Sinus und Cosinus. Ich kann zu vorgegebenen Daten eine Sinusfunktion entwickeln, die diese Daten näherungsweise beschreibt.
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- Kurt Fried
- vor 7 Jahren
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1 Checkliste Sinus und Cosinus Ich kann Winkel in Grad und in Vielfachen von am Einheitskreis veranschaulichen. Ich kann in einem rechtwinkligen Dreieck die Sinus und Cosinuswerte eines Winkels durch die Seitenlängen berechnen. 3 Ich kann mithilfe von Sinus und Cosinus fehlende Dreieckgrößen berechnen. 4 Ich kann Sinus und Cosinus Werte am Einheitskreis veranschaulichen. 5 Ich kann für eine Sinusfunktion eine günstig gewählte Wertetabelle anlegen. 6 Ich kann Sinusfunktionen grafisch und mithilfe einer Tabelle addieren oder subtrahieren. 7 Ich kann Funktionen grafisch und mithilfe einer Tabelle addieren oder subtrahieren. 8 Ich kann eine Sinusfunktion stauchen und strecken und einen passenden Funktionsterm angeben. 9 Ich kann eine Sinusfunktion verschieben und einen passenden Funktionsterm angeben. 0 Ich kann zu vorgegebenen Daten eine Sinusfunktion entwickeln, die diese Daten näherungsweise beschreibt. Übungen Zu ) Veranschauliche in einem Einheitskreis folgende Winkel: 45, 0, 35,,, 8, 7 4 A B C Zu ) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck (ABC mit rechtem Winkel in C) und berechne die Sinus und Cosinuswerte der an der Hypothenuse anliegenden Winkel. Berechne anschließend auch die Winkelgröße. Überprüfe die Winkelgröße durch Nachmessen. a) a=3, b=4 b) b=, c=3 Zu 3) Berechne in einem Dreieck die fehlenden Seitenlängen und Winkel. Fertige dazu vorher eine Skizze an mit: =90, a=4 cm, b=6 cm. Ein 40 Meter langes Seil ist an einer Hauswand befestigt. Es trifft in einem Winkel von 38 auf den Erdboden. Berechne, in welcher Höhe das Seil befestigt wurde. Fertige dazu eine Skizze an. Zu 4) Veranschauliche am Einheitskreis, wie man bei einem Dreieck mit der Hypotenusenlänge die Sinus und Cosinus Werte messen kann.
2 Zu 5) Gegeben ist eine Sinusfunktion.. Bei welchem x Wert ist eine Schwingung der Sinusfunktion (Periode) vollendet? Bei Sinusfunktionen der Form sin x ist die Periodenlänge ein Anteil oder Vielfaches von. Bei Sinusfunktionen der Form sin x ist die Periodenlänge eine rationale Zahl.. Ausgehend von der Periodenlänge teilt man diese in gleichgroße Abschnitte. Gut sind 8 tel Schritte. Beispiel Die Periodenlänge der Sinusfunktion f x =sin 4 x beträgt 0,5. Für die Wertetabelle wählt man also einen Bereich von 0 bis 0,5 und teilt diesen in acht gleichgroße Abschnitte. 0, 6, 6,,7 6, Aufgaben 8 =0,5. Für diese Werte berechnet man nun die Wertetabelle. 6 Erstelle eine Wertetabelle für f x =sin x und g x =sin x. Zeichne beide Funktionen in getrennte Koordinatensysteme. Wähle eine günstige Skalierung. Zu 6) Addiere folgende Funktionen tabellarisch und grafisch und zeichne den resultierenden Graphen. f x =sin 3 x und g x =sin x. Mache dir vorher Gedanken über eine passende Einteilung für Wertetabelle und die Achsen und begründe deine Entscheidung. Zu 7) Addiere folgende Funktionen tabellarisch und grafisch und zeichne den resultierenden Graphen. f x =sin x und g x =0,5 x. Mache dir vorher Gedanken über eine passende Einteilung für Wertetabelle und die Achsen und begründe deine Entscheidung. Zu 8) Bilde ausgehend von der Funktion s x = sin x weitere Funktionsterme, die folgende Eigenschaften erfüllen:. Die Amplitude der neuen Funktion ist 3 mal so groß.. Die neue Funktion schwingt genau entgegengesetzt. 3. Die Periode der neuen Funktion ist halb so lang. 4. Die Amplitude der neuen Funktion ist 4 mail so klein und die Periode doppelt so lang. Zu 9) Verschiebe die Funktion f x =sin x. um 3 Einheiten nach oben, bzw. unten.. um 0,5 nach rechts. 3. um 0,5 nach links. Zu 0) Pegelort: Bremerhaven, Alter Leuchtturm, Datum: Mo Zeit 03:5:00 0:5:00 6:0:00 :39:00 Wasserstand (m) HW 4,5 NW 0,4 HW 4,8 NW 0,4 Entwickle eine Funktion, die näherungsweise die obigen Tidenstände modelliert. Begründe deine Lösungsweg und deine Lösungsschritte.
3 Ermittle mit deiner Funktion die Tidenstände um 9:00 Uhr und 8:00 Uhr. Lösungen Zu ) Zu 3) Zu ) a) c = a b =5 Für =90, a=4 cm, b=6 cm ist c 7, cm und sin =cos = a c = 3 5 =0,6 sin =cos = b c = 4 5 =0,8 b) a = c b =5 sin =cos = a c = 5 3 0,385 sin =cos = b c = 3 0,93 und damit =sin 5 9 0,589=33,7, =cos 5 0,98=56, 9 Skizze erstellt? Taschenrechner im DEG Modus? Der Berührpunkt von Boden und Wand ist C. Dort ist auch der 90 Winkel. Der Schnittwinkel des Seils mit dem Boden ist dann. Aus sin = b c b=c sin =40 m sin m 0,66= 4,64 m Das Seil ist in 4,64 Metern Höhe befestigt. Zu 4) Man zeichnet im Einheitskreis einen Winkel mit dem Mittelpunkt als Scheitelpunkt ein. Von dem Schnittpunkt eines Schenkels mit dem Kreis fällt man das Lot auf den zweiten Schenkel. Die Länge der Lotlinie ist der Sinuswert des Mittelpunktwinkels, wobei das Vorzeichen noch bestimmt werden muss. Ist der Winkel zwischen und groß, ist der Sinus negativ. Der Cosinuswert ist die Länge vom Kreismittelpunkt bis zum Lotfußpunkt. Hier gilt ein negatives Vorziechen für Winkel zwischen und 3. Zu 5) erhält man f x =sin x. Periodenlänge ist 4 x 0 0,5,5,5 3 3,5 4 f x 0 0,7 0,7 0 0,7 0,7 0 Skalierung: Kästchen entsprechen 0,5 Längeneinheiten. g x =sin x. Periodenlänge ist.
4 4 x f x 0 0,7 0,7 0 0,7 0,7 0 Skalierung: Kästchen entsprechen 8 Längeneinheiten. Zu 6) f x =sin x g x =0,5sin 4 x Die kürzeste Periode ist bei g x. Sie beträgt 0,5. Als Schritte für die Wertetabelle wählt man bevorzugt eine Schrittweite von 0,5 8= 6. Das wird auch die Skalierung der x Achse. Zu 7) x -,50 -,000-0,750-0,500-0,50 0,000 0,50 0,500 0,750,000,50 f(x) -,000 -,000 0,000 -,000 -,000 -,000 0,000 -,000 -,000 -,000 0,000 g(x) 0,78 0,500 0,8 0,5 0,03 0,000 0,03 0,5 0,8 0,500 0,78 f(x)+g(x) -,9-0,500 0,8-0,875 -,969 -,000 0,03-0,875 -,79-0,500 0,78 Die Sinusfunktion hat eine Periode von und einen (y )Wertebereich von bis 0. Die andere Funktion ist eine Parabel. Um alle Maximalausschläge der Sinusfunktion zu berücksichtigen wähle man eine Schrittweite von 0,5. Die Summe beider Funktionswerte trägt man schließlich in ein Koordinatensystem ein. Zu 8). s x =3 sin x =6sin x. s x = sin x 3. s 3 x = sin x 4. s 4 x = sin x
5 Zu 9). f x =sin x ±3. f x =sin x 0,5 3. f 3 x =sin x 0,5 Zu 0) Zunächst einmal sollte man sich überlegen in welchen Einheiten man rechnen möchte und eine Skizze anfertigen. Hinderlich ist die Zeitangabe in Stunden:Minuten:Sekunden. Man kann z.b. alles in Minuten angeben. Ziel ist eine Sinusfunktion, die in Abhängigkeit der Minuten den Wasserstand angibt, also w t =a sin b t c d, wobei a, b, c und d noch zu bestimmende Parameter sind. a ist die Amplitude, also der Unterschied zwischen Hoch und Niedrigwasser. Da dieser Unterschied nicht konstant ist, muss man sich entscheiden, welche Werte man berücksichtigt. Ich habe mich für die Berücksichtigung aller Werte entschieden und bilde dazu das Mittel von den Differenzen 4, und 4,4: 4, 4,4 = 4,5. Die normale Sinusfunktion hat eine Amplitude von, unsere Zielfunktion braucht eine Amplitude von 4,5. Daher ist a = 4,5. b ist die Periodenlänge. Auch diese ist hier unterschiedlich. Ich entscheide mich, die Werte zu mitteln. Abstand HW HW: 96 3 =79 min, Abstand NW NW: =744 min. Das Mittel: =736,5 min. Die Periode der Sinusfunktion beträgt. Die Periode der Zielfunktion so.. 736,5 betragen, daher ist b = 736,5. d ist die Verschiebung in y Richtung. Die Verschiebung ist die mittlere Pegelhöhe, also bei Berücksichtigung aller Werte: 4,5 0,4 4,8 0,4 =,55=d. 4 Und nun kommt das, was im Unterricht kaum besprochen wurde, was ich auch nicht erwarte, mich aber freue, wenn es jemand schafft die Verschiebung in x Richtung. Das ist c. Wie weit muss verschoben werden? Unsere Periodenlänge beträgt 736,5. Nach einem Viertel dieser Periode ist der erste Maxmalwert erreicht, also nach 84,5. In den Messwerten ist der erste Maximalwert aber erst bei 3 zu finden, also 47,875 Minuten späten. Die Funktion muss also um 47,875 nach rechts verschoben werden. Damit ist c=47,875 und eine mögliche gesuchte Funktion ist: w t = 4,5 sin 736,5 t 47,875,55. Zeit [min] Pegel [m] 4,5 0,4 4,8 0,4
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