von t darstellen. Diese Umrechnung erreichen wir einfach in dem wir im Ausdruck für a(ct) wieder den Ausdruck ct als Produkt der Konstante c mit unserer Variable t auffassen. Ableitungen nach ct können wir leicht nach der Regel dx(ct(t))/dt = (dx(ct)/dct)c umrechnen. Um Verwechslungen zu vermeiden bezeichnen wir weiter Ableitungen nach ct mit der aus der ART bekannten Schreibweise X,ct und nach t abgeleitete Größen wie in der Physik üblich mit einem übergestellten Punkt in der Form Ẋ Der Ricci-Tensor der FRW-Metrik Um den Ricci-Tensor der FRW-Metrik zu berechnen, erinnern wir uns an die Definition der Christoffelsymbole 2. Art Γ σ µν = 1 2 gσα ( g αν,µ + g µα,ν g µν,α ), (10.16) Kosmologie 309

29 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik in Gleichung (10.16) und des Ricci-Tensors R µν = Γ α µα,ν Γ α µν,α Γ α σαγ σ µν + Γ α σνγ σ µα. (12.103) Für die Metrik (16.38a) haben wir die nichtverschwindenden Metrikkomponenten g ctct = 1, g rr = a(ct)2 1 qr 2, g ϑϑ = a(ct) 2 r 2, g ϕϕ = a(ct) 2 r 2 sin 2 ϑ. (18.1) Die zugehörigen Komponenten der Inversen ergeben sich wegen der Diagonalgestalt der Metrik einfach zu g ctct = 1, g rr = 1 qr2 a(ct) 2, gϑϑ = 1 a(ct) 2 r 2, 1 gϕϕ = a(ct) 2 r 2 sin 2 ϑ. (18.2) Einsetzen in die Definition der Christoffelsymbole führt auf die nichtverschwindenden Ausdrücke Γ ct rr = aa,ct 1 qr 2, Γct ϑϑ = r2 aa,ct, Γ ct ϕϕ = aa,ct r 2 sin 2 ϑ, (18.3a) Γ r ctr = a,ct a, Γr rr = qr 1 qr 2, Γr ϑϑ = (1 qr2 )r, Γ r ϕϕ = (1 qr 2 )r sin 2 ϑ, (18.3b) Γ ϑ ctϑ = a,ct a, Γϑ rϑ = 1 r, Γϑ ϕϕ = sin ϑ cos ϑ, (18.3c) Γ ϕ ctϕ = a,ct a, Γϕ rϕ = 1 r, Γϕ ϑϕ = cot ϑ. (18.3d) Wir erinnern uns dabei daran, dass die Christoffelsymbole symmetrisch unter Vertauschung der unteren Indizes sind, d.h. Γ α βγ = Γα γβ. Einsetzen der entsprechenden Christoffelsymbole in die Definition von R µν führt auf R µν = 3 a,ctct a (1 qr 2 ) A r 2 A r 2 sin 2 ϑa, mit A = aa,ctct + 2a 2,ct + 2q. (18.4) Die einfache Struktur des Ricci-Tensor ist natürlich kein Zufall. In ihr spiegelt sich die Annahme eines homogenen und isotropen Raumes wider, die wir als Bedingung an die FRW-Metrik gestellt hatten. Auch wenn wir ihn nicht für die folgenden Rechnungen benötigen bilden wir noch den Ricci-Skalar. Dieser ergibt sich zu R = 6 aa,ctct + a 2,ct + q a 2 (18.5) und hängt über den Skalenfaktor nur von der ct-koordinate und nicht von r, ϑ und ϕ ab, wie wir es für eine Metrik konstanter Krümmung erwarten. 310

30 18.2 Der Energie-Impuls-Tensor der Materie 18.2 Der Energie-Impuls-Tensor der Materie Nachdem wir den Ricci-Tensor nun berechnet haben, ist unsere zweite Aufgabe, einen Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor zu finden. Auch hier müssen wir natürlich das Kosmologische Prinzip berücksichtigen und über so große Längenskalen mitteln, dass wir das Universum als homogen und isotrop annehmen können. Welche Beiträge zum Energie-Impuls-Tensor sind von Bedeutung? Grundsätzlich jede Form von Energie, die das Universum enthält, wobei wir der Materie über E = mc 2 eine Energie zuweisen können. In der selben Weise definieren wir eine zur Materiedichte σ m gehörende Materieenergiedichte über ɛ m = σ m c 2. (18.6) In späteren Kapiteln werden wir ausschließlich mit der Energiedichte arbeiten. Wir werden noch sehen, dass in unserem Universum verschiedene Energieformen von Bedeutung sind. Als Einstieg beschränken wir uns aber auf die Materie und hier nur auf die Ruheenergie, die kinetische Energie vernachlässigen wir, d.h. wir betrachten nur nichtrelativistische Materie mit E kin mc 2. (18.7) Diese Einschränkung ist von unserer jetzigen Position einsichtig, Materie scheint die dominante Energieform zu sein. Als zusätzlichen Beitrag könnten wir bisher nur elektromagnetische Strahlung, d.h. im Wesentlichen Sternlicht berücksichtigen. Es ist aber anschaulich klar, dass die von Sternen ausgesandte Strahlungsenergie sehr viel kleiner ist, als die der Masse dieser Sterne entsprechende Energiedichte. Außerdem hat Materie einige Eigenschaften, die ihre Behandlung sehr vereinfachen. Insbesondere wollen wir annehmen, dass die Staubteilchen keinen Druck erzeugen. Wenn wir später Energieformen mit Druck diskutieren, müssen wir den Energie-Impuls-Tensor dann um zusätzliche Beiträge erweitern. Wir können leicht abschätzen, wie gut die Näherung p = 0 ist. Da zu betrachten wir die ideale Gasgleichung pv = Nk B T. (18.8) Wenn wir durch V dividieren, steht rechts die Teilchendichte N/V, die wir wiederum über N = σ m /µ ausdrücken können, mit der Massedichte σ m und der mittleren Teilchenmasse µ. Dann benutzen wir weiter die Ersetzung σ m = ɛ m /c 2 und haben dann p = k BT µc 2 ɛ m. (18.9) Kosmologie 311

31 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik Für ein nichtrelativistisches Gas gilt die Maxwellverteilung und für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat v 2 daher der Zusammenhang Wir setzen diese Relation in (18.9) ein und finden 3k B T = µ v 2. (18.10) p = v2 3c 2 ɛ m. (18.11) Druck und Energiedichte hängen also linear zusammen, wobei die Proportionalitätskonstante v 2 /(3c 2 ) ist. Wir können als Abschätzung die Situation im Inneren eines Hauptreihensternes betrachten, die wir in Abschnitt 8.3 diskutiert haben. Mit T 10 7 K fanden wir dort k B T 0,8 kev. Damit ergibt sich z.b. für Protonen mit einer Ruheenergie von etwa 1 GeV bei dieser Temperatur k B T m p c (18.12) Der Fehler, den wir durch die Näherung p = 0 machen ist also von der Größenordnung 1 : 10 9 und daher völlig unbedeutend, da sowieso alle relevanten Messgrößen nur mit relativen Genauigkeiten im Prozentbereich bekannt sind. Wir betrachten jetzt also unser Universum homogen mit Materie gefüllt. Lokale Dichteschwankungen werden vernachlässigt. Wir wollen allerdings eine Zeitabhängigkeit der Materiedichte zulassen, d.h. es gilt allgemein σ m = σ m (t). Zusätzlich wollen wir annehmen, dass es keine Wechselwirkung der Materieteilchen untereinander gibt. Unser Modell entspricht dann einem homogen mit wechselwirkungsfreiem Staub erfüllten Universum. Der Energietensor der Materie enthält in diesem Fall keine Beiträge von Wechselwirkungsenergien und Deformationsenergien. In einem Minkowski-Raum hat der Energietensor dann die Form T µν = σ m u µ u ν = σ m dx µ dτ dx ν dτ, (18.13) dabei sind u µ die Komponenten der Vierergeschwindigkeit und dτ = 1 β 2 dt das Differential der Eigenzeit. Beim Übergang zur ART müssen wir im Energietensor den Lorentzskalar dτ durch den allgemeinen Skalar ds ersetzen. Es ist daher T µν = σ m dx µ dτ dx ν dτ = σ mc 2 dxµ dx ν ds ds = ɛ dx µ dx ν m ds ds. (18.14) 312

32 18.2 Der Energie-Impuls-Tensor der Materie Wir benötigen für die Feldgleichungen den kovarianten Tensor T µν = g µα g νβ T αβ, dies führt auf dx T µν = µ dx ν ɛ m g µα g νβ ds ds. (18.15) In dem von uns verwendeten mitbewegten Koordinatensystem, das durch die Koordinaten der FRW-Metrik vorgegeben ist, soll die nichtrelativistische Materie also, wenn man ihre ungeordnete Pekuliarbewegung vernachlässigt, die zum einen viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist und zum anderen ungeordnet statistisch verteilt sein soll, lokal immer in Ruhe. Offensichtlich ist eine derartige Wahl für ein isotropes Modell vernünftig. Bei einer anderen Wahl würde die Geschwindigkeitsrichtung der Materie eine Nichtäquivalenz der verschiedenen Richtungen im Raum hervorrufen. Alle unsere Annahmen hier lassen sich also wieder auf das Kosmologische Prinzip zurückführen. Für lokale Geschwindigkeiten v 0 c gilt d.h. die Vierergeschwindigkeit ist gegeben durch ds 2 c 2 dt 2 = (dct) 2, (18.16) u µ = (1,0,0,0). (18.17) Damit folgt direkt Es ist dann nur T ctct = 0 mit T µν ɛ m dx µ dct dx ν dct. (18.18) ( ) dct 2 T ctct ɛ m = ɛ m, (18.19) dct alle anderen Komponenten verschwinden. Der Ruheenergiedichtetensor hat also die einfache Form T µν = diag (ɛ m, 0, 0, 0). (18.20) Man beachte, dass die Ruheenergiedichte ɛ m der Materie kein Skalar sondern die ctct-komponente eines Tensors ist. Da nur diese Komponente von T µν nicht verschwindet, gilt für den kovarianten Tensor T µν = g µct g νct T ctct = δ µct δ νct g 2 ctctt ctct. (18.21) Dabei folgt das zweite Gleichheitszeichen aus der Diagonalgestalt der Metrik und wir finden T µν = diag (ɛ m, 0, 0, 0). (18.22) Kosmologie 313

33 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik Außerdem haben wir für die vollständige Kontraktion von T µν dann T = g µν T µν = g tt T tt = ɛ m. (18.23) und damit für Tµν = T µν 1/2 g µν T den Ausdruck Tµν = ɛ ( m 2 diag a 2 ) 1, 1 qr 2, a2 r 2, a 2 r 2 sin 2 ϑ. (18.24) 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum Nachdem wir den Ricci-Tensor für die FRW-Metrik und den Energie-Impuls-Tensor für unser Materiemodell berechnet haben, können wir nun die Einsteinschen Feldgleichungen diskutieren. Mit R µν aus Gleichung (18.4) und Tµν aus Gleichung (18.24) ergibt sich 3 a,ctct a qr 2 A 0 0 = κ ɛ m 0 0 r 2 A r 2 sin 2 ϑa a 2 1 qr a 2 r a 2 r 2 sin 2 ϑ, (18.25) mit A = aa,ctct + 2a 2,ct + 2q ebenfalls aus Gleichung (18.4). Die Gleichungen sind für die Nichtdiagonalelemente mit µ = ν trivial erfüllt. Für µ = ν erhält man im Fall µ = 1, 2, 3 dieselbe Gleichung, nämlich A = κɛ m a 2 /2 bzw. aa,ctct + 2a 2,ct + 2q = κ 2 ɛ ma 2. (18.26) Es ist kein Zufall, dass alle Raumkomponenten auf dieselbe Gleichung führen, sondern ergibt sich daraus, dass die FRW explizit für einen homogenen und isotropen Raum aufgestellt wurde und unser Materiemodell ebenfalls homogen und isotrop ist. Für µ = ν = 0 erhalten wir weiter a,ctct = κ 6 ɛ ma. (18.27) Nun setzen wir (18.27) in (18.26) ein, um a,ctct aus dieser Gleichung zu elimineren. Dann haben wir a 2,ct + q κ 3 ɛ ma 2 = 0. (18.28) Daneben haben wir für den Energie-Impuls-Tensor die Kontinuitätsgleichung T µν ;ν = 0 aus (13.20). Ausgeschrieben lautet diese Bedingung T µν,ν + T ων Γ µ ων + T µω Γ ν ων = 0. (18.29) 314

34 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum In unserem Fall bei dem nur T ctct = 0 ist, erhalten wir nur für µ = ct eine nichttriviale Gleichung, nämlich ) T ctct,ct + T ctct Γ ct ctct + T ctct Γ ν ctν = (ɛ m ),ct ɛ m (Γ r ctr + Γ ϑ ctϑ + Γϕ ctϕ a (18.30),ct = (ɛ m ),ct + 3ɛ m a = 0, mit Γ r ctr = Γϑ ctϑ = Γϕ ctϕ = a,ct/a aus Gleichung (18.3). Dabei tritt auch die Zeitableitung der Ruheenergiedichte ɛ m auf, von der wir sicher annehmen können, dass sie zeitabhängig ist, wenn sich der Skalenfaktor a mit der Zeit ändert. Den Zusammenhang (18.30) können wir in eine sehr einfach zu interpretierende Form bringen. Dazu multiplizieren wir die letzte Zeile mit a 3. Das führt auf ɛ m a 3 + 3ɛ m a 2 a,ct = 0. In diesem Ausdruck erkennen wir die Zeitableitung von ɛ m a 3. Schließlich erhalten wir also ( ɛ m a 3),ct = 3σa2 a,ct + (ɛ m ),ct a 3 = 0 und damit ɛ m a 3 = const = ɛ m0 a 3 0. (18.31) Dabei bezeichnet der Index 0 jeweils Größen zum heutigen Zeitpunkt. Im Folgenden verwenden wir zumeist Einheiten, so dass a 0 = a(t 0 ) = 1 gilt. Der Ausdruck ɛ m c 2 a 3 hat die Dimension einer Masse. Betrachten wir ein der Expansion unterliegendes Volumen, so bleibt nach (18.31) die darin enthaltene Gesamtmasse erhalten. Wir erhalten aus der Kontinuitätsgleichung des Energie-Impuls-Tensors also die Massenerhaltung. Wir wissen daher wie sich die Massendichte mit dem Skalenfaktor verhält. Aus (18.31) erhalten wir sofort ɛ m (ct) = ɛ m0 a 3 0 a(ct) 3. (18.32) Tatsächlich ist diese Aussage aber auch in Gleichung (18.28) enthalten. Das ist wenig überraschend, weil wir die Forderung der verschindenden Divergenz bereits bei der Aufstellung der Feldgleichungen in Abschnitt berücksichtigt haben. Um dies konkret zu sehen, bilden wir die Zeitableitung von (18.28). Das ergibt 2a,ct a,ctct κ ( 2ɛ m aa,ct + (ɛ m ) 3,ct a 2) = 0. (18.33) Wieder setzen wir a,ctct = κɛ m a/6 aus Gleichung (18.27) ein und multiplizieren mit κ/3 durch. Dann erhalten wir 1 ( 3ɛ m a 2 a,ct + (ɛ m ) a,ct a 3) = 0. (18.34) Kosmologie 315

35 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik Dabei haben wir als weiteren Schritt einen zusätzlichen Faktor 1/a ausgeklammert. Wieder erkennen wir in der Klammer die Ableitung des Ausdrucks ɛ m a 3 nach ct. Dieses Ergebnis setzen wir nun wieder in Gleichung (18.28) ein und erhalten dann mit a 0 = 1 die Friedmann-Gleichung a 2,ct + q κ ɛ m0 = 0. (18.35) 3 a Analyse der Friedmann-Gleichung Unser Ziel ist es natürlich, die Friedmann-Gleichung (18.35) zu lösen. Wir werden zuerst aber die einzelnen Beiträge dieser Gleichung genauer anschauen und uns in einer klassischen Analogie die Bedeutung dieser Gleichung veranschaulichen. a) Alternative Formulierungen Wir betrachten zuerst den Fall q = 0, wobei wir für die Dichtefunktion ɛ m hier für einige Schritte die Annahme, dass nur Materie einen wesentlichen Beitrag leistet, beiseite lassen und daher den allgemeineren Ausdruck ɛ verwenden. Dann erhalten wir den Zusammenhang a,ct (ct) 2 a(ct) 2 = κ ɛ(ct). (18.36) 3 Wenn wir in einem Modell den Wert von a und a,ct kennen, so können wir berechnen, welchen Wert die Hubblekonstante H 0 in diesem Modelluniversum hat über den Wert des Hubble-Parameters H(ct) = a,ct(ct) a(ct). (18.37) zur Zeit ct 0 = ct. Als Funktion der Zeit hat der Hubble-Parameter die Einheit s 1 wie wir bereits erwähnt haben. In ART-Koordinaten, d.h. ct statt t als Variable, hat der Hubble-Parameter dagegen die Einheit m 1. Den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen haben wir in Gleichungen (17.8) und (17.9) eingeführt. In Einheiten der Zeit ist H 1 0 die Hubble-Zeit, eine Abschätzung für das Alter des Universums, bzw. eine charakteristische Zeit in der Kosmologie. In ART-Einheiten ist H 1 0 die Hubble-Distanz, eine charakteristische Länge in der Kosmologie, bei der die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Um Verwechslungen zu vermeiden, verwenden wir das Symbol H 0 nur für die inverse Hubble-Zeit und schreiben sonst H(ct = 0). Wir können Gleichung (18.36) mit diesem Wissen in der Form H(ct) 2 = κ 3 8πG ɛ(ct) = ɛ(ct) (18.38) 3c4 316

36 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum schreiben. Im flachen Universum gibt es also eine Proportionalität zwischen der Energiedichte und dem quadrierten Hubble-Parameter. Wir können diesen Zusammenhang aber auch so interpretieren, dass für einen gegebenen Hubble-Parameter eine kritische Dichte über ɛ c (ct) = 3c4 8πG H(ct)2. (18.39) gegeben ist. Weil diese Größe für uns sehr wichtig ist und später oft benutzt, geben wir (18.39) noch in Einheiten der Zeit t an: Für die kritische Dichte heute führen wir das Symbol ɛ c (t) = 3c2 8πG H(t)2. (18.40) ɛ c0 = 3c2 8πG H2 0 (18.41) ein. Die Dichte und die Hubble-Konstante des Universums, also der Wert des Hubble-Parameters sind Größen, die, zumindest prinzipiell, gemessen werden können. Gleichung (18.39) sagt uns dann folgendes: Wenn der Wert der Dichte größer ist als die kritische Dichte, so muss q = 1 gelten, damit die Friedmann-Gleichung in der Form H(ct) 2 = 8πG 3c 4 ɛ(ct) q 1 a 2 (18.42) erfüllt ist. Analog folgt aus ɛ(t) < ɛ c (t), dass q = 1 sein muss und für ɛ(ct) = ɛ c (ct) folgt schließlich q = 0. Mit dem aktuellen Wert für die Hubble-Konstante H WMAP,0 = 70,4 +1,3 1,4 km s 1 Mpc 1 aus Gleichung (17.3) können wir die kritische Dichte aus Gleichung (18.40) berechnen und erhalten bzw. eine äquivalente Massendichte ɛ c0 = (5,22 ± 0,20) GeV m 3, (18.43) 27 kg σ c0 = (9,31 ± 0,37) 10 m 3. (18.44) Wenn wir mit der Ruhenergie des Protons m p = 938,272 MeV vergleichen, so sehen wir, dass die kritische Dichte etwa 5 Wasserstoffatomen pro Kubikmeter entspricht. Kosmologie 317

37 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik Eine letzte Form der Friedmann-Gleichung, die wir häufiger benutzen werden, ergibt sich, wenn wir die Größe Ω(ct) = ɛ(ct) (18.45) ɛ c (ct) einführen. Da Ω als Quotient definiert ist, ist bei diesem Parameter die Wahl der Variable zu ct oder t unbedeutend. Wenn wir später verschiedenen Energieformen vergleichen und für jede einen eigenen Ω-Parameter einführen, so können wir daran sehr gut die relativen Anteile der Energieformen bezüglich der kritischen Dichte ablesen. Wenn man Ω in die Friedmann-Gleichung einführt, so nimmt sie die Form Ω(ct) 1 = q a(ct) 2 H(ct) 2 (18.46) an. Diese Gleichung gilt zu allen Zeiten und damit auch speziell zum Zeitpunkt t 0 = 0. In diesem Fall haben wir wegen a 0 = 1 q = H(ct = 0) 2 (Ω 0 1), bzw. in der später benutzten Form q = H2 0 c 2 (Ω 0 1) (18.47) Wir können also den Krümmungsindex durch den Wert Ω 0 des Ω-Parameters heute und den Wert der Hubble-Konstante H 0 ausdrücken. Der Krümmungsindex q kann während der Entwicklung des Universums seinen Wert nicht ändern. Da H 2 0 immer positiv ist folgt aus Ω 0 1 heute auch Ω(ct) 1 für alle Zeiten. Speziell folgt aus Ω 0 = 1 dass q = 0 sein muss, was dann ebenfalls für alle Zeiten gilt. Da wir bei der Herleitung von (18.47) keine Beschränkung auf Materie vorgenommen haben, gilt diese Gleichung für beliebige Energieformen. Bevor wir jetzt die Friedmann-Gleichung lösen, machen wir uns noch klar, welche Eigenschaften wir bei ihren Lösungen erwarten können. b) Energiebilanz in der Friedmann-Gleichung Bevor wir die Friedmann-Gleichung explizit lösen, möchten wir anhand ihrer Struktur die Eigenschaften ihrer Lösungen zunächst qualitativ analysieren. Diese Vorgehen wird insbesondere später bei der Verallgemeinerung auf beliebige Energieformen, wenn die Friedman-Gleichung nicht mehr immer analytisch lösbar ist von großem Nutzen sein aber auch hier hilft uns diese Betrachtung weiter. Wenn wir in (18.35) den Krümmungsindex q auf die rechte Seite bringen erhalten wir a 2,ct κ 3 ɛ m0 a = q. (18.48) 318

38 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum Diesen Zusammenhang können wir als Analogon zu einer Gleichung der Form E kin + E pot = E ges für ein Teilchen mit Geschwindigkeit a,ct im ( 1/a)-Potential auffassen. Der Wert des Krümmungstermes q bestimmt in diesem Bild die Gesamtenergie des Teilchens. Je nach Wert von q erhalten wir daher einen von drei Lösungstypen: 1. Für q = 1 ist die Gesamtenergie negativ. Dies entspricht einer gebundenen Bewegung des Teilchens. In unserem Fall bedeutet dies, dass das Universum sich bis zu einer maximalen Ausdehnung ausdehnt und dann wieder kollabiert. a max = κ 3 ɛ m0 (18.49) 2. Für q = 0 ist die Gesamtenergie Null. Dies entspricht dem Grenzfall, in dem das Teilchen exakt die nötige Energie hat um aus dem Potential zu entkommen. Für dieses Universum ergibt sich eine immer langsamer werdende Expansion, d.h. a,ct geht gegen Null. Dennoch steigt der der Skalenfaktor über alle Grenzen. 3. Für q = 1 ist die Gesamtenergie größer als Null. Dies entspricht einem ungebundenen Teilchen. Auch in diesem Fall dehnt sich das Universum für alle Zeit aus, die Expansionsgeschwindigkeit a,ct ist höher als im Fall q = 0 und erreicht im Grenzfall ct den Grenzwert a,ct = 1. In Abbildung 18.1 sind diese Zusammenhänge verdeutlicht. Daneben sehen wir, dass in der Friedman-Gleichung die Ableitung a,ct nur quadratisch auftritt. Wir erhalten also zu jeder mit der Zeit expandierenden Lösung eine zugehörige mit der Zeit kontrahierende Lösung. Mathematischer ausgedrückt heißt dies, dass die Friedmann- Gleichung invariant unter der Transformation t t ist. Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass für a das Potential gegen geht. Daraus sehen wir, dass alle Lösungen der Friedmann-Gleichung für a = 0 unendliche Steigung haben müssen. c) Die Newtonsche Analogie zur Friedmann-Gleichung Die gerade gesehene Analogie der Friedmann-Gleichung zur Energiebilanz eines Teilchens in einem 1/r-Potential ist noch sehr viel größer als bisher klar wurde. Tatsächlich können wir aus der Newtonschen Mechanik eine zur Friedmann-Gleichung analoge Beziehung ableiten. Dazu betrachten wir eine homogene Kugel mit konstanter Masse M, die isotrop expandiert oder kollabiert, d.h. in einer solchen Kosmologie 319

39 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik V a Max ȧ = 0 q = 1 q = 0 a q = 1 Abbildung 18.1: Qualitative Betrachtung zu Gleichung (18.35). Fasst man diese Gleichung analog zur Energiebilanz eines Teilchens im 1/a-Potential auf, so entspricht der Fall q = 1 negativer Gesamtenergie. In diesem Fall erreicht das Universum daher eine maximale Ausdehnung und muss dann wieder kollabieren. Die Fälle q = 0, bzw. q = 1 entsprechen verschwindender, bzw. positiver Gesamtenergie. Hier dehnt sich das Universum für alle Zeit aus. Form, dass die Kugelgestalt erhalten bleibt und die Dichte der Kugel zwar zeitabhängig aber zu einem bestimmten Zeitpunkt überall gleich ist. Der zeitabhängige Radius der Kugel sei a(t). Für ein Teilchen auf der Oberfläche erhalten wir dann die Bewegungsgleichung ä = G M a(t) 2. (18.50) Wir multiplizieren beide Seiten dieser Gleichung mit ȧ und können dann integrieren. Das führt auf 1 2 ȧ2 G M a(t) = E ges. (18.51) Damit haben wir die Energiebilanz des Teilchens erhalten. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie pro Masse des Teilchens ist konstant und gleich der Gesamtenergie E ges pro Masse des Teilchens, die sich als Integrationskonstante ergibt. Die Lösung für eine expandierende Kugel entspricht der Lösung einer kollabierenden Kugel die rückwärts durchlaufen wird. Um die Äquivalenz zur Friedmann-Gleichung noch deutlicher zu machen, ersetzen wir die Masse durch den Zusammenhang M = 4 3 π ɛ m0 c 2 a3 0. (18.52) Mit dem Anfangsradius a 3 0, den wir der Einfachheit halber gleich 1 wählen. Wir multiplizieren die Gleichung noch mit 2 durch und haben dann ȧ πg ɛ m0 c 2 1 a = 2E ges. (18.53) Schließlich drücken wir den Massenterm noch mit Hilfe der Konstante κ aus und erhalten schließlich ȧ 2 κ 3 ɛ m0c 2 1 a = 2E ges. (18.54) 320

40 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum Diese Gleichung entspricht bis auf einen Faktor c 2 Gleichung (18.35), wenn wir die Identifizierung q = 2E ges machen. Der zusätzliche Faktor resultiert daraus, dass wir hier eine Zeitableitung, in (18.35) dagegen eine Ableitung nach ct stehen haben. Je nach Wert von E ges ergeben sich analog zu oben wieder die drei möglichen Fälle einer Expansion bis zum Maximalwert a max = κ 6 ɛ m0 E ges (18.55) für E ges < 0, bzw. unendliche Expansion mit gegen Null gehender Expansionsrate für E ges = 0 oder unendliche Expansion mit ȧ(t ) = 2E ges für E ges > Die Lösungen der Friedmann-Gleichung für Materieuniversen In diesem Abschnitt werden wir die verschiedenen Lösungen der Friedmann-Gleichung (18.35) jetzt herleiten und diskutieren. Für die expliziten Rechnungen setzen wir a ref = κ 6 ɛ m0 (18.56) und erhalten die kompaktere Ausgangsform ȧ 2 = 2 a ref q. (18.57) a Die spezielle Wahl für a ref führt auf eine übersichtliche Darstellung der Lösungen. Für q = 0 erhalten wir a,ct = da dct = ±c 2aref a, bzw. a da = ± 2aref dct. (18.58) Die beiden Vorzeichen in dieser Gleichung unterscheiden zwischen mit zunehmender Zeit expandierenden und kollabierenden Universen. Wir möchten nur expandierende Universen betrachten und beschränken uns daher auf das positive Vorzeichen. Integration liefert dann 2 3 a3/2 = 2a ref (ct ct 0 ), (18.59) mit der Integrationskonstante ct 0. Wir möchten die Zeit relativ zum Urknall dieses Modells angeben. Daher setzen wir die Anfangsbedingung a(0) = 0 ein, damit ergibt sich ct 0 = 0. Alternativ werden wir später die Integrationskonstanten so wählen, dass der Skalenfaktor bezüglich heute normiert ist, also a(0) = 1. Im vorliegenden Fall führt diese Bedingung auf ct 0 = 2/aref 3, (18.60) Kosmologie 321

41 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik dieser Wert entspricht dann der vergangenen Zeit seit a = 0 war, bei unserer Wahl a(0) = 0 erhalten wir dementsprechend a( ct 0 ) = 1. Auflösen nach a führt nun auf a(ct) = ( ) 9 1/3 2 a ref (ct) 2/3. (18.61) An dieser Stelle setzen wir die Definition von a ref wieder ein und gehen über zur Variable t. Wir ziehen den Faktor c 2 in die Klammer und ersetzen ɛ m0 c 2 = σ m0. Dann haben wir den Ausdruck ( ) 3 1/3 a(t) = 2 κσ m0 t 2/3. (18.62) Weiter erhalten wir für die Zeitableitung des Skalenfaktors ȧ = 2 3 Da wir nun a und ȧ kennen, erhalten wir den Ausdruck ( ) 3 1/3 2 κσ m0 t 1/3. (18.63) H(t) = ȧ(t) a(t) = t. (18.64) für den Hubble-Parameter. Die Hubble-Konstante ergibt sich als Wert des Hubble-Parameters heute, also H 0 = H( t 0 ) = c 8 2a ref = 3 πgσ m0. (18.65) Die Unterscheidung zwischen Hubble-Konstante und Hubble-Parameter ist sehr wichtig. Die Hubble-Konstante gibt an, wie stark das Universum heute expandiert und ist eine messbare Größe, der Hubble-Parameter dagegen folgt wie hier aus dem jeweiligen Modell des Universums. Aus (18.63) und (18.37) sehen wir weiter, dass ȧ 0 und H 0 für t gilt. Das betrachtete Modell zeigt also eine abgebremste Expansion, der Skalenfaktor a wächst aber dennoch über alle Grenzen. Diese Lösung heißt Einstein-De-Sitter-Universum. Die beiden haben dieses Modell 1932 in einer gemeinsamen Arbeit vorgeschlagen. [75] Im Fall positiver Krümmung q = +1 erhalten wir a 2,ct = 2a ref a 1, bzw. da 2aref a 1 = ± dct. (18.66) 322

42 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum Wir benutzen den Ansatz Daraus folgt a = a ref (1 cos η) und da = a ref sin η dη. (18.67) ± dct = a ref sin η dη 1 cos η = a ref sin η dη. (18.68) 2 1 cos η cos η An dieser Stelle führen wir über x = cos η und dx = sin η dη eine weitere Transformation durch, die auf ± dct = a ref 1 x 1 + x dx (18.69) führt. Die Integration auf der rechten Seite ist analytisch möglich und wir finden ˆ 1 x 1 + x dx = 1 x 2 + arcsin(x). (18.70) Um möglichst einfach rücktransformieren zu können, benutzen wir die Relation arccos(x) = π/2 arcsin(x) und haben das Zwischenergebnis ( ± (ct ct 0 ) = a ref arccos(x) + ) 1 x 2. (18.71) Mit dieser Form ergibt sich wegen arccos(x) = η einfach ± (ct ct 0 ) = a ref (η sin η). (18.72) Aus der Bedingung a = 0 für ct = 0 folgt η 0 = 0 als Anfangswert für η aus Gleichung (18.67). Dies führt dann wieder auf ct 0 = 0. Damit haben wir die Parameterdarstellung der Lösung a = a ref (1 cos η) (18.73) ct = a ref (η sin η), gefunden, wobei hier der Fall mit positivem Vorzeichen dargestellt ist. Gleichung (18.73) ist die Darstellung einer gewöhnlichen Zykloide mit dem Radius a ref des rollenden Kreises und dem Wälzwinkel η. Im Gegensatz zum Fall q = 0 ist dies also eine periodische Lösung, a wird erst größer, erreicht den Maximalwert a(η = π) = 2a ref = κ 3 ɛ m0, (18.74) den wir bereits bei der qualtitativen Untersuchung gefunden haben, bei ct = a ref π, und geht dann wieder auf Null zurück. Dieses Verhalten konnten wir bereits bei der Kosmologie 323

43 18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen für die FRW-Metrik qualitativen Untersuchung voraussagen, der Fall q = 1 entspricht einem geschlossenen Universum, das ein endliches Volumen hat, sich bis auf einen Maximalwert ausdehnt, und dann wieder kollabiert. Um zu sehen, dass wir im Fall q = 1 ein endliches Volumen erhalten, benutzen wir die FRW-Metrik in der Form (16.38b). Wir erhalten dann V = ˆ 2π ˆ π ˆ π sin 2 χ sin ϑ dχ dϑ dϕ = 2π 2 a(t) 3. (18.75) Für andere Werte von q divergiert dieses Integral offensichtlich. Allgemein verstehen man unter einem geschlossenen Universum ein Modell mit endlichem Volumen. Im nächsten Kapitel werden wir die Friedmann-Gleichung erweitern um allgemeinere Modelle diskutieren zu können. In diesem Fall muss ein geschlossenes Universum dann nicht mehr notwendigerweise wieder kollabieren. Das Vorgehen im Fall negativer Krümmung q = 1 ist analog zum Fall q = 1. Man erhält zuerst a 2,ct = 2 a ref a + 1, bzw. da 2 a ref a + 1 = ± dct. (18.76) Der Ansatz führt dann auf a = a ref (cosh η 1) und da = a ref sinh η dη (18.77) ± dct = a ref sinh η dη cosh η + 1 = a ref sinh η dη. (18.78) 2 cosh η cosh η 1 Analog zu oben setzen wir x = cosh η, dx = sinh η dη und erhalten ± dct = a ref x 1 x + 1 dx. (18.79) Wieder können wir eine Stammfunktion in geschlossener Form finden. Letztlich gelangen wir dann zu ] ct ct 0 = a ref [ x 2 1 arcosh(x). (18.80) Auch hier ist die Rücktransformation wegen arcosh(x) = η sehr leicht und ergibt ct ct 0 = a ref (sinh η η). (18.81) 324

44 18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das Materieuniversum Abbildung 18.2: Lösungen der Einstein-Gleichung. Für q = 1 ergibt sich ein geschlossenes Universum mit endlichem Volumen, dessen Skalenfaktor durch die Gleichung einer Zykloide beschrieben wird. Für q = 0 und q = 1 resultieren sich unendlich ausdehnende Universen, wobei für q = 0 die Expansionsrate für große Zeiten gegen Null und für q = 1 gegen c strebt. a(t) 2a ref a ref c π ȧ = 0, η = π q = +1 q = 1 t q = 0 t 2/3 t Aus der Bedingung a = 0 für t = 0 folgt wieder η 0 = 0 als Anfangswert und es muss wieder ct 0 = 0 sein. Damit haben wir die Parameterdarstellung der Lösung a = a ref (cosh η 1) ct = a ref (sinh η η), (18.82) analog zur Darstellung im Fall q = 1. Aus Gleichung (18.82) können wir ablesen, dass für große η ct ct tanh η, und damit lim a η a = 1 (18.83) gilt, wie wir es ebenfalls bei der qualitativen Untersuchung bereits gesehen haben. Das bedeutet, für große Zeiten ist a(t) = ct, bzw. ȧ(t) = c. (18.84) In Abbildung 18.2 sind die drei möglichen reinen Materieuniversen dargestellt. Wir haben damit gesehen, dass alle Universen unabhängig von der Krümmung einen Urknall oder englisch Big Bang aufweisen. Das q = 1-Modell endet auch bei a = 0, dem Big Crunch. Alle in diesem Kapitel diskutierten Standardmodelle der Kosmologie zeigen gebremste Expansion und es existiert keine statische Lösung. Wie wir noch sehen werden, deuten Beobachtungen aber auf eine beschleunigte Expansion des Universums hin. Um ein statisches oder beschleunigt expandierendes Universum beschreiben zu können, muss die Friedmann-Gleichung um einen Term, der von der kosmologischen Konstante herrührt, erweitert werden. Dies wird im folgenden Kapitel geschehen. Kosmologie 325

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46 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen Bis hierher haben wir gesehen, dass durch die Beobachtungen von Hubble ein expandierendes Universum nahegelegt wurde und wir außerdem mit unseren Materieuniversen zwei ewig expandierende und eine für eine bestimmte Zeit expandierende Lösung der Friedmann-Gleichung hergeleitet haben. Diese Übereinstimmung von Theorie und Beobachtung sollte uns sehr zufriedenstellen. Allerdings haben Beobachtungen in den letzten Jahren stark daraufhin gedeutet, dass die Expansion des Universums sich beschleunigt. Das können wir im Rahmen unserer bisherigen Modelle nicht erklären. Daneben haben wir im letzten Kapitel nur den Beitrag der Materie zur Energiedichte berücksichtigt. Das erschien vernünftig, weil der Beitrag der Strahlungsenergiedichte sich leicht als vernachlässigbar klein abschätzen ließ und wir keine weiteren Energieformen erwartet hatten. Wir beleuchten diesen Punkt jetzt etwas genauer und werden sehen, dass wir unsere bisherigen Überlegungen erweitern müssen, wenn wir die Entwicklung des Universums umfassend verstehen wollen Verallgemeinerte Energieformen Im heutigen Universum ist die Strahlungsenergiedichte ɛ r sehr klein. Allerdings unterscheidet sie sich in einer wesentlichen Eigenschaft von der Materieenergiedichte. Für diese haben wir den Zusammenhang ɛ m a 3 = ɛ m0 a 3 0 hergeleitet, der letztlich ein mathematischer Ausdruck der Massenerhaltung ist. Wir können uns leicht klarmachen, dass dieser Zusammenhang für die Strahlungsenergiedichte nicht gilt. Die Anzahldichte der Photonen nimmt bei der Expansion zwar ebenfalls mit a 3 ab. Gleichzeitig führt die Ausdehnung des Raumes aber auch zu einer Rotverschiebung der Photonen, wie sie Hubble bei seinen Beobachtungen fand. Wir werden die Rotverschiebung noch detailliert aus der Metrik herleiten, hier soll uns ein einfaches Bild genügen. Von einer Lichtquelle soll zu einem bestimmten Zeitpunkt t e eine Lichtwelle mit Wellenlänge λ e emittiert werden. Wenn diese Lichtwelle bei uns zum Zeitpunkt t r ankommt, hat sich der Skalenfaktor a um einen Faktor a(t r )/a(t e ) vergrößert. Anfangs- und Endpunkt der Lichtwelle haben ihren Abstand dann um den gleichen Kosmologie 327

47 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen Expansion Abbildung 19.1: Bei Ausdehnung des Universums nimmt die Dichte der Materie mit ɛ m a 3 ab. Photonen werden aber zusätzlich rotverschoben, es gilt daher ɛ r a 4. Faktor vergrößert. Es gilt dann also λ r = λ e a(t r ) a(t e ). (19.1) Die bei uns empfangene Wellenlänge ändert sich also bezüglich der Wellenlänge bei Emission um das Verhältnis der Skalenfaktoren damals und heute. Wegen der Relation ν = c/λ gilt dann ν r = ν e a(t e ) a(t r ). (19.2) Der hier betrachtete Lichtstrahl ist natürlich in keiner Form ausgezeichnet. Ganz allgemein gilt also für elektromagnetische Strahlung, dass die Frequenzänderung proportional zum Inversen der Änderung des Skalenfaktors ist. Wegen dem Zusammenhang E = hν gilt dann für jedes einzelne Photon auch E a 1. (19.3) Wenn wir dies mit der Veränderung der Anzahldichte proportional zu a 3 verknüpfen, so finden wir für die Strahlungsenergiedichte ɛ r a 4 = ɛ r0 a 4 0, bzw. ɛ r a 4. (19.4) In Abbildung 19.1 ist die Ursache für diesen Unterschied veranschaulicht. Wenn die Strahlungsenergiedichte bei Ausdehung des Universums schneller sinkt als die Massenenergiedichte, so bedeutet dies umgekehrt, dass zu einem früheren Zeitpunkt das Verhältnis ɛ r /ɛ m deutlich höher war als heute. Wenn wir die Gesamtentwicklung des Universums verstehen wollen, so können wir also die Strahlung nicht vernachlässigen. Desweiteren haben wir bisher nur nichtrelativistische Materie betrachtet. Einen möglichen großen Beitrag zur Energiedichte relativistischer Materie könnten beispielsweise Neutrinos liefern. Um diesen Überlegungen Rechnung zu tragen, schreiben wir die Energiedichte von nun an ohne Index und meinen damit die Summe 328

48 19.2 Verallgemeinerung des Energie-Impuls-Tensors aller möglichen Beiträge: ɛ = ɛ i. (19.5) i Ebenso können wir den oben definierten Ω-Parameter verallgemeinern über Ω = Ω i. (19.6) i Die einzelnen Summanden Ω i geben hier an, wie groß die jeweilige Energiedichte relativ zur kritischen Dichte ist: Ω i (ct) = ɛ(ct) ɛ c (ct). (19.7) Es ist klar, dass die Lösung der Friedmann-Gleichung viel schwieriger wird, wenn darin mehrere Energiedichtebeiträge mit unterschiedlicher Abhängigkeit von a vorkommen Verallgemeinerung des Energie-Impuls-Tensors Wenn wir beliebige Energieformen betrachten wollen, so können wir auch nicht mehr davon ausgehen, dass der Druck, den diese Energieformen verursachen, vernachlässigbar ist. Ein nichtverschwindender Druck, der natürlich auch zeitabhängig sein darf, ergibt einen Beitrag zum Energie-Impuls-Tensor, den wir daher verallgemeinern müssen. In Zukunft betrachten wir daher den Energie-Impuls-Tensor für eine ideale Flüssigkeit, der die Form T µν = (ɛ + p) u µ u ν pg µν (19.8) hat, wobei wie bisher die Vierergeschwindigkeit u µ = (1,0,0,0) ist. Mit u µ und der Metrik aus (18.2) erhalten wir T µν = diag (ɛ, p 1 qr2 p a 2, a 2 r 2, p a 2 r 2 sin 2 (ϑ) ). (19.9) Durch die zusätzlichen Diagonaleinträge wird die Kontinuitätsgleichung T µν ;ν = 0, bzw. ausgeschrieben wie in (18.30), jetzt komplizierter. Für µ = ct ergeben sich drei zusätzliche Terme durch den Beitrag T ctct Γ ν ctν = 3p a,ct a, (19.10) Kosmologie 329

49 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen wobei wieder die Christoffelsymbole aus Gleichung (18.3) benutzt wurden. Damit ergibt sich jetzt die verallgemeinerte Gleichung ɛ,ct + 3 a,ct a (ɛ + p) = 0. (19.11) Für µ = r, ϑ, ϕ ergibt sich weiterhin T µν ;ν = 0. Gleichung (19.11) können wir analog zum Übergang von (18.30) zu (18.31) durch Multiplikation mit a 3 in die Form ( ɛa 3),ct = 3a2 a,ct p (19.12) bringen. Wir multiplizieren noch auf beiden Seiten mit dct durch und haben ( d ɛa 3) = p3a 2 da. (19.13) Auf der linken Seite dieser Gleichung haben wir jetzt einen Term der Form de mit E = ɛv, wobei über V = a 3 bis auf konstante Vorfaktoren das Volumen eines beliebigen, groß genug gewählten Bereiches des Universums gegeben ist. Auf der rechten Seite erkennen wir den Ausdruck dv = a 2 da und können damit (19.13) formal schreiben als de = pdv. (19.14) Diese Form entspricht dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik de = dq pdv. (19.15) Prozesse, bei denen keine Wärme ausgetauscht wird, d.h. dq = 0, heißen adiabatisch. Wir sehen also, dass die Expansion des Universums ein adiabatischer Prozeß ist. Wegen ds = dq (19.16) T folgt daraus auch ds = 0. Bei einer homogenen und isotropen Expanion ändert sich die Entropie des Universums also nicht. Aufgrund der Analogie zum ersten Hauptsatz und weil (19.13) aus der Divergenz des Energie-Impuls-Tensors folgt, nennen wir diesen Zusammenhang auch Energiesatz. Um die Feldgleichungen aufzustellen, benötigen wir weiter die kontravariante Version des Energie-Impuls-Tensors. Da sowohl T µν als auch g µν immer noch Diagonalgestalt haben, lässt sie sich wieder leicht berechnen und hat die Form ( a T µν = 2 ) p diag ɛ, 1 qr 2, pa2 r 2, pa 2 r 2 sin 2 (ϑ). (19.17) 330

50 19.3 Zustandsgleichungen zur Festlegung des Druckes Schließlich erhalten wir aus durch Kontraktion und können damit T µν bestimmen zu T µ ν = diag (ɛ, p, p, p) (19.18) T = ɛ 3p (19.19) Tµν = 1 (ɛ 2 diag a + 3p, (ɛ p) 2 ) 1 qr 2, (ɛ p)a2 r 2, (ɛ p)a 2 r 2 sin 2 (ϑ). (19.20) Jetzt haben wir die Verallgemeinerung des Ausdrucks in Gleichung (18.24) gefunden und können damit die Feldgleichungen R µν = κt µν in (18.25) ebenfalls verallgemeinern. Allerdings haben wir durch die Einführung von p(ct) jetzt eine weitere Unbekannte. Dieses Problem behandeln wir im nächsten Abschnitt Zustandsgleichungen zur Festlegung des Druckes Das Problem mehrere Größen, die ein System beschreiben, miteinander zu verknüpfen, ist uns schon einmal bei der Beschreibung von Sternen, Weißen Zwergen und Neutronensternen in den Abschnitten 8.3 und 8.4 begegnet. Dort haben wir verschiedene Zustandsgleichungen hergeleitet, die die Materiedichte σ und den Druck p miteinander verknüpfen. In Abschnitt 18.2 haben wir bereits beispielhaft auf die Zustandsgleichung für Hauptreihensterne zurückgegriffen, um zu begründen, dass wir für nichtrelativistische Materie die Näherung p 0 ansetzen können. Jetzt müssen wir eine allgemeine Relation zwischen der Energiedichte und dem Druck finden. An dem Zusammenhang ɛ = σc 2 sehen wir, dass wir hier ein völlig analoges Problem wie bei der Beschreibung der Sternmaterie haben. In der Kosmologie können wir uns aber auf Zustandsgleichungen beschränken, die deutlich einfacher sind als die, die wir bereits kennengelernt haben. Tatsächlich können wir alle Zustandsgleichungen, die hier für uns von Bedeutung sind in der Form p = wɛ (19.21) schreiben. Dabei ist w eine dimensionslose, reelle Konstante. Nichtrelativistische Materie wird durch diese Zustandsgleichung mit w = 0 beschrieben. Diese einfache Form der Zustandsgleichungen führt dazu, dass wir weiterhin die Friedmann-Gleichung, zumindest in bestimmten Fällen, analytisch lösen können. Kosmologie 331

51 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen 19.4 Einsteins kosmologisches Glied Bevor wir die verallgemeinerte Friedmann-Gleichung jetzt hinschreiben und analysieren, wollen wir als letzte Erweiterung Einsteins kosmologische Konstante Λ mitberücksichtigen, die wir bei der Herleitung der Einsteinschen Feldgleichungen in Abschnitt 13 bereits eingeführt haben, bei allen bisherigen Diskussionen aber nicht betrachtet haben. Wir werden sehen, dass wir ihren Beitrag einfach als zusätzliche Energieform behandeln können, wenn auch mit sehr exotischen Eigenschaften. Wir möchten vorher aber kurz besprechen, aus welchem Grund Einstein Λ überhaupt ursprünglich eingeführt hat. Wir haben bei der Diskussion der Materieuniversen gesehen, dass wir für alle Werte von q zeitabhängige Skalenfaktoren erhalten. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts war aber noch die Vorstellung eines statischen, ewig unveränderlichen Universums vorherrschend. Einstein hatte also das Problem, dass seine Theorie die Lösung, die er eigentlich erwartete, überhaupt nicht zuließ. Aus diesem Grund schlug er 1917 eine Modifikation seiner Feldgleichungen mit einem zusätzlichen Term Λg µν vor. [62] Wir hatten in Gleichung (13.45b) diesen Term bereits ohne Begründung mitgeführt. An dieser Stelle soll kurz Einsteins Argumentation skizziert werden, weil wir diese an anderer Stelle noch einmal aufgreifen werden. Aus Überlegungen über das Verhalten des Newtonschen Gravitationspotentials im Unendlichen heraus, betrachtete Einstein statt der Poisson-Gleichung die Helmholtz-Gleichung φ = 4πGσ (19.22) φ Λφ = 4πGσ (19.23) mit dem freien Parameter Λ. Die Lösung der Poisson-Gleichung (19.22) ergibt sich formal zu ˆ 1 φ(r) = x y σ(y)d3 y. (19.24) Für eine räumlich konstante Dichte σ(x) = c 0 divergiert das Integral in (19.24). In der Newtonschen Mechanik ist es also nicht möglich, ein statisches Universum mit konstanter Dichte zu beschreiben, dass dem kosmologischen Prinzip genügen würde. Um eine physikalische Lösung zu erhalten, müssen wir zusätzlich fordern, dass die Dichte im Unendlichen gegen Null geht. Die Lösung der Helmholtz-Gleichung dagegen lautet formal φ(x) = ˆ e Λ x y x y σ(y)d 3 y. (19.25) 332

52 19.4 Einsteins kosmologisches Glied Die Einführung der kosmologischen Konstante führt zu einem Abschirmungsterm. Gleichung (19.25) beschreibt formal ein Yukawapotential, wie es in der Teilchenphysik von Bedeutung ist und auch tatsächlich für die Gravitation immer wieder vorgeschlagen wurde. Entscheidend ist, dass dieser Ausdruck auch für eine konstante Dichte konvergiert. Im Unterschied zur Poisson-Gleichung hat die Helmholtz-Gleichung also eine nichtverschwindende Lösung für eine räumlich konstante Dichte σ 0. Explizit findet man φ = 4πG Λ σ 0. (19.26) Lokale Schwankungen der Materiedichte führen dann zu Korrekturen φ dieses Potentials. Für kleine Werte von Λ würde φ sich beliebig einem Newtonschen Gravitationspotential annähern. Man erkennt leicht den Sinn hinter dieser Überlegung: Mit dem Korrekturterm Λφ wird ein statisches Universum mit überall konstanter Dichte möglich. Einstein selbst wendete den Weg über eine modifizierte Newtonsche Gravitationstheorie, der an sich nicht beansprucht ernst genommen zu werden, [62] nur zur Veranschaulichung an. In analoger Weise argumentierte er dann für einen zusätzlichen Term Λg µν in den Einsteinschen Feldgleichungen. Tatsächlich kann man aber zeigen, dass die Helmholtz-Gleichung als nichtrelativistischer Grenzfall der Einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante resultiert, d.h. man findet eine Newtonsche Gravitationstheorie mit kosmologischer Konstante als Grenzfall der allgemeinrelativistischen Theorie mit kosmologischer Konstante. Wenn wir die nichtrelativistische Näherung des Einsteintensors (13.46) um den kosmologischen Term ergänzen, so ergibt sich φ + Λφ = 4πGσ 1 2 Λc2. (19.27) Wir erhalten also eine Gleichung der Form (19.23), wobei die Materiedichte um einen konstanten Term 1/2Λc 2 ergänzt wird. Analog gehen wir jetzt in der ART vor und ergänzen die Feldgleichungen um die kosmologische Konstante. Die Feldgleichungen lauten dann R µν + Λg µν = κt µν. (19.28) Wir wollen jetzt zeigen, dass wir den zusätzlichen Λ-Term als Beitrag zur Energiedichte behandeln können. Wenn wir diesen Term auf die rechte Seite bringen haben wir ( R µν = κ Tµν Λ ) κ g µν. (19.29) Wir müssen jetzt also den Term T µν + (Λ/κ)g µν als Energie-Impuls-Tensor ausdrücken können, in dem die kosmologische Konstante berücksichtigt ist. Das heißt Kosmologie 333

53 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen wir müssen die Komponenten (Λ/κ)g µν analysieren um den Zusammenhang von Energiedichte und Druck für Λ zu finden. Ausgeschrieben haben wir folgende Relationen, wenn wir die verschwindenden Nichtdiagonalelemente weglassen: Λ κ 1 (ɛ + 3p) 2 (19.30a) Λ κ a 2 1 qr (ɛ p) a 2 Λ κ a2 r (ɛ p)a2 r 2 Λ κ a2 r 2 sin 2 (ϑ) 1 2 (ɛ p)a2 r 2 sin 2 (ϑ). 1 qr 2 (19.30b) (19.30c) (19.30d) Zuerst sehen wir, dass die letzten drei Gleichungen identisch sind. Das ist wichtig, sonst könnten wir diese Zuordnung eben genau nicht widerspruchsfrei machen. Das Gleichungssystem (19.30) reduziert sich dann auf die beiden Bedingungen 2 Λ κ = ɛ + 3p, (19.31a) 2 Λ κ = ɛ p. (19.31b) Durch Addition dieser beiden Gleichungen sehen wir sofort, dass sein muss und daraus folgt dann direkt weiter p Λ = ɛ Λ (19.32) ɛ Λ = Λc4 8πG = Λ κ. (19.33) Mit der kosmologischen Konstante ist also eine Energiedichte mit negativem Druck verbunden. Diese Energiedichte erfüllt Gleichung (19.21) für w = 1. Diese sehr ungewöhnliche Eigenschaft führt dazu, dass durch ɛ Λ die Expansion des Universums beschleunigt verlaufen kann, wie wir leicht an der Friedmann-Gleichung sehen werden. Da Λ in den Feldgleichungen eine Konstante ist, sehen wir an Hand von (19.33) auch sofort die Abhängigkeit von ɛ Λ vom Skalenfaktor oder besser gesagt die Unabhängigkeit, denn ɛ Λ hängt eben nicht von a ab. Die zur kosmologischen Konstante gehörende Energiedichte, sollte Λ = 0 sein, ändert sich nicht bei Expansion des Universums. Wir erkennen daran, dass, da die Materie- und Strahlungsenergiedichte mit 334

54 19.4 Einsteins kosmologisches Glied ɛ m a 3 bzw. ɛ r a 4 bei der Expansion abnehmen, die Bedeutung der kosmologischen Konstante bei der Expansion des Universums immer weiter zunimmt. Mit der Definition der kritischen Dichte ɛ c (t) = 3c 2 H(t) 2 /(8πG) in Gleichung (18.40) können wir ɛ Λ außerdem noch einen Parameter Ω Λ (t) = ɛ Λ ɛ c (t) = Λc2 3H(t) 2 (19.34) zuweisen. Nach der Entdeckung der Expansion des Universums durch E. Hubble verlor die kosmologische Konstante zunächst ihre Berechtigung und es wurde allgemein angenommen, dass sie verschwindet. Beobachtungen weit entfernter Supernovae in den 1990er Jahren legten allerdings nahe, dass das Universum beschleunigt expandiert und die kosmologische Konstante daher einen sehr kleinen aber nichtverschwindenden Wert besitzt. Wir werden diese Beobachtungen und wie man daraus auf eine beschleunigte Expansion schließen kann noch ausführlich diskutieren. In der heutigen Kosmologie spielt die kosmologische Konstante also wieder eine wichtige Rolle, wenn auch eine ganz andere als von Einstein ursprünglich beabsichtigt: Statt eine statische Lösung der Feldgleichungen zu ermöglichen, sorgt die kosmologische Konstante nach heutiger Ansicht für die Beschleunigung der Expansion. Nach der Entdeckung, dass vermutlich Λ = 0 ist, drängt sich die Frage nach dem Urspung dieser Energiedichte mit ihren ungewöhnlichen Eigenschaften des negativen Drucks und der Konstanz bei der Expansion des Universums auf. Letztlich ist dieses Problem noch völlig ungeklärt. Eine Idee ist, dass ɛ Λ von der Energiedichte des Vakuums herrührt, also ɛ Λ = ɛ vak. (19.35) Dass dem Vakuum überhaupt eine von Null verschiedene Energiedichte zugeordnet werden kann, ist ein Ergebniss der Quantenmechanik und rührt von virtuellen Teilchen-Antiteilchen Paaren her. Abschätzungen der daraus resultierenden Werte von ɛ Λ liegen aber um etwa 120 Größenordnungen neben dem tatsächlichen Wert, siehe Kapitel?? für eine kurze Diskussion zu diesem Thema. Für uns soll es an dieser Stelle genügen, zu akzeptieren, dass es diesen Energiebeitrag vermutlich gibt, er dafür sorgt, dass die Expansion des Universums heute beschleunigt abläuft und wir ihn daher in unserer Diskussion der möglichen Weltmodelle berücksichtigen müssen. Um einen einfachen Begriff für ɛ Λ zu haben, sprechen wir aber im Folgenden auch von der Vakuumenergiedichte. Kosmologie 335

55 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Wenn wir den neuen Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor in die Feldgleichungen einsetzen, ergibt sich das Gleichungssystem 3 a,ctct a qr 2 A 0 0 = κ 0 0 r 2 A r 2 sin 2 ϑa ɛ+3p a 0 (ɛ p) 2 1 qr 2 0 0, (19.36) 0 0 (ɛ p)a 2 r (ɛ p)a 2 r 2 sin 2 ϑ als Erweiterung von (18.25). Die Gleichungen für µ = ν = 1, 2, 3 sind wieder identisch, an unserer Voraussetzung eines homogenen und isotropen Raumes hat sich schließlich nichts geändert. Nachdem wir jetzt den Druck in Abschnitt 19.3 durch eine einfache Zustandsgleichung mit der Energiedichte verknüpft haben und außerdem neben der Materieenergiedichte auch die Strahlungsenergiedichte und die Vakuumenergiedichte ɛ Λ als wichtige Beiträge diskutiert haben, können wir uns jetzt daran machen, diese allgemeine Form der Friedman-Gleichung und ihre Lösungen zu untersuchen. Wir beginnen mit dem Energiesatz (19.13). Wenn wir die Zustandsgleichung (19.21) einsetzen und den Druckterm nach links bringen, erhalten wir bzw. a 3 dɛ + 3a 2 (1 + w)ɛda = 0, (19.37) dɛ ɛ = 3(1 + w) ln a + C. (19.38) Wir integrieren diese Gleichung, passen die Integrationskonstante an unsere Nebenbedingung a 0 = 1 an, und finden ɛ(a) = ɛ 0 a 3(1+w). (19.39) Der Energiesatz bestimmt also zusammen mit der Zustandsgleichung die funktionale Abhängigkeit der jeweiligen Energiedichte vom Skalenfaktor. Gleichung (19.39) gilt aber nur jeweils für bestimmte Energieformen mit festem w. Tatsächlich wird sich in unserem Universum, wie bereits diskutiert, die Gesamtenergiedichte aus mehreren Komponenten zusammensetzen, d.h. ɛ = ɛ i. Jeder der einzelnen Beiträge ɛ i hat sein eigenes w i und erfüllt damit (19.39) getrennt, vorausgesetzt die einzelnen Beiträge wechselwirken nicht miteinander, was wir annehmen wollen. Speziell erhalten wir aus (19.39) für w = 0 und w = 1/3 unsere bereits bekannten Ergebnisse ɛ m a 3 und ɛ r a 4. Mit Hilfe der Zustandsgleichung ist es uns 336

56 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung jetzt möglich, aus T µν in Gleichung (19.36) den Druck und die Energiedichte zu eliminieren. Wir schreiben die beiden Gleichungen zuerst noch einmal aus: a,ctct = κ (ɛ + 3p)a, 6 (19.40a) aa,ctct + 2a 2,ct + 2q = κ 2 a2 (ɛ p). (19.40b) Wir sehen an (19.40a), dass sowohl die Energiedichte, als auch ein positiver Druck die Expansion bremsen, da sie einen negativen Beitrag zu a,ctct leisten. Bei den Materieuniversen haben wir ja auch nur Modelle mit gebremster Expansion gefunden. Gleichzeitig sehen wir aber wegen p = wɛ auch, dass für w < 1/3 die zweite Ableitung des Skalenfaktors positiv wird. Energieformen, die diese Bedingung erfüllen, führen zu einer beschleunigten Expansion. Die Vakuumenergiedichte erfüllt mit w = 1 diese Bedingung. Wenn sie der dominante Beitrag zur Gesamtenergiedichte des Universums ist, ist also mit einer beschleunigten Expansion zu rechnen. Wir setzen jetzt in Gleichung (19.40) den Summenansatz für die Energiedichte sowie p i = w i ɛ i ein. Dann haben wir aa,ctct + 2a 2,ct + 2q = a,ctct = κ 6 a ɛ i (1 + 3w i ), i κ 2 a2 ɛ i (1 w i ). i (19.41a) (19.41b) Wenn wir (19.41a) in (19.41b) einsetzen und den ersten Term links auf die rechte Seite bringen, sehen wir, dass sich in der Summe die w i -Terme kürzen und nur a 2,ct + q κ 3 a2 ɛ i = 0 (19.42) i übrigbleibt. Das ist die logische Erweiterung von Gleichung (18.35), in der wir nur die Materieenergiedichte mit ɛ m = ɛ m0 a 3 berücksichtigt haben. Wir hätten diese Form letztlich auch direkt hinschreiben können, aber nur aufgrund unserer ausführlichen Überlegungen mit Hilfe der Zustandsgleichung und des Energiesatzes sind wir jetzt in der Lage, in (19.43) die verschiedenen Anteile ɛ i an der Gesamtenergiedichte durch Funktionen des Skalenfaktors zu ersetzen, um dann eine gewöhnliche Differentialgleichung für den Skalenfaktor zu erhalten. Diese lautet unter Verwendung von (19.39) a 2,ct + q κ 3 a2 ɛ i0 a 3(1+wi) = 0. (19.43) i Diese Gleichung heißt Friedmann-Lemaître-Gleichung. Sie ist in einer Form, in der wir die Lösungen mathematisch untersuchen können. Da wir die Herleitung der Kosmologie 337

57 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen Friedmann-Gleichung abgeschlossen haben ist es an dieser Stelle aber angebracht, komplett zur Variable t überzugehen, also a,ct durch ȧ/c zu ersetzen. Außerdem bringen wir den Faktor a 2 vor dem dritten Term in die Summe und haben dann ȧ 2 κ 3 i ɛ i0 a (1+3w i) = qc 2. (19.44) Qualitative Betrachtung im Potentialbild Wie für die Gleichungen ohne kosmologisches Glied wollen wir zuerst eine qualitative Diskussion durchführen. Dazu nutzen wir aus, dass Gleichung (19.44) wieder als eine Energiebilanz betrachtet werden kann. Wir beschränken uns dazu auf die Fälle mit ɛ r0 = 0, da wir auch anhand der Modelle, die nur Materie und kosmologische Konstante enthalten, die wesentlichen Punkte klarmachen können. Außerdem verwenden wir hier die für diesen Fall geeignetere Notation mit Λ statt ɛ Λ, die wir mit dem Zusammenhang ɛ Λ = Λ/κ zwischen Vakuumenergiedichte und kosmologischer Konstante in Gleichung (19.33) erhalten. In dieser Form wird aus (19.44) die Beziehung ȧ 2 κc2 3 ɛ m0 a Λc2 3 a2 = qc 2. (19.45) Hier haben wir im Vergleich zu (18.48) also den zusätzlichen Potentialterm 1/3Λc 2 a 2. Abbildung 19.2 zeigt Potentialverläufe für verschiedene Werte von Λ. Solange aber neben dem Potentialbeitrag von Λ Anteile vorhanden sind, die für a 0 divergieren, gilt immer noch, dass alle diese Lösungen der Friedmann-Gleichung für a = 0 unendliche Steigung haben. Das genaue Verhalten der Lösungen hängt stark vom Wert und vor allem vom Vorzeichen von Λ ab. Ist Λ > 0 so existieren folgende Möglichkeiten: 1. Ist Λ groß genug, so dehnt sich das Universum unabhängig vom Wert von q für alle Zeit aus, dieser Fall entspricht Λ 1 in Abbildung Ist Λ kleiner, so gibt es für q = 1 wiederum ein geschlossenes Universum, das eine maximale Ausdehnung erreicht und dann wieder kollabiert (Λ 2 ). 3. Zwischen diesen beiden Fällen existiert ein Wert für Λ, bei dem das Maximum der potentiellen Energie für q = 1 exakt der Gesamtenergie entspricht. In diesem Fall nähert sich a asymptotisch dem Maximalwert, während ȧ gegen Null geht (Λ E ). Es ergibt sich dann also nach einer gewissen Zeit ein statisches Universum. Alternativ ergibt sich für die Anfangsbedingung ȧ = 0 ein völlig statisches Universum ohne Urknall, das exakt an diesem Punkt liegt. Das ist 338

58 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Abbildung 19.2: Qualitative Betrachtung zur Friedmann-Lemaître-Gleichung (19.45). Für Λ < 0 sind nur Universen möglich, die wieder kollabieren (Λ 3 ). Für Λ > 0 expandieren alle Universen mit q = 0 oder q = 1. Für q = 1 existieren rekollabierende Lösungen (Λ 1 ), ewig expandierende Lösungen (Λ 2 ), sowie der Grenzfall Λ E, ein asymptotisch bis auf einen Maximalwert expandierendes, bzw. bei geeigneten Anfangsbedingungen statisches Universum. V ȧ = 0 a Max Λ 1 Λ E Λ 3 q = 1 q = 0 a q = 1 Λ 2 exakt das von Einstein in Verbindung mit der Einführung der kosmologischen Konstante vorgeschlagene Modell. Es ist allerdings instabil, da jede Abweichung von Λ vom korrekten Wert das Universum entweder kollabieren oder expandieren lässt. 4. Der Fall Λ < 0 entspricht für alle Werte von q einem gebundenen Teilchen. Jede Lösung dieses Typs muss wieder kollabieren (Λ 3 ). Der Wert für a, bei dem das effektive Potential für Λ > 0 maximal wird, lässt sich leicht berechnen. Die Bedingung dv eff /da = 0 führt auf κɛ m0 = 2Λa 3 und damit auf ( κ a max = 2 ɛ ) ( m0 1/3 1 = Λ 2 ) ɛ 1/3 m0. (19.46) ɛ Λ Der Wert des Potentials V max = V(a max ) an dieser Stelle ergibt sich weiter zu [ V max = κ ( ) 1 ɛ 1/3 ( ) ] m0 1 ɛ 2/3 3 c2 ɛ m0 + m0 ɛ Λ 2 ɛ Λ 2 ɛ Λ = κ ( (19.47) ) 1/3 ( 3 c2 ɛ Λ0 ɛm / /3) Umformulierung der Friedmann-Gleichung als Funktion von Beobachtungsgrößen Wir möchten im Folgenden jetzt nicht nur Skalenfaktoren aus der Friedmann-Gleichung berechnen, sondern später unsere theoretischen Modelle mit Beobachtungen vergleichen. Im Wesentlichen werden das die Werte der Hubble-Konstante H 0, sowie die Ω 0 -Parameter der verschiedenen Energieformen sein. Zur direkten Verwendung Kosmologie 339

59 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen dieser Größen können wir (19.44) in eine praktische Form bringen. Dazu benutzen wir zuerst Gleichung (18.47), um den Krümmungsindex q durch Ω 0 = i Ω i0 und H 0 zu ersetzen. Als Zwischenergebnis haben wir dann ȧ 2 + H 2 0 (Ω 0 1) κc2 3 i ɛ i0 a (1+3w i) = 0. (19.48) Jetzt teilen wir durch H 2 0 und nutzen dabei den Zusammenhang κc 2 = 3 H2 0 ɛ c0, (19.49) den wir aus Gleichung (18.41) gewinnen, um den Vorfaktor vor dem tritten Term zu beseitigen. Wenn wir den dann vor dem dritten Term auftretenden Faktor ɛ c0 in die Summe ziehen haben wir ȧ 2 H (Ω 0 1) i ɛ i0 ɛ c0 a (1+3w i) = 0. (19.50) Die Quotienten ɛ i0 /ɛ c0 entsprechen gerade den Werten Ω i0 der jeweiligen Ω i -Parameter heute. Wir nehmen diese Ersetzung vor, bringen den zweiten und dritten Term auf die rechte Seite und multiplizieren mit H0 2. Dann ist [ ] ȧ 2 = H0 2 Ω i0 a (1+3wi) + (1 Ω 0 ) i. (19.51) Schließlich ziehen wir die Wurzel und separieren die Variablen. Dann gelangen wir zu da = H 0 dt. (19.52) i Ω i0 a (1+3wi) + (1 Ω 0 ) Damit haben wir die Friedmann-Gleichung in eine Form gebracht, in der sie von den Messgrößen H 0 und Ω i0 abhängt. Formal lösen können wir sie durch Integration von (19.52), was auf ˆ da = H 0 t + C (19.53) i Ω i0 a (1+3wi) + (1 Ω 0 ) führt. Dabei müssen wir die Integrationskonstante dann noch so wählen, dass a 0 = 1 ist. Je nachdem, welche und wieviele Beiträge Ω i0 in (19.53) berücksichtigt werden, 340

60 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung ist die Integration auf der linken Seite analytisch möglich oder nicht. Im allgemeinen Fall bleibt nur die numerische Integration. Eine gute Diskussion verschiedener möglicher Energieformen findet sich in einem Artikel von R. J. Nemiroff. [76] Wir beschränken uns weiter auf die drei Formen, die wir bereits kennengelernt haben, d.h. Materie, Strahlung und kosmologische Konstante. In diesem Fall gilt also Ω 0 = Ω m0 + Ω r0 + Ω Λ0 (19.54) und wir bekommen als Ausgangsgleichung für die folgenden Betrachtungen die Relation ˆ da Ωm0 a 1 + Ω r0 a 2 + Ω Λ0 a 2 + (1 Ω 0 ) = H 0t + C, (19.55) unter Verwendung von w m = 0, w r = 1/3 und w Λ = 1. Heutige Werte für die verschiedenen Ω 0 -Parameter wurden von der WMAP-Kollaboration (Ω m0 und Ω Λ0 ), sowie vom COBE-Experiment (Ω r0 ) bestimmt und lauten [74] Ω Λ0 = 0,728 +0,015 0,016, Ω m0 = 0,273 ± 0,014, Ω r0 = 8, (19.56) In unserem Universum dominiert also die Vakuumenergiedichte, deren Ursprung noch nicht bekannt ist. Außerdem ergibt sich aus diesen Werten innerhalb der Fehlergrenzen, dass Ω 0 = 1 in unserem Universum gilt. Das ist allerdings nicht gleichbedeutend mit q = 0, das würde nur bei einer exakten Gleichheit Ω 0 1 gelten. Aufgrund der Messfehler sind die Ergebnisse also mit q = 0 konsistent, schließen aber die beiden anderen Werte q = ±1 nicht aus. Auf die gerade genannten Experimente werden wir noch eingehen. Da wir die Abhängigkeit der Ω-Parameter vom Skalenfaktor kennen, können wir mit den numerischen Werten aus (19.56) jetzt abschätzen, bei welchen Skalenfaktoren die jeweiligen Energiebeiträge gleich groß waren und damit die Phasen der unterschiedlichen Dominanzen voneinander abgrenzen. Aus Ω r (a) = Ω r0 a 4 und Ω m (a) = Ω m0 a 3 finden wir Analog ergibt sich mit Ω Λ (a) = Ω Λ0 a rm = Ω r0 Ω m0 3, (19.57) a mλ = ( Ωm0 Ω Λ0 ) 1/3 0,72. (19.58) Kosmologie 341

61 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen log(ε/ε c ) strahlungsdominiert (ε r ε m )-Übergang log(arm) materiedominiert (ε m ε Λ )-Übergang log(amλ) Λ-dominiert log(ε Λ /ε c ) log(ε r /ε c ) log(ε m /ε c ) log(a) Abbildung 19.3: Entwicklung von Strahlungsdichte, Materiedichte und der kosmologischen Konstante über dem Skalenfaktor. Als die Strahlungsenergiedichte und die Materieenergiedichte gleich groß waren, war das Universum also etwa mal kleiner als heute. Dagegen hatte das Universum bereits 72% seiner heutigen Ausdehnung erreicht, als die Vakuumenergiedichte gleich groß wie die Materieenergiedichte wurde. Mit Hilfe dieser beiden Zeitpunkte lässt sich die Entwicklungsgeschichte des Universums grob in 5 Phasen einteilen, zwischen denen die Übergänge natürlich fließend sind: 1. Die strahlungsdominierte Phase als Ω r Ω m war. 2. Die Phase von Strahlung und Materie mit Ω r Ω m. 3. Die materiedominierte Phase mit Ω m Ω r und Ω m Ω Λ. 4. Die Phase mit vergleichbaren Beiträgen von Materie und Vakuumenergiedichte, d.h. Ω m Ω Λ, in der wir uns heute befinden. 5. Die Phase dominierender Vakuumdichte, d.h. mit Ω Λ Ω m. In Abbildung 19.3 sind diese verschiedenen Phasen mit den zugehörigen Werten des Skalenfaktors für die Werte aus Gleichung (19.56) dargestellt. Im Folgenden werden wir die Friedmann-Gleichung separat für jede dieser Phasen lösen, wobei wir das materiedominierte Universum bereits kennengelernt haben, und die Eigenschaften dieser Universumsmodelle diskutieren. Daneben lohnt es sich aber auch, 342

62 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung weitere Universumsmodelle zu betrachten, die für unser wirkliches Universum weniger von Bedeutung sind. Zum einen sind insbesondere die Modelle mit nichtverschwindender Krümmung wichtig, weil sie sich nicht aufgrund der Messergebnisse ausschließen lassen, zum anderen haben einige dieser Modelle sehr interessante Eigenschaften. Insbesondere werden wir auch Modelle mit Λ < 0, d.h. mit negativer Vakuumenergiedichte, kurz betrachten. Bis dahin wird in allen Rechnungen Λ > 0 angenommen. Wir konzentrieren uns hier auf die Interpretation der jeweiligen Modelle und skizzieren die jeweiligen Rechenwege nur. Leser, die an expliziten Rechnungen interessiert sind, finden in Anhang A weitere Details. Wir beginnen unsere Diskussion mit der Betrachtung der Grenzfälle a 0 und a, d.h. dem strahlungsdominierten und dem Λ-dominierten Universum, weil diese mathematisch am einfachsten zu behandeln sind Das Strahlungsuniversum Wir haben bereits bei der Einführung der Strahlungsenergiedichte darauf hingewiesen, dass diese aufgrund ihres im Gegensatz zur Materiedichte schnelleren Abklingverhaltens für kleine Skalenfaktoren dominiert. Wenn wir nur den Strahlungsbeitrag in (19.55) berücksichtigen, d.h. ein Universum mit Ω r0 = Ω 0 = 1, so erhalten wir die Gleichung ˆ ada = H 0 t + C, (19.59) die wir sofort lösen können zu mit a(0) = 1. Für a(t) = 2H 0 t + 1, (19.60) t BBr = 1 2 H 1 0 (19.61) ist a = 0, das Alter dieses Universums ist also t BBr. Ein flaches Universum, das nur Strahlung enthält, wird natürlich für alle Zeit durch (19.60) beschrieben Das Λ-Universum Im Grenzfall sehr großer Skalenfaktoren gilt analog zum gerade betrachteten Strahlungsdominierten Fall, dass in (19.55) der Ω Λ0 -Term dominiert. Für ein Universum mit Ω Λ0 = Ω 0 = 1 ergibt sich ˆ da a = H 0t + C. (19.62) Kosmologie 343

63 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen Auch hier ist die Lösung sehr einfach und wir finden, wieder für a(0) = 1, den Ausdruck a(t) = e H 0t. (19.63) Die Metrik mit diesem Skalenfaktor heißt de Sitter-Metrik. Aus (19.63) folgt für den Hubble-Parameter in diesem Fall H(t) = ȧ(t) a(t) = H 0. (19.64) Bei der de Sitter-Metrik ist der Wert des Hubble-Parameters für alle Zeit gleich der Hubble-Konstante. Die de Sitter-Metrik beschreibt ein bis auf die Vakuumenergiedichte leeres und flaches Universum, der Wert der Hubble-Konstante ist in diesem Fall direkt mit dem Wert der kosmologischen Konstante verknüpft. Um dies zu sehen, nutzen wir, dass wenn Ω 0 = Ω Λ0 = 1 gilt, damit auch ɛ c0 = ɛ Λ ist. Wenn wir (19.33) mit (19.49) kombinieren finden wir damit Λ H 0 = c 3. (19.65) Wir haben in Abschnitt bereits kurz das Perfekte Kosmologische Prinzip und das zugehörige steady-state Modell erwähnt, nachdem das Universum nicht nur räumlich homogen ist, sondern sich auch mit der Zeit nicht in wesentlichen Eigenschaften verändert. Mit der de Sitter-Metrik haben wir jetzt ein Universumsmodell gefunden, bei dem diese Eigenschaft vorliegt. Insbesondere sehen wir auch, dass in der de Sitter-Metrik, anders als in allen anderen Modellen, die wir bisher kennengelernt haben, der Skalenfaktor niemals Null wird. Im de Sitter-Modell gibt es also keinen Urknall. Bei allen anderen nichttrivialen Modellen ist H(t) eine explizit zeitabhängige Funktion und das Perfekte Kosmologische Prinzip damit verletzt. Im steady-state von H. Bondi und T. Gold, [77] das 1948 vorgestellt wurde, soll die de Sitter-Metrik zur Beschreibung eines nur Materie enthaltenden Universums dienen. Da sich die Materieenergiedichte bei der Expansion anders als die Vakuumenergiedichte verringert, ist dies nur möglich, wenn gleichzeitig Materie kontinuierlich neu entsteht, um die Dichte konstant zu halten. In einem bestimmten Volumen V haben wir M(t) = σ m (t)v(t) (19.66) für die darin enthaltene Gesamtmasse. Wenn nun bei Expansion die Materiedichte konstant bleiben soll, muss mit einer Rate Ṁ(t) = σ m0 V(t) (19.67) 344

64 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Materie entstehen. Mit V(t) a(t) 3 folgt aus (19.63) Ṁ(t) = σ m0 3H 0 V(t). (19.68) Mit der zur kritischen Energiedichte äquivalenten Massendichte σ c0 = (9,31 ± 0,37) kg/m 3 aus Gleichung (18.44) und Ω m0 = 0,272 aus (19.56) erhalten wir für unser Universum die Materiedichte σ m0 2, kg m 3. (19.69) Dies entspricht ganz grob etwa 2 Protonen pro Kubikmeter, wobei wir noch sehen werden, dass der Großteil der Materie in unserem Universum nicht baryonischer Natur ist. Damit erhalten wir für die Materieerzeugungsrate pro Volumen Ṁ(t) V(t) = 3σ m0h 0 5, kg m 3 y 1. (19.70) Das entspricht nicht ganz einem Proton pro Kubikkilometer und Jahr. Letztlich führte die Entdeckung des kosmischen Mikrowellenhintergrundes dazu, dass das steady-state Modell heute als unzutreffend angesehen wird. Da sich aber jedes unendlich expandierende Universumsmodell für große Skalenfaktoren asymptotisch wie die de Sitter-Metrik verhält, ist diese Metrik für uns trotzdem wichtig. Außerdem sind in der de-sitter-raumzeit aufgrund der sehr einfachen Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors viele theoretische Rechnungen analytisch ausführbar, die für andere Raumzeiten nur numerisch möglich sind. Daher wird die de Sitter-Metrik in sehr vielen theoretischen Arbeiten als Beispiel betrachtet Das (Ω r0 -Ω m0 )-Modell Für kleine Skalenfaktoren können wir ein verbessertes Modell finden, wenn wir die Materiedichte als denjenigen Beitrag, der für a 0 am zweitstärksten beiträgt, mitberücksichtigen. Für Ω r0 + Ω m0 = Ω 0 = 1 ersetzen wir Ω m0 durch 1 Ω r0 und finden nach einer umfangreicheren Rechnung dann [ ( )] } a rm (t) = {4 1 cos f (t) B rm 3 arctan 2 1, (19.71) f (t) mit f (t) = 3 (H 0 t + C 1 ) (Ω r0 1) 2. (19.72) 2 Ω 3/2 r0 Kosmologie 345

65 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen a(t) 1,5 1,0 0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t[h 1 0 ] Abbildung 19.4: Skalenfaktor a(t) des (Ω r0 -Ω m0 )-Universums mit Ω r0 = Ω m0 = 0,5 (durchgezogene Linie) im Vergleich mit dem materiedominierten Universum (gestrichelte Linie) und dem strahlungsdominierten Universum (gepunktete Linie). Der Urknall liegt bei diesem Modell bei t BBrm (0,5) 0,552 H0 1 und damit zwischen den beiden Grenzfällen. Für große Skalenfaktoren wird das Verhalten zunehmend dem des Materieuniversums ähnlicher. Bei dieser Definition nutzen wir aus, dass cos(ix) = cosh(x) gilt, so dass der Ausdruck auch für f (t) > 2 reell ist, wenn das Argument des Arkustangens rein imaginär wird. Das Strahlung-Materie-Universum hat einen Urknall bei t BBrm = 2 3Ω r0 1 2Ω 3/2 r0 3 (1 Ω r0 ) 2 H0 1. (19.73) Für Ω r0 = 0, d.h. Ω m0 = 1 ergibt dieser Ausdruck t BBrm = 2/3H 0 1, also den Wert für das Materieuniversum und für Ω r0 1 ergibt sich mit dem Grenzwertsatz von L Hospital t BBrm = 1/2H 0 1, das Alter des strahlungsdominierten Universums. Ein flaches Universum mit Energiebeiträgen von Strahlung und Materie ist also immer zwischen 1/2H 0 1 und 2/3H 0 1 alt. In Abbildung 19.4 ist das (Ω r0 -Ω m0 )-Universum zusammen mit seinen Grenzmodellen, dem reinen Strahlungsuniversum aus Gleichung (19.60) und dem reinen Materieuniversum, dass mit der Normierung a(0) = 1 in Gleichung (19.89) gezeigt ist Das (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell Analog zur gerade diskutierten Erweiterung für kleine Skalenfaktoren erhalten wir für große Skalenfaktoren ein verbessertes Modell, wenn wir die Materiedichte mitberücksichtigen. An Hand der Werte Ω Λ0 = 0,728 und Ω m0 = 0,272 aus Gleichung (19.56) wird deutlich, dass dieses Modell für uns besonders wichtig ist, da es die wesentlichen Beiträge zur heutigen Energiedichte berücksichtigt. Wir gehen wie im letzten Abschnitt vor, setzen wegen Ω m0 + Ω Λ0 = Ω 0 = 1 in allen Ausdrücken Ω m0 = Ω Λ0 1 ein, 346

66 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung und finden den Skalenfaktor a mλ (t) = [ 1 ΩΛ0 Ω Λ0 sinh 2 ( )] 3 1/3 ΩΛ0 (H 0 t + C 1 ), (19.74a) 2 mit ( ) C 1 = 2 1 Ω arcsinh Λ0. (19.74b) 3 ΩΛ0 1 Ω Λ0 Eine alternative Form erhalten wir mit der trigonometrischen Relation sinh 2 (x) = (cosh(2x) 1)/2: [ 1 ΩΛ0 a mλ (t) = 2Ω Λ0 ( cosh [ 3 ] ) ] 1/3 Ω Λ0 (H 0 t + C 1 ) 1. (19.74c) Wegen sinh(0) = 0 ergibt sich außerdem das Weltalter zu ( ) t BBmΛ = 2 1 Ω arcsinh Λ0 3 ΩΛ0 1 Ω Λ0 H 1 0. (19.75) Für Ω Λ0 = 0 erhalten wir wieder das Alter des Materieuniversums mit t BBmΛ = 2/3H 0 1. Für Ω Λ0 1 dagegen divergiert dieser Ausdruck. Das ist auch nicht überraschend, denn in diesem Grenzfall nähert sich dieses Modell dem de Sitter- Universum, das keinen Urknall hat. Wir können aber festhalten, dass ein flaches Universum mit positiver kosmologischer Konstante und Ω m0 > 0 immer vor endlicher Zeit einen Urknall hatte. Wir können auch erkennen, dass a(t) für t t BBmΛ, d.h. a 0, das t 2/3 -Verhalten des flachen Materieuniversums hat, wenn wir im Sinus Hyperbolicus die Näherungen e αt+c 1 + αt und e (αt+c) 1 αt einsetzen, was jeweils für t nahe bei c/α gilt. Entsprechend ergibt sich für t bzw. a das de Sitter-Universum, da dann e (αt+c) 0 und ( ) sinh 2/3 3 ΩΛ0 (H 0 t + C 1 ) e 2 Ω Λ0 (H 0 t+c 1 ) (19.76) ist. In Abbildung 19.5 ist das (Ω m0 -Ω Λ0 )-Universum zusammen mit seinen Grenzmodellen gezeigt. Der Skalenfaktor in den Gleichungen (19.74) beschreibt ein anfangs abgebremst und später beschleunigt expandierendes Universum. Wie wir bereits erwähnt haben, wird heute für unser Universum genau diese Entwicklung des Skalenfaktors Kosmologie 347

67 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen a(t) 2,0 1,5 1,0 0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t[h 1 0 ] Abbildung 19.5: Skalenfaktor a(t) des (Ω m0 -Ω Λ0 )-Universums mit Ω m0 = Ω Λ0 = 0,5 (durchgezogene Linie) im Vergleich mit dem materiedominierten Universum (gepunktete Linie) und dem de Sitter-Universum (gestrichelte Linie). Der Urknall liegt bei diesem Modell bei t BBmΛ (0,5) 0,831 H0 1, es ist also älter als das Materieuniversum. Für große Skalenfaktoren erkennt man die Annäherung an das Verhalten des de Sitter-Universums. angenommen und die Beobachtungen sind zumindest mit einem flachen Universum konsistent. Wenn wir untersuchen, wann die zweite Ableitung ä(t) des Skalenfaktors verschwindet, dann finden wir t b(mλ) = [ ( ) ( )] Ω arcosh 6 arcsinh Λ0 Ω Λ0 2 1 Ω Λ0 H 1 0. (19.77) Vor diesem Zeitpunkt ist die Expansion abgebremst, danach beschleunigt, weiter gilt ( ) 1 1/3 ΩΛ0 a(t b ) = = Ω Λ0 ( Ωm0 Ω Λ0 ) 1/3 (19.78) für den Skalenfaktor zu diesem Zeitpunkt. Dieses Ergebnis haben wir bereis in Abschnitt gefunden. Wegen des sehr kleinen Anteils der Strahlungsenergiedichte in (19.56) ist dieses Modell für sehr große Zeitbereiche in die Vergangenheit eine exzellente Näherung für den Skalenfaktor des echten Universums, nur für sehr kleine Skalenfaktoren, in den Zeiten, in denen die Energiedichte der Strahlung wesentlich wird, ist das hier vorliegende Modell unzutreffend. Mit den Werten der Ω-Parameter in Gleichung (19.56) und der Hubble-Konstante in Gleichung (17.3) können wir dieses Modell jetzt an unser Universum anpassen, wobei wir natürlich dann den Strahlungsenergiebeitrag vernachlässigen. Dann erhalten wir die Werte in Tabelle Abbildung 19.6 zeigt die Entwicklung des Skalenfaktors bei Annahme dieser Werte. Wie bereits erwähnt ist das in weiten Bereichen eine sehr gute Näherung der tatsächlichen Entwicklung unseres Universums. Die Abweichung zwischen t BBmΛ und der, eigentlich groben, Abschätzung H0 1 beträgt weniger als 1% und ist damit kleiner als die Unsicherheit der Messwerte. Tatsächlich 348

68 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Tabelle 19.1: Aus den WMAP-Ergebnissen abgeleitete Werte für das (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell. Negative Zeiten bedeuten eine Zeitspanne in die Vergangenheit. Skalenfaktor bei t = t b a(t b ) 0,572 Charakteristische Zeiten in 10 9 y in H 1 0 Beginn beschleunigte Expansion t b 6,62 0,4762 Weltalter aus Modell t BBmΛ 13,78 0,9907 abgeschätztes Weltalter H0 1 13,91 1,0 a(t) (Ω Λ -Ω m )-Modell 2,0 1,5 (Ω m = 1)-Modell abgebremste Expansion 1,0 0,5 a b beschleunigte Expansion 10 t b 5 t t t 0 Abbildung 19.6: Entwicklung des Skalenfaktors a(t) in Einheiten der Hubblezeit H0 1 13, Jahre. Der Urknall fand in diesem Modell bei t BBmΛ 0,991 H0 1 statt. Gestrichelt ist zum Vergleich die Kurve für das (Ω m = 1)-Modell mit dem Urknall bei t = 2 /3 H0 1 gezeigt. Die Tangente an die Kurve zum heutigen Zeitpunkt, d.h. die Abschätzung des Weltalters über die Hubblezeit ist gestrichelt-gepunkted. Zum Zeitpunkt t b 6, y fand der Übergang von gebremster zu beschleunigter Expansion statt. Kosmologie 349

69 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen führt die Forderung t BBmΛ = H 1 0 auf die Gleichung ΩΛ = 2 3 arcsinh ( Ω Λ 1 Ω Λ ), (19.79) mit der numerischen Lösung Ω Λ WMAP-Wertes liegt. 0,737, die innerhalb der Fehlergrenzen des Das (Ω r0 -Ω Λ0 )-Modell Dieses Modell ist dem (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell ähnlich. Für uns ist es eigentlich weit weniger wichtig, da in unserem Universum zu der Zeit, als Strahlungs- und Vakuumenergiedichte vergleichbar groß waren, die Materie dominierte. Dieses Modell hat aber den mathematischen Reiz, dass es, im Gegensatz zum (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell, auch mit Krümmung noch analytisch behandelbar bleibt. Mit Ω r0 + Ω Λ0 = Ω 0 = 1 und B rλ = Ω Λ0 /(1 Ω Λ0 ) finden wir den Skalenfaktor a rλ (t) = { 1 Ω Λ0 sinh [2 Ω Λ0 (H 0 t + arcsinh ( ) ]} 1/2 B rλ Ω Λ0 2 ). (19.80) Ω Λ Daraus ersehen wir auch direkt das Weltalter t BBrΛ = 1 2 Ω Λ arcsinh ( BrΛ ) H 1 0. (19.81) In Abbildung 19.7 ist dieses Modell zusammen mit seinen Grenzmodellen dargestellt. Man erkennt das dem (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell ähnliche Verhalten, wobei im aktuellen Fall die Expansionsrate anfangs größer ist. Der Wechsel von gebremster zu beschleunigter Expansion findet in diesem Modell bei t b(rλ) = 1 4 Ω Λ0 [ arcosh(3) 2arcsinh ( Ω Λ0 1 Ω Λ0 statt. Für Ω Λ0 = 0,5, wie es im Bild verwendet wird, ergibt sich t b(rλ) = 0. )] H 1 0 (19.82) Modelle mit Krümmung Modelle mit Krümmung ergeben sich in den Fällen, in denen Ω 0 = Ω i = 0 ist. Auch wenn wir später gute Argumente finden werden, die dafür sprechen, dass 350

70 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Abbildung 19.7: Skalenfaktor a(t) des (Ω r0 -Ω Λ0 )-Universums mit Ω r0 = Ω Λ0 = 0,5 (durchgezogene Linie) im Vergleich mit dem strahlungsdominierten Universum (gepunktete Linie) und dem de Sitter-Universum (gestrichelte Linie). Der Urknall liegt bei diesem Modell bei t BBrΛ (0,5) 0,623 H0 1, es ist also älter als das Strahlungsuniversum. Für große Skalenfaktoren erkennt man auch hier die Annäherung an das Verhalten des de Sitter-Universums. a(t) 2,0 1,5 1,0 0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t[h 1 0 ] zumindest das für uns beobachtbare Universum flach ist, ist es praktisch unmöglich, eine nichtverschwindende Krümmung aus den Beobachtungsergebnissen auszuschließen, da dazu alle Größen exakt bekannt sein müssten. Wir möchten daher in diesem Abschnitt diskutieren, wie sich die bisherigen Modelle verändern, wenn ein Krümmungsterm hinzugenommen wird. Wir erinnern uns noch einmal daran, dass wegen Gleichung (18.47) die Relationen Ω 0 > 1 q = 1 und Ω 0 < 1 q = 1 gelten. Für das für uns eigentlich interessanteste Modell, das (Ω m0 -Ω Λ0 -q)-universum lässt sich allerdings kein Skalenfaktor in analytischer Form mehr finden. Wir werden uns daher auf die Diskussion der anderen Modelle beschränken müssen, können aus den ähnlichen Eigenschaften des (Ω r0 -Ω Λ0 -q) aber viele qualitative Eigenschaften ableiten. a) Strahlung und Krümmung Für q = 1 finden wir unter der Bedingung a(0) = 1 die Funktion 1 a rqpos (t) = Ω r0 [(1 Ω r0 )H 0 t + 1] 2. (19.83) Ωr0 1 Für dieses Modell ergeben sich wie beim analogen Materiefall mit positiver Krümmung zwei Zeitpunkte, an denen der Skalenfaktor Null wird. Zum einen als Zeitpunkt des Urknalls, zum anderen t BBrqpos = 1 Ω r0 Ω r0 1 H 1 0 (19.84) t BCrqpos = 1 + Ω r0 Ω r0 1 H 1 0, (19.85) Kosmologie 351

71 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen a(t) 1,5 1,0 0,5 0,6 0,4 0,2 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t[h 1 0 ] Abbildung 19.8: Entwicklung des Skalenfaktors a(t) der Strahlungsuniversen mit Krümmung. Das Modell mit positiver Krümmung, hier mit Ω r0 = 9, (durchgezogene Linie) kollabiert wieder. Mit der hier gewählten Wert für Ω r0 findet der Kollaps bei 1 /2H0 1 statt, was man leicht anhand von Gleichung (19.85) sieht. Das Modell mit negativer Krümmung, hier mit Ω r0 = 0,5 (gestrichelte Linie) expandiert schneller als das flache Strahlungsuniversum (gepunktete Linie). zu dem das Universum in einem Big Crunch endet. Für q = 1 ergibt sich a rqneq (t) = wobei der Urknall dieses Modells bei 1 1 Ωr0 [(1 Ω r0 )H 0 t + 1] 2 Ω r0, (19.86) t BBrqn = Ωr0 1 1 Ω r0 H 1 0 (19.87) liegt. Diese beiden Modelle sind in Abbildung 19.8 zusammen mit dem flachen Strahlungsuniversum gezeigt. Die sehr hohe Wahl Ω r0 = 9 für das Modell mit positiver Krümmung wurde dabei nur getroffen, um gut mit dem Modell für Materie und Krümmung vergleichen zu können. b) Materie und Krümmung Anhand dieser Modelle haben wir uns mit der Friedmann-Gleichung vertraut gemacht, sie sind uns bereits bekannt. Hier sind sie der Vollständigkeit halber nochmals aufgelistet, wobei wir sie an unsere jetzt verwendete Notation angepasst haben. So sieht man aus dem Vergleich von Gleichung (18.57) mit (19.55), dass in unserer Notation a ref = ± 1 Ω m0 für q = ±1 (19.88) 2 Ω m0 1 gilt. Für q = 0 erhalten wir dann a m (t) = ( ) 3 2/3 2 H 0t + 1, (19.89) 352

72 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Abbildung 19.9: Entwicklung des Skalenfaktors a(t) der Materieuniversen mit Krümmung in der hier verwendeten Normierung mit a(t = 0) = 1. Das Modell mit positiver Krümmung, hier mit Ω m0 = 9, (durchgezogene Linie) kollabiert wieder, das Modell mit negativer Krümmung, hier mit Ω m0 = 0,5 (gestrichelte Linie) expandiert schneller als das flache Modell (gepunktete Linie). a(t) 1,5 1,0 0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t[h 1 0 ] mit dem Urknall bei 2/3H 0 1. Für die in Parameterform angegebenen Fälle finden wir aus der Bedingung a(η 0 ) = 0 jeweils einen Winkel η 0 und über die Bedingung t(η 0 ) = 0 dann die passende Konstante in der Form für t. Für q = 1 wird damit aus Gleichung (18.73) t(η) = 1 2 a mqpos (η) = 1 2 [ Ω m0 H 1 (Ω m0 1) 3/2 0 η sin η + 2 Ω m0 1 arccos Ω m0 Ω m0 (1 cos η) Ω m0 1 (19.90b) und für q = 1 aus Gleichung (18.82) t(η) = 1 2 [ Ω m0 H 1 (1 Ω m0 ) 3/2 0 sinh η η + arcosh Ω m0 ( )] 2 Ωm0 Ω m0 (19.90a) ( ) 2 Ωm0 2 Ω m0 1 Ω m0 Ω m0 ]. (19.91a) a mqneq (η) = 1 (cosh η 1). (19.91b) 2 1 Ω m0 Diese Skalenfaktoren sind in Abbildung 19.9 dargestellt. c) Kosmologische Konstante und Krümmung Für diesen Fall lohnt sich nocheinmal ein Blick auf das Potentialbild, das sich stark verändert, wenn nur eine Vakuumenergiedichte vorhanden ist. Statt dem Potentialverlauf in Abbildung 19.2 für positive Λ mit einem Potentialmaximum für einen bestimmten Wert von a haben wir jetzt ein reines harmonisches Potential V = 1/3Λc 2 a 2. Zum einen gilt damit nicht mehr, dass für a 0 die Änderungsrate ȧ gegen unendlich gehen muss, da jetzt auch das Potential in diesem Fall Null wird. Kosmologie 353

73 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen V q = 1 a Min q = 0 Abbildung 19.10: Qualitative Betrachtung a q = 1 ȧ = 0 zum Λ-Universum mit Krümmung. Da ohne andere Beiträge zur Energiedichte, das Potential für Λ > 0 eine nach unten geöffnete Parabel ist, existieren für q = 1 verbotene Skalenfaktorenwerte a < a Min. Zum anderen führt dies dazu, dass für q = 1 ein minimal zulässiger Wert für a existiert, nämlich so, dass qc 2 = Λc2 3 a Min (19.92) gilt. Mit den Relationen für Λ, q und ɛ c0 aus den Gleichungen (18.41), (18.47) und (19.33) führt das auf Ω a Min = Λ0 1, (19.93) Ω Λ0 wobei hier ja Ω Λ0 > 1 gilt. In diese Relation spielt natürlich unsere Normierung a(0) = 1 mit hinein. Aus der Friedmann-Gleichung ergibt sich jetzt unabhängig vom Vorzeichen von q der Skalenfaktor a Λq (t) = cosh(h 0 ΩΛ0 t) + 1 ΩΛ0 sinh(h 0 ΩΛ0 t). (19.94) Im Fall q = 1 hat das Modell einen Urknall bei ( t BBΛqn = arcosh ) 1 1 ΩΛ0 H 0 ΩΛ0. (19.95) d) Strahlung, kosmologische Konstante und Krümmung Das (Ω r0 -Ω Λ0 )-Modell mit Krümmung ist das komplexeste Modell, das wir analytisch untersuchen werden. Dies ist der einzige Fall, in dem wir Beiträge von zwei Energiedichten haben und diese frei wählen können. In unseren bisherigen Modellen mit zwei Energiebeiträgen Ω i0 und Ω j0 galt immer Ω i0 + Ω j0 = 1. Mit dieser 354

74 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung Abbildung 19.11: Entwicklung des Skalenfaktors der Λ-Universen mit Krümmung. Im Gegensatz zum de Sitter-Universum (gepunktete Linie) hat das Modell mit negativer Krümmung (gestrichelte Linie), hier mit Ω Λ0 = 0,5 einen Urknall. Dagegen kann der Skalenfaktor bei positiver Krümmung (durchgezogene Linie), hier mit Ω Λ0 = 2, den Wert a Min aus Gleichung (19.93) nicht unterschreiten. a(t) 1,2 0,8 0,4 t 0 0,4 0,8 2,0 1,5 1,0 0,5 t[h 1 0 ] a(t) 2,0 Abbildung 19.12: Skalenfaktoren des Universummodells mit Stahlung, Vakuumdichte und Krümmung. Je nach Wert der Parameter Ω r0 und Ω Λ0 haben die Modelle einen Urknall oder nicht, bwz. rekollabieren oder nicht. 1,5 1,0 0,5 0,8 0,4 t 0 0,4 0,8 t[h 1 0 ] neuen Freiheit finden wir den Skalenfaktor 1 { [ a rλq (t) = 2 (1 + ] Ω Λ0 ) 2 Ω r0 e 2 Ω Λ0 H 0 t Ω Λ0 + [(1 ] } (19.96) Ω Λ0 ) 2 Ω r0 e 2 Ω Λ0 H 1/2, 0 t 2Ω q mit der Abkürzung t BBrΛ = t BCrΛ = Ω q = 1 Ω r0 Ω Λ0. (19.97) ( H Ωq 2 ) Ω Λ0 Ω r0 ln Ω Λ0 (1 + Ω Λ0 ) 2. (19.98) R ) H Ω Λ0 ln ( Ωq + 2 Ω Λ0 Ω r0 (1 + Ω Λ0 ) 2 R. (19.99) Andere Modelle Neben den bisher diskutierten Modellen existieren noch weitere, die wir nur zusammengefasst vorstellen wollen. Eine Untergruppe sind die leeren Universen, die nur Kosmologie 355

75 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen Tabelle 19.2: Skalenfaktoren der leeren Weltmodelle mit Bezeichnung. Λ q Skalenfaktor a(t) Name 0 0 a 0 R leeres statisches Universum 0 1 ct + 1 Milnes Modell [78] positiv 0 exp(h 0 t) de Sitter-Universum positiv 1 cosh(h 0 t) positiv 1 sinh(h 0 t) negativ 1 sin(h 0 t) Anti-de Sitter-Universum Vakuumenergiedichte enthalten, wie etwa das de Sitter-Universum. Für unsere weiteren Betrachtungen sind alle leeren Universen abgesehen vom de Sitter-Universum weniger interessant. Einige dieser Modelle spielten aber historisch wichtige Rollen. So wurde das Milne-Modell als ein ganz frühes sehr einfaches kosmologisches Modell vorgeschlagen. [78] Heutzutage spielt besonders die Anti-de-Sitter Metrik wieder eine wichtige Rolle, allerdings außerhalb der Kosmologie im Rahmen der AdS/CFT Korrespondenz, wobei hier aber eine fünfdimensionale Variante dieser Raumzeit betrachtet wird. Details zu diesem interessanten Thema auf einem verständlichen Niveau finden sich in Ref. [8]. Abbildung zeigt die Skalenfaktoren für leere Universen. Es existieren nur für 6 der 9 möglichen Kombinationen von Λ und q Lösungen für die Friedmann-Gleichung, in den anderen Fällen wird ȧ 2 negativ. Abbildung fasst noch einmal alle (Ω Λ0 -Ω m0 )-Modelle zusammen, wobei hier auch die nicht analytisch behandelbaren Modelle skizziert sind. Warum für Λ > 0 und q = 1 so viele verschiedene Möglichkeiten existieren haben wir im Potentialbild der Friedmann-Gleichung diskutiert. Mit diesen Modellen sind aber die möglichen Lösungen der Friedmanngleichung noch bei weitem nicht ausgeschöpft. Allein der Klassifizierung aller Zweikomponentenuniversen für einen Anteil mit beliebigem w-parameter in der Zustandsgleichung und zusätzlicher Vakuumenergiedichte ist ein umfangreicher Artikel gewidmet. [80] 356

76 19.5 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung q = 1 q = 0 q = 1 a(t) Λ < t a(t) a(t) Λ = t 2.2 t 2.3 a(t) a(t) a(t) Λ > t 3.2 t 3.3 t Abbildung 19.13: Skalenfaktoren a(t) für Modelle die nur Vakuumenergiedichte enthalten. Es existiert nicht für alle Kombinationen von Λ und q eine Lösung. Kosmologie 357

77 19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante und allgemeine Energieformen q = 1 q = 0 q = 1 a(t) a(t) a(t) Λ < t 1.2 t 1.3 t a(t) a(t) a(t) Λ = t 2.2 t 2.3 t a(t) a(t) Λ > t 3.2 t a(t) a(t) a(t) 3.3a) t 3.3b) t 3.3c) t Λ > Λ E Λ = Λ E Λ < Λ E Abbildung 19.14: Skalenfaktoren a(t) für alle Modelle mit Materie und Vakuumenergiedichte. Die Fälle 1.1, 1.3, 3.1 und 3.3 sind nur qualitativ dargestellt, da für diese Parametersätze mit Ausnahme des statischen Einsteinuniversums keine analytischen Lösungen der Friedmann-Gleichung existieren. Dieses Bild ist angelehnt an eine Skizze aus dem Lehrbuch von E. Rebhan. [79] 358

78 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie Im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie unterschiedlich die Entwicklung der verschiedenen Universumsmodelle je nach Beitrag der einzelnen Energiedichten verläuft. Aus der Friedmann-Gleichung lassen sich also eine große Vielzahl ganz unterschiedlicher Modelle herleiten. Um herauszufinden, durch welches Modell unser Universum am besten beschrieben wird, müssen wir aus Beobachtungen den Wert der Hubble-Konstante H 0, sowie die Werte der einzelnen Ω i0 -Parameter bestimmen. Diese Größen sind dabei aber nicht direkt messbar, sondern müssen aus anderen Größen abgeleitet werden. Möchte man etwa die Hubble-Konstante durch die Beobachtung weit entfernter Galaxien bestimmen, so steht man vor dem Problem, dass man zwar bei einer solchen Galaxie die Helligkeit und das Spektrum vermessen kann, die Entfernung der Galaxie aber nicht direkt bestimmbar ist. In diesem Kapitel möchten wir daher Beziehungen zwischen den tatsächlich messbaren und den für die Theorie wichtigen Größen ableiten, so dass wir aus den Ergebnissen von Beobachtungen auf die Dynamik unseres Universums schließen können Linearisierung des Skalenfaktors Eines der Ziele der Kosmologie ist die Bestimmung des Skalenfaktors a(t). Aus Messwerten den kompletten Verlauf einer Funktion zu extrapolieren ohne weitere Modellannahmen einfließen zu lassen ist aber sehr schwierig. Dagegen können wir das Verhalten des Skalenfaktors für kurze Zeiträume um t 0 herum leicht angeben, vorausgesetzt, wir kennen den Wert der Hubble-Konstanten. Es ist einfach a(t) 1 + H 0 (t t 0 ), das folgt direkt aus der Definition von H 0. Ein großer Schritt wäre es, Abweichungen von diesem linearen Verhalten messen zu können. Um dies quantitativ beschreiben zu können, entwickeln wir a(t) um t 0 in zweiter Ordnung. Das ergibt die Taylorreihe: a(t) = 1 + H 0 (t t 0 ) + ä(t 0) 2 (t t 0) 2 + O ((t t 0 ) 3) = 1 + H 0 (t t 0 ) 1 ( 2 bh2 0 (t 0)(t t 0 ) 2 + O (t t 0 ) 3). (20.1) Kosmologie 359

79 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie Modell b Strahlung 1 Materie 1/2 de Sitter 1 Ω r0 -Ω m0 3/4 Ω m0 -Ω Λ0 1/4 Ω r0 -Ω Λ0 0 Tabelle 20.1: Bremsparameter verschiedener Universumsmodelle. Betrachtet werden Modelle, bei denen die Ω-Parameter sich zu 1 addieren und alle Anteile gleich groß sind. Dabei haben wir die neue Größe b = ä(t 0) ȧ 2 (t 0 ) = ä(t 0) H 2 0 (20.2) eingeführt. Sie heißt Bremsparameter. Die Definition von b mit Minuszeichen führt auf b > 0, falls ä < 0, wie es für unser Universum lange angenommen wurde, weil man aufgrund der begrenzten Beobachtungsmöglichkeiten von einem materiedominierten Modell ausgehen musste. Das von uns als für unser Universum angenommene (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell hat dagegen b < 0. Das sehen wir am einfachsten, wenn wir den Bremsparameter mit den Ω i0 -Parametern verknüpfen. Eine kleine Umformung von Gleichung (19.40a) unter Verwendung von (18.41) führt auf b = 1 2 i Ω i0 (1 + 3w i ). (20.3) Mit den Werten in (19.56) führt das auf b = Ω r Ω m0 Ω Λ (20.4) In Tabelle 20.1 sind die Bremsparameter einiger der Modelle aus dem letzten Kapitel aufgelistet Der Begriff der Entfernung auf kosmologischen Skalen Wir haben in Kapitel 17 bereits gesehen, dass Hubble bei seiner Abschätzung des Wertes der Hubble-Konstante weit daneben lag, weil er die Entfernungen zu den von ihm beobachteten Galaxien extrem unterschätzte. Auch heute noch ist es für Astronomen und Kosmologen eine sehr schwere Aufgabe, die Entfernung zu einem weit entfernten Objekt genau zu bestimmen. Neben 360

80 20.3 Die Eigendistanz zwischen Objekten Abbildung 20.1: Die Definition von Entfernungen auf kosmologischen Skalen wird durch den zeitabhängigen Skalenfaktor erschwert. Während ein Lichtstrahl von einer Galaxie zu uns unterwegs ist, dehnt sich das Universum kontinuierlich weiter aus, die Entfernung beim Empfang entspricht nicht einfach der Lichtlaufzeit mal der Lichtgeschwindigkeit. Erde a(t r )χ n G G a(t e )χ n Galaxie diesen methodischen Schwierigkeiten haben wir aber noch ein weiteres Problem. Es ist nicht einfach auf kosmologischen Skalen überhaupt zu definieren, was die Entfernung zu einer weit entfernten Galaxie sein soll. Die einzige Information, die wir über solche Objekte haben, ist das Licht, das uns von ihnen erreicht. Ein mögliches Maß für die Entfernung wäre daher die Laufzeit dieses Lichts. Damit erhalten wir die Lichtlaufdistanz d L = c(t r t e ). (20.5) Während der Laufzeit des Lichtes von Emission bei t e bis zum Empfang bei t r verändert sich der Skalenfaktor des Universums aber kontinuierlich, nur dieses eine Signal braucht daher die Zeit t r t e zu uns, ein später startendes Signal braucht in einem expandierenden Universum z.b. länger (Abb. 20.1). Es ist daher klar, dass jede Entfernungsdefinition in einem expandierenden, oder auch kollabierenden, Universum eine Zeitabhängigkeit haben muss Die Eigendistanz zwischen Objekten Eine mögliche Entfernungsdefinition führt zur Einführung der sogenannten Eigendistanz (englisch proper distance ) d ED von Objekten im Universum. Diese ist einfach definiert als der räumliche Abstand bei festgehaltener Zeit, d.h. bei konstantem Skalenfaktor a(t). Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir als einfaches Beispiel die Situation auf einer sich aufblasenden Kugel. Wenn wir etwa bei ϑ e = 0 zum Zeitpunkt t e ein Photon zu einem Objekt bei ϑ r losschicken, das dort zur Zeit t r ankommt, so hat das Photon dort die Distanz d r = a(t r )ϑ r (20.6) zum Ausgangspunkt, siehe Abbildung Diese ist aber natürlich nicht gleich der Laufzeit des Lichtstrahls multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit. Eine analoge Beziehung ergibt sich dann, wenn wir eine mitbewegte Galaxie bei den Koordinaten Kosmologie 361

81 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie a(t e ) a(t r ) ϑ r Abbildung 20.2: Ein durch den Pfeil angedeutetes Photon startet bei t = t e bei ϑ e = 0 auf einer Kugeloberfläche zu einem Punkt bei ϑ = ϑ r. Wenn es dort zum Zeitpunkt t r ankommt, beträgt die Distanz zum Ausgangspunkt d = a(t r )ϑ r und nicht c(t r t e ). (χ n, ϑ n, ϕ n ) beobachten, wobei wir die FRW-Metrik in der Form (16.38b) verwenden wollen, die wir hier noch einmal anschreiben: [ sin 2 χ ds 2 = c 2 dt 2 a 2 (t) dχ 2 + χ (dϑ sin 2 ϑ dϕ 2) ] für q = 1 für q = 0 sinh 2 χ für q = 1. (16.38b) Wir wollen dabei die Koordinaten unserer FRW-Metrik so wählen, dass wir uns bei χ = ϑ = ϕ = 0 befinden. Wir finden dann d ED = a(t)χ (20.7) als Eigendistanz einer mitbewegten Galaxie mit den Koordinaten (χ,ϑ,ϕ). Wegen a(t 0 ) = 1 ist die Eigendistanz jeder Galaxie heute einfach gleich ihrer Koordinate χ: d ED (t 0 ) = χ. (20.8) Der große Vorteil der Eigendistanz ist ihre sehr einfache Definition. Anschaulich ist die Eigendistanz auch am ehesten das, was man unter der Entfernung einer Galaxie verstehen würde, im Gegensatz beispielsweise zur Lichtlaufzeit. Ihr großer Nachteil ist, dass man sie nicht direkt messen kann, denn dazu müsste man in beliebig kurzer Zeit die Strecke zu einer weit entfernten Galaxie anhand irgendeines Maßstabes bestimmen. Eine rein theoretische Möglichkeit wäre es, viele, streng genommen unendlich viele, Beobachter zwischen uns und der betrachteten Galaxie zu positionieren und deren momentane Entfernungen zueinander bei einer bestimmten Zeit aufzusummieren. Da die Eigendistanz als Produkt der für mitbewegte Objekte konstanten Koordinate χ und dem Skalenfaktor definiert ist, können wir das Hubble-Gesetz mit ihrer Hilfe formulieren. Es ist nämlich d ED = ȧ(t)χ (20.9) und damit auch d ED (t) = H(t)d EH (t). (20.10) 362

82 20.4 Die kosmologische Rotverschiebung Die zeitliche Änderung der Eigendistanz entspricht also der Fluchtgeschwindigkeit, wie sie z.b. Hubble aus der Rotverschiebung bestimmt hat, ist hier aber nicht über eine Geschwindigkeit gegeben, sondern über die Änderung des Skalenfaktors, die betrachtete Galaxie ist ja lokal in Ruhe, da ihre Koordinaten konstant sind. Wir haben mit der Eigendistanz jetzt eine sinnvolle Entfernungsdefinition, können diese Größe aber nicht direkt messen. Auch die Lichtlaufzeit können wir für ein empfangenes Signal nicht direkt bestimmen. Dies ist nur für die Rotverschiebung direkt möglich, mit der wir uns jetzt beschäftigen wollen. Mit ihrer Hilfe werden wir dann in der Lage sein, messbare Entfernungsdefinitionen einzuführen Die kosmologische Rotverschiebung Wir haben bereits kurz anschaulich erläutert, dass durch die Expansion des Raumes Lichtstrahlen rotverschoben werden. In diesem Abschnitt möchten wir die entsprechenden Zusammenhänge noch einmal detaillierter untersuchen. Im Gegensatz zur Entfernung einer Galaxie lässt sich die Rotverschiebung durch eine genaue Analyse des jeweiligen Spektrums und Vergleich mit Labordaten sehr genau bestimmen. Die Rotverschiebung ist deshalb eine der wichtigsten Informationsquellen bei der Beobachtung weit entfernter Objekte Kosmologische Rotverschiebung als Dopplereffekt Wie in Kapitel 17 diskutiert, interpretierte Hubble die von ihm beobachteten Rotverschiebungen als Dopplerverschiebungen aufgrund der sich von uns wegbewegenden Galaxien. Die Frequenzverschiebung aufgrund des longitudinalen Dopplereffektes ist nach Gleichung (6.85) in Abschnitt mit β 1 gegeben durch ω e = ω r 1 + β 1 β ω r (1 + β). (20.11) Dabei ist die Geschwindigkeit als positiv definiert, wenn sich die Galaxie von uns entfernt. Für uns ist hier nur der longitudinale Dopplereffekt wichtig, denn die betrachtete mitbewegte Galaxie führt, abgesehen von einer möglichen Pekuliargeschwindigkeit, keine Bewegung senkrecht zur Verbindungslinie aus. Der dadurch entstehende Effekt wäre außerdem von der Ordnung O(β 2 ), siehe Gleichung (6.90). Es ist dann also ω r = ω e 1 + β < ω e, (20.12) Kosmologie 363

83 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie wir beobachten das Licht mit einer niedrigeren Frequenz als es zum Zeitpunkt der Aussendung hatte. Wegen λ = 2πc/ω gilt dann ebenfalls λ r = (1 + β)λ e > λ e, (20.13) die beobachtete Wellenlänge ist größer. Als Maß für die Rotverschiebung eines Lichtsignals führen wir den Rotverschiebungsparameter bzw. z = λ r λ e λ e z = ω e ω r ω r = λ r λ e 1, = ω e ω r 1 (20.14a) (20.14b) ein. Ein Wert z > 0 bedeutet also eine Rotverschiebung, ein Wert z < 0 entsprechend eine Blauverschiebung. Aus Gleichung (20.11) ergibt sich weiter z = β = v c. (20.15) Der Rotverschiebungsparameter gibt also die scheinbare Fluchtgeschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit an. Diese Überlegung ist allerdings nur für nahegelegene Galaxien mit d c richtig. Wegen v = d EH = cz folgt dann weiter H 0 = c z d EH. (20.16) Für z = 1 wäre nach diesen Überlegungen die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit. Wenn wir überlegen, wie weit eine Galaxie entfernt sein muss, damit sie eine Rotverschiebung z = 1 hat, so gelangen wir daher wieder zur Hubble-Distanz ch0 1 aus Gleichung (17.9). Die Interpretation als eine Fluchtgeschwindigkeit ist für v c schwierig. Im folgenden Abschnitt werden wir die Rotverschiebung deshalb allgemeiner behandeln und dieses Problem umgehen. Wir kommen dann aber noch einmal mit einigen Bemerkungen auf dieses Thema zurück Kosmologische Rotverschiebung durch Ausdehnung des Raumes In diesem Abschnitt möchten wir die Rotverschiebung mit der Veränderung des Skalenfaktors während der Laufzeit des Lichts verknüpfen. Wir werden sehen, dass für die Wellenlängen bei Emission und Empfang der Zusammenhang λ r = λ e a(t r )/a(t e ) 364

84 20.4 Die kosmologische Rotverschiebung a 1 (t) Abbildung 20.3: Zur Berechnung der kosmologischen Rotverschiebung: Die Radialkoordinate χ einer beobachteten Galaxie ist proportional zur Fläche unter der Kurve a 1 (t) über den Zeitraum der Lichtlaufzeit. t e χ t r t gilt, wenn das Licht zum Zeitpunkt t e ausgesandt wurde und uns zur Zeit t r erreicht. Wir haben bereits in wenigen Sätzen in Abschnitt 19.1 plausibel gemacht, warum diese Relation gelten sollte. Jetzt werden wir eine saubere Ableitung aus der FRW-Metrik nachholen. Dazu betrachten wir einen Lichtstrahl, der von der oben eingeführten, weit entfernten Galaxie zu uns kommen soll. Für Licht gilt ds = 0 also c 2 dt 2 a 2 (t)dχ 2 = 0, bzw. c dt = ±a(t)dχ. (20.17) Integration dieser Gleichung vom Emissionszeitpunkt bis zum Empfang bei uns liefert ˆ tr dt χ = c t e a(t). (20.18) Für den Fall, dass a(t) = a = const gilt, ergibt sich einfach χ = (c/a) (t r t r ), bzw. die Lichtlaufdistanz d L = aχ. Der Wert von χ ist aber in jedem Fall proportional zur Fläche unter der Kurve a 1 (t) wie in Abbildung Der für uns entscheidende Punkt ist, dass die Koordinate χ der betrachteten Galaxie zeitunabhängig, d.h. fest im mitbewegten Koordinatensystem ist. Wir betrachten nun von dem von der Galaxie ausgesandten Licht genau einen Wellenzug der elektromagnetischen Welle. Der Anfang des Wellenzuges startet zur Zeit t e und erreicht uns zur Zeit t r, das Ende des Wellenzuges startet zur Zeit t e + t e und erreicht uns zur Zeit t r + t r, siehe Abbildung Dabei wird wegen der Expansion t e = t r sein. Da sich χ nicht ändert, muss gelten χ = ˆ tr t e dt a(t) = ˆ tr+ tr t e + t e wobei für typische Lichtfrequenzen ν 0 ungefähr dt a(t), (20.19) t e = 1 ν e s (20.20) Kosmologie 365

85 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie t r Empfang bei t e t r + t r t e t e + t e G Emission bei t r Abbildung 20.4: Skizze zur Herleitung des kosmologischen Rotverschiebung. Wir betrachten Anfang und Ende eines Wellenzuges, der von einer Galaxie bei t = t e startet, zu uns läuft und zur Zeit t = t r ankommt. a 1 (t) t e t e + t e χ t r t r + t r t Abbildung 20.5: Bestimmung der kosmologischen Rotverschiebung: Die in Gleichung (20.19) vorkommenden Integrale unterscheiden sich nur um kleine Anteile. Die hellgraue Fläche ist in beiden Integralen beinhaltet, die linke dunkelgraue Fläche wird zusätzlich in der Integration von t e bis t r berücksichtigt und die rechte dunkelgraue bei der Integration von t e + t e bis t r + t r. gilt. Während dieser Zeitspanne kann die Expansion völlig vernachlässigt und a als konstant betrachtet werden. Die beiden Integrale in Gleichung (20.19) unterscheiden sich nur um kleine Anteile, die in Abbildung 20.5 veranschaulicht sind. Das erste Integral beinhaltet einen zusätzlichen Anteil t e /a(t e ), das zweite eine zusätzlichen Anteil t r /a(t r ). Damit folgt direkt D.h. wir haben t e a(t e ) = t r a(t r ), mit t r = 1 ν r. (20.21) a(t e )ν e = a(t r )ν r, bzw. ω e = a(t r) ω r a(t e ) und für den Rotverschiebungsparameter ergibt sich mit Gleichung (20.14b) (20.22) z = a(t r) 1. (20.23) a(t e ) Da für uns nur solches Licht interessant ist, das uns heute bei t r = t 0 erreicht, ist a(t r ) = a(t 0 ) = 1 und daher z = 1 1. (20.24) a(t e ) 366

86 20.4 Die kosmologische Rotverschiebung Umgekehrt können wir aus der Rotverschiebung eines Lichtsignals über a(t e ) = z (20.25) bestimmen, wie groß der Skalenfaktor war, als dieses Licht ausgesandt wurde. Weil die Energie der Photonen nach den Ausführungen in Abschnitt (19.1) auch umgekehrt proportional zum Skalenfaktor ist, folgt weiter E(t 0 ) = E(t e) 1 + z (20.26) für die Energie E(t 0 ) eines Photons, das mit der Energie E(t e ) ausgesandt wurde. Je größer z ist, umso weiter blicken wir in die Vergangenheit zurück, als das Universum kleiner war. Das gilt allerdings nur, wenn unser Universum schon immer expandierte. Wir haben im vorangegangenen Kapitel Universumsmodelle kennengelernt, bei denen einer Expansionsphase eine Kontraktionsphase vorausging. Es deutet aber nichts daraufhin, dass dies bei unserem Universum der Fall war. Das die Rotverschiebung nur vom Verhältnis der Skalenfaktoren bei der Emission und bei der Ankunft abhängig ist, aber nicht von der zeitlichen Entwicklung in der Zwischenzeit, ist eine sehr große Erleichterung. Nur deshalb können wir aus einer beobachteten Rotverschiebung direkt auf den Skalenfaktor des Universums zum Emissionszeitpunkt schließen. Wäre das anders und die Rotverschiebung würde vom zeitlichen Verhalten des Skalenfaktors abhängen, so wären in der Rotverschiebung auch modellabhängige Informationen enthalten, die viel schwerer zu interpretieren wären. Bei seinen Messungen 1929 betrachtete E. Hubble Galaxien mit Rotverschiebung bis etwa z 0,004. [72] Mit dem Hubble-Weltraumteleskop wurden Supernovae vom Typ Ia mit sehr großen Rotverschiebungen im Bereich bis z 1,7 beobachtet. Aus Gleichung (20.25) ergibt sich, dass das Universum nur etwa 37% seiner heutigen Ausdehnung hatte, als die ältesten dieser Supernovae stattfanden. Wie wir sehen werden, erlauben diese Beobachtungen Rückschlüsse auf die Dynamik der Expansion des Universums. Der kosmische Mikrowellenhintergrund, dem wir noch ein eigenes Kapitel widmen werden, hat sogar eine Rotverschiebung von z Wenn wir ihn untersuchen, erhalten wir also Informationen über das Universum, als es nur etwa 0,1% seiner heutigen Ausdehnung hatte. Im Prinzip ist die Rotverschiebung anhand dem Spektrum eines Objektes relativ leicht zu bestimmen. Dazu muss man Anteile des Spektrums identifizieren und ihre Wellenlänge mit den Werten im Labor vergleichen. Abbildung 20.6 soll als Beispiel dienen, wie man sich das vorzustellen hat. Kosmologie 367

87 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie Abbildung 20.6: Beispielspektrum zur Rotverschiebung. Um z zu bestimmen, müssen Anteile des Spektrums mit bekannter Wellenlänge identifiziert und mit Laborwerten verglichen werden. Das Bild ist ein Beispielspektrum einer Galaxie mit z = 0,1234 des Sloan Digital Sky Survey, [81] einer großangelegten Beobachtungskampagne großer Ausschnitte des Himmels und zeigt Spektrumsanteile, bei denen bereits ein bestimmter physikalischer Ursprung identifiziert wurde. 368

88 20.4 Die kosmologische Rotverschiebung Natürlich gibt es bei solchen Messungen verschiedene Fehlerquellen. So ist die Eigenbewegung unserer Milchstraße im lokalen Nebelhaufen zu berücksichtigen, die der kosmologischen Rotverschiebung einen Dopplereffekt überlagert. Ähnliches gilt für die Galaktische Rotation, diese ergibt eine systematische Rot- oder Blauverschiebung mit v 215 km/s je nach Beobachtungsrichtung. Besonders problematisch sind die Pekuliargeschwindigkeiten der beobachteten Galaxien, insbesondere bei kleinen Rotverschiebungen. Das lässt sich sehr gut an der großen Streuung der Messergebnisse von Hubble in Abbildung 17.1 auf Seite 305 erkennen. Die Pekuliarbewegung der Galaxien lässt sich nur durch Beobachtung vieler Galaxien und anschließendes statistisches Mitteln in den Griff bekommen, dabei geht man davon aus, dass die Pekuliargeschwindigkeiten der einzelnen Galaxien zufällig verteilt sind. Diese Annahme lässt sich wieder aus dem Kosmologischen Prinzip begründen Die Rotverschiebung im (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell Um einen besseren Eindruck von der Rotverschiebung zu bekommen, betrachten wir die Funktion z(t) für das (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modell mit dem Skalenfaktor aus Gleichung (19.74c), die wir, da es sich um ein analytisch bekanntes Modell handelt, sofort angeben können. Es ergibt sich [ 1 ΩΛ0 z mλ (t) = 2Ω Λ0 ( cosh [ 3 ] ) ] 1/3 Ω Λ0 (H 0 t + C 1 ) 1 1. (20.27) Abbildung 20.7 zeigt den Verlauf dieser Kurve in doppelt logarithmischer Darstellung. Die Rotverschiebung ist selbst für relativ lange Lichtlaufzeiten eine kleine Größe, so lange die Signale lange nach dem Urknall ausgesendet wurden. So hat ein Lichtstrahl, der etwa eine Galaxie verließ, als gerade der Übergang von abgebremster zu beschleunigter Expansion stattfand, also vor über 6 Milliarden Jahren, dennoch nur eine Rotverschiebung von etwa 0,39, weil der Skalenfaktor damals bereits etwa 72% des heutigen Wertes hatte. Erst für extrem alte Signale steigt die Rotverschiebung stark an. So hat die derzeit am weitesten entfernte bekannte Galaxie eine Rotverschiebung von etwa 10,3. [82] Der kosmische Mikrowellenhintergrund (CMB), der etwa Jahre nach dem Urknall entstanden ist, hat schließlich eine Rotverschiebung z 1090, siehe Kapitel Superluminare Fluchtgeschwindigkeiten Zum Ende dieses Abschnittes möchten wir noch einmal auf das Problem von scheinbaren Fluchgeschwindigeiten v c eingehen. In der Interpretation als Dopplereffekt Kosmologie 369

89 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie 3 log 10 z(t) CMB 2 1 weitest entfernte Galaxie 0 1 0,5 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 z(t b ) t (t 0 t)[h 1 BBmΛ Abbildung 20.7: Die Rotverschiebung z mλ (t) des (Ω m0 -Ω Λ0 )-Modells in logarithmischer Darstellung bezüglich der Hubblezeit. Gezeigt sind die Rotverschiebungswerte zum Zeitpunkt des Wechsels von abgebremster zu beschleunigter Expansion z(t b ) 0,39, die am stärksten rotverschobene Galaxie mit z 10,3 und die Rotverschiebung des CMB mit z ] scheinen diese den Ergebnissen der SRT zu widersprechen. In diesem Abschnitt haben wir dieses Problem jetzt umgangen und die Rotverschiebung als einen Effekt der Expansion des Raumes gedeutet. Dabei haben wir aber unterschlagen, dass die Definition einer Relativgeschwindigkeit zwischen weit entfernten Objekten nur im flachen Raum der SRT einfach möglich ist. In einer gekrümmten Raumzeit ist die Definition der Geschwindigkeit einer sehr weit entfernten Galaxie relativ zu uns letztlich nicht sehr sinnvoll, wie wir bereits in Abschnitt bei der Behandlung der Parallelverschiebung von Vektoren diskutiert haben. Dennoch möchten wir auch nochmals auf das hinweisen, was in Abschnitt 11.4 gesagt wurde: In der ART sind alle möglichen Koordinaten zur Beschreibung der Natur gleichberechtigt. Je nach Koordinaten können wir uns die kosmologische Rotverschiebung immer entweder als Dopplereffekt oder als durch die Ausdehnung des Raumes verursacht denken. Diese beiden Vorstellungen sind prinzipiell gleichwertig. Das Bild des sich ausdehnenden Raumes ist aber populärer und in gewisser Hinsicht einleuchtender, weil darin die Rotverschiebung gar nicht von einer Geschwindigkeit herrührt, die daher auch nicht oberhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen kann. Außerdem werden wir später sehen, dass die kosmische Hintergrundstrahlung eine sehr homogene und isotrope elektromagnetische Strahlung ist, die quasi das Nachglühen des Urknalls darstellt. Diese Homogenität ist wieder im Einklang mit dem Kosmologischen Prinzip. Es liegt dann nahe, ein solches Bezugssystem zu verwenden, in dem diese Homogenität und Isotropie der kosmischen Mikrowellenhin- 370

90 20.5 Entfernungsbestimmung auf kosmologischen Skalen tergrundstrahlung gegeben ist, und nicht durch eine Dopplerverschiebung aufgrund einer Relativbewegung zu diesem System aufgehoben wird. Dadurch wird das System der mitbewegten Koordinaten in einem gewissen, wenn auch nicht streng mathematischen, Sinn vor anderen Systemen ausgezeichnet. Mit dem Problem der Interpretation der kosmologischen Rotverschiebung befassen sich mehrere gut verständliche Artikel, deren Autoren auch durchaus unterschiedliche Schlüsse ziehen. Dem interessierten Leser empfehlen wir zur weiteren Lektüre die Artikel [83 86] Entfernungsbestimmung auf kosmologischen Skalen In Abschnitt 7.4 haben wir uns mit dem Problem der Entfernungsmessungen auf astronomischen Skalen, d.h. für Objekte innerhalb des Sonnensystems bis zu Objekten in nahen Galaxien beschäftigt. Hier möchten wir jetzt Methoden und Probleme diskutieren, die auftreten wenn wir die Entfernung noch weiter entfernter Objekte bestimmen wollen. Natürlich sind die Grenzen hier fließend, wir werden aber jetzt solche Probleme ins Auge fassen, die wir erst mit den Zusammenhängen behandeln können, die wir im Rahmen der Kosmologie kennengelernt haben. Für sehr weit entfernte Objekte ist die Parallaxenmethode wie bereits diskutiert nicht geeignet, da sich die hier auftretenden sehr kleinen Winkel nicht auflösen lassen. Weiterhin möglich ist aber die Entfernungsbestimmung mit Hilfe von Standardkerzen, also Objekten, deren absolute Helligkeit bekannt ist. In Abschnitt 7.4 haben wir gesehen, dass wir bei bekannter Leuchtkraft L und auf der Erde gemessenem Strahlungsstrom pro Fläche S eines Objektes eine Entfernung über d = ( ) L 1/2 (20.28) 4πS bestimmen können. Dieser Formel lag zugrunde, dass die gesamte Leistung im Abstand d durch eine Kugel mit der Oberfläche 4πd 2 fließen muss. Dieser einfache Zusammenhang gilt jetzt nicht mehr, wir müssen zwei Korrekturen anbringen. Zum einen ist die Oberfläche einer Kugel mit Radius d = aχ im gekrümmten Raum nicht mehr allgemein durch den Euklidischen Wert O Euk = 4πa 2 χ 2 gegeben, weil das verallgemeinerte Raumwinkelelement in (16.38b) über sin 2 χ für q = 1 dω 2 = a 2 f 2 (χ)(dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ) mit f = χ 2 für q = 0 sinh 2 χ für q = 1 (20.29) Kosmologie 371

91 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie O = 4πa 2 f(χ) 2 G Galaxie d EH Erde Abbildung 20.8: Die auf der Erde auf einem Quadratmeter von einer Galaxie ankommende Leistung hängt mit der Gesamtstrahlungsleistung der Galaxie über die Oberfläche der Kugel mit Radius r = d EH zusammen. Wegen der Geometrie der Raumzeit und der Rotverschiebung sind die Zusammenhänge hier aber komplizierter als für einen nahen Stern, wie in Abbildung 7.1. definiert ist. Da wir die jeweiligen Galaxien zur Zeit t 0 beobachten, können wir im Folgenden wieder a = 1 setzen. Für die Kugeloberfläche ergibt das also 4π sin 2 χ < O Euk für q = 1 O = 4πχ 2 = O Euk für q = 0 (20.30) 4π sinh 2 χ > O Euk für q = 1. Je nach Krümmung ist die Oberfläche also kleiner, größer oder gleich dem Wert im Euklidischen Raum (Abb. 20.8). Dementsprechend ist der ankommende Strahlungsstrom bei gleicher Leuchtkraft kleiner, größer oder gleich dem Wert im Euklidischen Raum. Zum anderen müssen wir die Veränderung der Energie der Photonen nach Gleichung (20.26) berücksichtigen, was uns einen Faktor (1 + z) 1 einbringt. Schließlich ändert sich aber nicht nur die Photonenenergie, sondern auch die Photonendichte: Wenn wir uns einen Lichtstrahl naiv als Abfolge von Photonen mit einem gewissen zeitlichen, bzw. räumlichen Abstand vorstellen, so wird klar, dass sich dieser zeitliche, bzw. rämliche Abstand mit a(t) 1 ändert, da die Gesamtphotonendichte mit a(t) 3 kleiner wird. Dies führt nochmals zu einem Faktor (1 + z) 1, so dass wir für den Strahlungsstrom den Ausdruck S = L 1 4π f 2 (χ) (1 + z) 2 (20.31) finden. Daraus können wir dann eine Helligkeitsentfernung definieren als d H = f (χ)(1 + z). (20.32) Wegen den Taylorentwicklungen sin χ χ + O(χ 3 ) und sinh χ χ + O(χ 3 ) gilt für Objekte mit χ 1 in jedem Fall f (χ) χ und wegen d EH (t 0 ) = χ dann d H (t 0 ) = d EH (t 0 )(1 + z), (20.33) 372

92 20.5 Entfernungsbestimmung auf kosmologischen Skalen die Helligkeitsentfernung überschätzt die Eigendistanz also um einen Faktor 1 + z. Eine weitere Möglichkeit zur Entfernungsbestimmung ergibt sich aus der Relation zwischen dem Winkeldurchmesser und der Entfernung. Die mathematischen Zusammenhänge sind im Wesentlichen die gleichen wie bei der Parallaxenmethode in Abschnitt 7.4.2, nur dass man dabei nicht die Änderung des Beobachtungswinkel innerhalb eines Jahres bestimmt, diese ist für sehr große Entfernungen unmessbar klein, sondern den Öffnungswinkel, den ein Objekt bekannter Größe λ am Himmel einnimmt. Für kleine Winkel ϑ ergibt dies im Euklidischen Raum eine Entfernung d = λ ϑ. (20.34) In einem gekrümmten Raum ist dieser Zusammenhang wie zu erwarten wieder etwas komplizierter. Wir betrachten wieder ein Objekt mit den Koordinaten (χ n, ϑ n, ϕ n ), dabei berücksichtigen wir jetzt aber dessen Ausdehnung, d.h. die gerade angegebenen Koordinaten sollen für das eine Ende gelten, das andere Ende liege bei (χ n, ϑ n + ϑ, ϕ n ). Von beiden Enden des Objektes soll zur gleichen Zeit ein Lichtstrahl zu uns loslaufen. Beide Lichtstrahlen laufen radial auf uns zu, d.h. es ist jeweils nur dχ = 0. Das dies so sein muss folgt aus der Isotropie und Homogenität, aus Symmetriegründen können sich die ϑ- und ϕ-koordinaten der Photonen nicht ändern. Die Ausdehnung λ des Objektes ergibt sich dann für kleine Winkel ϑ zu λ = a(t e ) f (χ) ϑ. (20.35) Die Korrektur zum Euklidischen Ausdruck ist wieder der allgemeine Ausdruck f (χ) statt χ. Daneben müssen wir den Skalenfaktor a(t e ) zum Zeitpunkt der Emission berücksichtigen, der wieder auf einen Faktor (1 + z) 1 führt, so dass sich die Winkelentfernung d W = f (χ) (20.36) 1 + z ergibt. Für χ 1 ist d W = d EH(t 0 ) 1 + z = d EH (t e ). (20.37) Mit Hilfe der Winkelenfernung ist es möglich, Rückschlüsse über die Krümmung des Raumes ziehen. Beobachtet man ein weit entferntes Objekt mit bekannter Größe l unter einem bestimmten Bogenwinkel am Himmel, so kann man mit dem theoretisch erwarteten Winkel vergleichen. Man hat dann drei Möglichkeiten: Kosmologie 373

93 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie α p α n λ α 0 Abbildung 20.9: Eine Struktur mit bekannter Ausdehnung λ erscheint je nach Raumkrümmung verschieden groß. Aus der Messung des Sichtwinkels eines Objektes bekannter Größe kann demnach bestimmt werden, ob der Raum flach oder gekrümmt ist. a) Der Winkel erscheint vergrößert. Dies deutet auf eine positive Krümmung des Raumes hin. b) Der Winkel erscheint wie erwartet. Dies deutet auf einen flachen Raum hin. c) Der Winkel erscheint verkleinert. Dies lässt auf einen negativ gekrümmten Raum schließen. Diese Zusammenhänge werden in Abbildung 20.9 klar veranschaulicht. Diese Methode lässt sich auf Strukturen in der kosmischen Hintergrundstrahlung anwenden, die auf Oszillationsphänomene einer bestimmten, unabhängig herleitbaren Wellenlänge λ zurückzuführen sind, siehe Kapitel 22. Aus diesem Grund haben wir hier für die Ausdehnung das Symbol λ der Wellenlänge verwendet Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung In allen Ausdrücken, die wir bis hierher hergeleitet haben, stand mindestens eine Größe, die nicht direkt messbar ist. In diesem Abschnitt gehen wir von Gleichung (20.31) aus. Hier ist die unbekannte Größe f (χ). Wir beschränken uns auf χ 1, so dass modellunabhängig f χ ist, aber immer noch haben wir die nicht messbare Koordinate χ. Wir werden jetzt für χ einen genäherten Ausdruck finden, so dass nur noch direkt messbare Parameter in unserem Ausdruck für S enthalten sind, der allerdings nur für kleine Rotverschiebungen, bzw. kleine χ oder kurze Lichtlaufzeiten t 0 t e gültig ist. Dazu benutzen wir den Ausdruck für χ in Gleichung (20.19) und die Entwicklung des Skalenfaktors aus (20.1). Eingesetzt ergibt sich ˆ t0 dt χ c t e 1 + H 0 (t t 0 ) 2 1bH2 0 (t t 0) 2 [ c (t 0 t e ) + H ] 0 2 (t 0 t e ) 2. (20.38) 374

94 20.6 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung Der Bremsparameter hat für den Wert von χ erst in dritter Ordnung von t 0 t e einen Einfluss. Für die Rotverschiebung erhalten wir aus der Definition von z in (20.24) unter Verwendung des genäherten Skalenfaktors z H 0 (t e t 0 ) 1 2 bh2 0 (t 1. (20.39) e t 0 ) 2 Umgeformt ist (20.39) eine quadratische Gleichung für t e t 0 mit der Lösung t e t 0 z [( 1 + b ) ] z 1. (20.40) H 0 2 Weiter gilt dann (t e t 0 ) 2 = z2 H0 2 Einsetzen von (20.40) und (20.41) in (20.38) führt auf χ cz H 0 [ 1 + O(z 3 ). (20.41) (1 + b)z 2 ], (20.42) was zusammen mit a(t e ) = (1 + z) 1 eingesetzt in den Strahlungsstrom auf den Ausdruck S L H 2 [ ] (1 + b)z 2 4π c 2 (1 + z) 2 z 2 1 (20.43) 2 führt. Wir benutzen noch einmal die Voraussetzung z 1 und führen die Näherungen sowie (1 + z) 2 1 2z, (20.44) ( b ) 2 2 z 1 + (1 + b)z, (20.45) (1 2z)(1 + (1 + b)z) 1 + (b 1)z (20.46) durch. Damit erhalten wir das Endergebnis S = LH2 0 4πc 2 1 (1 b)z z 2. (20.47) Üblicherweise betrachten wir statt der Strahlungsflussdichte die absolute Helligkeit eines kosmischen Objektes. Um auf einen Ausdruck für die absolute Helligkeit zu Kosmologie 375

95 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie kommen, müssen wir Gleichung (20.47) etwas ausführlicher umformen. Zuerst multiplizieren wir mit 4πc 2 /(LH0 2 ) durch, logarithmieren dann beide Seiten, wobei wir hier den Zehnerlogarithmus log 10 benutzen, und multiplizieren mit 1. Auf der rechten Seite haben wir dann ( ) 1 (1 b)z log 10 z 2 = log 10 z 2 log 10 (1 (1 b)z) 2log 10 z + (1 b)log 10 (e)z. (20.48) Im zweiten Schritt haben wir dabei eine Taylorentwicklung vorgenommen. Wir gehen davon aus, dass h = (1 b)z 1 wegen z 1 gilt. Dann können wir den Logarithmus um 1, d.h. h = 0 herum entwickeln und erhalten log 10 (1 + h) = log 10 (1) + d dh log 10 (1 + h) 0h, (20.49) wobei für die Ableitung d dh log 10 (1 + h) = log 10 (e) (20.50) 1 + h gilt. Entsprechend der Definition des Unterschiedes zwischen Größenklassen in Gleichung (7.4) multiplizieren wir dann noch mit 2,5 durch. Insgesamt sind wir dann bei ) 2,5log 10 (S) + 2,5log 10 ( LH 2 0 4πc 2 = 5log 10 z + 2,5log 10 (e)(1 b)z (20.51) angelangt. Der erste Term links stellt bereits die scheinbare Helligkeit m dar. Um auf die absolute Helligkeit zu kommen, erweitern wir den zweiten Term links mit einem, zunächst allgemein gehaltenen, Referenzradius im Quadrat durch und trennen ihn in zwei Teilterme auf: ) ( ) ) = m + 2,5log10 2,5log 10 (S) + 2,5log 10 ( LH 2 0 4πc 2 L 4πR 2 ref + 2,5log 10 ( H 2 0 R 2 ref [ ( H0 = m M + 5 log 10 (R ref ) + log 10 c (20.52) Im letzten Schritt müssten wir, um völlig korrekt vorzugehen, die Einheiten der Größen voneinander trennen, um zwei dimensionslose Größen in den beiden Logarithmen zu erhalten und R ref = 10 pc setzen. Wenn wir nun die linke Seite und rechte Seite unserer ursprünglichen Gleichung wieder zusammenführen, erhalten wir den Zusammenhang m = M 5 ( 1 + log 10 H 0 c c 2 )]. ) + 5log 10 z + 1,086(1 b)z + O(z 2 ), (20.53) 376

96 20.6 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung mit 2,5log 10 (e) 1,086. Damit haben wir also einen Ausdruck gefunden, der die bei uns beobachtete scheinbare Helligkeit m eines Objektes mit dessen absoluter Helligkeit M und seiner Rotverschiebung z verknüpft. Über die Hubblekonstante H 0 und den Bremsparameter b geht auch die Dynamik des Universums in die Beziehung (20.53) ein. Bei gleichzeitiger Messung von m und z kann daher, vorausgesetzt die absolute Helligkeit des betrachteten Objektes ist bekannt, Rückschluss auf den Verlauf der Expansion des Universums geschlossen werden Korrekturen der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung Der bisher hergeleitete Ausdruck S(z) für die Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung ist noch in zwei Punkten zu sehr vereinfacht und erfordert eine Modifizierung durch Korrekturterme. Wir können in diesem Rahmen allerdings nur die Ursachen dieser Korrekturen begründen, die Diskussion der genauen Form würde ihn sprengen. In Gleichung (20.53) steht die über alle Wellenlängen integrierte scheinbare Helligkeit. Beobachtungsinstrumente sind aber nur in einem bestimmten Wellenlängenbereich sensitiv. Aufgrund der Rotverschiebung ist das bei uns empfangene Spektrum der Quelle ein anderes, als am Ort der Quelle selbst, welches nicht direkt bekannt ist. In die Bestimmung dieser Korrektur müssen daher Modellannahmen eingehen. Zusammengefasst gehen diese Korrekturen dann als Term K(z) in (20.53) ein. Weiter steckt in (20.53) implizit die Annahme, dass sich die Leuchtkraft des beobachteten Objektes nicht mit der Zeit ändert. Dies kann nicht richtig sein, denn Sterne ändern innerhalb ihres Lebens ihre Leuchtkraft. Dann ändert sich auch die Leuchtkraft einer Galaxie mit der Zeit. Je größer z für ein bestimmtes Objekt ist, desto früher in der Vergangenheit beobachten wir dieses Objekt und dementsprechend groß kann der Leuchtkraftunterschied aufgrund der Evolution des Objektes sein. Dieser Unterschied geht in Form des Evolutionstermes E(z) in (20.53) ein. In diesen Term gehen Modelle zur Galaxienentwicklung und darüber auch Modelle zur Sternentwicklung ein. Mit den gerade diskutierten Korrekturen erhält man die korrigierte Formel m = M 5 ( 1 + log 10 H 0 c ) + 5log 10 z + 1,086 (1 b)z K(z) E(z) + O(z 2 ) (20.54) für den Zusammenhang zwischen scheinbarer Helligkeit und Rotverschiebung. Der Vergleich mit Beobachtungen zeigt, dass ohne diese Korrekturen keine Übereinstimmung mit den Messergebnissen erzielt werden kann. Der für uns wichtige Punkt ist, dass durch die beiden Terme K und E, deren genaue Form wir hier nicht diskutieren, jetzt wieder modellabhängige Annahmen in (20.54) eingehen, die die Auswertung Kosmologie 377

97 20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie zusätzlich schwieriger machen. Weitere Details zu diesen Zusammenhängen finden sich im Buch von H. Goenner. [87] Im nächsten Kapitel befassen wir uns nun mit einer Anwendung der gerade hergeleiteten Relation. 378

98 21 Das expandierende Universum - Untersuchung weit entfernter Supernovae Mit Hilfe der Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung aus dem letzten Kapitel haben in den 1990er Jahren zwei Gruppen weit entfernte Supernovae untersucht. Zum einen das Supernova Cosmology Project und zum anderen das High-z Supernova Search Team. Ihre Ergebnisse sind ein starker Hinweis darauf, dass das Universum beschleunigt expandiert. Die Leiter der beiden Gruppen, S. Perlmutter sowie B. P. Schmitt und A. G. Riess erhielten für diese Entdeckungen 2011 den Nobelpreis für Physik. In diesem Kapitel wollen wir diese faszinierende Entdeckung und die Methode dahinter verstehen. Dazu müssen wir zum einen diskutieren, wie aus der Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung auf die Dynamik des Universums geschlossen werden kann. Zum anderen haben wir bereits gesagt, dass wir für ihre Anwendung Objekte mit bekannter absoluter Helligkeit, also Standardkerzen brauchen. Da wir weit entfernte Objekte beobachten wollen, müssen sie zusätzlich noch eine sehr große absolute Helligkeit besitzen. Die beiden Gruppen benutzten dazu Supernovae vom Typ Ia. Wir werden daher zu Beginn auf die Eigenschaften dieser Sternexplosionen etwas näher eingehen Typ Ia Supernovae Die Klassifizierung von Supernovae stammt aus den Anfängen der Supernovaforschung und unterteilt sie nach Eigenschaften des Spektrums. Supernovae vom Typ I haben keine Wasserstofflinien in ihrem Spektrum, solche vom Typ II dagegen schon. Supernovae vom Typ I werden dann weiter in die drei Subtypen Ia, Ib und Ic unterteilt, wobei wieder Eigenschaften des Spektrums dafür herangezogen werden. Es wird heute allgemein davon ausgegangen, dass Typ II Supernovae Explosionen massiver Sterne sind, bei denen ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch entsteht. Typ Ib und Ic sind vermutlich ähnliche Prozesse, bei denen aber ein Stern explodiert, dessen äußere Wasserstoffhülle fehlt, bzw. durch einen Begleiter abgezogen wurde. Typ Ia Supernovae (SN Ia) dagegen stellen die Explosion eines Weißen Zwerges dar, der von einem Begleiter soviel Materie akkreditiert hat, das eine Explosion ausgelöst wird. Kosmologie 379

99 21 Das expandierende Universum - Untersuchung weit entfernter Supernovae Abbildung 21.1: Supernovae Ia zeigen einen charakteristischen Zusammenhang zwischen maximaler Helligkeit und Abklingzeit der Leuchtkraft. Das Bild zeigt empirische Leuchtkraftverläufe für verschiedene SN Ia Typen. Die Symbole repräsentieren Messwerte verschiedener Supernovae. Das Bild stammt aus einer Publikation von Nomoto et. al. [89] Die genauen Details der Entstehung und des Ablaufs dieser Supernovae sind noch nicht geklärt. So ist es insbesondere nicht klar, ob sie in Doppelsystemen zweier Weißer Zwerge entstehen, oder ob ein Weißer Zwerg etwa von einem Hauptreihenstern begleitet wird. Die Untersuchung dieser Zusammenhänge wird besonders dadurch erschwert, dass SN Ia sehr selten sind, im Schnitt findet in unserer Galaxie etwa ein solches Ereignis in 100 Jahren statt. Für die Verwendung von SN Ia als Standardkerzen ist das kein Problem, diese Explosionen sind so hell, dass sie für kurze Zeit eine vergleichbare Leuchtkraft wie ihre Heimgalaxie haben und deshalb auf sehr große Distanzen beobachtet werden können. Daher lassen sich SN Ia in vielen Galaxien und deshalb relativ oft beobachten. Um zu klären, was das Ausgangssystem war, müsste man Beobachtungsdaten vor dem Stattfinden der Explosion, oder lange genug danach haben und beides ist auf große Entfernungen deutlich schwerer. Eine Studie für eine bestimmte SN Ia, sowie weitere Details zu diesem Problem finden sich z.b. in Ref. [88]. Für uns deutlich wichtiger sind die Leuchtkurven von SN Ia. Umfangreiche Untersuchungen haben gezeigt, dass zwar nicht jede SN Ia gleich hell ist, sondern im Gegenteil erhebliche Unterschiede in der maximalen Helligkeit bestehen. Jedoch besteht offenbar eine enge Beziehung zwischen der maximalen Helligkeit einer SN Ia und der zeitlichen Abnahme der Leuchtkraft. Abbildung 21.1 zeigt verschiedene Modellkurven zusammen mit Meßwerten einiger SN Ia. Für diese Supernovae lässt sich daher sehr präzise die absolute Helligkeit bestimmen und sie eignen sich sehr gut als Standardkerzen für sehr große Entfernungen. 380

100 21.2 Verwendung der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung zur Aufklärung der Dynamik des Universums Abbildung 21.2: Zusammenhang zwischen Helligkeit und Rotverschiebung eines kosmischen Objektes. Die Rotverschiebung des empfangenen Spektrums hängt nur vom Skalenfaktor a(t e ) bei Emission des beobachteten Lichtes ab. Die Helligkeit des beobachteten Objektes hängt aber von der Lichtlaufzeit a(t) a(t 0 ) a(t e ) ab, die in den verschiedenen Modellen unterschiedlich ist. t k t g t 0 t b t 21.2 Verwendung der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung zur Aufklärung der Dynamik des Universums Es ist klar und wurde bereits mehrfach gesagt, dass die Helligkeit eines Objektes ein Maß für seine Entfernung von uns ist. Für eine gegebene absolute Helligkeit M wird uns ein Objekt umso dunkler erscheinen, je weiter es von uns entfernt ist. Tragen wir für Objekte mit bekannter absoluter Helligkeit die beobachteten scheinbaren Helligkeiten über log 10 (z) auf, so erhalten wir nach Gleichung (20.53), bzw. (20.54) für kleine Rotverschiebungen eine Gerade und können aus ihrem y-achsenabschnitt den Wert von H 0 bestimmen. Um dies zu tun wurden vom Calan/Tololo Supernova Survey SN Ia mit z 0,1 beobachtet. Für größere Werte von z werden sich Abweichungen von der Geradenform zeigen, aus denen wir den Bremsparameter bestimmen können und damit entscheiden, ob das Universum abgebremst oder beschleunigt expandiert. Wir können uns sehr schön anschaulich klar machen, was hier passiert. Wir nehmen an, wir hätten ein kosmisches Objekt beobachtet und festgestellt, dass sein Spektrum eine Rotverschiebung von z.b. z = 1 aufweist. Aus Gleichung (20.24) sehen wir dann, dass das Verhältnis des Skalenfaktors heute zum Skalenfaktor als das Licht vom Objekt ausgesandt wurde gleich 0,5 ist, unabhängig von der zeitlichen Entwicklung des Skalenfaktors in der Zwischenzeit. Die Lichtlaufzeit und damit die Entfernung des Objektes von uns wird allerdings von der zeitlichen Entwicklung abhängen. Das wird mit Hilfe von Abbildung 21.2 klar. In einem beschleunigt expandierenden Universum ist das Licht zu einem früheren Zeitpunkt t b emittiert worden als in einem konstant beschleunigten Universum (t k ) oder einem abgebremst expandierenden Universum (t g ). Das beobachtete Objekt wird also in einem beschleunigt expandierenden Universum dunkler erscheinen als in einem konstant beschleunigten Universum, in einem abgebremst expandierenden Universum dagegen heller. Kosmologie 381

101 21 Das expandierende Universum - Untersuchung weit entfernter Supernovae Abbildung 21.3: Ergebnisse der Messung von Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehungen für Supernovae Ia. Die Ergebnisse lassen auf eine beschleunigte Expansion des Universums schließen. Das Bild stammt aus einer Publikation von Bahcall et. al. [90] 21.3 Ergebnisse der Messungen an SN Ia Abbildung 21.3 zeigt Ergebnisse von Messungen der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehungen von SN Ia des Supernova Cosmology Project. Die Messergebnisse sind verglichen mit theoretischen Kurven für verschiedene Universumsmodelle. Die Abkürzung CDM steht für Cold Dark Datter. Die einzelnen Modelle sind das flache S CDM -Modell mit Ω m0 = 1 und Ω Λ0 = 0, also das klassische materiedominierte Universums aus Gleichung (19.89). Das Modell Λ CDM entspricht unserem (Ω m0 Ω Λ0 )-Modell, das wir in Abschnitt ausführlich behandelt haben, mit den konkreten Werten Ω m0 = 1/3 und Ω Λ0 = 2/3, die sich etwas von unseren heutigen Werten unterscheiden, damals aber noch nicht so genau zu bestimmen waren. O CDM ist das materiedominierte Modell mit negativer Krümmung in Gleichung (19.91), speziell mit der Wahl Ω m0 = 1/3. Die Resultate stimmen am besten mit dem Λ CDM -Modell überein, auch wenn die Unsicherheiten groß sind. 382

102 21.3 Ergebnisse der Messungen an SN Ia Abbildung 21.4: Das Kosmische Dreieck, ebenfalls aus Ref. [90]. Die Bezeichnung Ω k entspricht unserem Ω q. Für alle Punkte des Dreiecks ist die Summenregel Ω Λ0 + Ω m0 + Ω q = 1 erfüllt. Die beobachteten SN Ia haben so große Rotverschiebungen, dass unsere Näherungen bei der Herleitung der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung nicht mehr gelten. Die beiden Gruppen mussten daher für verschiedene Modelluniversen die m-z-relation numerisch berechnen, d.h. letztlich ohne Näherungen in (20.38) und (20.39). In der Arbeit [90] wurde mit dem Kosmischen Dreieck außerdem eine schöne Darstellungsweise für die Eigenschaften der verschiedenen Modelle eingeführt. Unter Verwendung der in Modellen nur mit Materie und kosmologischer Konstante immer geltenden Summenregel Ω Λ0 + Ω m0 + Ω q = 1, (21.1) mit Ω q = 1 (Ω Λ0 + Ω m0 ), wie wir es in Abschnitt für das Modell mit Strahlung, kosmologischer Konstante und Krümmung eingeführt haben, kann man die verschiedenen Modelle als Punkte in einem gleichseitigen Dreieck darstellen. Dies zeigt Abbildung Kosmologie 383

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104 22 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung Nachdem die Beobachtungen von E. Hubble und die Überlegungen von G. Lemaître darauf hindeuteten, dass unser Universum expandiert, lag es nahe, anzunehmen, dass es aus einem Zustand sehr kleiner Ausdehnung und hoher Dichte hervorgegangen war. Bereits in den 1940er Jahren spekulierte G. Gamow, dass die Strahlung aus dieser Zeit heute noch erkennbar sein sollte und sagte eine Temperatur von etwa 5 K voraus. [91] Zusammen mit R. A. Alpher [92] arbeitete er an Erklärungen zur Entstehung der Elemente, die schließlich als Alpher-Bethe-Gamow-Theorie 1 bekannt wurden. [93] Leider blieben die Vorhersagen eines Strahlungshintergrundes zu dieser Zeit relativ unbeachtet. Der Nachweis der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung, im englischen Cosmic Microwave Background (CMB), gelang erst viel später durch A. Penzias und R. Wilson im Jahr [94, 95] Die beiden arbeiteten mit einer Radioantenne bei den Bell Laboratorien in New Jersey, USA (Abb. 22.1). Bei ihren Beobachtungen stellten sie ein Hintergrundrauschen mit einer effektiven Temperatur von T = 3,5 K bei einer Wellenlänge λ = 7,35 cm fest, das sie sich nicht erklären konnten und das sich auch nicht beseitigen ließ. Zur selben Zeit bereiteten in Princeton R. H. Dicke und D. T. Wilkinson zusammen mit anderen die Suche nach dem CMB vor. Die beiden Gruppen hörten voneinander, tauschten ihre Erkenntnisse aus, und publizierten gleichzeitig zwei Paper in den Astrophysical Journal Letters. [96, 97] Penzias und Wilson erhielten für diese Entdeckung 1979 den Physiknobelpreis. Abbildung 22.1: Die Hornantenne, mit der Penzias und Wilson die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung entdeckten. Sie ist heute ein National historic landmark der USA. 1 H. Bethe war an der Ausarbeitung dieser Theorie nicht beteiligt und wurde von Gamow nur scherzeshalber als Autor hinzugefügt, um Autorinitialen entsprechend den ersten Buchstaben α, β, γ des griechischen Alphabets zu erhalten. Kosmologie 385

105 22 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung Abbildung 22.2: Spektrum der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung. Die Abweichungen vom Schwarzkörperspektrum sind kleiner als die Breite der Linie im Diagramm. Aus Ref. [98] Das Spektrum des CMB Nach der Entdeckung des CMB wurden mehrere ergebundene oder in Ballonen untergebrachte Experimente gestartet um den CMB genauer zu vermessen. Dabei konnte aber nie der gesamte Himmel beobachtet werden wurde dann der Cosmic Background Explorer (COBE) gestartet, ein Satellit, der den CMB mehrere Jahre lang beobachtete. Abbildung 22.2 zeigt das aus den Daten von COBE gewonnene Spektrum des CMB. Der CMB weist bis auf winzige Abweichungen ein hochpräzises, homogenes und isotropes Planck-Spektrum p27 der Temperatur 2,725 K auf. Wie wir bereits diskutiert haben, wird uns durch den CMB daher ein bestimmtes Koordinatensystem aufgedrängt, nämlich dasjenige, in dem die Temperatur des CMB in allen Richtungen gleich ist. Von der Erde aus beobachtet gilt dies nämlich nicht, weil wir uns relativ zum CMB bewegen und dadurch eine Dopplerverschiebung auftritt (Abb. 22.3). Unsere Bewegung setzt sich dabei aus verschiedenen Relativbewegungen zusammen. Explizit sind dies die Bewegung der Erde um die Sonne, die Rotation der Sonne um das Zentrum der Milchstraße, die Bewegung der Milchstraße relativ zum Schwerpunkt der lokalen Gruppe und schließlich die Bewegung der lokalen Gruppe selbst, die sich mit etwa 630 km/s auf den Virgo-Haufen zubewegt. Wir werden uns im Rest dieses Abschnittes klarmachen, warum wir ein solches Spektrum für den CMB erwarten können. Danach werden wir die kleinen Abweichungen vom perfekten Schwarzkörperspektrum genauer betrachten. Wie wir sehen werden, sind diese von außerordentlicher Bedeutung für das Verständnis der Entwicklung des Universums. Um das Spektrum des CMB verstehen zu können, müssen wir uns mit der Struktur des frühen Universums vertraut machen. Dazu hilft es, nocheinmal Abbildung 386

106 Blauverschoben Rotverschoben 22.1 Das Spektrum des CMB Abbildung 22.3: Der CMB kann benutzt werden, um ein Referenzinertialsystem zu definieren. Ein Beobachter befindet sich relativ zu diesem in Ruhe, wenn der CMB isotrop ist. Ansonsten erscheinen Teilgebiete in Bewegungsrichtung blau- und Teilgebiete entgegen der Bewegungsrichtung rotverschoben. v 19.3 auf Seite 342, die die Phasen der Dominanz verschiedener Energiedichten zeigt, zu betrachten. Wir werden uns jetzt mit dem Zeitraum in der Entwicklung des Universums beschäftigen, in dem die Energiedichten von Strahlung und Materie vergleichbar hoch waren. Dabei ist aber nicht nur die Strahlungsenergiedichte höher gewesen, sondern auch die durchschnittliche Energie pro Photon, weil, wie wir bereits diskutiert haben, die Photonenenergie mit a 1 skaliert. Da es in dieser Entwicklungsphase des Universums noch keine Sterne gab, die schwerere Elemente erzeugen können, bestand der baryonische Anteil der Energiedichte im Wesentlichen aus Wasserstoff und Helium. Wenn die durchschnittliche Photonenenergie in die Größenordnung von 13,6 ev kommt, so ionisieren diese Photonen den Wasserstoff und es können sich nur für sehr kurze Zeit neutrale Atome bilden, im Wesentlichen liegt ein Plasma aus Photonen, Protonen, Elektronen und einigen Heliumkernen vor, das man als Photon-Baryon-Fluid (PBF) bezeichnet. Durch die häufige Wechselwirkung von Photonen mit den Elektronen ist das Universum undurchsichtig für Licht. Gleichzeitig sind durch die Wechselwirkung die Elektronen und Photonen im thermischen Gleichgewicht miteinander und mit den Protonen, da diese wiederum mit den Elektronen wechselwirken. Wir können dem gesamten System aus Photonen, Elektronen und Protonen daher die gleiche Temperatur T zuweisen. Ein Körper mit einer festen Temperatur strahlt elektromagnetische Strahlung ab, die ein Planck-Spektrum zeigt. Die Plancksche Strahlungsformel ist gegeben durch dn ν (t) = 8πν2 c 3 V(t) dν ( ) exp hν k B T(t). (22.1) 1 Dabei bezeichnet dn ν (t) die Anzahl der Photonen im Frequenzintervall [ν,ν + dν] in einem Referenzvolumen V(t). Wenn sich das Universum dann ausdehnt, steigt der Skalenfaktor und damit sinkt die durchschnittliche Energie der Photonen. Für ein Kosmologie 387

107 22 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung Planck-Spektrum ergibt sich die durchschnittliche Photonenenergie als Gesamtenergie durch die gesamte Zahl emittierter Photonen. Die Energie der dn ν (t) Photonen im Referenzvolumen ist über de ν (t) = hνdn ν (t) (22.2) gegeben. Die durchschnittliche Photonenenergie ist 0 de ν(t)/ 0 dn ν(t). Wenn wir (22.1) einsetzen, dann können wir oben und unten einen Faktor 8πV(t)/c 3 vor das Integral ziehen und kürzen und finden [ ( ) 1 0 E Ph = hν3 exp hν 1] k B T(t) dν ) ] 1 = 0 [exp π4 30 ζ(3) k BT(t) 2,70k B T. (22.3) ν2 1 dν ( hν k B T(t) Dabei ist ζ die Riemannsche Zetafunktion mit ζ(3) 1,202. Die Temperatur ist also direkt proportional zur durchschnittlichen Photonenenergie. Da wir bereits wissen, dass für Photonen E a 1 gilt, können wir daraus schließen, dass auch T a 1 ist. Wir haben damit aber noch nicht gezeigt, dass das ursprüngliche Planck-Spektrum auch bei der Expansion des Universums seine Planck-Form nur mit veränderter Temperatur beibehält. Wir betrachten dazu ein Referenzvolumen V. Die darin enthaltenen Photonen sollen zur Zeit t Gleichung (22.1) erfüllen. Für dieselbe Gruppe Photonen ergibt sich zur Zeit t wegen der kosmologischen Rotverschiebung die Frequenz ν = a(t)/a(t )ν und entsprechend dν = a(t)/a(t ) dν. Das Volumen hat sich in der Zwischenzeit geändert zu V(t ) = V(t)(a(t )/a(t)) 3. Aus diesen Zusammenhängen folgt V(t)ν 2 dν = V(t )ν 2 dν. (22.4) Gleichzeitig muss die Anzahl der Photonen gleich bleiben, d.h. dn ν (t ) = dn ν (t), denn ein effektiver Photonenstrom in oder aus dem betrachteten Volumen würde der Homogenität und Isotropie des Universums widersprechen. Dies gilt natürlich aber nur, wenn wir ein Volumen auf Skalen V (100 Mpc) 3 wählen. Einsetzen dieser Relationen in (22.1) ergibt dann mit der Temperatur T = T(a/a ) dn ν (t ) = 8π c 3 ν 2 V dν ( ). (22.5) exp hν k B T 1 Die Planck-Form des Spektrums bleibt also wie behauptet erhalten, lediglich die Temperatur ändert sich mit a 1 (t). Die heutige Temperatur des CMB beträgt 2,725 K. Wie weit muss die Temperatur nun absinken, damit Strahlung und Materie entkoppeln können? Die Ionisierungsenergie von Wasserstoff ist bekanntermaßen E Hion = 13,6 ev. (22.6) 388

108 22.1 Das Spektrum des CMB Eine ganz grobe Abschätzung erhalten wir dann aus der Relation d.h. 2,70k B T = E Hion, (22.7) T = E H ion 2,70k B K. (22.8) Tatsächlich liegt der Wert aber viel niedriger. Das liegt daran, dass zum einen ein geringer Anteil an Photonen im Planckspektrum eine sehr viel höhere Energie als das durchschnittliche Photon hat und zum anderen die Anzahldichte an Photonen etwa mal größer ist als die Anzahldichte der Baryonen. Selbst wenn also nur ganz wenige Photonen relativ zur Gesamtzahl eine zur Ionisierung von Wasserstoff ausreichende Energie haben, reicht dies immer noch, wenn ihre Anzahl vergleichbar groß ist wie die der Baryonen. Natürlich ist dieser Gedankengang sehr stark vereinfacht, wir können darüber aber die Größenordnung der Entkopplungstemperatur einigermaßen abschätzen. Für interessierte Leser findet sich in Ref. [99] eine umfassendere, gut nachvollziehbare Rechnung mit Mitteln der statistischen Mechanik, sowie eine deutlich umfassendere Diskussion der Physik der Rekombination. Wenn man entsprechende Rechnungen durchführt, so findet man schließlich T Entk 3000 K, (22.9) dies entspricht einer mittleren Photonenenergie von etwa 0,7 ev. Da wir den Zusammenhang zwischen Temperatur und Skalenfaktor, bzw. Rotverschiebung wissen, können wir dann leicht berechnen, wie groß das Universum zur Zeit der Entkopplung war. Es ergibt sich und analog a Entk = T CMB T Entk 10 3 (22.10) z Entk (22.11) Die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung stammt also aus einer Epoche, als das Universum nur 0,1% seiner heutigen Ausdehnung hatte und die Photonen des CMB sind etwa um einen Faktor 10 3 rotverschoben. Der aktuelle Wert der WMAP- Gruppe ist z Entk = 1090,89 +0,68 0,69.[74] Zu diesem Zeitpunkt war die Photonenenergie also so niedrig, dass Wasserstoff nicht mehr ionisiert werden konnte. Aus den Protonen und Elektronen bildete sich neutraler Wasserstoff. Das PBF spaltete sich in Wasserstoffgas und Photonen auf. Diese beiden Bestandteile waren ab jetzt nicht mehr Kosmologie 389

109 22 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung Universum intransparent für Strahlung Ereignishorizont Horizont der letzten Streuung Erde Abbildung 22.4: Veranschaulichung zum Horizont der letzten Streuung. Photonen des CMB sind zu uns unterwegs, seid sie im PBF zum letzten Mal gestreut wurden. Weiter zurück in die Vergangenheit können wir mit Licht nicht schauen, denn davor war das Universum undurchlässig für elektromagnetische Strahlung. aneinander gekoppelt, das Universum wurde durchsichtig für Strahlung. CMB-Photonen, die uns heute erreichen, sind also seit der letzten Streuung an einem Elektron zu uns unterwegs. Man spricht daher vom Horizont der letzten Streuung (Abb. 22.4) Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung Die hohe Homogenität und Isotropie des CMB kann uns nach unseren bisherigen Überlegungen nicht überraschen, wieder wäre anderenfalls das Kosmologische Prinzip verletzt. Wir werden zwar später noch sehen, dass wir durchaus Probleme damit bekommen, diese hochgradige Homogenität zu erklären, nehmen sie jetzt aber als gegeben an. Wir wissen, dass auf kleinen Skalen d 100 Mpc im heutigen Universum das Kosmologische Prinzip nicht gilt, denn wir sehen auf solchen Skalen Strukturen, konkret Galaxien und Galaxienhaufen. Damit diese Strukturen entstanden sein können, müssen auch im ganz jungen Universum schon kleine Inhomogenitäten und Anisotropien vorhanden gewesen sein. Etwas salopp formuliert erwarten wir, dass das Kosmologische Prinzip sehr gut, aber nicht völlig exakt erfüllt ist. Auf den CMB übertragen heißt das, wir erwarten eine sehr hohe Homogenität und Isotropie, sollten aber dennoch winzige Abweichungen finden können Nachweis der Anisotropie des CMB Als der COBE-Satellit 1989 gestartet wurde, war es das wichtigste Ziel der Mission, solche Anisotropien im CMB nachzuweisen. COBE vermaß den CMB dazu winkelaufgelöst über die ganze Himmelskugel. Abbildung 22.5 zeigt die Ergebnisse dieser Messung. Die Messung der Anisotropien ist sehr schwierig. Zum einen sind sie wie 390

110 22.2 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung (a) (b) (c) Abbildung 22.5: Anisotropie der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung, gemessen vom COBE-Satellit. Die eigentlichen Anisotropien sind durch sehr große Störungen überlagert. a) Dipolanisotropie aufgrund der Relativbewegung der Erde zum CMB. b) Störungen durch Quellen innerhalb der Milchstraße. c) Die eigentlichen Anisotropien des CMB. Credit: NASA [100] erwartet sehr klein. COBE fand relative Temperaturschwankungen ( T ) 2 1/ (22.12) T Der mittleren Temperatur T = 2,725 K des CMB sind also Schwankungen um etwa 30 µk überlagert. Zum anderen ergeben sich massive Störungsignale durch die Dopplerverschiebung aufgrund der Relativbewegung der Erde (Abb. 22.5a) und aufgrund von Strahlungsquellen innerhalb der Milchstraße (Abb. 22.5b), die erst herausgerechnet werden müssen, bevor sich die Struktur in Bild 22.5c zeigt. Der Nachweis der Anisotropien im CMB war ein großer wissenschaftlicher Erfolg erhielten J. C. Mather und G. F. Smoot den Nobelpreis in Physik für die Entdeckungen, die mit Hilfe von COBE gemacht wurden Analyse der Anisotropien Die Anisotropien im CMB sind die Vorläufer der heutigen Strukturen im Universum. Wenn wir sie besser verstehen, lernen wir daher eine Menge über die Entwicklung des Universums insgesamt und der Galaxien und Galaxienhaufen darin. Der COBE-Satellit hatte eine Winkelauflösung von 7 und konnte die Anisotropien daher zwar nachweisen, aber keine Details sichtbar machen, die eine genaue Analyse ermöglicht hätten. Aus diesem Grund wurde 2001 der Nachfolger von COBE gestartet der Wilkinson Microwave Anisotropy Explorer (WMAP), benannt nach D. T. Wilkinson, den wir weiter oben kennengelernt haben und der kurz nach dem Start der Sonde verstorben war. Kosmologie 391

111 22 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung Abbildung 22.6: WMAP-Karte der Anisotropien des CMB. Die Auflösung ist etwa 30 mal höher als bei COBE. Credit: NASA / WMAP Science Team.[1] WMAP hat eine im Vergleich zu COBE deutlich verbesserte Auflösung von 130. Abbildung 22.6 zeigt eine Karte der CMB-Anisotropien, wie sie aus WMAP-Daten gewonnen wurde schließlich wurde von der ESA der Planck-Satellit für eine zweijährige Mission in den Orbit gebracht, aus dessen CMB-Daten unter anderem Details über die Verteilung sehr früher Galaxienhaufen gewonnen werden sollen.[101] Diese Mission ist inzwischen ebenfalls beendet, die Datenauswertung läuft aber noch. Bilder der Temperaturverteilung wie in 22.6 sind beeindruckend, für wissenschaftliche Auswertungen aber müssen andere Werkzeuge benutzt werden. Die Analyse der Anisotropien des CMB erfolgt mit Hilfe statistischer Methoden. Wir wollen in Grundzügen die zugrundeliegende mathematische Theorie diskutieren, um einen Eindruck zu gewinnen, wie aus den CMB-Anisotropien wissenschaftliche Erkenntnisse gewonnen werden können. Insgesamt stellt die Auswertung der CMB-Anisotropien aber ein kompliziertes und umfangreiches Themengebiet dar, das wir natürlich nur vereinfacht darstellen können. Insbesondere gehen wir nicht auf die Polarisation des CMB und die Behandlung des elektrischen und magnetischen Feldes ein. Grundlage für die Beschreibung der Temperaturfluktuationen der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung ist die Theorie gaußverteilter Zufallsfelder. Die heute favorisierten Universumsmodelle mit Inflationsphase sagen voraus, dass die Temperaturfluktuationen des CMB gaußverteilte Schwankungen um die mittlere Temperatur sind. Zwar wird nach Abweichungen von dieser Form gesucht, bisher konnten aber keine gefunden werden. Wenn wir also die Temperatur bestimmen, die dem Spektrum eines kleinen Himmelsausschnittes entspricht, so erhalten wir einen Wert T = h T i + T, mit einer Abweichung T vom Mittelwert. Wenn wir dies für viele Punkte am Himmel machen, so erhalten wir im Wesentlichen eine Gaußverteilung wie in Abbildung In einem Intervall T [ σ,σ] liegen 68% unserer Meßwerte und in einem Intervall T [ 2σ,2σ ] entsprechend 95%. Wir betrachten diese Zusammenhänge etwas abstrakter, um dann auf die Behandlung für den CMB zurückzukommen. Unser Ausgangspunkt ist eine Zufallsvariable U mit einem kontinuierlichen, gaußverteil- 392