Aufgaben zu Kapitel 8
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- Eike Weiss
- vor 7 Jahren
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1 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge a mit Glieder a {0,,,...,9}. Zeige Sie, dass die Reihe a 0 0 kovergiert. Aufgabe 8. Beweise Sie das Nullfolgekriterium: We eie Reihe a kovergiert, da gilt lim a 0. Aufgabe 8.4 Zeige Sie, dass die Reihe + zwar kovergiert, ihr Cauchy-Produkt mit sich selbst allerdigs divergiert. Warum ist das möglich? Aufgabe 8.5 Zeige Sie, dass jede Umordug eier absolut kovergete Reihe auch wieder kovergiert. Recheaufgabe Aufgabe 8.6 Sid die folgede Reihe koverget? a + b c [e + ] Aufgabe 8.7 Zeige Sie, dass die folgede Reihe kovergiere ud bereche Sie ihre Wert: a + b + 4i Aufgabe 8.8 Zeige Sie, dass die folgede Reihe absolut kovergiere: + a b + 4 c 6 Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
2 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe 8.9 Utersuche Sie die Reihe auf Kovergez ! Aufgabe 8.0 Stelle Sie fest, ob die folgede Reihe divergiere, kovergiere oder sogar absolut kovergiere: a + b + 5 c si 5/ Aufgabe 8. Zeige Sie, dass die folgede Reihe kovergiere. Kovergiere sie auch absolut? a k k + k k + 4k + k [ ] k b k + coskπ k + k Aufgabe 8. Bestimme Sie die Mege M aller x I, für die die Reihe a si x 0 b x 4 0 x + c I π, π, I R, I 0, kovergiere. Awedugsprobleme Aufgabe 8. Wir betrachte ei gleichseitiges Dreieck der Seiteläge a. Nu wird ei eues Dreieck kostruiert, desse Seite geauso lag sid, wie die Höhe des ursprügliche Dreiecks. Dieser Vorgag wird iterativ wiederholt. Bestimme Sie de Gesamtumfag ud de gesamte Flächeihalt all dieser Dreiecke. Aufgabe 8.4 Eie Aufgabe für die Weihachtszeit: Eie Gruppe vo Freude möchte eie Weihachtsfeier verastalte. Dafür werde 5 Liter Glühwei gekauft. Die 0.-Liter-Becher stehe bereit, ud es wird rudeweise getruke. Die Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
3 Aufgabe zu Kapitel 8 Freude sid aber vorsichtig, daher trike sie ur bei der. Rude eie gaze Becher, i der. Rude ur och eie halbe, daach eie viertel Becher, usw. Wie groß muss die Gruppe midestes sei, damit alle 5 Liter Glühwei verbraucht werde? Wie viele Rude müsse bei dieser miimale Zahl vo Freude getruke werde? Aufgabe 8.5 Uter eier Koch sche Scheeflocke versteht ma eie Mege, die vo eier Kurve eigeschlosse wird, die durch de folgede iterative Prozess etsteht: Ausgehed vo eiem gleichseitige Dreieck der Kateläge Abbildug 8.5 I jedem Iteratiosschritt wird eie Kate durch de rote Streckezug ersetzt. wird jede Kate durch de i Abbildug 8.5 gezeigte Streckezug ersetzt. Die Abbildug 8.6 zeigt die erste vier Iteratioe der Kurve. Bestimme Sie de Umfag ud de Flächeihalt der Koch sche Scheeflocke. Abbildug 8.6 Die erste drei Iteratioe bei der Kostruktio der Koch sche Scheeflocke. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
4 4 Hiweise zu Kapitel 8 Hiweise zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Gibt es hier eie Widerspruch zum Leibiz-Kriterium? Aufgabe 8. Verwede Sie das Motoiekriterium für die Folge der Partialsumme. Aufgabe 8. Stelle sie a als Differez zweier Partialsumme dar. Aufgabe 8.4 Beutze Sie für die Reihe das Leibiz-Kriterium, schätze Sie die Terme im Cauchy-Produkt geeiget ab. Aufgabe 8.5 Betrachte Sie Partialsumme der Umordug. Zeige Sie, dass die Umordug sogar absolut kovergiert. Recheaufgabe Aufgabe 8.6 Bei a ka das Majorate-, bei b das Quotiete- ud bei c das Leibiz-Kriterium agewadt werde. Aufgabe 8.7 Bei a hadelt es sich um eie Teleskopsumme, bei b um eie geometrische Reihe. Aufgabe 8.8 Wede Sie jeweils das Quotiete- oder Wurzelkriterium a. Aufgabe 8.9 Verwede Sie das Quotietekriterium. Aufgabe 8.0 Bei a ka das Quotietekriterium agewedet werde, bei b ud c führe Vergleichskriterie zum Erfolg. Aufgabe 8. Kovergez ka ma mit dem Leibiz-Kriterium achweise. Ka ma bei b de Ausdruck vereifache? Aufgabe 8. I a ud b liege geometrische Reihe vor, i c köe Sie mit eier Reihe über / x vergleiche. Awedugsprobleme Aufgabe 8. Bestimme Sie Umfag ud Flächeihalt der erste drei oder vier Dreiecke ud versuche Sie ei Schema zu erkee. Aufgabe 8.4 Verwede Sie die geometrische Reihe. Aufgabe 8.5 Überlege Sie sich, aus wie viele Strecke welcher Läge die Kurve ach der -te Iteratio besteht. Wie viele Dreiecke welcher Fläche komme da im ächste Schritt dazu? Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
5 Lösuge zu Kapitel 8 5 Lösuge zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Eie solche Reihe ka kostruiert werde. Aufgabe 8. Aufgabe 8. Aufgabe 8.4 Aufgabe 8.5 Recheaufgabe Aufgabe 8.6 Aufgabe i i Aufgabe 8.8 Aufgabe 8.9 Die Reihe ist diverget. Aufgabe 8.0 a ud c sid absolut kovergete Reihe, b ist diverget. Aufgabe 8. a kovergiert, aber icht absolut. Die Reihe i b kovergiert absolut. Aufgabe 8. a M π, π \{ π 4, π 4, π 4, π 4 }, b M 5,, 5, c M 0, Awedugsprobleme Aufgabe 8. Der Gesamtumfag ist U 6a/, der gesamte Flächeihalt A a. Aufgabe 8.4 Freude müsse feier, es sid 5 Rude zu trike. Aufgabe 8.5 Der Flächeihalt ist 4/5, die Umfag ist uedlich. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
6 6 Lösugswege zu Kapitel 8 Lösugswege zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Eie solche Reihe ka ma kostruiere, allerdigs ist klar, dass die Folge a icht mooto falled sei darf, sost hätte ma ach Leibiz Kovergez vorliege. Eies vo viele Beispiele für eie derartige Reihe wäre: { für gerade a für ugerade Aufgabe 8. Wir bezeiche mit S N a 0 0 die Partialsumme ud betrachte u dere Folge. Eierseits ist N S N S N a N 0, 0 die Folge ist mooto wachsed. Adererseits erhalte wir sofort die Abschätzug S N a N Die Folge ist mooto ud beschräkt, ach Mootoiekriterium ist sie koverget. Aufgabe 8. Mit der Dreiecksugleichug folgt a a k a k k k a k a k + a k a k. k k k k Beide Summade rechts gehe für gege ull, also ist a eie Nullfolge. 0 Aufgabe 8.4 Das Leibiz-Kriterium zeigt sofort Kovergez, de die Reihe ist alteriered, ud mooto fallede Nullfolge. Die Kovergez ist allerdigs ur bedigt, da divergiert. Im Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst erhält ma für c k k k c k k k k k. k k k k is eie Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
7 Lösugswege zu Kapitel 8 7 Die Folge c ist keie Nullfolge, damit divergiert die Produktreihe. Das Cauchy-Produkt lediglich bedigt kovergeter Reihe muss icht kovergiere. Aufgabe 8.5 Wir betrachte eie absolut kovergete Reihe a mit komplexe Glieder a. Ferer soll die Folge b durch Umordug aus der Folge a hervorgehe, d.h. jedes Folgeglied vo b kommt i a vor ud umgekehrt. Wir betrachte u die Partialsumme s N b. Da gibt es eie Idex M, sodass die Teilmegebeziehug {b,...,b N } {a,...,a M } gilt. Damit folgt aber M s N a a, da die Reihe über die a ja absolut kovergiert. Somit ist die Folge s N ach obe beschräkt. Aufgrud ihrer Defiitio ist sie aber auch mooto wachsed ud daher koverget. Es folgt, dass die Reihe über die b absolut kovergiert. Da aus absoluter Kovergez die Kovergez im gewöhliche Sie folgt, ist der Beweis erbracht. Recheaufgabe Aufgabe 8.6 a Abschätzug a +. Da die Reihe koverget ist, ist auch diese Reihe koverget Majoratekriterium. b Quotietekriterium a + a + / + / >, also Divergez. c Weil + mooto wächst ud lim + e ist, ist e + eie mooto fallede Nullfolge. Die Reihe ist also ach dem Leibiz-Kriterium koverget. Aufgabe 8.7 a Die Partialsumme sid Teleskopsumme, es gilt S N. + N + Damit erhält ma lim S N. + N b Es hadelt sich um eie geometrische Reihe. Wir überprüfe zuächst + 4i 6 + i <. Die Reihe ist koverget, ud wir erhalte + 4i 4i 6 +4i i + 4i + 4i i. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
8 8 Lösugswege zu Kapitel 8 Aufgabe 8.8 a Die Reihe ist absolut koverget ach Wurzelkriterium: + a + b Wurzelkriterium: c Es ist a < a 4 4!!!!! 4! ud damit a + a +! +! 4 + 4! 4! !!! <. Aufgabe 8.9 Wir erhalte mit dem Quotietekriterium a ! a ! + 5! + 5 +! + >. Die Reihe ist also diverget. Aufgabe 8.0 a Es ist a!!! ud damit gilt a + a +! 4 +! +! die Reihe ist also absolut koverget. b Vergleich mit liefert:!! ! <, a / + b / , c die Reihe habe gleiches Kovergezverhalte ud divergiere demach beide. die Reihe kovergiert absolut, da auch absolut kovergiert. si 5/ 5/, 5/ Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
9 Lösugswege zu Kapitel 8 9 Aufgabe 8. a Die Reihe hat die Form k k a k mit Ferer ist a k k + b k mit a k k + k k + 4k +. b k k k 4k k k + 4k +. Die Reihe k k b k kovergiert absolut wege der Abschätzug k k k + 4k + b k < k k + 4k + < 9k k k 9 k /, die die kovergete Majorate 9 k k / liefert. Die Differez k k k ist die alterierede harmoische Reihe, die ach dem Leibiz-Kriterium kovergiert. Daher kovergiert auch die Gesamtreihe. Absolute Kovergez liegt aber icht vor, da die Betragsreihe k a k eie divergete Miorate hat: b Wir stelle fest, dass a k > k 8k 8k coskπ k ist. Wir köe also die Reihe wie folgt umschreibe: [ ] k k + coskπ [ k k + k + ] k + k k k+ k + k + k Diese Reihe kovergiert absolut, da die Betragsreihe die kovergete Majorate k k hat. Aufgabe 8. a Es liegt eie geometrische Reihe vor. a si x ist kleier eis außer für x ± π, ± π,... x ± π 4, ± π 4,... I diese Fälle erhält ma die divergete Reihe bzw.. Die Reihe kovergiert also für x π, π \{ π 4, π 4, π 4, π 4 }. b Auch hier liegt eie geometrische Reihe vor. Als Bedigug für die Kovergez erhalte wir < x 4 < < x < 5 Das ist für x 5, oder x, 5 erfüllt. Damit erhalte wir M 5,, 5. c Für x>0ist x der domiate Term im Zähler. Die Reihe hat das gleiche Kovergezverhalte wie x,was 0 ma mit dem Grezwertkriterium sofort achprüfe ka. Diese Reihe kovergiert für x>, d. h. für x<. Wir erhalte M 0,. Awedugsprobleme Aufgabe 8. Für die Höhe des erste Dreiecks erhält ma ach Pythagoras sofort h 0 /a. Damit ergibt sich: U 0 a, A 0 a a 4 a Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
10 0 Lösugswege zu Kapitel 8 Für das zweite Dreieck erhält ma U a, A a a 4 a 4, für das dritte ud allgemei U a, A U a, A 4 a 4 a, 4. 4 Für die Summe vo Umfäge bzw. Flächeihalte erhält ma damit k S U U k a a k0 k0 S A A k k0 4 a k0 k 4 Gesamtumfag ud -flächeihalt aller Dreiecke ergibt sich im Grezübergag U lim S U a A lim S A 4 a 4, 4 4 a 4. 6a, a. Aufgabe 8.4 Die Mege, die jeder Freud im Laufe des Abeds trikt, errechet sich ach der geometrische Summeformel. Durch Übergag zur geometrische Reihe erhält ma, dass kei Freud mehr als 0. k0 k 0. Liter Glühwei trikt. Also müsse midestes Freude mitfeier, damit die 5 Liter verbraucht werde. Freude trike i N Rude beachte Sie die Idexverschiebug Liter Wei. Es muss also gelte 0. als N 6. Dies ist für N 5 der Fall. k k.6 /N / N, N Aufgabe 8.5 Zuächst betrachte wir ur eie Seite des ursprügliche Dreiecks. I der Ausgagssituatio 0-ter Schritt gibt es ebe ur K 0 davo, ud sie hat die Läge L 0. Nu werde i jedem Schritt aus jeder Kate vier eue, dere Läge sich dabei auf ei Drittel reduziert. Also gilt K 4, L, 0,,,... Nu betrachte wir die Situatio ach dem erste Schritt. Ei Dreieck ist i diesem Schritt dazugekomme mit Kateläge L. Damit hat es, wie sich mit dem Satz des Pythagoras leicht ausreche lässt, die Fläche / L.Im-te Schritt komme u K Dreiecke hizu, jedes hat de Flächeihalt / L. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
11 Lösugswege zu Kapitel 8 Um de gesamte Flächeihalt zu bestimme, müsse wir die Reihe über diese eizele Dreiecksfläche bilde: F K K L Um die Gesamtfläche der Scheeflocke zu bestimme, müsse wir F mit multipliziere ud die Fläche des ursprügliche Dreiecks addiere. So erhalte wir + F Um de Umfag ach dem -te Iteratiosschritt zu bestimme muss ma eifach K mit L multipliziere. Dies ergibt 4/ ud diese Zahl geht gege Uedlich für. Also ist die Koch sche Scheeflocke eie Mege mit edlichem Flächeihalt aber uedlichem Umfag! Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008
( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1
Kapitel 8 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge
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