Statistische Tests für unbekannte Parameter

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1 Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung darüber, ob der unbekannte Parameter einer Verteilung gleich einem gegebenen konkreten Referenzwert ist, ebenfalls mit vorgegebener Sicherheit SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

2 Beispiel Für die Bekleidungsindustrie, Automobilindustrie,... ist eine Aussage über die Größe der Erwachsenen von Bedeutung. These: Die Durchschnittsgröße der erwachsenen Deutschen ist 173 cm. Diese These soll bestätigt oder widerlegt werden. Sicheres Verfahren: Man misst alle erwachsenen Deutschen und bildet den Durchschnitt. Praktikables Verfahren: Man misst eine repräsentative Stichprobe und bildet den Durchschnitt. Mit diesem Stichprobenmittel schätzt man den unbekannten Durchschnitt (Erwartungswert) in der Grundgesamtheit aller erwachsenen Deutschen. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests

3 Nullhpothese: μ = 173 gegen Alternativhpothese: μ 173 μ: unbekannter Erwartungswert (Mittelwert) der Gesamtpopulation μ = 173: Referenzwert Stichprobe mit n= 4, = 175 als Schätzung für μ Widerlegt dieser Stichprobendurchschnitt bei Sicherheit.95 die Nullhpothese? Abweichung des Stichprobenmittels vom Referenzwert d = μ = = Bis zu welcher Grenze ist der Unterschied zufällig, ab wann nicht mehr? SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 3

4 Modell Wir unterstellen hier, dass die Körpergröße X der erwachsenen Deutschen normalverteilt ist mit bekannter Streuung σ = 1: X ~ N(μ,1²) Dann ist der Mittelwert von n solchen unabhängigen, normalverteilten Zufallsgrößen ebenfalls normalverteilt mit σ 1 X ~ N( μ, ) = N( μ, ) = N( μ,.5) n 4 Ist 173 der richtige Parameter, d.h. gilt die Nullhpothese μ = 173, ist X = N(173,.5) und X μ X 173 X 173 T = = = ~ N (,1) σ / n.5.5 Mit T ~ N(,1) bestimmt man die Grenzen des Bereichs, in den T 'nur selten' fällt, z.b. in nur 5% aller Fälle - wenn die Nullhpothese stimmt. PT ( > k) =.5 Schwellwert k definiert den kritischen Bereich SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 4

5 Berechnung der Grenze k, die bei Gültigkeit der Nullhpothese von T betragsmäßig nur mit Wahrscheinlichkeit.5 überschritten wird P( k < T < k) =.95 Φ ( k) =.975 k =Φ 1 (.975) = 1.96 k: Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung.975 = 1 - α/ wenn Nullhpothese wahr ist, liegt T in diesem Intervall mit Wkt. 1- α Ablehnbereich für Nullhpothese: T > Ein Stichprobenbefund mit T = > k = 1.96 führt also zur Ablehnung der.5 Nullhpothese, d.h. Entscheidung für μ 173 bei einer Sicherheit von 95% SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 5

6 Testentscheidung im Beispiel T = = = 4> 1.96 ( = k).5.5 d.h. Testgröße fällt in den kritischen Bereich, was zur Ablehnung von H führt. Die Durchschnittsgröße der erwachsenen Deutschen liegt also nicht mehr bei 173. Die statistische Sicherheit für diese Aussage ist.95. Das liegt daran, dass bei Gültigkeit der Nullhpothese die Testgröße mit der Restwahrscheinlichkeit von.5 in diesen kritischen Bereich fällt. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 6

7 Zusammenhang zu Konfidenzintervall für μ σ σ 1.96, n n Liegt der Referenzwert μ außerhalb des Konfidenzintervalls, entscheidet man sich gegen die Nullhpothese μ = μ. Ablehnkriterium μ T = > 1.96 σ / n >1.96 oder < 1.96 μ > 1.96 σ / n oder μ < 1.96 σ / n 1.96 σ 1.96 σ > μ oder + < μ n n SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 7

8 Test-Schema am Beispiel des Vergleichs des unbekannten Mittelwerts μ der Normalverteilung mit einem Referenzwert (bekanntes σ ) μ H H α : μ = μ : μ μ 1 Nullhpothese Alternativhpothese Irrtumswahrscheinlichkeit X μ = Testgröße, unter Gültigkeit von ist standardnormalverteilt σ / n T H T T > z Ablehnbereich von H bei Risiko α, 1 α/ z1 α/quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1 α/ Irrtumswahrscheinlichkeit (Risiko) α nennt man den Fehler 1. Art. Er bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, H abzulehnen, obwohl H wahr ist. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 8

9 Ablehnbereich bei Risiko α Dichte der Testgröße T, wenn Nullhpothese gilt Ablehnung 1 - α Ablehnung wenn Nullhpothese wahr ist, liegt T in diesem Intervall mit Wkt. 1- α SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 9

10 Einseitige und zweiseitige Tests Zweiseitiger Test Nullhpothese: μ = μ gegen Alternativhpothese: μ μ Einseitige Tests oder Nullhpothese: μ μ gegen Alternativhpothese: μ > μ Nullhpothese: μ μ gegen Alternativhpothese: μ < μ SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

11 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (1) Einstichprobentests Vergleich μmit μ; σ bekannt (Gauß-Test) Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H : μ = μ H1 : μ μ X μ T > z1 α / H : μ μ H1 : μ < μ T = σ / n T < z1 α μ H1 : μ > μ ~ N(, 1) T > z 1 α H : μ Die Irrtumswahrscheinlichkeit α besagt, dass man bei 1 Tests mit der Ablehnung der Nullhpothese nach diesem Verfahren in etwa 1α Fällen einen Fehler macht. 7.1 SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 11

12 Fehlermöglichkeiten bei der Testentscheidung H richtig H falsch H abgelehnt Fehler 1. Art α richtige Entscheidung H nicht abgelehnt richtige Entscheidung Fehler. Art β Es gibt also zwei mögliche Fehlentscheidungen. Das Risiko der Entscheidung gegen H, obwohl H stimmt (Fehler 1. Art), ist über die Festlegung des Ablehnbereichs durch α begrenzt. Das Risiko der Beibehaltung von H, obwohl H falsch ist (Fehler. Art) ergibt sich dann automatisch. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

13 Inhaltliche Bedeutung der Fehlerarten Nullhpothese: H : μ = μ Fehler 1. Art α: Nullhpothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist. Ein Unterschied wird also gefunden, obwohl keiner da ist. Fehler. Art β: Nullhpothese wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Ein vorhandener Unterschied wird übersehen. Von beiden Wahrscheinlichkeiten für eine Fehlentscheidung wird α bei der Konstruktion des Ablehnbereichs berücksichtigt, man sichert sich damit gegen falschen Alarm ab, etwas zu finden, was nicht da ist. Liegt der Ablehnbereich fest, ergibt sich β bei festem n automatisch. Durch geeignete Wahl von n kann β beeinflusst werden. Damit begrenzt man das Risiko, einen Effekt ab einer bestimmten Größe nicht zu finden. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 13

14 Fehler 1. und. Art beim Mittelwertvergleich H : μ= μ geg en H : μ > μ 1 Dichte der Testgröße T unter Nullhpothese H : μ = μ Dichte der Testgröße T bei einseitiger Alternative μ = μ > μ 1 Testgröße H X μ T = ~ N(,1) σ / n Ablehnbereich bei einseitigem Test: T > t1 α Annahmebereich T t1 α t 1 α μ 1 μ Fläche entspricht Fehler. Art: β Fläche entspricht Fehler 1. Art: α SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 14

15 Folgerungen Je kleiner α, desto größer wird der mögliche Fehler β bei Nichtablehnung einer falschen Nullhpothese. Die Wahrscheinlichkeit β für die Beibehaltung der falschen Nullhpothese hängt vom Abstand L des Referenzwerts μ 1 der Alternativhpothese zu μ ab. β kann bei vorgegebenem Stichprobenumfang n und μ 1 berechnet werden. L = μ μ groß 1 L klein z1 α / Nur durch Vergrößern von n kann β bei gleichem α verkleinert werden! SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 15

16 Mindeststichprobenumfang zur Einhaltung von α, β L relevanter Unterschied zwischen den Parametern μ und μ (Mindesteffekt), d.h. Mittelwertdifferenzen kleiner als L sind praktisch vernachlässigbar Vergleich μ mit μ (Einstichprobentest) Zweiseitiger Test: ( z1 α / + z1 β ) n n = σ L Einseitiger Test: ( z1 α + z1 β ) n n = σ L 7. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 16

17 Mittelwertvergleiche bei unbekannter Varianz Im Normalfall kennt man weder den Erwartungswert μ noch die Varianz σ² in der Grundgesamtheit. Dann wird die Varianz durch die empirische Varianz aus der Stichprobe mit geschätzt, man ersetzt σ² durch n 1 s = ( i ) 1 n i= 1 Die Testgröße ist dann H X μ T = ~ tn 1 s / n Der Ablehnbereich bestimmt sich entsprechend mit den Quantilen der t-verteilung. SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 17

18 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen () Einstichprobentests Vergleich μmit μ ; σ unbekannt (T-Test) Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H : μ = μ H 1 : μ μ X μ T > t n 1,1 α / T = H : μ μ H 1 : μ < μ s / n T < t n 1, 1 α H μ H 1 : μ > μ ~ t n 1 T > t n 1, 1 α : μ 7.4 SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 18

19 Mittelwerttests bei zwei normalverteilten Zufallsgrößen bisher Einstichprobentest: Der Erwartungswert einer Grundgesamtheit wird mit einem vorgegebenen Referenzwert μ verglichen Zweistichprobentest: Die Erwartungswerte μ 1 und μ von zwei Grundgesamtheiten werden verglichen. Bei Zweistichprobentests unterscheidet man noch zwischen verbundenen (gepaarten) und nicht verbundenen (nicht gepaarten) Stichproben. verbunden: nicht verbunden: die Stichprobenwerte liegen in Paaren vor, die jeweils an den gleichen Objekten gemessen wurden (z.b. vor und nach einer Behandlung) die Stichproben wurden in disjunkten Grundgesamtheiten erhoben (z.b. Gesunde und Kranke) SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 19

20 Bezeichnungen Stichprobenumfänge: Mittelwertschätzungen einzeln: Mittelwertdifferenz bei nicht verbundenen Daten Mittelwertdifferenz bei verbundenen Daten n, n, n n 1 1 X = X, Y = Y n X Y i i= 1 n i= 1 n 1 D = X Y = ( ), n = n = n n i = 1 n i i i Varianzschätzungen: einzeln aus den Stichproben gemeinsame (gepoolte) Varianz bei nicht verbundenen Daten gemeinsame Varianz bei verbundenen Daten n n 1 1 = i = i n 1 i= 1 n 1 i= 1 s ( X X ), s ( Y Y ), ( n 1) s + ( n 1) s sg = n + n 1 s = D D n = n = n n D ( i ), n 1 i= 1 SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests

21 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (3) Zweistichprobentests Vergleich mit ; unbekannt,, verbunden, μ D = μ μ σ D X Y D= X Y Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H : μ D H : μ D D T t 1,1 α / T = n H : μ H : μ s T α = D : D 1 1 D < 1 : > H μ H μ D ~ t n 1 D T > n < t n 1, 1 > t n 1, 1 α D = D i i i 1 s D D, D arithmetisches Mittel s empirische Standardabweichung der Differenzen n D = ( i ) n 1 i= 1 d i 7.5 SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 1

22 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (4) Zweistichprobentests Vergleich μ mit μ ; σ, σ unbekannt, aber gleich;, nicht verbunden (doppelter T-Test) X Y Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H μ = μ : H : μ μ X Y n > n T t n + n,1 T = H : μ μ H : μ < μ s g n + n T + H : μ μ H 1 1 α / 1 < t n n, 1 α : μ > μ t ~ n n + > t n + n, 1 α t mq, Quantil der Ordnung q der t-verteilung mit m Freiheitsgraden (m ganzzahlig) T 7.6 SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests

23 Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen (5) Zweistichprobentests Vergleich μ mit μ ; σ, σ unbekannt, verschieden;, nicht verbunden X Y (Welch-Test) Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H : μ = μ H 1 : μ μ T > t f, 1 α s / s T = ( X Y ) / + H : μ μ H1 : μ < μ < n T n t f, 1 α μ μ H : μ > μ ~ t f H : 1 T > t f, 1 α t f, q Quantil der Ordnung q der t-verteilung mit f Freiheitsgraden, wobei f = ( s / n + s / n ) ( s / n ) /( n 1) + ( s / n ) /( n 1) (abrunden!) SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 3

24 Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen Einstichprobentests Vergleich σ mit σ (Referenzwert) Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnkriterium H : σ =σ H1: σ σ T >χ oder T <χ H H : σ σ H1: σ <σ ( n 1) s T = ~ χ T <χ n 1 n 1, a σ H : σ σ H : σ >σ >χ 1 n 1,1 a/ n 1, a/ T n 1,1 α χ mq, Quantil der Ordnung q der χ -Verteilung mit m Freiheitsgraden SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 4

25 Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen Zweistichprobentests Vergleich σ mit σ Nullhpothese Alternativhpothese Testgröße Ablehnbereich H σ =σ H σ σ T Fn 1, n 1,1 α / H H : σ σ : σ σ : 1 : H σ <σ H < n 1, n 1, 1 : H : 1 σ >σ T = > oder T < Fn 1, n 1, α / Fmnq,, : Quantil der F-Verteilung mit m, n Freiheitsgraden der Ordnung q ~ s s SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 5 / Fn 1, n 1 T F α T Fn 1, n 1,1 α Berechnet man T mit der größeren der Varianzen im Zähler, muss man nur prüfen, ob >,, Dieser Test wird auch als Vortest beim Mittelwertvergleich genutzt für eine Entscheidung zwischen dem doppelten T-Test und dem Welch-Test. > 7.7

26 Testentscheidung mit p-wert Computer gibt als Testresultat die Wahrscheinlichkeit an, mit der etremere Werte als der berechnete Wert der Testgröße unter H angenommen werden können. Diese Wahrscheinlichkeit heißt p-wert. Ablehnung 1 - α Ablehnung Ist der p-wert kleiner als das Risiko α, dann wird die Nullhpothese abgelehnt. Berechneter Wert von T -T aus den Stichprobenwerten p-wert = Summe dieser Flächen SS 16 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW NV-Tests 6