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1 1 Von Test zu Test 2 Arbeitsblatt 1. Ein FDP-Kandidat behauptet, dass 10% oder mehr Wahlberechtigten seines Stimmkreises FDP wählen würden. Zur Überprüfung befragt die Partei 200 Wahlberechtigte des Stimmkreises. Wenn mehr als 14 der Befragten FDP wählen würden, dann wird dem Kandidaten respektvoll zugestimmt. Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit dafür, dass die Aussage des Kandidaten irrtümlich abgelehnt wird. 2. Ein Knallkörperproduzent garantiert 98% Funktionstüchtigkeit seiner Produkte. Der Käufer untersucht 20 Knallkörper. Wenn 19 oder mehr in Ordnung sind, dann wird die Lieferung akzeptiert. Berechnen Sie die die Fehlerwahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung der Knallkörper bei diesem Test. 3. Ein Hersteller behauptet, dass höchstens 2% seiner gelieferten Bauteile defekt sind. Dafür wird ein Stichprobe mit 100 Bauteilen durchgeführt. Wenn 4 Bauteile oder weniger defekt sind, dann wird dem Hersteller geglaubt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass tatsächlich 10% der Bauteile defekt sind und die Lieferung trotzdem akzeptiert wird? 4. (Abitur 2006) Das Kopiergerät wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftragte Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 4 % beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5 % (Fehler 1. Art α 5%) zu testen, werden 200 Kopien angefertigt. Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel. 5. (Abitur 2007) Die Vorsitzende des Fördervereins möchte der Schule einen neuen Schulgarten aus den Mitteln des Vereins finanzieren. Sie geht dabei von einer Zustimmungsquote von 60 % unter den Schülern aus. Der Kassenwart spricht sich gegen die Finanzierung aus, da er mit einer Zustimmungsquote von höchstens 40 % rechnet. Er schlägt eine Befragung von 50 zufällig ausgewählten Schülern vor. Seine Behauptung soll mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich verworfen werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art unter der Annahme, dass die Vorsitzende mit ihrer Behauptung bezüglich der Zustimmungsquote Recht hat. 6. (Abitur 1998) Die Kaufhausleitung will die verlängerten Öffnungszeiten nur beibehalten, wenn diese von wenigstens 40 % der Kunden gewünscht werden. Dazu werden 200 zufällig ausgewählte Kunden befragt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, irrtümlich von den verlängerten Öffnungszeiten abzugehen, soll höchstens 5 % betragen. 1

2 a) Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel. b) Wie groß ist bei der Entscheidungsregel aus Teilaufgabe a die Wahrscheinlichkeit dafür, die verlängerten Öffnungszeiten beizubehalten, obwohl diese nur von 30 % der Kunden gewünscht werden? 3 Aufgaben mit en 1. Ein FDP-Kandidat behauptet, dass 10% oder mehr Wahlberechtigten seines Stimmkreises FDP wählen würden. Zur Überprüfung befragt die Partei 200 Wahlberechtigte des Stimmkreises. Wenn mehr als 14 der Befragten FDP wählen würden, dann wird dem Kandidaten respektvoll zugestimmt. Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit dafür, dass die Aussage des Kandidaten irrtümlich abgelehnt wird. Nullhypothese: H o : p 0 0,1 (Aussage über die Gesamtheit) Stichprobe: n = 200; A = {15,...,200}(Annahmebereich) ; Ā = {0..14} (Ablehnungsbereich) Fehler: H o gilt SP kein p = 0,1 SP 1. Art: α = P 200 0,1 (X 14) H o gilt nicht SP 2. Art: β = P 200? (X > 14) Fehlerwahrscheinlichkeit: α = P0,1 200 (X 14) 0, Ein Knallkörperproduzent garantiert 98% Funktionstüchtigkeit seiner Produkte. Der Käufer untersucht 20 Knallkörper. Wenn 19 oder mehr in Ordnung sind, dann wird die Lieferung akzeptiert. Berechnen Sie die die Fehlerwahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung der Knallkörper bei diesem Test. 2

3 Nullhypothese: H o : p 0 0,98 (Aussage über die Gesamtheit) Stichprobe: n = 20; A = {19, 20}(Annahmebereich) ; Ā = {0..18} (Ablehnungsbereich) Fehler: H o gilt SP kein p = 0,98 SP 1. Art: α = P0,98 20 (X 18) H o gilt nicht SP 2. Art: β = P? 20 (X > 18) Fehlerwahrscheinlichkeit: α = P0,98 20 (X 18) 0, Ein Hersteller behauptet, dass höchstens 2% seiner gelieferten Bauteile defekt sind. Dafür wird ein Stichprobe mit 100 Bauteilen durchgeführt. Wenn 4 Bauteile oder weniger defekt sind, dann wird dem Hersteller geglaubt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass tatsächlich 10% der Bauteile defekt sind und die Lieferung trotzdem akzeptiert wird? Nullhypothese: H o : p 0 0,02 (Aussage über die Gesamtheit) Stichprobe: n = 100; A = {0..4}(Annahmebereich) ; Ā = {5..100} (Ablehnungsbereich) Fehler: 3

4 H o gilt SP kein p = 0,02 SP 1. Art: α = P 100 0,02 H o gilt nicht SP 2. Art: β = P0,1 100 p = 0,1 SP kein (X > 4) (X 4) Fehlerwahrscheinlichkeit: β = P0,1 100 (X 4) 0, (Abitur 2006) Das Kopiergerät wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftragte Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 4 % beträgt. Um diese Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5 % (Fehler 1. Art α 5%) zu testen, werden 200 Kopien angefertigt. Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel. H o : p 0,04; A = {0..k}; Ā = {k + 1,..200} (Entscheidungsregel) H o SP kein p = 0,04 SP 1. Art: α = P0, (X > k) < 0,05 H o SP 2. Art: β =? P0, (X > k) < 0,05 1 P0, (X k) < 0,05 P0, (X k) > 0,95 im Tafelwerk nachschauen k = 13 A = {0..13}; Ā = { } Nochmal zur Bestimmung der Entscheidungsregel: P 200 0, (X 12) 0,9401 < 0,95; P (X 13) 0,9688 > 0,95 0,04 4

5 5. (Abitur 2007) Die Vorsitzende des Fördervereins möchte der Schule einen neuen Schulgarten aus den Mitteln des Vereins finanzieren. Sie geht dabei von einer Zustimmungsquote von 60 % unter den Schülern aus. Der Kassenwart spricht sich gegen die Finanzierung aus, da er mit einer Zustimmungsquote von höchstens 40 % rechnet. Er schlägt eine Befragung von 50 zufällig ausgewählten Schülern vor. Seine Behauptung soll mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich verworfen werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art unter der Annahme, dass die Vorsitzende mit ihrer Behauptung bezüglich der Zustimmungsquote Recht hat. H o : p 0,4; A = {0..k}; Ā = {k } H o SP kein p = 0,4 SP 1. Art: α = P0,4 50 (X > k) < 0,05 H o SP 2. Art: β =? P0,4 50 (X > k) < 0,05 1 P0,4 50 (X k) < 0,05 P0,4 50 (X k) > 0,95 P0,4 50 (X 26) > 0,95 k = 26 A = {0..26}; Ā = {27..50} Fehler 2. Art bei Alternativwahrscheinlichkeit 60%: P0,6 50 (X 26) 0,1562 = 15,6% 6. (Abitur 1998) Die Kaufhausleitung will die verlängerten Öffnungszeiten nur beibehalten, wenn diese von wenigstens 40 % der Kunden gewünscht werden. Dazu werden 200 zufällig ausgewählte Kunden befragt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, irrtümlich von den verlängerten Öffnungszeiten abzugehen, soll höchstens 5 % betragen. 5

6 a) Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel. b) Wie groß ist bei der Entscheidungsregel aus Teilaufgabe a die Wahrscheinlichkeit dafür, die verlängerten Öffnungszeiten beizubehalten, obwohl diese nur von 30 % der Kunden gewünscht werden? a) Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel H o : p 0,4; Ā = {0..k}; A = {k } H o SP kein p = 0,4 SP 1. Art: α = P0,4 200 (X k) < 0,05 H o SP 2. Art: β =? P0,4 200 (X k) < 0,05 k = 68, denn P0,4 200 (X 68) = 0,0475. Ā = {0..68}; A = { } b) Fehler 2. Art mit Alternativwahrscheinlichkeit 0,3 H o gilt SP kein p = 0,4 SP 1. Art: α = P 200 0,4 H o gilt nicht SP 2. Art: β = P0,3 200 p = 0,3 SP kein P 200 0,3 (X 68) (X > 68) 200 (X > 68) = 1 P (X 68) = 1 0,9040 0,096 0,3 4 Abituraufgaben mit en 4.1 Probeabitur 2014 Laut Statistik liegt der Anteil der Raucherinnen unter den 40 bis 44-jährigen Frauen bei 30%. Ein Skeptiker nimmt an, dass der Anteil unter den 40 bis 44-jährigen Frauen 6

7 größer als 30% ist. Er testet die Nullhypothese H o : p 0,3; dabei gibt p die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine 40 bis 44-jäjrige Frau raucht. Im Rahmen des Tests stellt er jeder der zehn ausgewählten Frauen die Frage Rauchen Sie?ünd erhält dabei folgende Antworten: Ja - Nein - Ja - Nein - Ja - Ja - Nein - Nein - Nein - Ja. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Annahme des Skeptikerst auf einem Signifikanzniveau von 5% stützt. Nullhypothese: H 0 : p 0,3 Signifikanzniveau: α 0, 05 Annahmebereich (von H o ): A = {0..k};Ā = {k } Fehler α: H o wird irrtümlich verworfen. P0,3 10 (X > k) Ansatz: P0,3 10 (X > k) 0,05 1 P0,3 10 (X k) 0,05 P0,3 10 (X k) 0,95 k = 5 Jetzt können Annahme- und Ablehnungsbereich angegeben werden: A = {0..5};Ā = {6..10} Da es bei der Befragung 5 Ja gegeben hat, würde die Nullhypothese angenommen. Damit würde die Behauptung des Skeptikers nicht gestützt werden. 4.2 Abitur 1985, leicht abgewandelt Bei einem Volksfest behauptet der Festwirt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen schlecht eingeschenkten Masskrug zu bekommen höchstens 10% beträgt. Die Behörde will kontrollieren, ob sich der Wirt an diese Aussage hält, und lässt an einem Tag die Füllmenge von 50 zufällig ausgewählten Krügen überprüfen (Stichprobe mit Zurücklegen). a) Der Wirt will höchstens 3% Risiko eingehen, irrtümlich zur Rechenschaft gezogen zu werden. Welche Entscheidungsregel schlägt er der Behörde bei deren Stichprobe vor? b) Die Behörde will aber schon bei sieben bemängelten Krügen einschreiten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Wirt zu Unrecht belangt? 7

8 a) H o : p 0,1 Signifikanzniveau: α < 0, 03 Ansatz:P0,1 50 (X > k) < 0,03 P0,1 50 (X k) > 0,97 Im Tafelwerk nachschauen: k = 9 A = {0..9}; Ā = {10..50} b) α = P 50 0,1 (X > 6) = 1 P (0,1) 50 (X 6) 1 0,77023 = 0,

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