Kapitel 2. Abbildungsgeometrie

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1 Kapitel 2 Abbildungsgeometrie 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

2 Kapitel 2 Abbildungsgeometrie 2.1 2,3,4 Geradenspiegelungen 2.2 Sinn & Orientierung 2.3 Größen ohne Maße Vergleichen und Addieren 2.4 Kongruenzsätze 2.5 Abschluss: Kongruenzabbildungstypen 2.6 Ähnlichkeit und weitere Abbildungen 2 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

3 2.1 2,3,4 Geradenspiegelungen Erinnerung: Die Abbildung S g : E E der Ebene auf sich heißt Geradenspiegelung an der Symmetrieachse g, wenn sie jedem Punkt P E seinen Bildpunkt P so zuordnet, dass für verschiedene Punkte A, B g gilt: [AP] [AP ] [BP] [BP ] 3 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

4 Korollar (Eigenschaften der Geradenspiegelung) Eine Geradenspiegelung S g : E E (1) ist involutorisch: P E: S g (S g (P)) = P (Satz 1.17) (2) ist geradentreu: a, g G: S g (a) G (Satz 1.18) (3) ist längentreu: P, Q E: [PQ] [P Q ] (axiomatisch) (4) erhält die Achsensymmetrie einer Figur: Sei S f (P) = Q und g G, dann ist S g (f) die Symmetrieachse der Punkte S g (P) und S g (Q). (5) ist parallelentreu: a, b, g G: a b S g (a) S g (b) (6) ist streckentreu (7) ist winkeltreu* 4 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

5 zu (6) S g : E E ist streckentreu P, Q E: S g (P) = P S g (Q) = Q S g ([PQ]) = [P Q ] Diese Eigenschaft haben wir stillschweigend schon genutzt. Sie folgt aus Geraden- und Längentreue. Formal kann man zum Beweis die Sätze 1.8 (Differenz von Strecken) und 1.9 (das Abtragen von Strecken erhält die Anordnung) auf den Geraden PQ und P Q anwenden und so für alle X [PQ] zeigen, dass S g (X) [P Q ] gilt. 5 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

6 Eine geraden- und längentreue Abbildung der Ebene auf sich nennen wir Kongruenzabbildung. Damit ist die Geradenspiegelung eine Kongruenzabbildung. Eine Figur F 1 heißt kongruent zu einer Figur F 2, wenn es eine Kongruenzabbildung φ gibt, die F 1 auf F 2 abbildet. Wir schreiben dann F 1 F 2 6 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

7 Satz 2.1 Eine Kongruenzabbildung φ: E E der Ebene auf sich ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt. Satz 2.2 Jede Verkettung von endlich vielen Geradenspiegelungen ist eine Kongruenzabbildung der Ebene auf sich. 7 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

8 Wir wissen: Eine einzelne Achsenspiegelung S g besitzt genau eine Fixpunktgerade und sonst keine weiteren Fixpunkte. Verkettung von zwei Achsenspiegelungen S h S g : E E Wir unterscheiden dabei je nach Lage der Symmetrieachsen g, h G drei Fälle: (1) g = h S h S g = id E, also sind alle Punkte Fixpunkte (2) g h = {P} S h S g besitzt genau einen Fixpunkt, nämlich P (3) g h = S h S g besitzt keinen Fixpunkt 8 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

9 Diese drei Fälle liefern uns drei weitere wichtige Beispiele für Kongruenzabbildungen: Neben Geradenspiegelungen finden wir Identität (1), Drehungen (2) und Parallelverschiebungen (3). Eine Abbildung D Z,α : E E heißt Drehung oder Rotation mit dem Zentrum Z um den Drehwinkel α, wenn sie die folgenden beiden Eigenschaften hat: 1. Sie besitzt einen Fixpunkt Z 2. Sie ordnet jedem Punkt P Z den Bildpunkt P so zu, dass gilt: [ZP] [ZP ] PZP α PZP ist dabei gegen den Uhrzeigersinn orientiert. 9 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

10 Ist α der Nullwinkel, dann ist D Z,α = id. Eine weitere besondere Drehung erhalten wir, wenn α der gestreckte Winkel ist: die Punktspiegelung Äquivalent dazu ist folgende Definition: Eine Abbildung P Z : E E heißt Punktspiegelung oder Halbdrehung, wenn sie die folgenden beiden Eigenschaften hat: 1. Sie besitzt genau einen Fixpunkt, das Zentrum Z 2. Sie ordnet jedem Punkt P Z den Bildpunkt P so zu, dass gilt: Z = M [PP ] Satz 2.3 Eine Punktspiegelung ist eine involutorische Abbildung. Es gilt also für jeden Punkt A in der Ebene P Z (P Z (A)) = A 10 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

11 Behauptung (Eigenschaften der Drehung D Z,α ) a) Eine Drehung ist eine Kongruenzabbildung b) Eine echte Drehung (α 0) besitzt keine Fixpunkte außer dem Drehzentrum c) Eine echte Drehung, mit Ausnahme der Halbdrehung, besitzt keine Fixgerade d) D Z,α kann als Hintereinanderausführung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich in Z schneidenden Geraden dargestellt werden. Dabei ist der Schnittwinkel dieser Geraden halb so groß wie α. 11 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

12 Eine Abbildung T PQ : E E heißt Verschiebung oder Translation, wenn sie die folgenden beiden Eigenschaften hat: 1. A E: [A T PQ (A) ist richtungsgleich zur Halbgeraden [PQ 2. [A T PQ (A)] [PQ] Die Richtungsgleichheit ist eine sehr anschauliche Eigenschaft. Formal können wir sagen: [A T PQ (A) [PQ, und die Punkte T PQ (A),Q liegen in derselben Halbebene bezüglich der Geraden AP. Mit P = Q erhalten wir die Identität (auch Nullverschiebung). 12 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

13 Behauptung (Eigenschaften der Verschiebung T PQ, noch ohne Beweis) a) Eine Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung b) Eine echte Verschiebung (P Q) besitzt keinen Fixpunkt c) Alle zu PQ parallelen Geraden sind Fixgeraden der Verschiebung d) T PQ kann als Hintereinanderausführung zweier Geradenspiegelungen an zwei parallelen Geraden dargestellt werden. Dabei ist der Abstand dieser Geraden halb so groß wie der Abstand zwischen P und Q. 13 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

14 Einschub: die Gruppe der Kongruenzabbildungen Die Menge K aller Kongruenzabbildungen in der Ebene bildet zusammen mit der Verkettung K K K eine (nicht abelsche) Gruppe. D.h. folgende Eigenschaften sind erfüllt: (i) (K, ) ist assoziativ (ii) es existiert ein neutrales Element in (K, ) (iii) es existiert ein inverses Element (K, ) Wir nennen U K eine Untergruppe von K, wenn U bzgl. der Verknüpfung abgeschlossen ist, und x U: x 1 U gilt. Die Menge {id E, S g } K ist (unabhängig von der Wahl von g G) ein sehr einfaches Beispiel für eine Untergruppe. 14 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

15 Für Satz 2.2 gilt auch die Umkehrung: Jede Kongruenzabbildung der Ebene auf sich kann durch eine Verkettung von endlich vielen Geradenspiegelungen dargestellt werden. Es gilt sogar: Satz 2.4 Dreispiegelungssatz Jede Kongruenzabbildung der Ebene auf sich kann als Verkettung von höchstens drei Geradenspiegelungen dargestellt werden. 15 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

16 Hilfssatz (für den Beweis von Satz 2.4): Seien A, B, A, B E und A B und [AB] [A B ]. Dann gilt: 1. es gibt genau zwei Kongruenzabbildungen φ 1 : E E, φ 2 : E E, die A auf A und B auf B abbilden. 2. φ 1 und φ 2 unterscheiden sich nur durch eine Achsenspiegelung an der Geraden g = A B voneinander. Es gilt also φ 2 = S g φ 2. Schwächer formuliert garantiert dieser Hilfssatz ganz einfach die Existenz einer Kongruenzabbildung zwischen zwei kongruenten Strecken. 16 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

17 Verkettung von drei Achsenspiegelungen S c S b S a : E E Einfachste Fälle: (i) (ii) a = b = c S c S b S a = S a S a S a = S a a = b c S c S b S a = S c S a S a = S c (iii) a b = c S c S b S a = S b S b S a = S a Für die weitere Untersuchung sind diese Fälle ausgeschlossen. Dagegen ist der Fall a = c eingeschlossen. 17 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

18 Weitere besondere Fälle unterscheiden wir wieder nach der Lage der Geraden, einmal sind alle Geraden parallel, einmal schneiden sie sich in genau einem Punkt. Satz 2.5 (Reduktionssatz für drei Achsenspiegelungen) Eine Verkettung von drei Geradenspiegelungen an Geraden a, b, c G, die zueinander parallel sind oder sich in genau einem Punkt schneiden, lässt sich durch eine Achsenspiegelung ersetzen. (i) a b c m G: S c S b S a = S m m a (ii) a b c = {S} m G: S c S b S a = S m S m 18 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

19 Eine leichte Umformulierung dient als Hilfssatz für weitere Untersuchungen zu vier Spiegelungen (für den Beweis von Satz 2.6) a b c a b c = {S} m G: S b S a = S c S m n G: S b S a = S n S c Satz 2.6 (Reduktionssatz für vier Achsenspiegelungen) Eine Verkettung von vier Achsenspiegelungen (S a, S b, S c, S d ) in der Ebene lässt sich immer durch die Verkettung von genau zwei Achsenspiegelungen ersetzen. 19 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

20 Fallunterscheidung für den Beweis von Satz 2.6: 1. Fall: zwei aufeinanderfolgende Achsenspiegelungen identisch 2. Fall: drei aufeinanderfolgende Abbildungen erfüllen die Voraussetzung des Reduktionssatzes für drei Achsenspiegelung (Satz 2.5). In allen anderen Fällen wenden wir den Hilfssatz an, und ersetzen zwei Spiegelungen durch zwei geeignete, so dass folgende Fälle übrig bleiben: 3. Fall: a b = {P} c d = {Q} 4. Fall: a b = {P} c d = 5. Fall: a b = c d = {Q} 20 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

21 Zusammenfassung Vier Spiegelungen lassen sich immer durch zwei Spiegelungen ersetzen. Zwei Spiegelungen lassen sich nie durch eine Spiegelungen ersetzen. Also: Vier Spiegelungen lassen sich nie durch eine Spiegelung ersetzen. Wir können außerdem zeigen (mit dem Hilfssatz für Satz 2.6): Vier Spiegelungen lassen sich nie durch drei Spiegelungen ersetzen. Also: Zwei Spiegelungen lassen sich nie durch drei Spiegelung ersetzen. Außerdem gilt: Drei Spiegelungen lassen sich u.u. durch eine Spiegelung ersetzen. 21 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

22 Eine Verkettung von drei Geradenspiegelungen, die nicht durch eine einzige Geradenspiegelung ersetzt werden kann, nennen wir eine Schuboder Gleitspiegelung: Eine Abbildung G g,pq : E E heißt Schubspiegelung (Gleitspiegelung), wenn sie die Verkettung einer Achsenspiegelung S g mit einer Verschiebung T PQ ist. Dabei muss PQ g gelten. Wir nennen die Gerade g dann Schubspiegelungsachse. 22 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

23 2.2 Sinn & Orientierung Man kann Kongruenzabbildungen in zwei Klassen einteilen: eine Kongruenzabbildung kann entweder durch die Verkettung einer geraden oder einer ungeraden Anzahl von Achsenspiegelungen ersetzt werden. Wenn sie als Verkettung einer geraden Anzahl von Achsenspiegelungen dargestellt werden kann, nennen wir eine Kongruenzabbildung gleichsinnig. Wir bezeichnen die Klasse der gleichsinnigen Kongruenzabbildungen mit K g. 23 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

24 Die Verkettung von zwei gleichsinnigen Kongruenzabbildungen ist selbst eine gleichsinnige Kongruenzabbildung. Auch die Umkehrabbildung einer gleichsinnigen Kongruenzabbildung ist selbst eine solche. Damit gilt: Satz 2.7 (Untergruppe der gleichsinnigen Kongruenzabbildungen) (K g, ) ist eine Untergruppe von (K, ) Kongruenzabbildungen heißen auch Bewegungen. Gleichsinnige Kongruenzabbildungen heißen auch echte Bewegungen. Ungleichsinnige Kongruenzabbildungen heißen auch Umwendungen. 24 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

25 Sind zwei n-ecke zueinander kongruent (P 1 P 2 ), dann gibt es eine Kongruenzabbildung φ, die P 1 auf P 2 abbildet. Ist φ gleichsinnig, dann nennen wir P 1 und P 2 gleichorientiert. Wir können auch nicht kongruente, einfache Polygone gleichorientiert nennen. Dann sind sie nämlich gegen den Uhrzeigersinn ( positiv ) oder im Uhrzeigersinn ( negativ ) orientiert. Notation: Im einfachen n-eck P 1 P 2 P n durchlaufen wir die Punkte in der angegebenen Reihenfolge, wenn wir von P 1 aus dem Polygon gegen den Uhrzeigersinn folgen. 25 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

26 Satz 2.8 Die Relation gleichorientiert ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der orientierten Dreiecke der Ebene. Entsprechend können orientierte Winkel auch die gleiche bzw. entgegengesetzte Orientierung haben: Zwei orientierte Winkel α und β heißen gleichorientiert, wenn es eine gleichsinnige Kongruenzabbildung φ gibt, für die gilt: φ(β) hat denselben Erstschenkel wie α und W φ(β) W α W α W φ(β) 26 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

27 Es gibt auch genau zwei Orientierungen auf Geraden (s. Anordnungsaxiome) Sei die Gerade g = PQ durch die Festlegung P < Q orientiert. Sei h g und a eine Gerade mit a g = {P} und a h = {A}. Und es sei B h mit A < B. Die Geraden g und h heißen genau dann gleichorientiert oder richtungsgleich, wenn die Punkte Q und B in derselben Halbebene bzgl. a liegen. Entsprechend heißen die Halbgeraden [PQ und [AB auf zueinander parallelen Trägergeraden genau dann gleichorientiert oder richtungsgleich, wenn bei gleicher Orientierung der Trägergeraden gilt: P < Q A < B 27 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

28 Zwei Winkel heißen Stufenwinkel oder F-Winkel, wenn je ein Schenkel der beiden Winkel auf einer gemeinsamen Geraden k liegt, diese Schenkel gleichorientiert sind, und die beiden anderen Schenkel in derselben Halbebene bzgl. k liegen. Zwei Winkel heißen Wechselwinkel oder Z-Winkel, wenn je ein Schenkel der beiden Winkel auf einer gemeinsamen Geraden k liegt, diese Schenkel entgegengesetzt orientiert sind, und die beiden anderen Schenkel in verschiedenen Halbebenen bzgl. k liegen. Zwei Winkel heißen Nachbarwinkel oder E-Winkel, wenn je ein Schenkel der beiden Winkel auf einer gemeinsamen Geraden k liegt, diese Schenkel entgegengesetzt orientiert sind, und die beiden anderen Schenkel in derselben Halbebene bzgl. k liegen. 28 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

29 Satz 2.9 Für vier Geraden a, b, g, h G mit S h S g = S b S a gilt je nach besonderer Lage: (i) a b g h = {A} Dann gibt es nicht überstumpfe Winkel (a A, b A ) und (g A, h A ), die gleichorientiert und kongruent sind. (ii) a b g h Dann sind die Halbgeraden [AB und [GH gleichorientiert und die Strecken [AB]und [GH] kongruent. Dabei ist s seine Senkrechte zu diesen Geraden, die a in A, b in B, g in G und h in H schneidet, 29 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

30 2.3 Größen ohne Maße Vergleichen und Addieren Auch ohne Maße können wir darüber sprechen, ob Strecken, bzw. Winkel, kleiner oder größer sind als andere. Außerdem können wir Streckenlängen, bzw. Winkelgrößen, addieren (auch subtrahieren und multiplizieren); auch ohne Maßzahlen einzuführen. Die Länge PQ einer Strecke [PQ] ist die Äquivalenzklasse aller zu [PQ] kongruenten Strecken. PQ = {[AB] [AB] [PQ]} 30 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

31 Die Größe α eines Winkels α ist die Äquivalenzklasse aller zu α kongruenten Winkel. α = {γ γ α} (Häufig wird allerdings auch die Größe eines Winkels α mit α bezeichnet) Basierend auf der Anschauung und unserer Vorstellung für Streckenlängen und Winkelgrößen ist jeweils die strenge Ordnungsrelation < ( kleiner ) leicht zugänglich. Formal stützen wir uns auf die Kongruenz. 31 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

32 Die Länge PQ heißt kleiner als die Länge AB, wenn es einen Punkt C gibt mit A C B und [PQ] [AC]. Wir schreiben dann PQ < AB Ein Winkel α heißt kleiner als ein Winkel β, wenn es eine Kongruenzabbildung φ gibt, die α so abbildet, dass gilt φ(α) und β haben denselben Erstschenkel φ(w α ) W β Wir schreiben dann α < β 32 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

33 Satz 2.10 Die Relation < ist sowohl auf der Menge der Streckenlängen als auch auf der Menge der Winkelgrößen eine strenge Ordnungsrelation, das heißt sie ist transitiv und asymmetrisch. Im Fall der Streckenlängen bedeutet das: AB < CD CD < EF AB < EF AB < CD ( CD < AB ) (Transitivität) (Asymmetrie) 33 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

34 Wir definieren die Summe von Streckenlängen zunächst für drei kollineare Punkte A, B, C. Wenn A B C gilt, dann ist AC die Summe von AB und BC. Wir schreiben AB + BC = AC Im weiteren Verlauf können beliebige Streckenlängen miteinander addiert werden. Wollen wir die Summe beliebiger AB und CD bilden, hilft die Kongruenz: Punkte C, D, so dass C D CD, C = B, und die Punkte A, B, D kollinear sind. Wir halten also gedanklich die Strecken aneinander, um ihre gesamte Länge zu erhalten. 34 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

35 Satz 2.11 Die Menge L aller Streckenlängen bildet zusammen mit der Addition +: L L L eine kommutative Halbgruppe, (L, +). Es gilt also für alle Streckenlängen AB, CD, EF L: ( AB + CD ) + EF = AB + ( CD + EF ) (Assoziativität) AB + CD = CD + AB (Kommutativität) Mit der Definition der Nullstrecke [PP] und somit der Länge der Nullstrecke PP = 0 P E, erhalten wir auch noch ein neutrales Element. Denn es gilt: AB + PP = PP + AB = AB 35 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

36 ABER: Da alle weiteren Längen positiv sind, gibt es zu diesen keine inversen Elemente. Somit ist (L, +) keine Gruppe. Der folgende Satz ist die Grundlage für die Subtraktion von Strecken Satz 2.12 AB < CD PQ (P Q) : AB + PQ = CD Die Multiplikation von ganzen Zahlen mit Strecken erhalten wir durch die wiederholte Addition einer Strecke mit sich selbst: 2 AB = AB AB 36 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

37 Zum Begriff Abstand: Der Abstand zweier Punkte P, Q in der Ebene ist die Länge der Strecke, die diese zwei Punkte verbindet: d(p, Q) = PQ Der Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g ist die Länge der Strecke PL, wobei L der Lotfußpunkt des Lots durch P auf g ist: d(p, g) = PL Der Abstand zweier Geraden g, h ist die Länge der Strecke GH, wobei s eine Lot auf beiden Geraden ist, und g s = {G} h s = {H} gilt: d(g, h) = GH 37 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

38 Die Addition zweier Winkel formulieren wir formal zunächst nur für zwei gleichorientierte Winkel, wobei der Zweitschenkel eines Winkels identisch mit dem Erstschenkel des anderen ist. Seien (ASB) und (BSC) zwei gleichorientierte Winkel. Dann ist die Größe des genauso orientierten Winkels (ASC) die Summe der beiden Winkelgrößen. (ASC) = (ASB) + (BSC) Im weiteren Verlauf können aber beliebige Winkelgrößen miteinander addiert werden. Wie bei den Strecken halten wir gedanklich die Winkel aneinander (Erst- an Zweitschenkel). Kongruenz sei Dank! 38 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

39 Satz 2.13 Die Menge aller positiv orientierten Winkelgrößen bildet bezüglich der Addition eine Gruppe. Satz 2.13 gilt genauso für die Menge aller negativ orientierten Winkelgrößen. Die Definition der Summe (ASC) = (ASB) + (BSC) kann auch für beliebig orientierte Winkel verallgemeinert werden. Allerdings bildet die Menge aller orientierten Winkelgrößen bezüglich dieser Addition keine Gruppe. So gibt es keine eindeutig bestimmten inversen Elemente, außerdem ist die Operation dann nicht assoziativ. Diese Operation ist aber immer noch abgeschlossen und kommutativ. 39 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

40 2.4 Kongruenzsätze Erinnerung: Eine Figur F 1 heißt kongruent zu einer Figur F 2, wenn es eine Kongruenzabbildung φ gibt, die F 1 auf F 2 abbildet. Wir schreiben dann F 1 F 2. Satz 2.14 Die Relation ist kongruent zu ist eine Äquivalenzrelation. 40 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

41 Bedeutung für Dreiecke: Die beiden Dreiecke ABC und A B C sind kongruent zueinander, wenn es eine Kongruenzabbildung φ gibt, mit φ(abc) = A B C. Bedeutung für Winkel: Die beiden Winkel α und β sind kongruent zueinander, wenn es eine Kongruenzabbildung φ gibt, mit φ(α) = β. Zwischen der Kongruenz von Winkeln und der Kongruenz von Dreiecken bestehen enge Beziehungen. Tragen wir auf beiden Schenkeln eines Winkels jeweils eine Strecke ab, erhalten wir ein Dreieck (vgl. die Schreibweise von Winkeln mit drei Punkten). 41 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

42 Mit Blick auf Konstruktionen: Das Abtragen von Strecken ist eindeutig und axiomatisch festgelegt. Das Abtragen von Winkeln ist nicht eindeutig: Satz 2.15 In der Ebene seien der Winkel (a S, b S ) und eine beliebige Halbgerade a S. Wenn a S, b S auf unterschiedlichen Trägergeraden liegen, dann gibt es in beiden von a bestimmten Halbebenen jeweils genau eine Halbgerade b S beziehungsweise b S, so dass gilt: (a S, b S ) (a S, b S ) (a S, b S ) (Der Hilfssatz zu Satz 2.4 kann auch auf Halbgeraden angewendet werden, und ist so Grundlage für den Beweis dieses Satzes) 42 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

43 Satz 2.16 Kongruenzsatz SSS Gegeben sind zwei Dreiecke ABC und A B C in der Ebene. Dann gilt: [A B ] [AB] [A C ] [AC] } ABC A B C [B C ] [BC] Satz 2.17 Kongruenzsatz SWS Gegeben sind zwei Dreiecke ABC und A B C in der Ebene. Dann gilt: [AB] [A B ] [AC] [A C ] (BAC) (B A C ) } ABC A B C 43 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

44 Satz 2.18 Kongruenzsatz WSW Gegeben sind zwei Dreiecke ABC und A B C in der Ebene. Dann gilt: [AB] [A B ] (BAC) (B A C ) (CBA) (C B A ) } ABC A B C Satz 2.19 Kongruenzsatz SsW Gegeben sind zwei Dreiecke ABC und A B C in der Ebene. Sei außerdem AB > AC. Dann gilt: [AB] [A B ] [AC] [A C ] (BCA) (B C A ) } ABC A B C 44 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

45 Die Kongruenzsätze (insbes. die Sätze 2.17, 2.18, 2.19) gelten unabhängig von der gewählten Bezeichnung der Ecken. Wichtig ist nur die Beziehung zwischen den drei vorausgesetzten Kongruenzen. Dies wird in den folgenden alternativen Formulierungen der Sätze deutlich. 45 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

46 Kongruenzsätze (Alt.) Ein Dreieck ist bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt, wenn SSS: die Längen der drei Seiten gegeben sind. SWS: wenn die Länge von zwei Seiten und die Größe des von diesen Seiten eingeschlossenen Winkels gegeben sind. WSW: wenn die Größe von zwei Winkeln und die Länge der von diesen beiden Winkeln eingeschlossen Seite gegeben sind. SsW: wenn die Länge von zwei Seiten und die Größe des Winkels, der der längeren dieser beiden Seiten gegenüberliegt, gegeben sind. 46 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau