Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau
|
|
- Joseph Messner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1
2 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft die Form: Wenn, dann B. - als Formel: B Mathematischer Beweis - bzgl. eines vorgegebenen xiomensystems - mit Hilfe von Inferenzregeln 2
3 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Direkter Beweis: nnahme: gilt. Benutze, xiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. 3
4 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Direkter Beweis: nnahme: gilt. Benutze, xiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade. n ungerade n 2 ungerade. 4
5 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Direkter Beweis: nnahme: gilt. Benutze, xiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade. Beweis: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich n darstellen als n = 2k + 1, wobei k eine natürliche Zahl oder Null ist. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen Formel n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1. us der Möglichkeit, n 2 so darzustellen folgt, dass n 2 ungerade ist. 5
6 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass B falsch 6
7 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass B falsch Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl, so ist diese gerade. n gerade und n = k N k gerade Beweis durch Kontraposition: Zu zeigen: n = k N und k ungerade n ungerade. 7
8 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass B falsch Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl, so ist diese gerade. Beweis: ngenommen, n = k wäre ungerade. Dann ist wegen der bereits bewiesenen Behauptung auch k 2 = n ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass n gerade ist. lso ist die getroffene nnahme falsch, d.h., n ist gerade. 8
9 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen, die nicht die Form B haben - Äquivalenzbeweis ( B) ( genau dann, wenn B) Beweise dass B und dass B. (Wenn, dann B, und wenn B, dann.) 9
10 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr 10
11 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr Behauptung: Jede Primzahl p 3 hat die Form p = 4 k±1 mit einer natürlichen Zahl k. Beweis: Man unterscheidet folgende vier Fälle für die Zahl p, von denen immer genau einer eintritt: 1. p = 4k 2. p = 4k p = 4k p = 4k + 3 = 4(k + 1) 1 Im ersten dieser Fälle ist p durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist p durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl. lso muss einer der Fälle zwei oder vier eintreten, das heißt p hat die Form p = 4 k ± 1 mit einer natürlichen Zahl k. 11
12 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten Fälle sich nicht gegenseitig ausschließen müssen. 12
13 Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren x U : (p(x) q(x)) Wähle a beliebig aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Da a beliebig gewählt werden kann, folgt x U : p(x) q(x) 13
14 Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren x U : (p(x) q(x)) Wähle a beliebig aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Da a beliebig gewählt werden kann, folgt x U : p(x) q(x) Behauptung: n N : (n ist gerade und n ist eine natürliche Zahl {z } p(n) n ist gerade). {z } q(n) Beweis: Sei n beliebig aus N. Wir zeigen, dass wenn n gerade ist und n eine natürliche Zahl ist, dann n gerade ist (das wurde auf Seite 6 bewiesen). 14
15 Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren E x (p(x) q(x)) x Sei a ein geeignetes Element aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Damit folgt E y (x, y) E x U : p(x) q(x). 15
16 Grundlegende Beweisstrategien Beweise mittels Vollständiger Induktion 16
17 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik 17
18 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik Einfache Version Induktion über die natürlichen Zahlen N (natural induction) 18
19 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik Einfache Version Induktion über die natürlichen Zahlen N (natural induction) Generalization Noethersche Induktion (noetherian induction/ induction over well-founded partially ordered sets) 19
20 Emmy Noether Geboren 1882 in Erlangen Gestorben 1934 in Princeton (US) Mitbegründerin der modernen lgebra 20
21 Emmy Noether Geboren 1882 in Erlangen Gestorben 1934 in Princeton (US) Mitbegründerin der modernen lgebra llgemein heißt eine geordnete algebraische Struktur noethersch, wenn es in ihr keine unendlich absteigenden Ketten gibt. 21
22 Induktion über die natürlichen Zahlen Idee: Definition der natürlichen Zahlen (1) (2) (3) (4) (5) 0 ist eine natürliche Zahl Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger S(n) us S(n) = S(m) folgt n = m 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. 22
23 Induktion über die natürlichen Zahlen (5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. X Menge: Falls 0 X, und n N : n X n + 1 X so n N : n X 23
24 Induktion über die natürlichen Zahlen (5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. X Menge: Falls 0 X, und n N : n X n + 1 X so n N : n X Induktionssatz Gelten die beiden ussagen: - p(0) und - n N : p(n) p(n + 1), dann gilt auch n N : p(n). 24
25 Induktion über die natürlichen Zahlen (5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. X Menge: Falls 0 X, und n N : n X n + 1 X so n N : n X Induktionssatz Gelten die beiden ussagen: - p(0) und Induktionsbasis - n N : p(n) p(n + 1), Induktionsschritt dann gilt auch n N : p(n). 25
26 Induktion über die natürlichen Zahlen Struktur eines Induktionsbeweises (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsschritt: Beweise p(n) p(n + 1) für ein beliebiges n N 26
27 Induktion über die natürlichen Zahlen Struktur eines Induktionsbeweises (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n N gilt p(n) (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus der Induktionsvoraussetzung p(n) 27
28 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2. i=0 28
29 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2 n 1. X p(n) : (2i + 1) = n 2 i=0 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) n = 0: 0 = 0 2 i=0 29
30 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2 n 1. X p(n) : (2i + 1) = n 2 i=0 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) OK (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes i=0 n N gilt p(n): n 1 X (2i + 1) = n 2 i=0 30
31 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2 n 1. X p(n) : (2i + 1) = n 2 i=0 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) OK (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n 1 X n N gilt p(n): (2i + 1) = n 2 (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus p(n) nx p(n + 1) : (2i + 1) = (n + 1) 2. i=0 i=0 i=0 Beweis: nx Xn 1 (2i + 1) = ( (2i + 1)) + (2n + 1) p(n) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2. i=0 i=0 31
32 Verallgemeinerte vollständige Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). 32
33 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). Äquivalent Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : ( k N : (k < n + 1 p(k)) p(n + 1)) dann gilt die ussage n N : p(n). 33
34 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). Äquivalent Gilt die ussage: n N : ( dann gilt die ussage k N : (k < n p(k)) p(n)) n N : p(n). 34
35 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P nnahme: Q := ( n N : p(n)) E n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E 35
36 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P nnahme: Q := ( n N : p(n)) E n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E 36
37 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Verallgemeinerung - beliebige Menge statt N - < partielle Ordnung auf - < wohlfundiert (es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >... ) 37
38 Binäre Relationen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine Teilmenge von. R binäre Relation: R. Statt (x,y) R schreiben wir: R(x,y) oder xry. 38
39 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv: R ist transitiv: R ist antisymmetrisch x (xrx) x,y,z (xry yrz xrz) x,y (xry yrx x = y) 39
40 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv: R ist transitiv: R ist antisymmetrisch x (xrx) x,y,z (xry yrz xrz) x,y (xry yrx x = y) Dann heißt (,R) eine partiell geordnete Menge 40
41 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv: R ist transitiv: R ist antisymmetrisch Beispiele: (N, ) x (xrx) x,y,z (xry yrz xrz) x,y (xry yrx x = y) (,R), wobei = {0, a,b,1} und R = {(0,0),(0, a), (0,1),(a, a), (a, 1),(b,b),(b,1),(1, 1)} R partielle Ordnung: a und b in R unvergleichbar. 41
42 Totale Ordnungen Definition: Sei (, R) eine partiell geordnete Menge. R ist eine totale Ordnung gdw. R(x,y) oder R(y, x) für alle x,y. 42
43 Minimum Definition: Sei (, R) eine partiell geordnete Menge. Sei, und m. m ist ein Minimales Element von, gdw.: es gibt kein x mit x m,x m. 43
44 Minimum Definition: Sei (, R) eine partiell geordnete Menge. Sei, und m. m ist ein Minimales Element von, gdw.: es gibt kein x mit x m,x m. Beispiele: (N, ). Sei = {3,5,7,9} N. 3 ist ein Minimales Element von. Sei (,R) wobei = {a, b,c,d} und R = {(a, a), (a, b),(c,c),(c,b), (c,d),(e,e),(e,d),(b,b),(d, d)} Sei = {a, b,c}. hat zwei minimale Elemente: a und c. 44
45 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Definition: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) 45
46 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Definition: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) Definition (Noethersch / wohlfundiert) (, ) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.: Es gibt keine unendlich absteigende Kette in, das heißt: Es gibt keine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. 46
47 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Definition: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) Definition (Noethersch / wohlfundiert) (, ) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.: Es gibt keine unendlich absteigende Kette in, das heißt: Es gibt keine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. (Unendlich aufsteigende Ketten sind zulässig) 47
48 Beispiele (N, ) is wohlfundiert (Z, ) ist nicht wohlfundiert (0 { 1 n n N}, ) ist nicht wohlfundiert (R, ) ist nicht wohlfundiert 48
49 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. 49
50 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. Beweis: Statt P Q, beweisen wir Q P. Sei nicht-leere Teilmenge von, die kein minimales Element enthält. Sei x 1. Da x 1 nicht minimal ist, gibt es x 2 mit x 2 < x 1. Da x 2 nicht minimal ist, gibt es x 3 mit x 3 < x 2 < x 1. Wir können deswegen eine unendliche absteigende Kette von Elementen aus bilden, d.h. ist nicht noethersch. 50
51 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. Beweis: Statt P Q, beweisen wir wieder Q P. nnahme: (, ) ist nicht noethersch, d.h. es gibt eine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. Sei = {x i i N}. Wir zeigen, dass keinen minimalen Element hat: Sei a. Dann a = x i für einen i N. Dann ist x i+1 < a; deshalb kann a nicht minimal sein. 51
Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien: Noethersche Induktion 23.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesung 1. Grundlegende
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 2. Induktion Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Induktion Zentrale Rolle Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik
MehrFormale Logik. Logik für Informatiker. Modellierung. Logik in der Informatik. Viorica Sofronie-Stokkermans.
Formale Logik Logik für Informatiker Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de Ziel Formalisierung und utomatisierung rationalen Denkens Rational richtige bleitung von neuem Wissen aus
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien: Teil 2 22.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Dienstags: M 001.
Mehr1 Übersicht Induktion
Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender 0.11.01 (v1.3) 1 Übersicht Induktion 1.1 Allgemeines Unter einem induktiven Vorgehen versteht
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien: Teil 2 19.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Heute ist der letzte
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker
Vorkurs Mathematik für Informatiker 6. Ordnungsrelationen Thomas Huckle, Kilian Röhner Technische Universität München 9.10.2017 Graphen Graph besteht aus Knoten (Ecken) und Kanten (Verbindungen zwischen
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrKAPITEL 4. Posets Hasse Diagramm
KAPITEL 4 Posets Im Abschnitt über Relationen (1.4) wurde Eigenschaften von Relationen über einer einzigen Grundmenge X definiert. Mithilfe dieser Eigenschaften wurden z.b. Äquivalenzrelationen definiert.
MehrÜbungen zu Grundlagen der Theoretischen Informatik
Übungen zu Grundlagen der Theoretischen Informatik INSTITUT FÜR INFORMATIK UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU SS 2013 Lösungen 02 Aufgabe 1 Geben Sie einen regulären Ausdruck für die Sprache aller Wörter über
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
MehrGrundlagen: 1. Logik. Aussagen und Aussagenformen Wahrheitstabellen; Tautologien und Kontradiktionen Logische Äquivalenz. Prädikate und Quantoren
Zusammenfassung Grundlagen Logik, Mengen, Relationen, Folgen & Mengenfamilien, Kardinalitäten Techniken Mathematisches Beweisen, Induktion, Kombinatorische Beweise Strukturen Graphen 1 Grundlagen: 1. Logik
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 7 15.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung
MehrVollständige Induktion
30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,
MehrVollständige Induktion
30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche
MehrGrundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier
Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Grundlagen der Theoretischen Informatik, Fernau, Universität Trier, SoSe 2011 1/39 Grundlagen
Mehr2. Grundlagen. A) Mengen
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 5 A) Mengen 2. Grundlagen Eine Menge ist durch Angabe ihrer Elemente bestimmt. Man kann eine Menge aufzählend oder beschreibend definieren. Im ersten Falle werden
MehrDr. Regula Krapf Sommersemester Beweismethoden
Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 2018 Beweismethoden Aufgabe 1. Überlegen Sie sich folgende zwei Fragen: (1) Was ist ein Beweis? (2) Was ist die Funktion von Beweisen? Direkte Beweise
MehrMathematische Grundlagen
Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Mathematische Grundlagen Klausur Wintersemester 2015/16 16. März 2015 Name: Vorname: Matrikelnr.: Aufgabe 1 2 4 5 6 Summe Punkte 10 10 10 10 10 10 60 erreicht
Mehr6. Induktives Beweisen - Themenübersicht
6. Induktives Beweisen - Themenübersicht Ordnungsrelationen Partielle Ordnungen Quasiordnungen Totale Ordnungen Striktordnungen Ordnungen und Teilstrukturen Noethersche Induktion Anwendung: Terminierungsbeweise
MehrIndexmengen. Definition. n n n. i=1 A i := A 1... A n
Indexmengen Definition Es sei n N. Für Zahlen a 1,..., a n, Mengen M 1,..., M n und Aussagen A 1,..., A n definieren wir: n i=1 a i := a 1 +... + a n n i=1 a i := a 1... a n n i=1 M i := M 1... M n n i=1
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 6 25.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesungen Prädikatenlogik: Syntax Semantik
MehrLogik und Künstliche Intelligenz
Logik und Künstliche Intelligenz Kurze Zusammenfassung (Stand: 14. Januar 2010) Prof. Dr. V. Stahl Copyright 2007 by Volker Stahl. All rights reserved. V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 4 18.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesung Sematik: Σ-Strukturen = (U, (f : U
MehrDiskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 3: Beweisverfahren
FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM3 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kapitel 3: Beweisverfahren Meinel 3, 6, 7 Lang 4.1 (nur bis S. 43), 2.2
MehrGrundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie
Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie Sascha Trostorff 27. Oktober 2017 Inhaltsverzeichnis I. Einführung in die Mengenlehre 3 1. Grundlagen der Aussagenlogik 4 2. Naive Mengenlehre
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik Strukturelle Induktion Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 0 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 1:30-14:00 Uhr, o.n.v.
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Literatur zur Vorlesung Skriptum von U. Furbach Ulrich Furbach Logic for Computer Scientists http://userpages.uni-koblenz.de/
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen Dozentin: Wiebke Petersen 4. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 86 starke / schwache Ordnungen Eine Ordnung R einer Menge A ist
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Relationen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2013/2014 1/61 Anmerkung Änderung im Wintersemester 2013/2014:
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen Dozentin: Wiebke Petersen 4. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 89 starke / schwache Ordnungen Eine Ordnung R einer Menge A ist
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker
Vorkurs Mathematik für Informatiker 5. Relationen Thomas Huckle, Kilian Röhner Technische Universität München 9.10.2017 Relationen Mit Relationen können wir Beziehungen zwischen je zwei Dingen ausdrücken.
MehrVorkurs: Grundlagen für das Mathematikstudium. Caroline Uhler
Vorkurs: Grundlagen für das Mathematikstudium Caroline Uhler Inhaltsverzeichnis 1 Logische Grundbegriffe 3 2 Elementare Mengenlehre 5 3 Relationen und Abbildungen 8 3.1 Produkte......................................
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
MehrDe Morgan sche Regeln
De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 21: Relationen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
MehrIV Beweise in der Mathematik
Propädeutikum 018 0. September 018 Mathematische Texte enthalten verschiedene Bezeichnungen der Sinneinheiten. Bezeichnungen in mathematischen Texten Axiome elementare Grundaussagen; werden nicht bewiesen
Mehraus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!
Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch
MehrElementare Beweistechniken
Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und
MehrMengenlehre und vollständige Induktion
Fachschaft MathPhys Heidelberg Mengenlehre und vollständige Induktion Vladislav Olkhovskiy Vorkurs 018 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 Mengen.1 Grundbegriffe.................................. Kostruktionen
Mehr3 Vom Zählen zur Induktion
7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)
WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrMathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 4
Prof. Dr. Bernhard Steffen Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt
MehrVorkurs Beweisführung
Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7
MehrLineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10
Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige
Mehr1.2 Klassen und Mengen
14 1.2 Klassen und Mengen Als undefinierten Grundbegriff verwenden wir den Begriff der Klasse. Dieser ist allgemeiner als der Mengenbegriff und wird in der Algebra zur Definition sogenannter Kategorien
MehrMathematisches Argumentieren und Beweisen Beweisarten Besipiele. Hagen Knaf, WS 2014/15
Mathematisches Argumentieren und Beweisen Beweisarten Besipiele Hagen Knaf, WS 2014/15 Im Folgenden sind einige der in der Vorlesung besprochenen Beispielbeweise für die verschiedenen Beweisarten aufgeführt
MehrBrückenkurs Mathematik
Beweise und Beweisstrategien andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind
MehrBeweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2014
Vorkurs Informatik SoSe14 07. April 2014 Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle: http://www.nileguide.com Wozu Beweise in der
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrAufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den
Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht
MehrFormale Sprachen und Automaten
Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen
MehrFinden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass
Relationen Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze
MehrMathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 16. April 2013 Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen M 1,..., M n ist M 1 M n := {(x 1,..., x n )
MehrVorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion
Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten
MehrMathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 18.11.2004 Zur Wiederholung: Das Kartesische Produkt dient dem Ordnen von Mengen. A B = {(a, b) : a A, b B)} Spezialfall A = Äquivalenzrelation
MehrVorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September 2007
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Definition Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische)
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 7.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrBeweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2013
Vorkurs Informatik SoSe13 09. April 2013 Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe. 2 Das Programm führt zu keiner Endlosschleife. 3 Zur Lösung dieser
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Relationen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/77 Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen
Mehr4. Beweise 4.1: Beweisarten
4. Beweise 4.1: Beweisarten Hagen Knaf Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 1 Liste wichtiger Beweisarten 1. Direkter Beweis 2. Fallunterscheidung 3. Konstruktiver Beweis 4. Widerspruchsbeweis 5.
MehrVorkurs Mathematik - SoSe 2017
3 Vorkurs Mathematik - SoSe 2017 Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 2 Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die beiden Aussagen ( x : P(x)) ( x : Q(x)) und x : (P(x) Q(x)). nicht dasselbe ausdrücken. Wie sieht es
MehrInhalt Kapitel 3: Induktion und Termination
Inhalt Kapitel 3: Induktion und Termination 1 Wohlfundierte Relationen Ackermannfunktion 2 Untere Schranke für Türme von Hanoi Weitere Beispiele 52 Wohlfundierte Relationen Wohlfundierte Relationen Definition
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 1 25.04.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Grundlegende Beweisstrategien Induktion über
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mehr3. Relationen. 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen. Rolf Linn. 3.
3. Relationen 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen 3. Relationen GM 3-1 Wozu Relationen? Mathematik Theoretische Informatik Kryptographie
Mehr6. Rekursive Funktionen und Induktion
6. Rekursive Funktionen und Induktion 6.1 Rekursive Funktionen Definition rekursiver Funktionen Terminierung 6.2 Beweisen durch Induktion 6.3 Fundierte Relationen Maschinelles Beweisen mit PVS 6 1 6.1
MehrGrundbegriffe der Mathematik - Blatt 1, bis zum
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 1 bis zum 9.3.01 1. I.) Formalisieren Sie die folgenden Aussagen a) bis c) wie im folgenden Beispiel: Sei K ein Teilmenge der reellen Zahlen. Aussage: K ist genau dann
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2017
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe17 Ronja Düffel 22. März 2017 Logik und Beweise > Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Logik und Beweise
MehrRelationen und Funktionen
Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 018 Relationen und Funktionen Definition. Seien M und N Mengen. Eine Relation auf M N ist eine Teilmenge R M N. Falls (x,y) R, so schreibt man auch x
Mehr4.6 Beweistechniken Die meisten mathematischen Behauptungen sind von der Form
4.6 Beweistechniken Die meisten mathematischen Behauptungen sind von der Form A B bzw. (A 1 A k ) B. Um A B zu beweisen, können wir zeigen: 1 Unter der Annahme A können wir B zeigen (direkter Beweis).
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2015
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe15 Ronja Düffel 23. März 2015 Logik und Beweise > Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Logik und Beweise
MehrKapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254
Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt,
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Notation für Wörter w a is die Anzahl der Vorkommen von
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrVorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt
MehrAufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.
Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht
MehrVorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18
Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation
MehrKapitel 2. Induktion und Rekursion. 2.1 Induktion. Seien X und A Mengen und eine terminierende Relation. dass x X : x A gilt.
Kapitel 2 Induktion und Rekursion 2.1 Induktion Induktion ist eine wichtige technik. Leider wird Induktion oft so vermittelt, dass Anfänger zu dem Schluß kommen, Induktion wäre eine geheimnisvolle Angelegenheit.
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrLogik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz
Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz Andreas Maletti 12. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere
Mehr2 Mengen, Abbildungen und Relationen
Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl
MehrNatürliche Zahlen sind interessant
Natürliche Zahlen sind interessant N. N. Technische Universität München 16. September 2008 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik Übersicht 1 Interessante Zahlen
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 1-14. Sitzung Dennis Felsing dennis.felsing@student.kit.edu http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~ubcqr/2010w/tut gbi/ 2011-02-07 Äquivalenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe16 Ronja Düffel 21. März 2016 Logik und Beweise Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe.
MehrFolgen und endliche Summen
Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen
MehrERRATA. Übungsblatt 4a: Aufgabe 3 : Definition der Teilbarkeit (Skript S.62)
Logik und Beweise ERRATA Übungsblatt 4a: Aufgabe 3 : Definition der Teilbarkeit (Skript S.62) Aufgabe 5 : Beweise folgende Aussage: 25 ist keine Primzahl Tipp: Beweis durch Widerspruch Logik und Beweise
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2013/14 Relationalstrukturen 59 Definition Sei A eine nichtleere Menge, R ist eine k-stellige
MehrKombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 19
Kombinatorik Dr. Lucia Draque Penso Universität Ulm Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 19 Fünfzehnte Vorlesung Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 2 / 19 Definition
MehrVollständige Induktion
Kantonsschule Olten Hardwald 4600 Olten Vollständige Induktion Andreas Stoll Andreas Pulfer Erfänzungsfach Anwendungen der Mathematik (2017/18) 1 Beweisen 1.1 Axiome und Prämissen Bei einem Beweis wird
MehrLogik/Beweistechniken
Mathematikvorkurs bei Marcos Soriano Logik/Beweistechniken erstellt von: Daniel Edler -II- Inhaltsverzeichnis 1 Logik/Beweistechniken 1 1.1 Allgemeine Vorgehensweise......................... 1 2 Konjunktion/Disjunktion
MehrEine Relation R in einer Menge M ist eine Teilmenge von M x M. Statt (a,b) R schreibt man auch arb.
4. Relationen 4.1 Grundlegende Definitionen Relation R in einer Menge M: Beziehung zwischen je 2 Elementen von M. Beispiel
Mehr