Gleichungssysteme ersten Grades lösen

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1 Gleichungssysteme ersten Grades lösen Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Einsetzungsmethode 18=10a + b 2=0a + b Durch Isolieren von b in der ersten Gleichung ergibt sich b =18 10a. b wird nun in der zweiten Gleichung durch die rechte Seite von b =18 10a ersetzt: 2 = 0a +(1810a) =20a +18= 2 18 =0.25 = a 20 = b = = 15.5 Gleichsetzungsmethode In allen Gleichungen nach einer Variable auflösen,z.b.nachb : b =18 10a b =2 0a Die rechten Seiten dieser Gleichungen gleichsetzen: b = = a =20a = 20a =5= a = 5 =0.25 = 20 Additionsmethode Man multipliziert die erste Gleichung mit 1 addiert sie zur zweiten (die erste lässt man sonst unverändert): 18=10a + b 5=20a denn (1) = 5 (1) (10a + b)+0a + b =20a. Man multipliziert die zweite Gleichung mit 1 20 erhält: 18=10a + b 5 20 = a Man multipliziert die zweite Gleichung mit 10 addiert diese zur ersten (man lässt die zweite sonst unverändert): denn (10) = =b 1 4 = a =15. 5 (10) (a)+10a + b = b. 1

2 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten a = ,b= 945,c= Einsetzungsmethode c =6 25a 5b = 6=25a +5b + c 9=64a +8b + c 7 = 2500a +50b + c 9=64a +8b +(625a 5b) 7 = 2500a +50b +(625a 5b) 64a +8b +(6 25a 5b) =9a +b a +50b +6 25a 5b = 2475a +45b +6= 9=9a +b +6 7 = 2475a +45b +6 Mit Einsetzungsmethode für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten weiterfahren, d.h. eine der Variablen in einer Gleichung isolieren in der anderen Gleichung ersetzen. Gleichsetzungsmethode c =625a 5b c =964a 8b c =72500a 50b Man wählt zwei mal zwei Paare von Gleichungen - alle Gleichungen müssen verwendet werden - setzt gleich (z.b oder ) 6 25a 5b =964a 8b 9 64a 8b =72500a 50b Man vereinfacht fährt mit Gleichsetzungsmethode mit zwei Unbekannten fort. Additionsmethode Man multipliziert die erste Gleichung mit 1 addiert diese zu den beiden anderen Gleichungen: 6=25a +5b + c =9a +b 1 = 2475a +45b denn 1 6+9=1 (25a +5b + c)+64a +8b + c =9a +b 1 6+7=1 1(25a +5b + c) a +50b + c = 2475a +45b 2

3 Man multipliziert die zweite Gleichung mit 5 addiert zur ersten: =9a +b 1 = 2475a +45b denn 5 +6=15 (9a +b)+25a +5b + c = c 40a. Man kann die zweite Gleichung mit 1 multiplizieren: 1=1a + b 1 = 2475a +45b dann die zweite Gleichung mit 1 45 multiplizieren zur dritten addieren: 1=1a + b 44 = 0a denn =44 45 (1a + b) a +45b = 0a Man multipliziert die dritte Gleichung mit 1 0 addiert sie zur zweiten: = b 44 = 0a denn = (0a)+1a + b = b. 40 Man multipliziert die dritte Gleichung mit 0 addiert zur ersten: 1 = c = b 44 = 0a denn = 0 (0a)+40a + c = c Man multipliziert die dritte Zeile mit 1 0 erhält: 1 = c = b = a Vier Gleichungen mit vier Unbekannten [ a = ,b= = 125a +25b +5c + d 9 = 512a +64b +8c + d 7 = a b +50c + d 0 = a b + 100c + d ] 44 9,d= 82 59,c=

4 Einsetzungsmethode d =6125a 25b 5c = 9 = 512a +64b +8c +(6125a 25b 5c) 7 = a b +50c +(6125a 25b 5c) 0 = a b + 100c +(6125a 25b 5c) Vereinfachen Einsetzungsmethode für drei Gleichungen mit drei Unbekannten anwenden. Gleichsetzungsmethode: d =6125a 25b 5c d =9 (512a +64b +8c) d =7 (125000a b +50c) d =0 ( a b + 100c) Drei Paare von Gleichungen gleichsetzen (alle verwenden!), z.b a 25b 5c =9 (512a +64b +8c) 9 (512a +64b +8c) =7 (125000a b +50c) 7 (125000a b +50c) =0 ( a b + 100c) Vereinfachen Gleichsetzungsmethode für drei Gleichungen mit drei Unbekannten anwenden. Additionsmethode 6 = 125a +25b +5c + d 9 = 512a +64b +8c + d 7 = a b +50c + d 0 = a b + 100c + d Man multipliziert die erste Zeile mit 1 addiert sie zu den anderen Zeilen: 6 = 125a +25b +5c + d = 87a +9b +c 1 = a b +45c 24 = a b +95c denn 1 6+9=1 (125a +25b +5c + d) + 512a +64b +8c + d = 87a +9b +c = 1 1 (125a +25b +5c + d) a b +50c + d = a b +45c = 24 1 (125a +25b +5c + d) a+10000b+100c+d = a+9975b+95c. Man multipliziert die zweite Zeile mit 5 addiert sie zur ersten Zeile: 1=d40b 520a = 87a +9b +c 1 = a b +45c 24 = a b +95c 4

5 denn =1 (87a +9b +c) + 125a +25b +5c + d = d 40b 520a. Man multipliziert die zweite Zeile mit 45 addiert sie zur dritten Zeile: 1=d40b 520a = 87a +9b +c 44 = a + 0b 24 = a b +95c denn =44 (87a +9b +c) a b +45c = a + 0b. Man multipliziert die zweite Zeile mit 95 addiert sie zur vierten Zeile: 1=d40b 520a = 87a +9b +c 44 = a + 0b 71 = a b denn () + 24 = 71 (87a +9b +c) a b +95c = a b. 40 Man multipliziert die dritte Zeile mit 0 addiert sie zur ersten Zeile 1 = 2000a + d = 87a +9b +c 44 = a + 0b 71 = a b denn = 0 ( a + 0b)+d 40b 520a = 2000a + d. Man multipliziert die dritte Zeile mit 9 0 addiert sie zur zweiten Zeile: 1 = 2000a + d 121 =c2070a = a + 0b 71 = a b denn = 15 0 ( a + 0b) + 87a +9b +c =c2070a. Man multipliziert die dritte Zeile mit addierte sie zur vierten: 1 = 2000a + d 121 =c2070a = a + 0b = a denn = Man multipliziert die vierte Gleichung mit ( a + 0b) a b = a. addiert sie zur ersten: = d 121 =c2070a = a + 0b = a 5

6 denn = Man multipliziert die vierte Gleichung mit (47 000a) a + d = d. addiert sie zur zweiten: = d =c 44 = a + 0b = a denn = Man multipliziert die vierte Gleichung mit = d =c (47 000a)+c 2070a =c. addiert sie zur dritten: = 0b denn = Man multipliziert die zweite Gleichung mit 1 erhält das Resultat: a = ,b= ,c= ,d= = a (47 000a) a + 0b = 0b. 1, die zweite durch 0 die dritte mit Bemerkung 1 Zum Rechnen von Hand ist die Einsetzungsmethode vermutlich die sicherste. Man kann die Methoden auch mischen, wenn man sieht, dass man mir irgend einer Methode gut vereinfachen kann. Die Additionsmethode ist für Gleichungssysteme mit mehr als 2 Unbekannten sehr anfällig auf menschliche Fehler. 6