Beweis. Bauer (4. Auflage, 1991), S , Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S. 457.

Transkript

1 Exkurs A: Bedingte Erwartungswerte, bedingte Verteilungen (Ω, A, P ) sei W-Raum, X : Ω IR P-quasiintegrierbar, F A Unter - σ- Algebra. E(X F) = E P (X F) (Version des) bedingter Erwartungswert von X unterf (bzgl.p): P-f.s. eindeutig bestimmte P-quasiintegrierbare ZV Ω IR mit (1) (2) F F F meßbar E(X F)dP = X dp F F( Radon - Nikodym - Gleichung). Für A A heißt P (A F) := E(1 A F) bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter F. Einige Rechenregeln: Satz A.1 Es sei X : Ω IR P-quasiintegrierbar, F A. (a) EE(X F) = EX (b) X F meßbar E(X F) = X P-f.s. (c) (Tower property) F G A E(E(X G) F) = E(X F) = E(E(X F) G) P-f.s. (d) (Taking out what is known) Y : Ω IR sei F- meßbar, XY quasiintegrierbar E(XY F) = Y E(X F) P-f.s. (e) X und F unabhängig E(X F) = EX P-f.s. (f) (Jensensche Ungl.) I IR sei offenes Intervall, X L 1 (P ), P (X I) = 1, f : I IR konvex mit f(x) 0 oder f(x) L 1 (P ) E(X F) I P-f.s., f(e(x F)) E(f(X) F) P-f.s. Beweis. Bauer (4. Auflage, 1991), S , Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S Satz A2 F A. (a) (Monotone Konvergenz) X n, X : Ω IR seien meßbar, X n X f.s., EX1 E(X n F) E(X F) f.s. Falls X n X, f.s., EX 1 + < E(X n F) E(X F) f.s. < (b) (Beschränkte Konvergenz) X n f.s. n IN, X n X f.s. L 1 (P ), X : Ω IR ZV, Y L 1 (P ), X n Y X L 1 (P ), E(X n F) E(X F) f.s. 1

2 (c) (Fatou) X n, Y : Ω IR seien meßbar, n IN. X n Y f.s. n IN, EY < E(lim inf X n F) lim inf X n Y f.s. n IN, EY + < E(lim sup E(X n F) f.s. X n F) lim sup E(X n F) f.s. Beispiel A.3 A i A, i I seien paarweise disjunkt, I abzählbar, i I A i = Ω, F = σ(a i, i I). Dann gilt E(X F) = i I E(X A i )1 Ai mit A i XdP/P (A i ), P (A i ) > 0 E(X A i ) = 0 (z.b.), sonst. (Ω t, A t ) seien meßb. Räume, Y t : Ω Ω t meßbar, t T. E(X Y t, t T ) := E(X σ(y t, t T )) heißt bedingter Erwartungswert von X unter (Y t ) t T. (Ω 2, ) sei meßb. Raum, Y : Ω Ω 2 meßbar. E(X Y = y) bedingter Erwartungswert von X unter Y = y, y Ω 2 : P Y f.s. eindeutig bestimmte P Y -quasiintegrierbare ZV : Ω 2 IR mit (3) E(X Y = y)dp Y (y) = Y 1 ( ) XdP. Es gilt E(X Y ) = E(X Y = ) Y P-f.s. Für X L 1 (P ) heißt bedingte Varianz von X unter F. Es gilt falls X L 2 (P ). Zu bedingten Verteilungen: Var(X F) := E((X E(X F)) 2 F) Var(X F) = E(X 2 F) (E(X F)) 2 Definition A.4 (Ω i, A i ) seien meßbare Räume, X : Ω Ω 1 meßbar, Y : Ω Ω 2 meßbar, F A. (a) Ein Markov-Kern K = K P von (Ω, F) nach (Ω 1, A 1 ) mit 2

3 K(, A 1 ) = P (X A 1 F) P-f.s. A 1 A 1 heißt (eine Version der regulären)bedingte Verteilung von X unter F (bzgl. P). Bezeichnung P X F := K. RN- Gleichung (2) hat die Form (4) P X F (ω, A 1 )dp (ω) = P (X 1 (A 1 ) F ) A 1 A 1, F F. F P X Y := P X σ(y ) heißt bedingte Verteilung von X unter Y. (b) Ein Markov-Kern K = K P von (Ω 2, ) nach (Ω 1, A 1 ) mit K(, A 1 ) = P (X A 1 Y = ) P Y -f.s. A 1 A 1 heißt bedingte Verteilung von X unter Y =y, y Ω 2. Bezeichnung P X Y =y (A 1 ) := K(y, A 1 ). RN- Gleichung (3) hat also die Form (5) P X Y =y (A 1 )dp Y (y) = P (X 1 (A 1 ) Y 1 ( )) In Situation wie in A.4 (b) : = P (X,Y ) (A 1 ) A i A i. Lemma A.5 Y : Ω Ω 2 sei meßbar, K Markov-Kern von (Ω 2, ) nach (Ω 1 A 1 ) (i) Ω 2 IR +, y K(y, D y ) ist meßbar D A 1 A2. (ii) K(y, D) := K(y, D y ) def. Markovkern von (Ω 2, ) nach (Ω 1 Ω 2, A 1 A2 ). (iii) K P Y (D) := K(y, D y )dp Y (y), D A 1 A2, ist W-Maß auf A 1 A2. (iv) (Fubini für Markov-Kerne) f : Ω 1 Ω 2 IR sei K P Y quasiintegrierbar fdk P Y = f(x, y)k(y, dx)dp Y (y). Beweis. (i) D := {D A 1 A2 : y K(y, D y ) meßb.} ist ein Dynkin-System. Für E = {A 1 : A i A i } gilt E D, denn K(y, (A 1 ) y ) = K(y, A 1 )1 A2 (y). Ferner ist E ein - stabiler Erzeuger von A 1 A2. Es folgt A 1 A2 = σ(e) = δ(e) D A 1 A2, wobei δ(e) das von E erzeugte Dynkin - System bezeichnet. (ii) und (iii) sind klar. (iv) Für f = 1 D, D A 1 A2, ist das die Definition von K P Y. Rest folgt über Aufbau der A 1 A2 -meßbaren Funktionen. Beispiel A.6 X : Ω Ω 1 und Y : Ω Ω 2 seien meßbar. 3

4 (a) X, Y unabhängig P X Y =y := P X ist eine bedingte Verteilung von X unter Y = y, denn P X (A 1 )dp Y (y) = P X (A 1 )P Y ( ) = P X P Y (A 1 ) = P (X,Y ) (A 1 ), A i A i. Also gilt die definierende RN-Gleichung (5). (Die Umkehrung gilt auch.) (b) Es existiere die bedingte Verteilung P X Y =y, h : (Ω 1, A 1 ) (Ω 3, A 3 ) sei meßbar P h(x) Y =y := (P X Y =y ) h (Bildmaß) ist eine bedingte Verteilung von h(x) unter Y = y. Dazu sei K(y, A 3 ) := P X Y =y (h 1 (A 3 ), y Ω 2. Dann gilt: K ist Markov-Kern von (Ω 2, ) nach (Ω 3, A 3 ) und Beh. K(y, A 3 )dp Y (y) = P X Y =y (h 1 (A 3 )) dp Y (y) = (5) P (X,Y ) (h 1 (A 3 ) ) = P (h(x),y ) (A 3 ) Falls bedingte Verteilungen existieren, lassen sich bedingte Erwartungswerte als Erwartungswerte bzgl. bedingter Verteilungen berechnen. Satz A.7 X : Ω Ω 1 und Y : Ω Ω 2 seien meßbar, P X Y =y existiere, f : Ω 1 Ω 2 IR sei P (X,Y ) -quasiintegrierbar Beweis. (i) Nach A.5 (iii) ist (i) P (X,Y ) = P X Y = P Y (s.a.5) (ii) E(f(X, Y ) Y = y) = f(x, y)p X Y =y (dx) P Y -f.s (iii) Ef(X, Y ) = f(x, y)p X Y =y (dx)dp Y (y) ein W-Maß auf A 1 A2. Wegen (5) gilt X Y = Q := P P Y Q(A 1 ) = P X Y =y (A 1 )1 A2 (y)dp Y (y) = P (X,Y ) (A 1 ), A i A i, also Q E = P (X,Y ) E für den -stabilen Erzeuger E = {A 1 : A i A i } von A 1 A2. Es folgt Q = P (X,Y ). (ii) Die rechte Seite ist - meßbar in y. Ferner gilt mit Teil (i) und A.5 (iv) f(x, y)p X Y =y (dx)dp Y (y) = f1 Ω1 dp X Y = P Y = f1 Ω1 dp (X,Y ) = Y 1 ( ) f(x, Y )dp. 4

5 Dies ist definierende RN-Gleichung (3). (iii) Wähle = Ω 2 im Beweis von (ii). Korollar A.8 X : Ω Ω 1 und Y : Ω Ω 2 seien meßbar. (a) P X Y =y existiere, h : Ω 1 IR sei P X - quasiintegrierbar E(h(X) Y = y) = h(x)p X Y =y (dx) P Y -f.s. (F A, P X F existiere E(h(X) F)(ω) = h(x)p X F (ω, dx) P-f.s.) (b) (Substitutionsregel bei Unabhängigkeit) X, Y seien unabhängig, f : Ω 1 Ω 2 IR sei P (X,Y ) -quasiintegrierbar Beweis. (a) Setze f(x, y) = h(x) in A.7 (ii). E(f(X, Y ) Y = y) = f(x, y)dp X (x) = Ef(X, y) P Y -f.s. (b) Nach A.6 (a) ist P X eine bedingte Verteilung von X unter Y = y. Die Beh. folgt damit aus A.7 (ii). A.8 (b) kann man verschärfen: Y sei F-meßbar, F A, X und F seien unabhängig E(f(X, Y ) F) = E(f(X, Y ) Y ) = f(x, Y )dp X (x) P-f.s. (s. Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S. 452). A 8 (b) entspricht F = σ(y ). Satz A.9 (Existenz) X : Ω Ω 1 sei meßbar, Ω 1 polnisch, A 1 = B(Ω 1 ). (a) Y : Ω Ω 2 sei meßbar es ex. bedingte Verteilung P X Y =y. (b) F A es ex. bedingte Verteilung P X F. Beweis. Bauer, S. 397, Gänssler/Stute, S Jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge von IR n ist polnisch. Bemerkung A.10 (Eindeutigkeit) X : Ω Ω 1 und Y : Ω Ω 2 seien meßbar, K 1, K 2 seien bedingte Verteilungen von X unter Y = y, A 1 sei abzählbar erzeugt N, P Y (N) = 0 mit K 1 (y, A 1 ) = K 2 (y, A 1 ) y N A 1 A 1. Beweis. Bauer, S. 397, Gänssler/ Stute, S

6 X : Ω Ω 1 und Y : Ω Ω 2 seien meßbar. Interessant für die Berechnung der bedingten Verteilung ist der Fall, dass P (X,Y ) durch ein Produktmaß dominiert wird, P (X,Y ) << µ 1 µ2, f (X,Y ) = dp (X,Y ) /dµ 1 µ2. Dabei ist µ i ein σ-endliches Maß auf A i. Die µ 2 - Dichte f Y von P Y lässt sich als Randdichte berechnen, f Y (y) = f (X,Y ) (x, y)dµ 1 (x). Sei f X Y =y (x) := f (X,Y ) (x,y) f Y (y), f Y (y) > 0 g(x), sonst die bedingte Dichte von X unter Y = y. (g ist eine beliebige W-Dichte bzgl.µ 1.) Satz A.11 In obiger Situation sei K(y, A 1 ) := A 1 f X Y =y (x)dµ 1 (x), y Ω 2, A 1 A 1 K ist eine bedingte Verteilung von X unter Y = y. Beweis. K ist offenbar ein Markov-Kern von (Ω 2, ) nach (Ω 1, A 1 ). Es gilt P Y (f Y = 0) = {f Y =0} f Y dµ 2 = 0. Ferner K(y, A 1 )dp Y (y) = K(y, A 1 )dp Y (y) {f Y >0} = f X Y =y (x)dµ 1 (x)f Y (y)dµ 2 (y) {f Y >0} A 1 = f X,Y ) (x, y)dµ 1 (x)dµ 2 (y) {f Y >0} A 1 = P (X,Y ) (A 1 ) A i A i. Also gilt die RN- Gleichung (5). 6