Elastizität Hooke sches Gesetz

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1 Elastizität Hooke sches Gesetz Im linearen (elastischen) Bereich gilt: Die Spannung ist proportional zur Dehnung F E A E l l Die Proportionalitätskonstante heißt: Elastizitätsmodul. Das makroskopische Federmodell für einen elastischen Körper erklärt viele Eigenschaften von Festkörpern: Elastizität Wärmeleitung Wärmekapazität Schallausbreitung und vieles mehr. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-5

2 Aktuelle Übung Die Durchbiegung von Stäben hängt außer vom Material (Elastizitätsmodul) auch von der Geometrie (Flächenträgheitsmoment) des Körpers ab. Praktikumsversuch: Stab der änge l mit rechteckigem Querschnitt der Breite b und der Höhe h. l 4 F G b h E T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-6 s 1 F G

3 Übungsaufgabe s l 4 1 b h E F G T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-7

4 Übungsaufgabe s l 4 1 b h E F G F G E l 4 1 bh s F G E Fehlerhafte Größen: l, b, h, s, F G = mg 11 1, ; 0,81 0,159,81 m kgm mm ms 6 40,047 5, , N m T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-8

5 Übungsaufgabe s l 4 1 b h E F G F G E l 4 1 bh s F G E E E E E E s h l b m g E s h l b m g T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-9

6 Übungsaufgabe s l 4 1 b h E F G F G E l 4 1 bh s F G E l m b h s E l m b h s E E 0,0100 0, , , ,01118 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-10

7 Übungsaufgabe Fehlerbehaftete Größe Variable Messwert Absoluter Fehler elativer Fehler Durchbiegung s m, m 0, Höhe h 5, m 0, m 0, änge l 0,81 m 0,010 m 0,01001 Breite b 0,047 m 0,00015 m 0, Masse m 0,15 kg 0,0010 kg 0, h = (5,558 ± 0,070) 10 m T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-11

8 Übungsaufgabe E l m b h s E l m b h s E E 0, , , , , E E 0, E 1,1 0, Nm - T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-1

9 Fehlerfortpflanzung II: Unabhängige fehlerbehafte Messgrößen Beispiele T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-1

10 Zusammenfassung Was bisher geschah: Annahme: Physikalische Größe f = f (, y), als Funktion zweier Messgrößen und y gegeben, und y statistisch voneinander unabhängig. Ferner: y i k y u v i k r s Weitere Annahme: u i und v k kleine Größen, so kann linearisiert werden zu f, y f, y fik f, y ui vk y Messwerte Messwerte Dann ist die Standardabweichung der f ik dargestellt durch:, f, y f y f y y T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-14

11 Zusammenfassung Allgemein ergibt sich damit das Gauß sche Fehlerfortpflanzungsgesetz:,,...,,,..., f f... 1 n 1 n f 1 1 n n Vereinfachende Sonderfälle: C A B C A B C A B C A B C A / B C A B T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-15

12 Zusammenfassung Bei Potenzprodukten ergibt sich: f(, y,) z y z z f y f y z Bei Messreihen ist die Stichprobenvarianz gegeben durch: s 1 n1 n i 1 i Der Standardfehler entsprechend: s s n T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-16

13 Fehlerfortpflanzung Summen / Differenzen m = m 1 - m m m m m m m1 m 1 m m m m 1 und m m m 1 m m m 1 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-17

14 Fehlerrechnung Wann benötigt? Beispiel: Messung der Dichte der uft m m m 1 V V V = (16,7 0,1) cm m 1 = (10,40 0,000) g m = (10,10 0,000) g m = 0,010 g = 1, g cm - m ( m ) ( m ) 0,008 g Differenz: 1 Quotient: m V m V m m V 0,1 ; 0, 01 ; V T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-18

15 Fehlerrechnung Wann benötigt? Beispiel: Messung der Dichte der uft m m m 1 V V V = (16,7 0,1) cm m 1 = (10,40 0,000) g m = (10,10 0,000) g m = 0,010 g = 1, g cm - m ( m ) ( m ) 0,008 g Differenz: 1 Quotient: m V 0,14 0,1 m V (1, 6 0,16) 10 g cm T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-19

16 Fehlerrechnung Wie gehe ich vor? iegen unabhängige Messgrößen vor, deren relative Fehler sich alle in der selben Größenordnung bewegen, so wird eine Fehlerrechnung unumgänglich. Vorsicht ist weiterhin bei Differenzen, Potenzprodukten, sowie physikalischen Gesetzmäßigkeiten die sich auf trigonometrische Funktionen stützen, geboten. Die Fehlerabschätzung/Fehlerrechnung soll aus physikalischen Überlegungen folgen und kann diese nicht ersetzen. In vielen Fällen ist es sinnvoll, statt einer sturen formalen Behandlung, zunächst physikalische und/oder formale Vorüberlegungen anzustellen. Im Folgenden soll das Vorgehen an konkreten Beispielen aus den Modulen des physikalischen Grundpraktikums illustriert werden. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-0

17 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten Es stehen drei Probekörper zur Verfügung: Ein Quader Ein Stab Ein Zylinder mit Innenbohrung Die Aufgabe des Versuchsteils ist es, die Dichte zu bestimmen, eine Fehlerrechnung durchzuführen und anhand des Ergebnisses festzustellen, ob die Körper aus dem gleichen Material gefertigt sind. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-1

18 Messschieber: Beispiel 1 Bestimmung von Dichten T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-

19 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten Messingquader Die Masse wird mit einer Feinwaage, die ängen mit dem Messschieber bestimmt: M B H M = ( ) g = ( ) mm H = ( ) mm B = ( ) mm M M H H B B M M H H 0.1 % 0.5% B B 0.17 % 0.5% T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-

20 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten M B H M M B B H H % g cm T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-4

21 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten Dichte eines Stabes Die Masse wird mit einer Feinwaage, der Durchmesser mit dem Messschieber und die änge mit einem ineal gemessen M = ( ) g = ( ) mm D = ( ) mm M V M D M M M D.4910 D D M M D 0.1% 0.5 % D 0.8% T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-5

22 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten M M D 4 D % Woraus für die Dichte des Stabes folgt: g cm T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-6

23 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten Dichte eines Zylinders mit Innenbohrung Die Masse wird mit einer Feinwaage gemessen, die Durchmesser und die ängen mit der Messschieber. Dabei sollten die Betreuer bei der Messung der Innenbohrung Hilfestellung leisten. M = ( ) g = ( ) mm D = ( ) mm l = ( ) mm d = ( ) mm M M 4 M V V - V D - ld 840. g cm Z B M M l l d d D D.5110 M M l l 0.14 % 0.5% d d 0.16 % 0.61% D D 0.5% T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-7

24 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten M M 4 M V V V D ld Z B 4 M M M D ld 4 D ld M 1 V M V M M Oder, statt stur den Formalismus anzuwerfen, denken wir kurz nach und finden Dies rechnet sich schneller und vor allen Dingen mit weniger Fehlern. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-8

25 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten M M 4 M V V V D ld Z 4 M D ld B 4 M D ld M D ld D 1 4 MD D ld D D ld T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-9

26 M D d l M D d l Beispiel 1 Bestimmung von Dichten Woraus für die Dichte des Messingkörper folgt: (8.40 M V 0.05) 8.40 g % cm V g cm Z g cm M V B 4 M D l d M l D d M D D ld d D ld dl D ld D D ld Dies ist das Ergebnis einer stur brute force durchgeführten Fehlerrechnung. Das Ergebnis ist völlig korrekt, aber es müssen viele Schritte durchgeführt werden, was Zeitaufwand und mögliche Fehlerquellen bedeutet. Geht es einfacher? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-0

27 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten M M 4 M V V V D ld Z Die Fehlerrechnung kann auch in mehreren Schritten durchgeführt werden: B Zunächst werden die Volumina V Z und V B sowie deren Fehler berechnet. Die Auswertegleichung für die Volumina der beiden Teilzylinder V i D ergibt folgende Werte für die Volumina V V D D V V Z B cm cm V cm V 001. cm Z B T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-1

28 Beispiel 1 Bestimmung von Dichten Der Volumen des Körpers sowie dessen Fehler ist dann: V V V 8.47 cm Z B Z B 0.05 V V V cm also V cm Danach erfolgt die Berechnung des Fehlers der Dichte: M V M M V V ( ) g cm Dies ist das gleiche Ergebnis, wie bei einer frontalen Fehlerrechnung, jedoch ohne langwierige echnungen mittels partieller Ableitungen erzielt. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-

29 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06- Beispiel Wheatstone sche Brücke Fehlerrechnung kann auch Bestandteil physikalischer Vorüberlegungen sein: U V S V 1 G A A A - 1 A A ) ( 1 V G G V V v und werden als fehlerfrei angenommen G V

30 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-4 Beispiel Wheatstone sche Brücke U V S V 1 G Was bringt eine Fehlerrechnung vor Beginn einer Messung? Bei welchem Wert von ist der Standardfehler minimal? G G V V 0 G Das heißt, bei einer Messung mit der Wheatstone schen Brücke erzielt man den kleinsten relativen Fehler, wenn man den Vergleichswiderstand v etwa gleich groß wählt wie den zu messenden Widerstand G, bzw. der Schleifer im abgeglichenen Zustand den Brückendraht halbiert.

31 Beispiel Wheatstone sche Brücke G V V Ist das zur Widerstandsmessung nicht völlig aus der Zeit? S 1 U Nicht im Ausschlagverfahren ganz im Gegenteil! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-5

32 Beispiel Bestimmung Federkonstante Welche Aussagen ermöglicht die Fehlerrechnung? Bestimmung der Federkonstanten nach der dynamischen Methode: D 0 mit mmg m m F T m D T 4 D m T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-6

33 Beispiel Bestimmung Federkonstante Messung: 10 Periodendauern Masse / g T 10 / s 54,7 5,5 74,7 6,7 104,7 7,8 14,7 8,4 154,7 10,1 174,7 10, 04,7 10,9 4,7 11,5 T 4 D m 0,1 g 0, s T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-7

34 Beispiel Bestimmung Federkonstante Messung: 10 Periodendauern T 4 D m Masse / g T 10 / s T/ s T /s 54,7 5,5 0,55 0,05 74,7 6,7 0,67 0, ,7 7,8 0,78 0, ,7 8,4 0,84 0, ,7 10,1 1,01 1, ,7 10, 1,0 1, ,7 10,9 1,09 1,1881 4,7 11,5 1,15 1,5 0,1 g 0, s 0,0 s T T T T T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-8

35 Beispiel Bestimmung Federkonstante 1,50 Schwingungsdauer über 10 Perioden gemittelt 1,00 T (s s ) 0,50 0, m (g) Der physikalische Zusammenhang ist bekannt! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-9

36 Beispiel Bestimmung Federkonstante 1,50 Schwingungsdauer über 10 Perioden gemittelt 1,00 T (s s ) 0,50 0, m (g) Systematischer Fehler? Grober Fehler? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-40

37 Beispiel Bestimmung Federkonstante Hypothese: Wir haben uns verzählt! 11 Schwingungen? T 4 D m Masse / g T 10 / s T/ s T /s 54,7 5,5 0,55 0,05 74,7 6,7 0,67 0, ,7 7,8 0,78 0, ,7 8,4 0,84 0, ,7 10,1 1,01 1, ,7 10, 1,0 1, ,7 10,9 1,09 1,1881 4,7 11,5 1,15 1,5 0,1 g 0, s 0,0 s T T T T T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-41

38 Beispiel Bestimmung Federkonstante Hypothese: Wir haben uns verzählt! T 4 D m Masse / g T 10 / s T/ s T /s 54,7 5,5 0,55 0,05 74,7 6,7 0,67 0, ,7 7,8 0,78 0, ,7 8,4 0,84 0, ,7 10,1 0,9 0, ,7 10, 1,0 1, ,7 10,9 1,09 1,1881 4,7 11,5 1,15 1,5 0,1 g 0, s 0,0 s T T T T T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-4

39 Beispiel Bestimmung Federkonstante T D 4 Best D m N 6,8 m 1,50 1,00 Schwingungsdauer über 10 Perioden gemittelt T (s s ) 0,50 0, m (g) Und der Fehler? Graphisch oder lineare egression T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-4

40 Beispiel 4 Brechungsgesetz uft n sin sin Glas Dies ist kein Potenzprodukt! n n n n n cos sin cos sin sin T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-44

41 Neue Übungsaufgabe T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-45

42 Übungsaufgabe Auf eine in einem sehr zähen Medium fallende Kugel mit dem adius r wirken drei Kräfte Die Gewichtskraft F G = 4/ r g Die Auftriebskraft F A = - 4/ r Fl g Die eibkraft nach Stokes F = - 6 r v Der Ansatz für die eibkraft gilt nur bei unendlich ausgedehnten Gefäßen (Bedingung H >> >> r ) Die Stokes-Beziehung gilt auch nur dann, wenn die eynoldszahl sehr klein gegen 1 ist T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-46

43 Übungsaufgabe Kraftansatz: m v F G F F A m v 4 / K g r 6 r v 4 / Fl g r Dies ist eine Differentialgleichung für v deren ösung ist: v v v v e wenn v 0 : o v v 1 e o t t Stationärer Zustand: 0 FG F FA T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-47

44 Übungsaufgabe Halten unsere Annahmen der Gauß schen Fehlerrechnung? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Gauß`sche Fehlerfortpflanzung, Beispiele Vorlesung 06-48