Kubische und quartische Gleichungen:

Transkript

1 Kubische und quartische Gleichungen: Die ersten Mathematiker, die allgemeine Lösungswege für kubische und quartische Gleichungen gefunden haben, waren die italienischen Mathematiker der Renaissance (ca ). Ferro und Tartaglia hatten bereits Anfang des 16. Jhds Lösungen für kubische Gleichungen der Form x³+ax=b gefunden, hielten dieses Wissen aber geheim. Ein Meilenstein für die Algebra war dann 155 Cardanos Buch Ars Magna, in welchem er Tartaglias Lösungsformel veröffentlichte, welche als Cardanische Formel in die Geschichte einging. Diese Formel stieß aber an ihre Grenzen, da dadurch auch negative Radikanten von Quadratwurzeln (z.b.: 11) entstehen konnten (casus irreducibilis). Dies war die Geburtsstunde der komplexen Zahlen (siehe auch Seite 118)! Verstanden und akzeptiert wurden diese Zahlen, wie auch die negativen Zahlen und Viererpotenzen ( x ) allerdings noch lange nicht. Als einziger beschäftigte sich Bombelli intensiv mit der Lösung von komplexen Ausdrücken. Seine Ergebnisse veröffentlichte er 157 in seinem Buch L Algebra entwickelte Vieta auch einen Lösungsweg für die allgemeine kubische Gleichung ax³+bx²+cx+d=0. Schon 150 fand Ferrari einen Lösungsweg für allgemeine quartische Gleichungen ( x +ax³+bx²+cx+d=0). Da darin aber auch eine kubische Gleichung enthalten war, konnten quartische Gleichungen auch erst nach Entdeckung der Lösungen für kubische Gleichungen vollständig gelöst werden. Ende des 16. Jhds konnte man also schon allgemeine kubische und quartische Gleichungen berechnen; sogar mit komplexen Ausdrücken, auch wenn deren wirkliche Akzeptanz noch gute 00 Jahre dauerte. 1

2 Kubische Gleichungen: ax³+bx²+cx+d=0 Schon bekannte Lösungsmethode, die Cardanische Formel (siehe Seite 118): Für alle Gleichungen der Form: x³+ax=b (eigentlich für a>0, b>0) x= ³ b b² a³ Å Å + 7 ³ b b² a³ Å 7 Sonderfall: casus irreducibilis : Beim casus irreducibilis ist der Wert in einer Quadratwurzel negativ! Folge: Eine komplexe Zahl entsteht. (z.b. x ) Ein Beispiel: Wenn x³-15x= mit a=-15, b= Dann x= ³ x= ³ ² 15³ Å Å + ³ Å Å + ³ 7 x= ³ Å 15 + ³ 15 ² 15³ Å Å 7 x= ³ Å 11 + ³ 11 Ç Sackgasse : casus irreducibilis x= ³ Å 11² ( 1) + ³ 11² ( 1) x= ³ Å 11² ( 1) + ³ 11² ( 1) x= ³ Å11 i + ³ 11i Es entsteht eine negative Quadratwurzel (komplexe Zahl 11), der casus irreducibilis, der bei Cardano in eine Sackgasse führte, da er in diesem Fall nicht weiterrechnen konnte. Erst Bombelli beschäftigte sich konsequent mit diesen komplexen Ausdrücken und veröffentlichte 157 folgenden Lösungsweg im Buch L Algebra :

3 Frage: Wie lässt sich aus ( É11 i) die Kubikwurzel ziehen? Lösung: Der Radikant ( É11 i) muss in die Kubikform ( a É bi)³ Denn: ( a É bi) ³ Ñ ( a É bi) Unser Ziel ist also dies: ( É 11 i) = ( a É bi)³ gebracht werden! Nun müssen wir beide Seiten vergleichen, um herauszufinden, welche Werte die Unbekannten a und b haben. Fall plus : Wir setzen gleich: ( Å 11 i) = ( a Å bi)³ Ziel: Wir wollen die rechte Seite ( ( a Å bi)³ ) auch als einzelne komplexe Zahl schreiben: Wir multiplizieren aus: ( a Å bi)³ = a³ Å a² bi ab² b³ i Wir ordnen neu: = ( a³ ab²) Å (a² bi b³ i) Wir klammern i aus: = ( a³ ab²) Å (a² b b³ ) i Ç komplexe Zahl Diese Schreibweise entspricht ( Å 11 i) : =( + 11 ì) Ç komplexe Zahl Realteil + Imaginärteil ì Nun haben wir zwei komplexe Zahlen ( ( a³ ab²) Å (a² b b³ ) i ) und (+11 ì), deren reale und imaginäre Teile gleich sein sollen. Also können wir schon mehr über a und b sagen: Es gilt: ( a³ ab²) = Realteil Und: ( a² b b³) =11 Imaginärteil Beide Seiten kann man in je Faktoren zerlegen: a ( a² b²) = 1 (a ausklammern) Genauso: b ( a² b²) =11 1 (b ausklammern) Daraus folgt, dass entweder a= oder a=1 und dass entweder b=11 oder b=1 gilt. Fall a=) einsetzen in: a( a² b²) = (² b²) Ñ Ausmultiplizieren: 8 6 b² Ñ 8-6b²= -6 : ( 6) b²=1 b=1 Ç wahr, (da hier auch a=) Alle anderen Möglichkeiten erweisen sich beim Nachrechnen als falsch: 1 Im Fall a=1) ist b= Ç falsch (in a( a² b²) = eingesetzt) Im Fall b=1) ist a= Ç falsch (in b ( a ² b ²) =11 eingesetzt)

4 Im Fall b=11) ist a= 1 Ç falsch (in b( a² b²) =11 eingesetzt) Also gilt in diesem Fall nur a= und b=1 und nichts anderes! Jetzt können wir a= und b=1 einsetzen in ( a Å bi)³ : ( a Å bi)³ = ( Å 1 i) ³ = ( Å i)³ (was auch gleich ( Å11 i) ist!) Jetzt können wir ( Å11 i) durch ( Å i)³ ³ ( Å1 1 i) = ³ ( Å i)³ =(+i) (Kubikwurzel gezogen) ersetzen und endlich die Kubikwurzel ziehen: Auf dem gleichen Weg kommt man beim minus -Fall ( 11 i) = ( a bi)³ zur Lösung. Auch hier erhält man beim Nachrechnen a= und b=1 und somit gilt: ( a bi)³ = ( 1 i) ³ = ( i)³ (=( 11 i) ) und deshalb ist auch ³ ( 1 1 i) = ³ ( i)³ =(-i) (Kubikwurzel gezogen) Es gilt hier also allgemein: ³ ( É1 1 i) = ³ ( É i)³ =( É i) (Kubikwurzel gezogen) Damit können wir die kubische Gleichung x³-15x= leicht lösen! Mit der Cardanischen Formel hatten wir schon herausgefunden, dass x= ³ Å11 i + ³ 11i Und jetzt können wir die Radikanten ( É11 i) auch durch ( É i)³ ersetzen und davon die Kubikwurzel ziehen: x= ³ ( Å i)³ + ³ ( i)³ = ( Å i) + ( i) =(+)+(i-i)= Probe: x³-15x= und x= ³-15 = 6-60= = Ç wahr

5 Lösung für generelle kubische Gleichungen: ax³+bx²+cx+d=0 Die Cardanische Formel ist nur auf kubische Gleichungen ohne quadratischen Term anwendbar. (ax³+cx+d=0; bzw. als Standardform: x³+ax=b) Vieta zeigte 1591, dass die allgemeine kubische Gleichung (ax³+bx²+cx+d=0) immer auch in die spezielle Form (ax³+cx+d=0) ohne quadratischen Term umgewandelt werden kann. Diese ist dann auch wieder durch die Cardanische Formel lösbar! Eliminieren des quadratischen Terms: z³+cz²+dz+e=0 Zuerst ersetzt man z durch eine Unbekannte x mit einer Hilfszahl h: Substitution: z=x+h Einsetzen: (x+h)³ + c(x+h)² + d(x+h) + e=0 Ausmultiplizieren: (x³+x²h+xh²+h) + (cx²+cxh+ch²) + (dx+dh) +e=0 Hier gibt es aber immer noch quadratische Terme, außerdem stört die Unbekannte h. Dies kann durch eine weitere Substitution gelöst werden: c Substitution: h= in (x³+x²h+xh²+h) + (cx²+cxh+ch²) + (dx+dh) +e=0 Einsetzen: Ö Ö c Ü Ö c Ü Ö c Ü Ü Ö Ö c Ü Ö c Ü Ü Ö Ö c ÜÜ x³ Å x² Å x Å Å cx² Å cx Å c Å dx d Å e Ñ 0 à à à Å â ä â ä à à à â ä â ä â ä à â â ä àà ä â â ää Ausmultiplizieren: Ö Ö c x Ü Ö c Ü Ü Ö Ö c x Ü Ö c Ü Ü Ö Ö dc ÜÜ x³ cx² Å à à à Å cx² à Å à à Å dx- à e 0 â 9 ä 7 â 9 à Å Ñ â â ä ä â ä â ä ä â â ää Ordnen nach x: c x c x c c Ö Ö dc ÜÜ x³+ ( cx² cx² ) + ( )+( ) Å dx- àà e â â ää Å Ñ Zusammenfassen und kürzen: c x c x c c Ö Ö dc ÜÜ x³ + ( ) + ( ) Å dx- àà e â â ää Å Ñ 1 x³ + ( c x c x ) Å 7 c Ö dx- Ö dc ÜÜ Å àà â â ää Å e Ñ 0 Ergebnis: 1 x³ c x Å 7 c Å 1 dx- e 0 dc Å Ñ Man sieht, dass der quadratische x-term (bx²) eliminiert wurde. Diese Gleichung können wir nun in die Standardform (x³+ax=b) bringen und sie mit der Cardanischen Formel lösen. Dazu gruppieren wir erstmal alle Terme mit und ohne x: 5

6 1 x ³ + ( c x 1 1 Å dx) Å ( c - dc Å e) Ñ 0 ( c - dc Å e) 7 7 Wir klammern x aus und bringen alles ohne x auf die rechte Seite: 1 x ³ + ( c 1 Å d)x Ñ ( c - dc Å e) 7 Vergleiche: (x³ + ax = b) Ç Standardform für Cardanische Formel Jetzt haben wir eine lösbare kubische Gleichung mit: 1 a= ( d) c Å 1 b= ( c - dc Å e) 7 Die Variablen c, d und e sind bereits bekannt aus der ursprünglichen Gleichung (z³+cz²+dz+e=0). Also kann man jetzt a und b ausrechnen. Durch a und b wiederum kann man mit Hilfe der Cardanischen Formel x ausrechnen: x³ + ax = b und x= ³ b b² a³ Å Å + ³ 7 b ² ³ b Å a 7 Jetzt haben wir die substituierte kubische Gleichung (x³+ax=b) gelöst und kennen x. Die eigentliche allgemeine Gleichung lautete aber: z³+cz²+dz+e=0 Die gesuchte Unbekannte ist hier z. Was wissen wir über z? z=x+h (Substitution) x kennen wir bereits. Jetzt fehlt uns nur noch h. Was ist h? c h= c Also: z=x+ Jetzt können wir endlich auch z ausrechnen und haben somit auch einen Lösungsweg für allgemeine kubische Gleichungen der Form z³+cz²+dz+e=0. Ein Beispiel: z³+z²-6z-6=0 Gesucht ist z. Gegeben ist c=, d= -6 und e= -6 Damit können wir erstmal a und b ausrechnen: 1 a= ( d) c Å = ² 6 Ñ 6 Ñ 9 6

7 1 ³ ( 6) 7 b= ( c - dc Å e)= Å Å 6 Ñ 6 Å 6 Ñ Å 0 Ñ a= -9 und b=8 Mit a und b können wir wiederum x ausrechnen (Cardanische Formel): x= ³ = ³ b b² a³ Å Å + ³ 7 8 8² ( 9)³ Å Å + ³ = ³ 1 Å + ³ 1 7 b ² ³ b Å a 7 8 8² ( 9)³ Å = ³ 1 Å ³ = ³ 1 Å ³ = ³ 1 Å 1 + ³ 1 1 = ³ 7 + ³ 1 = + 1= x= Gesucht war z. Es gilt: z=x+h c h= = = -1 h= -1 Jetzt können wir endlich z ausrechnen und somit die Beispielgleichung endgültig lösen. z=x+h=-1= z= (für z³+z²-6z-6=0) Probe: ³ Å ² 6 6 Ñ =0 5-5=0 0=0 Ç wahr Nach diesem Verfahren können wir jetzt alle allgemeinen kubischen Gleichungen lösen, sogar bei komplexen Zahlen (casus irreducibilis)! Vieta entwickelte damals auch noch einen einfacheren Lösungsweg für die spezielle Form x³+ax=b (siehe Seite 15). Diese Vereinfachung galt somit aber nur für durch teilbare a- Terme und wenn b eine gerade Zahl ist (z.b.: x³+9x=) kam auch Huygens auf anderem Rechenweg auch zu einer Lösungsformel für kubische Gleichungen, die aber eigentlich mit der Cardanischen Formel identisch war. 7

8 Quartische Gleichungen: x +ax³+bx²+cx+d=0 Bereits 150 entwickelte Cardanos Schüler Ferrari auch einen Lösungsweg für allgemeine quartische Gleichungen der Form: z Å az Å bz Å cz Å d Ñ 0 (Gegeben sind: a, b, c und d; gesucht ist z.) Zunächst eliminierte er den kubischen Term ( az ) durch Substitution: a z Ñ x Einsetzen: Ö a Ü Ö a Ü Ö a Ü Ö a Ü x a x b x c x d 0 à Å à Å à Å à Å Ñ â ä â ä â ä â ä Ausmultiplizieren: ã å ç x x a Å x a x a Å x a xa Å a x xa Å a è é ê + ã å ç ax a x x a Å a x a è 16 6 é ê + ã 1 1 å ç bx abx Å a b è 16 é ê + ã 1 å ç cx ac è é ê +d=0 Terme ordnen: x Å ( x a x a Å ax ) Å ( x a Å x a Å a x a x a x ) Å ( xa xa Å a x) Å( a a ) bx abx Å a b + cx ac +d=0 16 Alle Terme zusammenfassen: x a x a + bx abx Å a b + cx ac +d= Alle Terme von x sind jetzt schon mal eliminiert! Jetzt müssen wir die Gleichung noch nach Potenzen von x sortieren, um wieder eine übersichtliche Form zu haben x Å ( ) ( ) ( d) 0 8 a x Å bx Å abx Å c x Å ac Å a b a Å Ñ x² und x ausklammern: x Å ( a Å b) x Å ( ab Å c) x Å ( ac Å a b a Å d) Ñ Vergleiche: x + px² + qx + r =0 8

9 Unser erstes Ziel ist nun erreicht. Wir haben den kubischen Term eliminiert und eine Gleichung der Form x +px²+qx+r=0 erreicht. p, q und r sind hier auch eindeutig bestimmbar: p Ñ a Å b 8 q= 1 ab Å c 1 1 r= ac Å a b a Å d Die Werte von a, b, c und d sind bereits in der ursprünglichen Gleichung gegeben gewesen. Diese vereinfachte quartische Form ( x +px²+qx+r=0 ) war so aber leider auch noch nicht lösbar. Wie findet man hier x? Ferrari ging so vor: Ausgehend von x +px²+qx+r=0 versuchte er erstmal, alles in Quadratform (hoch ) zu bringen. Dazu ordnete er die Seiten der Gleichung neu an und fügte auf beiden Seiten ( px Å p ) hinzu: x +px²+qx+r=0 x Å px Ñ qx r -qx-r Å px Å p L.S. x Å px Å p Ñ qx r Å px Å p R.S. Auf der linken Seite hat er so schon mal ein Quadrat gefunden: L.S.: x px p Å Å =ë x Å pí Die rechte Seite ist so aber noch kein Quadrat. Um das Problem zu lösen, erweiterte Ferrari die ganze Gleichung noch einmal: x Å px Å p Ñ qx r Å px Å p Å yx Å yp Å y (Das y ist eine Unbekannte, die wir später noch näher bestimmen müssen.) x Å px Å p Å yx Å yp Å y Ñ qx r Å px Å p Å yx Å yp Å y Die linke Seite kann man dann auch wieder als Quadrat ausdrücken: L.S.: x px Å p Å yx Å yp Å y Å =ë x Å p Å yí Aus der rechten Seite muss man jetzt aber auch noch ein Quadrat konstruieren: R.S.: qx r Å px Å p Å yx Å yp Å y Erstmal ordnet man dazu nach x und x²: ( px Å yx ) qx Å ( r Å p Å yp Å y ) x² ausklammern: ( p Å y) x qx Å ( r Å p Å yp Å y ) Ziel ist wie gesagt, die gesamte rechte Seite als Quadrat zu schreiben. Die angestrebte Form lautet hier: (ax-b)²=a²x²-abx+b² (Binomische Formel) 9

10 Vergleichen wir die rechte Seite einmal mit dieser binomischen Form: a² x² -abx +b² ( p Å y) x qx Å ( r Å p Å yp Å y ) Wir sehen: x² und x sind schon mal in beidem enthalten. Was sehen wir noch? ( p Å y) soll a² entsprechen: ( p Å y) = a² q soll ab entsprechen: q =ab ( r p yp y ) Å Å Å soll b² entsprechen: ( r p yp y ) Å Å Å = b² Und wie können nun ( p Å y) und ( r Å p Å yp Å y ) Quadrate sein? Ferrari wandte jetzt einen Trick an. Er schrieb die einzelnen Ausdrücke als Quadrat, indem er gleichzeitig auch die Wurzel davon zog ( Beispiel: = Also kann man durch = = = ( p Å y) = ( p Å y) = a² Wurzel gezogen: ( É) p Å y =a ( r p yp y ) auch schreiben: Å Å Å = ( r Å p Å yp Å y ) = b² ). Dies ist also neutral! Wurzel gezogen: ( É) r Å p Å yp Å y =b Nun wissen wir schon mal was a und b sind und können endlich auch beide Seiten in Quadratform schreiben: L.S. ë x p yí Å Å = ( p Å y x Bleibt noch q. Was wissen wir über q? q=ab= p Å y r Å p Å yp Å y r Å p Å yp Å y )² R.S. Wichtig für die Lösung der gesamten Aufgabe ist diese Gleichung: q= p Å y r Å p Å yp Å y Da wir die Werte für p, q und r bereits von vorher kennen, haben wir hier eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, nämlich y. Gesucht ist y. Gegeben sind: p Ñ a Å b 8 q= 1 ab Å c 1 1 r= ac Å a b a Å d Schauen wir uns die Gleichung einmal genauer an und lösen nach y auf: 10

11 q Ñ p Å y r Å p Å yp Å y ë í q² Ñ ( p Å y) ( r Å p Å yp Å y ) ì q² Ñ ( p Å y) ( r Å p Å yp Å y ) Ausmultiplizieren und zusammenfassen: q² Ñ p³ Å yp² Å 5 y² p Å y³ yr pr Nach y sortieren: q² q² Ñ y³ Å 5 y² p Å ( yp² yr) Å ( p³ pr) Alles auf eine Seite bringen und y ausklammern: q² 0= y³ Å 5 y² p Å ( p² r) y Å ( p³ pr ) ì q² 0= y³ Å y² p Å ( p² r) y Å ( p³ pr ) 8 Und siehe da, wir haben hier eine allgemeine kubische Gleichung, welche wir lösen können! (Erst y² eliminieren durch Substitution, dann y mit Cardanischer Formel herausfinden.) Da wir nun y ausgerechnet haben, haben wir somit auch die Mittel, das unbekannte x der Zwischen-Form x +px²+qx+r=0 zu finden. Dazu müssen wir y, p und r in die Formel ë x p y í Å Å = ( p Å y x r Å p Å yp Å y )² einsetzen und können die einzige Unbekannte x ausrechnen (Wurzel ziehen; alles auf eine Seite bringen; quadratische Gleichung mit pq-formel lösen). So haben wir endlich auch einen Wert für x. Ursprünglich gegeben war aber die Formel z Å az Å bz Å cz Å d Ñ 0, in welcher z gesucht war. Was war z noch mal? a z Ñ x x haben wir errechnet, a war schon gegeben. Also haben wir jetzt eine Lösung für z! Fertig! Nun können wir auf Basis der Lösungswege kubischer Gleichungen auch allgemeine quartische Gleichungen lösen. Heureka! 11